3.1.1不等关系与不等式-王后雄学案

张喜林制

3.1.1 不等关系与不等式

课表考纲解读

1.理解不等式的概念，了解实数运算的符号法则及两实数大小顺序之间的关系，

2.熟练掌握比较两实数大小的基本方法作差法.

使用．强一

3.能够运用实数的符号法则及作差法解决一些生活中的问题.通过具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题，解决问题．

状元学习方案

1.再利用不等式性质推证不等式时，要紧扣不等式性质的条件，当不能确定某一性质的条件成立时，不要使用此性质论证，否则不正确.

2.注意整体思想方法的使用。

3.对于开放型题目，我们可以使用赋值法，验证符合条件的不等式，赋值法是解选择题、开放题常用的方法.

此类题目判断符号时，要根据字母的取值范围，进行分类讨论.

教材知识检索

考点知识清单

1．在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的．我们用数学符号连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子，叫做 .

2．如果a-b是正数，则____；如果a>b;则a-b为____；

如果a-b是负数，则____；如果a

如果a-b等于零，则____；如果a=b，则a-b等于____．

上述结论可以写为：a-b>0?；

a-b<0?；

a-b=O?．

要点核心解渎

1．不等关系是本章的核心内容i是比较两个实数或代数式的大小的理论基础．比较法中的作差法，实际上是比较这两个实数（或代数式）的值的大小，而这又归纳为判断它们差的符号，这实际上又归纳到实数运算的符号法则.

2．利用比较法中的作差法来比较两个代数式或实数大小时，注意分情况对变量进行讨论，讨论时做到不重不漏

[注意]本节的重点是不等式的概念及比较两个实数的大小．难点是比较两个代数式的大小．正确理解a≥b或a≤b的含义，掌握比较两个代数式的大小的一般步骤：作差→变形→判断差的符号，是学好本节的关键，

典例分类剖析

考点1 比较两数（代数式）的大小

命题规律

(1)利用作差法比较两个代数式或两个数的大小．

(2)在比较大小中考查分类讨论的思想．

[例1](1)已知R b a ∈,，比较44b a +与33ab b a +的大小；

(2)设R a ∈且,1-=/a 试比较a

+11与a -1的大小． [答案] )()1(3344ab b a b a +-+

))(()()(3333b a b a a b b b a a --=-+-=

)()(222b ab a b a ++-=

,0]4

3)2[()(222≥++-=b b a b a 当且仅当b a =时取等号，.3344ab b a b a +≥+∴

a a a a

+=--+1)1(11)2(2

当a=0时，;111a a

-=+ 当a< -1时，;111,012a a

a a -<+<+ 当a> -1且a ≠0时．.111,012a a

a a ->+>+ [方法技巧](1)作差比较大小的关键是作差后的变形，要重点掌握好配方、平方差公式、通分、因式分解、有理化等解题方法和工具．

(2)利用作差比较两式大小时，如果作差化简所得式子的符号无法确定时，那就要根据该式特征进行分类讨论以确定该式符号，分类讨论思想是一种非常重要的数学思想.

母体迁移1．(1)证明：对任意实数+-=x x x f x 23)(,1总大于.12)(2-+=x x x g

(2)已知a>0且,0,1>>=/n m a 比较m m a a A 1+=和=B n n a

a 1+的大小． 考点2 应用不等式表示不等关系

命题规律

(1)利用不等式来表示实际生活中的不等关系．

(2)在读懂题意，理解题意的基础上建立不等式模型．

[例2]《铁路旅行常识》规定：

“一、随同成人旅行身高1.1～1.4米的儿童，享受半价客票（以下称儿童票），超过1.4米时，应买全价票．每一成人旅客可免费带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．

……

十、旅客免费携带品的体积和重量是每件物品的外部尺寸长、宽、高之和不超过160厘米，杆状物品不超过200厘米，重量不得超过20千克……”

设身高为h （米），物品外部尺寸长、宽、高之和为P(厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系：

