关于柯西不等式的证明
关于柯西不等式的证明
王念
数学与信息学院 数学与应用数学专业 07 级 指导老师：吴明忠
摘要：研究柯西不等式的多种证明方法，得到一些有用的结论，并简单介绍一些它的应用。
关键词：柯西不等式、数学归纳法、二次型正定、欧式空间向量内积、詹森不等式，二维随机变量的数学期望。
Cauchy inequality is an important inequality. It has aroused people’s interest and its widespread application. In this paper 、quadratic form 、European space inner product 、and the relation between Cauchy inequality.
Wang Ni an
Xxxxxxxxxxx Grade 07 Instructor: Wu Ming Zhong
Abstract: The paper discusses the certifying ways of Cauchy inequality then gets some useful conduction and introduces some appliances.
Key words: Cauchy inequality; quadratic form; inner product; Jensen inequality; mathematic Expectation.
柯西不等式是大家熟知的一个重要不等式，它的结构和谐对称、以及广泛的运用引起了人们的兴趣和讨论。本文运用高等代数、微积分的基本内容来证明柯西不等式。
1 柯西不等式的内容 1.1
22222222211221212(....)(....)(....)(,1,2......)
n n n n i i a b a b a b a a a b b b a b R i n +++≤+++++∈=
等号当且仅当12.....0n a a a ====或i i b ka =时成立（k 为常数，i=1,2…..n ）. 1.2 设12,,.....n a a a 及12,,.....n b b b 为任意实数则不等式2
221
1
1
1
()()()n
n
n
i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑成
立，当且仅当i i b ka = （i=1,2…..n ）取等号。1,2这两种形式就是著名的柯西不
等式。
2 柯西不等式的证明 2.1构造二次函数，证明柯西不等式。(其关键在于利用二次函数0?≤时函数f(x) 0≥
222
1122222212112222212()()()....()(....)2(....)(....)n n n n n n f x a x b a x b a x b a a a x a b a b a b x b b b =++++++=++++++++++ 显然f(x) 0≥
又2212....0n n a a a ++≥ 则利用0?≤可得
22211221222
1
24(.....)4(....)(.....)0n n n n n
n a b a b a b a a a b b b ?=+++-++++++≤
即
222211221222
2
1
2(....)(....)(....)
n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++
当且仅当0(1,2....)i i a x b i n +== 即
12
12.......n n
a a a
b b b ==+是等号成立。 2.2 利用数学归纳法进行证明。（关键把握由特殊到一般情况的严密性）
（1）当1n =时 左式=()2
11a b 右式=()2
11a b
显然 左式=右式 当
2
n =时
，
右式
()()()()2
2
22
222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++
()()()2
2
2
1122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式
仅当即 2112a b a b = 即
12
12
a a
b b =时等号成立 故1,2n =时 不等式成立
（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立
即 ()()()2
2222211221212k k k k k a b a b a b a a a b b b +++≤++++++
当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n = 或120k a a a ==== 时等号成立
设222
12222
121122............k
k k k
a a a B
b b b C a b a b a b A =+++=+++=+++
则()()222222111111k k k k k k a b b a b Ba ++++++A +B +=AB +A ++ ()2
2221111112k k k k k k C Ca b a b C a b ++++++≥++=+ ()(
)22222
2
2
2
121
121
k k k
k
a a a a
b b b b ++∴+++++++
+
()2
112211k k k k a b a b a b a b ++≥++++
当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n = 或120k a a a ==== 时等号成立
即 1n k =+时不等式成立 综上所述原柯西不等式得证。
2.3 利用基本不等式（均值不等式）进行证明（关键在于利用它 “形式”） 由于2
2
2(,)x y xy x y R +≥∈
，令x y =
=
222
2
1
1(1,2.......)22i i n
n
k k k k a b i n a b ==≤
+
=∑∑
将N
不等式相加得：
2
2
1
122
1
1
122n
n
n
i i
i
i
i i n n k k k k a b
a
b
a b ====≤
+
=∑∑∑∑∑
∴1n
i i i a b =≤
∑
即2
2
21
1
1
()()()n
n
n
i i i k i i k a b a b ===≤∑∑∑
原柯西不等式得证。
2.4 利用二次正定型理论进行证明（关键在于理解二次型正定的定义） 正定二次型定义：R 上一个n 元二次型12(,,....)n q x x x 可以看成定义在实数域上n 个变量的实函数。如果对于变量12,,....n x x x 的每一组不全为零的值，函数值
12(,,....)n q x x x 都是正数，那么就称12(,,....)n q x x x 是一个正定二次型。
2222121212()20(1,2,.....)
