高考数学复习专题——排列组合-概率与统计(教师版)
一、排列组合问题的解题策略
一、相临问题——捆绑法
例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法?
解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列,并考虑甲乙二人的顺序,所以共有种。
评注:一般地：个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决,共有种排法。
二、不相临问题——选空插入法
例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法?
解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为: 种．
评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。
三、复杂问题——总体排除法
在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时,可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。
例3.(１996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.
解:从７个点中取3个点的取法有种,但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有-3=32个.
四、特殊元素——优先考虑法
对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置,然后再考虑其他位置的安排。
例4. (19９5年上海高考题) 1名老师和４名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端,则共有不同的排法种．
解:先考虑特殊元素(老师）的排法，因老师不排在两端,故可在中间三个位置上任选一个位置，有种,而其余学生的排法有种,所以共有=72种不同的排法．
例5．(2000年全国高考题）乒乓球队的１0名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛,3名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.
解：由于第一、三、五位置特殊,只能安排主力队员,有种排法，而其余7名队员选出２名安排在第二、四位置，有种排法,所以不同的出场安排共有＝2５2种.
五、多元问题——分类讨论法
对于元素多,选取情况多，可按要求进行分类讨论,最后总计。
例6.（2003年北京春招)某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（Ａ）
A．４2 B．3０C．20 D.12
解：增加的两个新节目,可分为相临与不相临两种情况:1．不相临:共有A６2种;２．相临：共有A22Ａ６1种。故不同插法的种数为:Ａ62+A２2A6１=４２,故选A。
六、混合问题——先选后排法
对于排列组合的混合应用题,可采取先选取元素，后进行排列的策略．
例７.(2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人,则不同的分配方案共有（）
解：本试题属于均分组问题。则１2名同学均分成3组共有种方法,分配到三个不同的路口的不同的分配方案共有：种，故选A。
例8.（2003年北京高考试题)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）
A．2４种Ｂ．1８种Ｃ.12种D．6种
解:先选后排,分步实施. 由题意，不同的选法有: C３２种,不同的排法有：A３1·A22，故不同的种植方法共有A３1·Ｃ32·A２2＝12,故应选Ｃ.
七.相同元素分配——档板分隔法
例９.把１０本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室,每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况？
本题考查组合问题。
解：先让２、３号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配,保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两个相同“Ｉ”(一般可视为“隔板”)共有种插法，即有15种分法。
八、顺序固定用“除法”
对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。
例10、6个人排队,甲、乙、丙三人按“甲---乙－--丙”顺序排的排队方法有多少种？
分析:不考虑附加条件，排队方法有A66种，而其中甲、乙、丙的Ａ３3种排法中只有一种符合条件。故符合条件的排法有A66 ÷A33 =120种。（或A63种)
例１1、4个男生和３个女生,高矮不相等,现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法。
解:先在7个位置中任取４个给男生,有A74种排法，余下的3个位置给女生,只有一种排法,故有A7４种排法。(也可以是A７7 ÷A３３种)
九、一一对应法：
例11.在１00名选手之间进行单循环淘汰赛(即一场失败要退出比赛)最后产生一名冠军，要比赛几场？
解：要产生一名冠军,要淘汰冠军以外的所有选手,即要淘汰99名选手，要淘汰一名就要进行一场，故比赛99场。
二、随机变量及其分布列
１．离散型随机变量：可以一一列出。 2.离散型随机变量的分布列
(1)设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,i x x x ，X 取每一个值(1,2,)i x i =的概率()i i P X x p ==，则下表称
为随机变量X 的概率分布,简称Ｘ的分布列。 性质:0,(1,2,
)i p i ≥=，概率之和为121i p p p ++
++
=。
离散型随机变量的数学期望：()n n p x p x p x X E +++= 2211
离散型随机变量的方差:()()()()()()()n n p X E x p X E x p X E x X D 2
22
212
1-++-+-=
(2)两点分布: ?