必修五 3.1不等式与不等关系(第一课时)教案

§3.1不等式与不等关系 【教学目标】 1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质； 2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法； 3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。 【教学重点】 用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。 【教学难点】 用不等式（组）正确表示出不等关系。 【教学过程】 1.课题导入 在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不等式来表示不等关系。 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。 2.讲授新课 1）用不等式表示不等关系 引例1：限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是： 40v ≤ 引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示 2.5%2.3% f p ≤??≥? 问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。 问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售

不等关系与基本不等式同步练习题

不等关系与基本不等式同步练习题（一） （时间：120分钟 满分：150分） A.基础卷 一、选择题（5×8=40分） 1．函数)2(2 1 >-+ =x x x y 的最小值为( ) A. 2 B ． 3 C ． 4 D ．23 2．不等式0)31(>-x x 的解集是（ ） A ．)31,(-∞ B ． )31,0()0,( -∞ C ． ),31(+∞ D ．)3 1,0( 3．已知,R b a ∈、且0>ab ，则下列不等式不正确的是( ) A ．b a b a ->+ B ．b a b a +<+ C ．b a ab +≤2 D ． 2≥+b a a b 4．已知无穷数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，则有（ ） Ａ． 8 6 64a a a a ≤ Ｂ． 8664a a a a < Ｃ．8664a a a a > Ｄ．8664a a a a ≥ ５．已知01,0<<-> Ｂ．a ab ab >>2 Ｃ．2 ab a ab >> Ｄ．a ab ab >>2 ６.已知,1117,32-≤<-<≤-y x 则1 2 -y x 的取值范围是（ ） Ａ．??? ??-- 92,43 Ｂ．??? ??-0,43 Ｃ．??? ??-0,21 Ｄ．??? ??-0,43 ７．若 ,11 <++b a a b 则b a 与中必（ ） Ａ．一个大于１，一个小于１ Ｂ．两个都大于１ Ｃ．两个都小于１ Ｄ．两个的积小于１ 8．已知,,d c b a >>则（ ） Ａ． d b c a ->- Ｂ． c b d a > Ｃ．a d b c ->- Ｄ．bd ac >

人教a版必修5学案：3.1不等关系与不等式(含答案)

第三章 不等式 §3.1 不等关系与不等式 材拓展 1．不等式的基本性质 对于任意的实数a ，b ，有以下事实： a>b ?a －b>0； a ＝ b ?a －b ＝0； ab>0，m>0，要比较a ＋m b ＋m 与a b 的大小，就可以采用以下方法： a ＋m b ＋m －a b ＝bm －am b (b ＋m )＝m (b －a )b (b ＋m ) . ∵m>0，a>b>0，∴b －a<0， ∴m (b －a )b (b ＋m )<0，∴a ＋m b ＋m b ，b>c ?a>c. (2)a>b ，c>d ?a ＋c>b ＋d. (3)a>b ，c>0?ac>bc. (4)a>b ，c<0?acb>0，c>d>0?ac>bd. (6)a>b>0，n 为正实数?a n >b n . 双向性： (1)a －b>0?a>b ；a －b ＝0?a ＝b ； a －b<0?ab ?bb ?a ＋c>b ＋c. 单向性主要用于证明不等式；双向性是解不等式的基础(当然也可用于证明不等式)． 若把c>0作为大前提，则a>b ?ac>bc ，若把c<0作为大前提，则a>b ?ac

2.2.1 等差数列-王后雄学案

1 / 14 张喜林制 2.2.1 等差数列 教材知识检索 考点知识清单 1．等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 都等于____ ，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数d 叫做等差数列的 . 2．等差数列的单调性：等差数列的公差 时，数列为递增数列；等差数列的公差 时，数列 为递减数列； 等差数列的公差 时，数列为常数列．等差数列不会是 ． 3．等差数列的通项公式=n a 4．要证明数列}{n a 为等差数列，只要证明：当2≥n 时， 要点核心解读 1．等差数列的定义 在等差数列的定义中，要强调“从第二项起”和“同一常数”，这体现了等差数列的基本特征，还要注意公差是“每一项与它前一项的差”，防止将被减数和减数颠倒，如果用数学符号来描述，可叙述为： 若d n d a a n n ,2(]≥=-- 为常数） ，则}{n a 是等差数列．还可以写成：若d N n d a a u n ,1++∈<=- 为常数），则}{n a 是等差数列． [注意] 以上定义中的常数是相对于变量n （项数）而言的． 2．等差中项 如果a 、b 、c 成等差数列，则称b 是a 与c 的等差中项， 由以上定义知：b 是a 与c 的等差中项甘a 、b 、c 成等差数列2 2c a b b c a += ?=+? 3．等差数列的判定 (1)用定义判定：即判定d a a n n =-+1（常数）)(+∈N n 或1 22++=+n n n a a a （即)112n n n n a a a a -=-+++ 是否成立． (2)用通项公式判定：即用}{n a 为等差数列q pn a n +=?q p 、(为常数）判定．