i i i i i i a x b x a x b x a b x x i n +=++>=
有2
22
2
1
2121
1
1
()()(2)0n
n
n
i i i i i i i a x b x a b x x ===++>∑∑∑
设二次型 2
22
2
121
2121
1
1
(,)()()(2)0n n n
i i i i i i i f x x a x b x a b x x ====++>∑∑∑
故f 为正定必有二次型矩阵
21
1
21
1n n
i i i i i n
n
i i i i i a a b A a b b ====?? ? ?=
? ???
∑∑∑∑正定 则0A >,即
2
2
21
1
1
2221
1
1
()()()0
()()()
n
n
n
i i i i i i i n n n
i i i i i i i a b a b a b a b ======->∴<∑∑∑∑∑∑
当
12
12.......n n
a a a
b b b ===时等号成立。 故原不等式成立，及柯西不等式得证。 2.5 利用欧式空间中内积的性质进行证明。
定理：在一个欧式空间里，对于任意向量,εη，有不等式：
2,,,;εηεεηη??≤????当且仅当ε与η线性相关时，才取等号。
证 如果ε与η线性相关，那么或者0ε=，或者a ηε=，不论哪一种情况都有
2,,,.εηεεηη??=????
现在设ε与η线性无关。那么对于任意实数t 来说，0t εη+≠，于是
,0,t t εηεη?++?>
即 2,2,,,0.t t εεεηηηηη??+????+??>
最后不等式左端是t 的一个二次三项式。由于它对于t 的任意是数值来说都是正数，所以它的判别式一定小于零，即
2,,,0εηεεηη??-????<或2,,,εηεεηη??
1212(,,....),
(,,....),
n n x x x y y y εη==
规定（必须规定）1122,......n n x y x y x y εη??=+++
容易验证，关于内积的公理被满足，因而n
R 对于这样定义的内积来说作成一个欧式空
间.再由不等式2,,,;εηεεηη??≤????推出对于任意实数1212,,....,,,....,n n a a a b b b 有不等式
222221111(....)(....)(....).n n n n a b a b a a b b ++≤++++ 即柯西不等式得证。 2.6 利用行列式进行证明
证 2
22
1
1
1
1
()()()n
n
n
i i i i i i a b a b ===-=
∑∑∑ 2
1121
1
n
n
i
i i
i i n n
i i i i i a
a b
a b b
====∑∑∑∑
22
11
n
n
i j j i j i i
j a a b a b b ===∑∑
21()0i j j i i j n
a b a b ≤≤≤=
->∑
若令1212(,,),(,)n n a a a a b b b b == 则可以得到：
2
2
2
11
1
1
()()()n
n
n
i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑ 即柯西不等式得证。
2.7 利用詹森不等式进行证明
考察函数2(),(0),()2,()20,x x x x x x ???'''=>==>故2()x x ?=是(0,)+∞上的凸函数，詹森（Jensen ）不等式
2
2111
1n
n
k k k k k k n n k k k k P X P X P P ====?? ? ?≤
? ?
??