（3）二项分布：
在独立重复试验概率公式中，若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为p q -=1，则在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()k n k k n q p C k X P -==，其中n k ,2,1,0=。 称这样的离散型随机变量X 服从参数为p n ,的二项分布,记作()p n B X ,~。
（4)超几何分布:一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰好有X 件次品,则事件{}X k =发生的概率为
()k n k
M N M
n
N
C C P X k C --==，0,1,2,,k m =，其中min{,}m M n =,且*,,n N M N N ≤∈,此时称分布列为超几何分布列。
分布
数学期望
方差
二点分布 ()p X E = ()pq X D = 二项分布 ()np X E =
()()p q npq X D -==1
超几何分布
()N
nM
X E =
X 1x 2x …… i x …… P
1
p
2
p
……
i
p
……
1－p
X P
0 1 p
(6)正态分布：正态变量概率密度曲线函数表达式:()()R x e
x f x ∈?=
--
,212
2
2σμσ
π,其中σμ,是参数,且
+∞<<-∞>μσ,0。如下图：
例1:已知随机变量X 的分布列为:
X -2 －1 0 1 2 3
Ｐ 1
12
14
13 112 16 112
分别求出随机变量2121
,2
Y X Y X =
=的分布列。 解:12,Y Y 分别是X 的函数，而X 函数关系可用表的形式表示出来,然后再写出分布列。首先列出如下表格：
X －2 －１
0 1 2 3
1Y
－1 12
- 0 12
1 32
2Y
４
1
1
4
9
P
112 14 13 112 16 112
从而由上表可得两个分布列
112
Y X =
－１ 12- 0 12 1 32
P
112 14
13 112 16 112
22Y X =
1
4
9
P
13 13 14 112
例2．某种彩票的开奖是从1，2，３，…，３６中任意选出7个基本号码，凡购买的彩票上的７个号码中有4个或4个以上基本号码就中奖,根据基本号码个数的多少，中奖的等级为
含有基本号码数
４ ５ ６ 7 中奖等级
四等奖
三等奖
二等奖
一等奖
求至少中三等奖的概率.
解．527297
368526
(5)(5;7,7,36)8347680C C P X H C ==== 61729736203
(6)(6;7,7,36)8347680
C C P X H C ====
707297
361
(7)(7;7,7,36)8347680
C C P X H C ==== 故至少中三等奖的概率为 8730
(5)(5)(6)(7)8347680P X P X P X P X ≥==+=+==
例3.甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为12,乙每次击中目标的概率为2
3
,
求:（1）记甲击中目标的次数为X ，求X 的概率分布及数学期望()E X ; （2）求乙至多击中目标２次的概率；
（3）(３)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.
解.(1
()0123 1.58888
E X =?+?+?+?=或()3 1.52E X =?=
(2)乙至多击中目标2次的概率为33
32191()327
C -=
(3）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件Ａ，甲恰击中目标２次且乙恰击中目标0次为事件1B ,甲恰击中目标
3次且乙恰击中目标1次为事件2B ，则12A B B =+,
1B 、2B 为互斥事件，1231121
()()()8278924
P A P B P B =+=
+=
例4．高二（1)班的一个研究性学习小组在网上查知,某珍贵植物种子在一定条件下发芽成功的概率为
1
2
,该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验.
（1）第1组做了5次这种植物种子的发芽实验(每次均种下一粒种子)，求他们的实验至少有３次成功的概率； （2）第二小组做了若干次发芽试验（每次均种下一粒种子）,如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则将继
续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但发芽实验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽实验的次数X 的概率分布列和期望。
解（１）至少有3次发芽成功,即有3次、4次、5次发芽成功，所以所求概率 3
54
55
5
5551111()()()2
2
2
2
P C C C =++=
所以 1111131
()12345248161616
E X =?+?+?+?+?=
【跟踪训练】
1、(201１?广东文数)工人月工资y(元）与劳动生产率x （千元)变化的回归方程为＝50＋80ｘ，下列判断正确的是 ② ①劳动生产率为1千元时,工资为１３０元；②劳动生产率提高1千元,则工资提高80元；③劳动生产率提高1千元，
则工资提高1３0元；④当月工资为210元时,劳动生产率为2千元.
1解答:解：劳动生产率提高1千元，则工资提高8０元,②正确，③不正确． ①④不满足回归方程的意义． 故答案为:②． 2、（201１?广东理数）某数学老师身高1７6ｃｍ,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173ｃm 、170cm 和182c ｍ.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 185 cm.