高中数学必修五-不等关系与不等式-教案

第三章不等式 必修5 3.1 不等关系与不等式 一、教学目标 1.通过具体问题情境，让学生感受到现实生活中存在着大量的不等关系； 2.通过了解一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的相关内容； 3.理解比较两个实数（代数式）大小的数学思维过程. 二、教学重点： 用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值. 三、教学难点： 使用不等式（组）正确表示出不等关系. 四、教学过程： （一）导入课题 现实世界和生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系我们知道，两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，等等.人们还经常用长与短，高与矮，轻与重，大与小，不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系. 在数学中，我们用不等式来表示这样的不等关系.

提问： 1.“数量”与“数量”之间存在哪几种关系？(大于、等于、小于). 2.现实生活中，人们是如何描述“不等关系”的呢？（用不等式描述） 引入知识点： 1.不等式的定义：用不等号<、>、≤、≥、≠表示不等关系的式子叫不等式. 2.不等式a b ≥的含义. 不等式a b ≥应读作“a 大于或者等于b ”，其含义是指“或者a >b ，或者a =b ”，等价于“a 不小于b ，即若a >b 或a =b 之中有一个正确，则a b ≥正确. 3.实数比较大小的依据与方法. （1）如果a b -是正数，那么a b >；如果a b -等于零，那么a b =；如果a b -是负数，那么a b <.反之也成立，就是（a b ->0?a >b ；a b -=0?a =b ；a b -<0?a

不等关系与不等式经典教案

不等关系与不等式 【学习目标】 1．了解不等式(组)的实际背景． 2．掌握比较两个实数大小的方法． 3．掌握不等式的八条性质． 【学法指导】 1．不等关系广泛存在于现实生活中，应用不等式(组)表示不等关系实质是将“自然语言”或“图形语言” 转化成“数学语言”，是用不等式知识解决实际问题的第一步．只需根据题意建立相应模型，把模型中的量具体化即可． 2．作差法是比较两个数(或式)大小的重要方法之一，可简单概括为“三步一结论”，其中关键步骤“变形”要彻底，当不能“定号”时注意分类讨论． 3．不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据，应用时每步都要做到等价变形． 一、知识温故 a－b＞0?； a－b＝0?； a－b＜0?. 3．常用的不等式的基本性质 (1)a>b?b a(对称性)； (2)a>b，b>c?a c(传递性)； (3)a>b?a＋c b＋c(可加性)； (4)a>b，c>0?ac bc；a>b，c<0?ac bc； (5)a>b，c>d?a＋c b＋d； (6)a>b>0，c>d>0?ac bd； (7)a>b>0，n∈N，n≥2?a n b n； (8)a>b>0，n∈N，n≥2?n b. 二、经典范例 问题探究一实数比较大小 问题1(实数比较大小的依据) 在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左 边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示可以看出a，b之间具有以下性质：

如果a－b是正数，那么； 如果a－b是负数，那么； 如果a－b等于零，那么. 以上结论反过来也成立，即a－b＞0?a＞b；a－b＜0?a＜b；a－b＝0?a＝b. 问题2(作差法比较实数的大小) 向一杯a克糖水中加入m克糖，糖水变得更甜了．你能把这一现象用一个不等式表示出来吗？并证明你的结论． 问题探究二不等式的基本性质 问题3在实数大小比较的基础上，可以给出不等式八条基本性质的严格证明．证明时，可以利用前面的性质推证后续的性质． 请同学们借助前面的性质证明性质6： 如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.