∑∑∑∑(其中，0,1,2,),k P k n >= 得 2
21
1
1
()()()n
n
n
k k k K k k k k P X P P x ===≤∑∑∑
上式中令2
,k k k k k a P b X b ==即22
2111
)()()n n n
k k k k k k k P X b a ===≤∑∑∑（
从而不等式成立。
2.8 利用二维随机变量的数学期望证明
表格 211()n i i i E a b n ξη==∑，222
211
11,n n i i i i E a E b n n ξη====∑∑
由2
22()E E E ξηξη≤
所以有2
22111
111()()()n n n i i i i i i i a b a b n n n ===≤∑∑∑
即2
2
21
1
1
()()()n n n
i i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑
则柯西不等式得证。
柯西施瓦茨不等式
分类号（宋体小三加黑）论文选题类型 U D C 编号 本科毕业论文（设计） （黑体小初） （宋体小一加黑） 题目（宋体小二加黑） 学院（宋体小三加黑） 专业 年级 学生姓名 学号 指导教师 二○年月（宋体三号加黑）
华中师范大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 学位论文作者签名：日期：年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保障、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关学位论文管理部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权省级优秀学士学位论文评选机构将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1、保密□，在_____年解密后适用本授权书。 2、不保密□。 （请在以上相应方框内打“√”） 学位论文作者签名：日期：年月日 导师签名：日期：年月日
目录 内容摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 不等式的简介 (1) 不等式的四种形式 (2) 实数域中的Cauchy-Schwarz不等式 (2) 定理 (2) 应用 (2) 用于证明不等式 (3) 用于求最值 (3) 用于解方程组 (4) 用于解三角形相关问题 (4) 维欧氏空间中的Cauchy-Schwarz不等式 (5) 定理 (5) 应用 (6) 用于证明不等式 (6) 用于求最值 (6) 用于证明三维空间中点到面的距离公式 (7) 数学分析中的Cauchy-Schwarz不等式 (7) 定理 (7) 定理（积分学中的柯西—施瓦茨不等式） (7) 定理（数项级数的柯西—施瓦茨不等式） (9) 应用 (10) 用于证明不等式 (10) 概率空间中的Cauchy-Schwarz不等式 (10) 定理 (10)
积分不等式的若干证明技巧
题目：积分不等式的若干证明技巧 学院：数学科学学院 专业班级：数学07－4实验班 学生姓名：努尔艾拉.阿西木 指导教师：塔实甫拉提副教授 答辩日期：2011年5月10日 新疆师范大学教务处
目录 1引言 (1) 2 利用有些定义证明积分不等式 (1) 2.1利用定积分的定义证明积分不等式 (1) 2.2利用积分和及凸函数的性质证明积分不等式 (2) 3 利用函数的单调性证明积分不等式 (4) 4利用微分中值定理证明积分不等式 (4) 5利用积分中值定理证明积分不等式 (6) 6利用一些基本不等式证明积分不等式 (7) 7利用泰勒展开式证明积分不等式 (7) 8利用将单积分化为重积分的方法 (8) 9利用分部积分法来证明积分不等式 (9) 10 结论 (10) 参考文献： (11) 致谢 (12)
积分不等式的若干证明技巧 摘要：不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一，它反映了各变量之间很重要的一种联系。论证不等式的方法很多，本文的目的主要是利用徽积分学原理归纳、总结“高等数学”中证明积分不等式的常用方法.由于积分具有较大的灵活性，故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性，是理工科学生学习的一个难点，以下我们仅从讨论过程中的关键步骤出发，大致地分成若干种方法，介绍有关证题的技巧和规律。 关键词：积分不等式，积分中值定理；Rolle中值定理；Cauchy中值定理；Lagrange中值定理 Integral inequality of several proof skills Abstracts：inequality is higher mathematics and the important content of modern mathematics analysis, it reflects the one between the variables a contact is very important. Demonstrates many methods, this paper the inequality in the main purpose of the principle is to use badge integral calculus "advanced mathematics synthesized and summarized in" the commonly used method proved integral inequality. Because integral has greater flexibility, so integral inequality proof often rich strong skilled, an engineering student learning a difficulty, below we only from a critical step in discussion, starting into several ways roughly, introduces relevant papers topic the skills and law. Keywords: integral inequality, integral mean-value theorem; Rolle mid-value theorem; Cauchy mid-value theorem; Lagrange mid-value theorem 。
不等式典型例题之基本不等式的证明
5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——（6例题） 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R + ，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法. 2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ. 3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法. 5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新????