2解答：解:设Ｘ表示父亲的身高，Y 表示儿子的身高则Y 随X 的变化情况如下;建立这种线性模型： X 173 170 176 １82 Y 170 1７６ 182？ 用线性回归公式,
求解得线性回归方程y=x+３ 当x=1８2时,y ＝18５ 故答案为:185
３、(2０11?广东理数）甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为（ )
A 、
?Ｂ、 C 、??D 、
3解答：解：甲要获得冠军共分为两个情况 一是第一场就取胜，这种情况的概率为
一是第一场失败，第二场取胜,这种情况的概率为×＝ 则甲获得冠军的概率为
故选D
４、(2010广东理数)7．已知随机变量X 服从正态分布N(3.1),且(24)P X ≤≤=０.6826,则ｐ（Ｘ>4）=( ）
A 、0.１5８8
B 、0.1587
C 、0.15８6 D0．1５85 4．Ｂ．1
(34)(24)2
P X P X ≤≤=
≤≤=0.３４１3，(4)0.5(24)P X P X >=-≤≤=0.5-０.34１3=０．1５8７. 5、（2010广东理数）8.为了迎接2０10年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯,它们闪亮的顺序不固定,每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这５个彩灯所闪亮的颜色各不相同．记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是（ ）
A 、 1２０５秒 B.1２0０秒 Ｃ．11９5秒 D.1190秒 ５.C ．每次闪烁时间5秒，共５×12０＝60０s,每两次闪烁之间的间隔为5ｓ，共5×
（120-1）=595ｓ．总共就有600+５9５=１195s ．
６(2009广东文科）广州20１０年亚运会火炬传递在A 、B 、C 、Ｄ、E 五个城市之间进行,各城市之间的路线距离(单位：百公里)见下表．若以A 为起点,E 为终点，每个城市经过且只经过一次,那么火炬传递的最短路线距离是 Ａ.20.6 B.21 Ｃ.２２ D.23 6．Ｂ【解析】由题意知,所有可能路线有6种:
①A B C D E →→→→，②A B D C E →→→→,③A C B D E →→→→,④A C D B E →→→→,⑤
A D
B
C E →→→→,⑥A
D C B
E →→→→,
其中, 路线③A C B D E →→→→的距离最短, 最短路线距离等于496221+++=,
7（2０08广东理数）某校共有学生2０00名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是０.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为（ ） A.24 B ．１8 Ｃ.16 D ．12
７ C 【解析】依题意我们知道二年级的女生有３８0人,那么三年级的学生的人数应该是5003703803773732000=----,即总体中各个年级的人数比例为2:3:3,故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为168
2
64=?
８.(２007广东文数)图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图.公司在年初分配给
A B C D ，，，四个维修点某种配件各５0件.在使用前发现需将A B C D ，，，四个维修点的这批配件分别调整为40，45,54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行,那么要完成上述调整,最少的调动件次（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点
的调动件次为n ）为( ）
A ．18 Ｂ.17 ?Ｃ.16 Ｄ．15
８.C
９（2004广东）一台X 型号的自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是 （A ）0.153６ ?(B)0．1８08??(Ｃ)０．5632??(D)0.９７28
9.D
1０．(2０02广东)如图，小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相联.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A 向结点B 传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为
A.26 Ｂ．２4 Ｃ．２０ D ．1９ １0．Ｄ
１1 (2００5广东）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、４、５、6)，骰子 朝上的面的点数分别为Ｘ、Ｙ，则1log 2=Y X 的概率为（ ) ?Ａ．
61?B.36
5 C ．
12
1
D.
2
1 11．C 解：满足1log 2=Y X 的Ｘ、Y 有(1, ２),(2, 4),(3, ６）这3种情况,而总的可能数有36种，所以12
1
363==
P ，故选C.
一年级 二年级 三年级 女生 373 x y 男生 377 3７0 z A D C B 图3
１2.（2009广东文科）某单位２0０名职工的年龄分布情况如图2，现要从中抽取4０名职工作样本，用系统抽样法,将全体职工随机按1-200编号，并按编号顺序平均分为40组（１-5号，6－10号…,196－20０号).若第5组抽出的号码为22,则第8组抽出的号码应是 。若用分层抽样方法,则40岁以下年龄段应抽取 人．
１２【答案】３７， ２０【解析】由分组可知,抽号的间隔为5,又因为第5组抽出的号码为22,所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为3７. 4０岁以下年龄段的职工数为2000.5100?=，则应抽取的人数为40
10020200
?=人． １3(2008广东文数）．为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查 了２0位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[)45,55，[)[)[)55,65,65,75,75,85，
[)85,95由此得到频率分布直方图如图３，则这２0名工人中一天
生产该产品数量在[)55,75的人数是 ． 1３.【解析】20(0.06510)13??=,故答案为13．
14.（200７广东理数)甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有４个红球、2个白球,乙袋装有1个红球、５个白球。现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，则取出的两球是红球的概率为_＿____（答案用分数表示) 14答案：29 解析：412
669
?=;
15（200４广东）某班委由4名男生和3名女生组成,现从中选出2人担任正副班长。其中至少有一名女生当选的概率
是 。（用分数作答） 15
7
5
１6． (2009广东文科)随机抽取某中学甲乙两班各1０名同学,测量他们的身高(单位:ｃm ）,获得身高数据的茎叶图如图7. (1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差
（3）现从乙班这1０名同学中随机抽取两名身高不低于173ｃm 的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率.