1.3 简单的逻辑连结词-王后雄学案

1.3 简单的逻辑联结词 教材知识检索 考点知识清单 1．“p 且q ”就是用联结词“ ① ”把命题p 和命题q 联结起来，得到的新命题． 2．“p 或q ”就是用联结词“ ② ”把命题p 和命题q 联结起来，得到的新命题． 3．对一个命题p ③ ，得到的新命题，记作ip ，读作“ ④ ”或“ ⑤ ”． 4．已知p 、q 的真假时，常用下列表格判断“p 且q ”“p 或q ”“非p ”的真假． 要点核心解读 一、逻辑联结词“且” 1．定义：用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作,q p ∧读作”，且q p 其中符号“∧”读作“合取”． 2．判断命题“p 且q”的真假：当p 、q 都是真命题时，“p 且q”为真命题；当p 、q 两个命题中只要有一个命题为假命题时，“p 且q”就为假命题． [注意]．逻辑联结词“且”与集合中“交集”的概念有关，与A x x B A x ∈=∈|{ 且}B x ∈中的“且”意义相同，即”“A x ∈”“B x ∈这两个条件都要满足， 举一个与“且”有关的实际例子：电子保险门在“钥匙插入”且“密码正确”两个条件都满足时，才会开启，相应的电路，就叫与门电路． 二、逻辑联结词“或” 1．定义：用逻辑联结词“或”把命题 p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作,q p ∨读 作“p 或q”，其中符号“∨”读作“析取”． 2．判断命题“p 或q”的真假：当p 、q 两个命题中，只要有一个命题为真命题时，“p 或q”就为真命题；当p 、q 两个命题都为假命题时，“p 或q”为假命题． [注意] 对“或”的理解，可联想并集的概念，”“B A x ∈是指”“A x ∈或”“B x ∈其中至少有一 个是成立的，即为”“A x ∈且”B x ?还可以为A x ?且”B x ∈也可以为”“A x ∈且”B x ∈逻辑联结词中 的“或”的含义与“并集”中的“或”的含义是一致的，它们都不同于生活用语中的“或”的含义，生活

知识讲解_不等关系与不等式

不等关系与不等式 编稿：张希勇 审稿：李霞 【学习目标】 1．了解实数运算的性质与大小顺序之间的关系； 2．会用差值法比较两实数的大小； 3．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题. 【要点梳理】 要点一、符号法则与比较大小 实数的符号： 任意x R ∈，则0x >（x 为正数）、0x =或0x <（x 为负数）三种情况有且只有一种成立. 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：0,00a b a b >>?+>； 0,00a b a b <>?>； 0,00a b ab < ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言：0,00a b ab >?>； ②0b a b a -,a b =,a b <三种关系有且只有一种成立. 要点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系.它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据.要点二、不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： (1) 对称性：a>b b

(2)传递性：a>b, b>c a>c ? (3) 可加性：a b a c b c >?+>+ (c ∈R) (4) 可乘性：a>b ，?? ????>bc ac c bc ac c bc ac c 000运算性质有： (1)可加法则：,.a b c d a c b d >>?+>+ (2) 可乘法则：,a b>0c d>0a c b d>0>>??>? (3)可乘方性：*0,0n n a b n N a b >>∈?>> (4) 可开方性：a b 0,n N ,n 1+>>∈>?>要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据. 要点三、比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式a 、b ，可以作差a b -后比较a b -与0的关系，进一步比较a 与b 的大小. ①0b a b a ->?>； ②0b a b a -?>； ②1b a a b b 且b>c ，则a>c （实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量. 利用函数的单调性比较大小 若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小. 作差比较法的步骤： 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”； 第三步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于0； 最后下结论. 要点诠释：概括为：“三步一结论”.这里“定号”是目的，“变形”是关键过程.