高中不等式的证明方法
不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+
高等数学中不等式的证明方法
高等数学中不等式的证明方法 摘要：各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系，因此， 不等式很自然地成为分析数学与离散数学诸分支学科中极为重要的工具，而且早已成为 专门的研究对象。高等数学中存在大量的不等式证明，本文主要介绍不等式证明的几种 方法，运用四种通法，利用导数研究函数的单调性，极值或最值以及积分中值定理来解 决不等式证明的问题。我们可以通过这些方法解决有关的问题，培养我们的创新精神， 创新思维，使一些较难的题目简单化、方便化。 关键词：高等数学；不等式；极值；单调性；积分中值定理 Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints. Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（https://www.wendangku.net/doc/c910216419.html, 毕业论文参考网原创论文）ches of mathematics .It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics .This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem . We can resolve the problems identified through these methods. It can bring up our innovative spirit and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient , Keyword: Higher Mathematics; Inequality; Extreme value Monotonicity; Integral Mean Value Theorem 文章来自：全刊杂志赏析网(https://www.wendangku.net/doc/c910216419.html,) 原文地址： https://www.wendangku.net/doc/c910216419.html,/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm 【摘要】不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的 不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结。 【关键词】不等式；中值定理；泰勒公式；辅助函数；柯西 施瓦茨；凹凸性 在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不 等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证 明，以考研试题为例，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公
(完整word版)柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等 式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为， 正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 ()() ()2 2222 bd ac d c b a +≥++ 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：( )()()2 2222 2222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++???++++???+≥+++???+ 等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==?? ==???= ?=????? 当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明： ()()() ()()() 2 22222222222 222222222 2 2,,,220=a b c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立 三角形式 ad bc =等号成立条件： 三角形式的证明： 222111n n n k k k k k k k a b a b ===?? ≥ ??? ∑∑∑
不等式证明的常用基本方法
证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t
施瓦茨不等式的证明
2柯西－施瓦茨不等式的证明 2.1 柯西－施瓦茨不等式 定理（柯西－施瓦茨不等式）若a1，a2，?，a n和b1,b2,?,b n是任意实数，则 a k n k=1b k 2 ≤a k2 n k=1 b k2 n k=1 当且仅当存在一个实数x，使得b k=x a k（k=1,2,…,）时，等号成立。 2.2 用数学归纳法证明柯西施瓦茨不等式 当n=1时，左式=a1b12=a12b12，右式=a12b12 显然左式=右式 当n=2时，左式=a1b1+a2b22=a12b12+2a1b1a2b2+a22b22 ≤a12+a22b12+b22=a12b12+a22b22+a22b12+a12b22=右式 故有a1b1+a2b22≤a12+a22b12+b22 ,即 a k 2 k=1b k 2 ≤a k2 2 k=1 b k2 2 k=1 当且仅当a1b2=a2b1时等号成立。 故n=1,2时不等式成立。 假设当n=i时，不等式成立，即 a k i k=1b k 2 ≤a k2 i k=1 b k2 i k=1 当且仅当a k b j=a j b k(k,j=1,2，?，i)时成立。那么当n=i+1时， a k2 i+1 k=1 b k2 i+1 k=1 =a k2+a i+12 i k=1 b k2 i k=1 +b k+1 2