1６【解析】（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160179之间,而乙班身高集中于170180 之间。因此乙班平均身高高于甲班；
(２） 158162163168168170171179179182
17010
x +++++++++=
=
甲班的样本方差为()()()()2222
21[(158170)16217016317016817016817010
-+-+-+-+-
()()()()()2
2
2
2
2
170170171170179170179170182170]+-+-+-+-+-＝5７
（3)设身高为176ｃｍ的同学被抽中的事件为A ；
从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm 的同学有：(1８1，1７3) （１81,176） （１81，1７8） （181,179) （179,173) (1７9，１76） （1７9,１78） （178,173） (１７8, 1７６) (176，1７３）共10个基本事件,而事件A 含有4个基本事件； ()42105
P A ∴=
= ; 17 （
已知在全校学生中随机抽取1名,抽到初二年级女生的概率是0.19.
（1） 求x 的值；
（2） 现用分层抽样的方法在全校抽取4８名学生,问应在初三年级抽取多少名? （3） 已知y ≥２45,z ≥245,求初三年级中女生比男生多的概率. 1７【解析】（１)
0.192000
x
= ∴ 380x = （2）初三年级人数为ｙ+z ＝20０0-(373＋377+3８0+3７0）＝500， 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,应在初三年级抽取的人数为:
48
500122000
?= 名 （3)设初三年级女生比男生多的事件为Ａ ,初三年级女生男生数记为(y ，z ）； 由（2)知 500y z += ，且 ,y z N ∈,基本事件空间包含的基本事件有：
（２４5,255)、(246,254）、(２47，253)、……(255，２45)共1１个 事件A 包含的基本事件有:(２51，２４９）、(2５２，2４８）、（２53，247）、(254,２46)、(255,２45) 共5个 ∴ 5
()11
P A =
18.（2００8广东理数)随机抽取某厂的某种产品2０0件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品２0件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、１万元,而1件次品亏损2万元．设１件产品的利润(单位:万元)为ξ． （1）求ξ的分布列;
（２)求1件产品的平均利润(即ξ的数学期望）；
（3)经技术革新后，仍有四个等级的产品,但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少?
18．解：（1）ξ的所有可能取值有6,2,1,-２;126(6)0.63200P ξ==
=，50
(2)0.25200
P ξ=== 20(1)0.1200P ξ==
=,4
(2)0.02200
P ξ=-== 故ξ的分布列为：
（２)60.6320.2510.1(2)0.02 4.34E ξ=?+?+?+-?= （3）设技术革新后的三等品率为x ,则此时1件产品的平均利润为
()60.72(10.70.01)(2)0.01 4.76(00.29)E x x x x =?+?---+-?=-≤≤
依题意，() 4.73E x ≥,即4.76 4.73x -≥，解得0.03x ≤
所以三等品率最多为3% 19．（2００7广东文数)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨)与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据.
（1）请画出上表数据的散点图;
（2）请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程??y bx
a =+； (３）已知该厂技改前1０0吨甲产品的生产能耗为9０吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产
品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
(参考数值:3 2.543546 4.566.5?+?+?+?=） 19解: (1） 散点图略 (2)
41
66.5i i
i X Y ==∑ 4
222221
345686i
i X
==+++=∑ 4.5X = 3.5Y =
2
66.54 4.5 3.566.563?0.7864 4.58681
b -??-===-?- ; ?? 3.50.7 4.50.35a Y bX =-=-?= 所求的回归方程为 0.70.35y x =+ (3) 100x =, 1000.35y =+
预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低9070.3519.65-=(吨)
20、X 的分布列如下:
现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩,记为ξ. (Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率; (Ⅱ)求ξ分布列; (Ⅲ) 求ξ的数学希望.
20解：(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率为04.02.02.0)7(=?=P ； (Ⅱ） ξ的可能取值为７、８、9、10