不等关系与不等式-教学设计

不等关系与不等式（第一课时） 一、教学任务分析 1、感受不等关系的普遍存在 通过一系列的具体情境，使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系。 2、利用不等式（组）表示实际问题中的不等关系 通过具体问题情境，让学生学习如何利用不等式（组）研究及表示不等关系，进一步理解不等式（组）刻画不等关系的意义和价值。 3、初步掌握运用作差比较法比较实数和代数式的大小。 二、教学重点和难点 重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）刻画不等关系的意义和价值。 难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。 三、教学基本流程

四、教学情景设计

1、引入：章头图及古诗《题西林壁》引入，介绍不等量关系也是自然界中存在的基本数量关系，它们在现实世界和日常生活中大量存在，在数学研究和数学应用中也起着重要的作用，也正是实际问题的需要我们要研究不等量关系。介绍本章将要研究表示不等量关系的不等式的基本知识。 设计意图：使学生体会不等关系的普遍存在，了解学习不等式的意义。 2、创设情境，让学生感受生活中的不等关系。 师：多媒体出示情景：（1）交通标志(限速、限高、限宽)；（2）商家打折海报（一折起、低至几折）；（3）产品含量指标。问：表示什么含义？怎么表示其中的不等关系？ 生：分析各种不等关系，口答并尝试用不等式（组）表示。 师：引导学生准确表述，给出不等式定义，板书学生口答的各问题中不等式（组）。 设计意图：进一步让学生感受生活中的不等关系，知道用不等式（组）表示这种不等关系。 3、知识探究一：具体情境中如何用不等式研究及表示不等关系。 师：多媒体出示问题1（销售收入问题）、2（实际安排生产问题）。 学生：独立思考后，与本组同学交流讨论结果。完成后交流展示，小组代表板书结果，并说明式子的含义。 师：点评学生结果，找有不同结果的小组讲解不同方法或补充，引导学生分析比较。 设计意图：问题方式给出，强化学生的问题意识，使学生在具体问题情境中经历如何利用不等式研究及表示不等关系。小组合作探究，使学生交流对于问题的认识。展示不同结果，使学生认识思考问题严谨性和不同角度。师最后介绍两问题中反映的生产要求如何解决，是本章后续章节会解决的问题。激发学生学习欲望，体会数学知识与生活的密切相关。 4、知识探究二：比较实数和代数式大小的方法——作差法。 生：结合学案上知识探究二中所填结果，与同组学生交流结论。 师：提问引导学生表述：要比较两数或代数式大小，可以让两数或两式相减，比较结果和0的大小。若结果大于0，则前者大于后者；若……。 设计意图：让学生分析作差法具体做法，明确这种比较大小的方法如何运用。 5、课堂练习：作差法比较代数式的大小。 生：可独立完成，也可与同组同学交流，在规定时间完成。 师：巡视，指导学生疑难处，找完成好的两生板演结果，并让板演学生讲解。点评学生思路，进一步总结作差法中变形结果的形式：

学案29：不等关系与不等式

学案29：不等关系与不等式 知识梳理： 一．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a － b ＞0?a >b ；a －b ＝0?a ＝b ；a －b ＜0?a b ?ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ?ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)． [试一试]1．(2013·北京高考)设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1b C ．a 2>b 2 D. a 3>b 3 2. 12－1 ________3＋1(填“>”或“<”)． 四.方法：1．不等式的倒数性质 (1)a >b ，ab >0?1a <1b ；(2)a <0b >0,0b d ；(4)0

(1)真分数的性质：b a b －m a －m (b －m >0)； (2)假分数的性质：a b >a ＋m b ＋m ；a b 0)． [练一练]若00，则 b ＋ c a ＋c 与a ＋c b ＋c 的大小关系为________． 1.已知a 1，a 21212 ) A ．M N C ．M ＝N D ．不确定 2．若实数a ≠1，比较a ＋2与31－a 的大小． [典例] (1)(2014·太原诊断)“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．既不充分也不必要条件 C ．充分必要条件 D ．必要不充分条件 (2)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋b c ＜0；③a －c ＞b －d ；④a ·(d －c )＞b (d －c )中成立的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [针对训练]若a >b >0，则下列不等式不成立的是( ) A.1a <1b B ．|a |>|b | C ．a ＋b <2ab D.????12a