= a k 2i k =1 b k 2i k =1 +a i +12 b k 2+i k =1b i +12 a k 2 +a i +12b i +12i k =1 ≥ a k 2i k =1 b k 2i k =1 +2a i +1b i +1 a k 2i k =1 b k 2i k =1 +a i +12b i +12 ≥ a k i k =1 b k 2 +2a i +1b i +1 a k b k +i k =1 a i +12 b i +12 = a k i +1 k =1 b k 2 当且仅当当且仅当a k k =a j j k,j =1,2,?,i 且 a k 2i k =1 b k k =1 =a i +1 2 i +1 2时成立。 因为a k b k =a j k j ， 故a k 2k 2=a j 2j 2= a k 2i k =1 b k k =1 (k ,j =1,2,?,i ) 所以a k 2b k 2=a j 2b j 2=a i +1 2b i +1 2（k,j =1,2,?,i ） 所以 a k k =a j j （k,j =1,2,?,i +1） 综上所述，不等式 a k n k =1 b k 2 ≤ a k 2n k =1 b k 2 n k =1 成立。 2.3 用向量法证明柯西－施瓦茨不等式 设a = a 1,a 2,?,a n ,b = b 1,b 2,?,b n 是两个n 维向量， 则a ?b = a k b k n k =1 a =(a ?a )1 = a k 2n k =1 12
积分不等式的证明及应用论文
广西科技大学毕业论文 题目：积分不等式的证明及应用 英文题目：The integral inequality proof and application.所在学院：理学院 所在专业：信息与计算科学 学号：200900901071 作者姓名：朱伟 指导老师：张明俊 二零一三年五月
摘要 积分不等式是学习高等数学中的一个重要内容，在数学分析中的应用也很广泛,也经常会在考研试卷中出现.有很多积分不等式的证明方法，一些方法综合性和技巧性也很强。利用导数和积分的相关知识去证明不等式，可以降低技巧性，使证明的思路变得简单，在此总结出可用于证明不等式的知识点。文中涉及到的知识有积分不等式、柯西不等式、拉格朗日中值定理、泰勒公式等高等数学中的内容。 【关键词】积分不等式、函数、拉格朗日中值定理、柯西不等式、泰勒公式
Abstract Mathematical analysis is an important information and calculation science specialized basic course,integral inequality is important content of mathematical analysis,using the integral inequality can solve many problems,thus the application of integral inequality is very wide.Proof of integral inequality and applications has always been a difficulty in mathematical analysis,it's proved that erected a bridge for different branches of mathematics,greatly improved our creative thinking.It's proof and application is also very cleverly,can solve some difficult problems.So,a deep understanding, to grasp the method of integral inequality proof, and its different applications in mathematical analysis,can improve our understanding of theoretical knowledge and application,at the same time also is good for our future study,to improve our thinking ability, innovation ability, and skill also has the very big help. 【Key words】Integral inequality, Probability mass function, Lagrange's mean value theorem, Cauchy inequality, Taylors formula.
积分不等式的证明方法及其应用
积分不等式的证明方法及其应用 【摘要】本文根据定积分的定义、性质、定理等方面简单介绍了几个证明积分 不等式的基本方法，并给出了相应的例题，从而更好地掌握其积分不等式的证明方法。尔后再给出四个重要积分不等式及其证明方法和应用，最后详细举例说明积分不等式在求极限、估计积分、证明积分不等式等上的应用及两个重要积分不等式的应用。 【关键词】积分不等式 Schwarz 不等式 Ho .. lder 不等式 Gronwall 不等式 Young 不等式 1 引言 在学习中，我们常会遇到这样的问题：有些函数可积，但原函数不能用初等函数的有限形式来表达，或者说这种积分“积不出”，无法应用Newton-Leibniz 公式求出（如2 1 0x e dx -?），这时我们只能用其它方法对积分值进行估计，或近似计 算；另一种情况是，被积函数是没有明确给出，只知道它的结构或某些性质（例如设函数f 在[]0,1上连续可微，且(1)(0)1f f -=，求1 '20()f x dx ?），因此我们希 望对积分值给出某种估计.为此我们来研究下积分不等式. 我们把含有定积分的不等式称为积分不等式. ? ? ≤ 2 1 2 1 ln ln xdx x xdx x ， ()() 2 2 ()cos ()sin 1b b a a f x kxdx f x kxdx +≤? ? 都是积分不等 式. 2积分不等式的证明方法 2.1 定义法 我们根据定积分的定义，把积分区间n 等分，得出积分和，再由离散型式子，得出积分和之间的大小关系，再令∞→n ，取极限即可. 例1设函数)(x f 在区间 []0,1上可积 .试证明有不等式1 12 00 ()()f x dx f x dx ≤ ?? . 证 先用Jensen 不等式法证明不等式 : 对 R x x x n ∈?,,,21 , 有不等式
高中数学基本不等式证明
不等式证明基本方法 例1 ：求证：221a b a b ab ++≥+- 分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。 证明：221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选 用。 例2：设c b a >>，求证：b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。 证明：)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ，则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式： =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-，这样容易发现规律。 例3 ：已知,,a b R +∈求证：11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明：11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =--
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证 明及其应用 Prepared on 22 November 2020
柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角 度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()2 2222 2222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++???++++???+≥+++???+ 等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==?? ==???= ?=?????当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明： 三角形式 三角形式的证明： 向量形式 向量形式的证明： 一般形式 一般形式的证明： 2 2 2 111n n n k k k k k k k a b a b ===?? ≥ ??? ∑∑∑
证明： 推广形式(卡尔松不等式)： 卡尔松不等式表述为：在m*n 矩阵中，各行元素之和的几何平均数不小于各列元素 之积的几何平均之和。 或者： 或者 推广形式的证明： 推广形式证法一： 或者 推广形式证法二： 事实上涉及平均值不等式都可以用均值不等式来证， 这个不等式并不难，可以简单证明如下： 付：柯西（Cauchy ）不等式相关证明方法： 等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=）现将它的证明介绍如下： 证明1：构造二次函数 ()()()2 2 222 11)(n n b x a b x a b x a x f ++++++= =()()()22 222 121122122n n n n n n a a a x a b a b a b x b b b ++ ++++ ++++ + ()0f x ∴≥恒成立 即()()()2 22 2211221212n n n n n n a b a b a b a a a b b b ++ +≤++ +++ + 当且仅当()01,2i i a x b x i n +== 即 12 12 n n a a a b b b === 时等号成立 证明（2）数学归纳法
证明不等式的几种常用方法
证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以
不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾．
几个范数不等式的证明
设X为一n维赋范空间，其范数定义为, 1≤p<∞，证明以下命题： 1. ||x||2≤||x||1≤; 2. ||x||p≤||x||1； 3. ||x||q≤||x||p≤，p|≤||x||2||y||2，令x=( |x1|, |x2|,..., |x n|)，y=(1,1, (1) 可得(|x1|+|x2|+…+|x n|)≤(|x1|+| x2|+…+|x n|)1/2n1/2 ||x||1≤成立。 根据Jensen不等式，令α=2，β=1可以证明。 2. 令f(x)= p=1,f(x)=1，所以只考虑p>1的情况
从上图可以看出f(x)在x=0时为1，先上升，在x=1达到最大值2p-1，然后下降，但始终≥1。所以有，即，令x=b/a，有a p+b p≤(a+b)p，同理，使用归纳法可 证明：|x1|p+|x2|p+…+|x n|p≤(|x1|+|x2|+…+|x n|)p②(|x1|p+|x2|p+…+|x n|p)1/p≤|x1|+|x2|+…+|x n| 也即||x||p≤||x||1成立。 3. 先证||x||q≤||x||p (p
柯西不等式的证明及其应用