3.4不等式的实际应用-王后雄学案

张喜林制 3.4 不等式的实际应用 教材知识检索 考点知识清单 1．在许多实际问题中，需要设 ，列 求解． 2．解有关不等式的应用题时，首先要用 表示题中 ，然后由题中给出的 关系，列出 关于未知数 ，解所列出的关于 ，写出 要点核心解读 1．在不等式的应用中建立不等式的主要途径 (1)利用问题的几何意义；(2)利用判别式；(3)利用函数的有界性；(4)利用函数的单调性；(5)利用均值不等式等，只要建立起数学模型，问题就不难解决了． 2．解答不等式应用题的一般步骤 解答不等式应用题，一般可分为如下四步： (1)阅读理解材料：应用题所用语言多为“文字语言，符号语言，图形语言”并用，我们要细心领悟商题的实际背景，分析各八量之间的关系，形成思路，想办法把实际问题抽象成数学模型。 (2)建立数学模型：根据题意，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且建立所得数学模型和已知数学模型的对应关系埘^便确立下一步的努力方向。 (3)讨论不等关系：根据(2)中建立起来的数学模型和题目要求，讨论和结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值．(4)作出同题结论：根据(3)中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论。 典例分类剖析 考点1 作差法解决实际问题 命题规律 (1)利用作差法原理，即b a b a >?>-0解决实际中的一些应用问题． (2)往往以“速度问题，提价、降价问题等”来考查运用作差法解决实际问题的能力． [例1] 现有A 、B 、C 、D 四个长方体容器，A ，B 的底面积为,2 a 高分别为a 和 b ，C ，D 的底面积均为 ,2b 高分别为a 和b （其中a ≠b ） ．现规定一种游戏规则：每人一次从四个容器中取两个．盛水多者为胜，问先取者有没有必胜的方案？若有的话有几种？ [解析】 依题可知A ，B ，C ，D 四个容器的容积分别为,3a .,,322b ab b a 按照游戏规则，问题可转化

不等关系与基本不等式同步练习题

a 6 Ｂ． Ｃ． Ｄ． ６.已知 - 2 ≤ x < 3,-17 < y ≤ -11, 则 的取值范围是（ ） Ａ． -? 3 2 ? ? 3 ? ? 1 ? ?3,- ? Ｂ． - ,0 Ｃ． - ,0 Ｄ． - ,0 ? ??Ａ． a - c > b - d Ｂ． a 不等关系与基本不等式同步练习题（一） （时间：120 分钟 满分：150 分） A.基础卷 一、选择题（5×8=40 分） 1．函数 y = x + 1 ( x > 2) 的最小值为( x - 2 ) A. 2 B ． 3 C ． 4 D ． 3 2 2．不等式 x (1 - 3x) > 0 的解集是（ ） 1 1 1 1 A ． (-∞, ) B ． (-∞,0) (0, ) C ． ( ,+∞) D ． (0, ) 3 3 3 3 3．已知 a 、b ∈ R, 且 ab > 0 ，则下列不等式不正确的是( ) A ． a + b > a - b B ． a + b < a + b C ． 2 ab ≤ a + b D ． b a + ≥ 2 a b 4．已知无穷数列 { n }是各项均为正数的等差数列，则有（ ） Ａ． a 4 ≤ a 6 a a ５．已知 a < 0,-1 < b < 0 ，则 a, ab, ab 2 的大小关系是（ ） Ａ． a > ab > ab 2 Ｂ． ab 2 > ab > a Ｃ． ab > a > ab 2 Ｄ． ab > ab 2 > a x 2 y - 1 ? ? 4 9 ? ? 4 ? ? 2 ? ? 4 ? ７．若 ab + 1 a + b < 1, 则 a 与 b 中必（ ） Ａ．一个大于１，一个小于１ Ｂ．两个都大于１ Ｃ．两个都小于１ Ｄ．两个的积小于１ 8．已知 a > b , c > d , 则（ ） b > Ｃ． c - b > d - a Ｄ． ac > bd d c