柯西不等式的证明及其应用 赵增林 （青海民族大学，数学学院，青海，西宁，810007） 摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的方法证明了柯西不等式，并 给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。 关键词：柯西不等式，证明，应用 柯西不等式 定理：如果1212,,,;,,,n n a a a b b b …………为两组实数，则 2222222 11221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++……………… （*） 当且仅当12211331110n n a b a b a b a b a b a b -=-==-=……时等号成立。 若120,0,,0n b b b ≠≠≠……，则不等式的等号成立的条件是 12 12n n a a a b b b ===……。 我们称不等式（*）为柯西不等式。 柯西不等式的证明： 一）两个实数的柯西不等式的证明： 对于实数1212,,,a a b b ，恒有22222 11221212()()()a b a b a a b b +≤++，当且仅当 12210a b a b -=时等号成立。如果120,0b b ≠≠则等式成立的条件是12 12 a a b b =。 证明：对于任意实数1212,,,a a b b ，恒有 2222 22121211221221()()()()a a b b a b a b a b a b ++=++-，而21221()0a b a b -≥， 故2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++。 当且仅当12210a b a b -=时等号成立。 不等式的几何意义如图1所示，在直角坐标系中有 异于原点O 的两点12(,)P a a ，12(,)Q b b ，由距离公式 得：|OP |=，|OQ |=
4 基本不等式的证明(1)
4、基本不等式的证明（1） 目标： (,0)2 a b a b +≥的证明过程，并能应用基本不等式证明其他不等式。 过程： 一、问题情境 把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为 a 。如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计） ，那么a 并非物体的实际质量。不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为b 。那么如何合理的表示物体的质量呢？ 把两次称得的物体的质量“平均”一下，以2 a b A +=表示物体的质量。这样的做法合理吗？ 设天平的两臂长分别为12,l l ，物体实际质量为M ，据力学原理有1221,l M l a l M l b == ，有2,M ab M == ,0a b >时，2 a b +叫,a b ,a b 的几何平均数 2 a b + 二、建构 一般，判断两数的大小可采用“比较法”： 02a b +-=≥ 2 a b +≤（当且仅当a b =时取等号） 说明：当0a =或0b =时，以上不等式仍成立。 从而有 2 a b +≤(0,0)a b ≥≥（称之“基本不等式” ）当且仅当a b =时取等号。 2 a b +≤的几何解释： 如图,,2 a b OC CD OC CD +≥== 三、运用 例1 设,a b 为正数，证明：1(1)2(2)2b a a a b a +≥+≥ 注意：基本不等式的变形应用 2,2a b a b ab +??≤+≤ ???
例2 证明： 22(1)2a b ab +≥ 此不等式以后可直接使用 1(2)1(1)1 x x x + ≥>-+ 4(3)4(0)a a a +≤-< 2 2≥ 2 2> 例3 已知,0,1a b a b >+=，求证：123a b +≥+ 四、小结 五、作业 反馈32 书P91 习题1，2，3
不等式的证明方法习题精选精讲
不等式性质的应用 不等式的性质是解不等式、证明不等式的基础和依据。教材中列举了不等式的性质，由这些性质是可以继续推导出其它有关性质。教材中所列举的性质是最基本、最重要的，对此，不仅要掌握性质的内容，还要掌握性质的证明方法，理解掌握性质成立的条件，把握性质之间的关联。只有理解好，才能牢固记忆及正确运用。 1．不等式性质成立的条件 运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误。对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性。 例1：若0< B ．a b a 11>- C ．||||b a > D ．22b a > 解：∵0<->-b a 。 由b a -< -11，b a 11>，∴（A ）成立。 由0<< b a ，||||b a >，∴（C ）成立。 由0>->-b a ，2 2 )()(b a ->-，2 2b a >，∴（D ）成立。 ∵0<->-a b a ， )(11b a a --<-，b a a ->11，∴（B ）不成立。 故应选B 。 例2：判断下列命题是否正确，并说明理由。 （1）若0<c ，在2 2c b c a >两边同乘以2 c ，不等式方向不变。∴b a >。 （3）错误。b a b a 1 1，成立条件是0>ab 。 （4）错误。b a >，bd ac d c >?>，当a ，b ，c ，d 均为正数时成立。 2．不等式性质在不等式等价问题中的应用 例3：下列不等式中不等价的是（ ） （1）2232 >-+x x 与0432 >-+x x （2）13 8112++ >++ x x x 与82>x （3）35 7354-+>-+x x x 与74>x （4） 023 >-+x x 与0)2)(3(>-+x x A ．（2） B ．（3） C ．（4） D ．（2）（3） 解：（1）0432232 2 >-+?>-+x x x x 。 （2）482>?>x x ，44,11 3 8112>?>-≠?++>++ x x x x x x 。