不等关系与不等式导学案

不等关系与不等式导学案 【学习目标】能用不等式（组）正确表示出不等关系, 掌握不等式的基本性质； 【重点难点】作差法比较两实数大小. 【学习过程】 1、用不等式表示不等关系 例1某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示. 变式训练1： （1）b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再加入m克糖（m＞0），则糖水更甜了，试根据这个事实写出一个不等式 . （2）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高 0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不 等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 例2 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？变式训练2： 某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式． 2、不等式的基本性质 （1）, a b b c a c >>?>（2）a b a c b c >?+>+ （3）,0 a b c ac bc >>?>（4）,0 a b c ac bc >>?+>+；（6）0,0 a b c d ac bd >>>>?>； （7）0,,1n n n n a b n N n a b a b >>∈>?>> 3、两代数式比较大小 a b a b ->?>0 a b a b -=?=0 a b a b -

2.2 超几何分布-王后雄学案

张喜林制 2.2 超几何分布 教材知识检索 考点知识清单 1．-般地，若一个随机变量X 的分布列为,)(N r n M N r M C C C r X P --==其中},,min{,,,3,2,1,0M n l l r == ,,,,,+∈≤≤N N M n N M N n 则称X 服从超几何分布，n N r n M N r M C C C r X P --==)(中的N 代表 ，M 代表 ，n 代表 ，r 代表 2．对一般情形，一批产品共N 件，其中有M 件次品，从中随机取出的n 件产品中，次品数x 的概率分布如下表所示： 则① ，② ，③ ，④ ． 要点核心解读 1．超几何分布的概念 (1)-般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件}{r X =发生的概 率为==)(r X P n N r n M N r M C C C --,,,2,1,0l r =（其中},,min{n M l =且,,,n N M N n ≤≤),,+∈N N M 称该分布列为超几何分布列，如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布． (2)超几何分布这一模型在高考、统考中应用广泛，在使用时要注意以下几点： ①可以借助概率分布，观察其中的规律，再把这种规律推广到一般情形，即求出从含有M 件次品的 )(M N N ≥件产品中任取n 件，取到次品数X 的概率分布，而不必生搬硬套公式（容易记错）． ②要注意解释超几何分布的引入背景．如“在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品……”，这里“任取n 件”等价于从所有的产品中依次不放回地任取n 件， ③思考在一般情况下表示次品件数的随机变量x 的取值范围是什么，以得到概率分布列的完整的解析 表达式==)(r X P ,,,2,1,0,l r C C C n N r n M N r M =--其中}.,min{M n l =解题时要标明随机变量的取值范围． 2．超几何分布的应用 (1)超几何分布是一种常见的随机变量的分布，要熟记公式，正确应用公式解题．

不等关系与不等式说课

课题：3．1 不等关系与不等式(1)说课稿 教材：人教A版必修（5） 各位评委、各位老师:大家好！ 我叫。。。。。,来自.。。。。今天我说课的内容是《不等关系与不等式》（第一课时）。下面我将围绕本节课“教什么？”、“怎样教？”以及“为什么这样教？”三个问题，从教材分析、学情分析、教法学法、教学过程和教学评价五个方面逐一加以分析和说明。 一、教材分析 1、教材所处地位、作用 不等式与方程、函数、三角等内容有着密切的联系.在高考题中不等式常与其他知识交汇呈现，因此不等式在高考中占有比较重要的地位。而本节课是本章的起始课，学好本节课是学习本章的基础。通过学习有助于学生认识到学习不等关系及不等式的必要性和重要性,在具体情境中感受并由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望,并且为进一步学习后面的内容起了良好的铺垫作用. 2、教学目标 根据教学大纲要求、高考考试大纲说明、新课程标准精神和学生心理认知特征，我确定了三个层面的教学目标： 知识与技能：使学生感受现实世界中存在大量的不等关系；理解不等式（组）的实际背景；掌握作差比较法。 过程与方法：经历从实际情景的不等关系中抽象出不等式模型的过程,学会从实际问题分析问题、解决问题的方法 情感态度与价值观：则是让学生感受数学源于生活，用于生活，并培养严谨的思维习惯. 3、重点与难点 根据上述教学目标，我认为本节课的重点应该是： 教学重点：用不等式(组)表示实际问题中的不等关系，理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值，并初步掌握作差比较法。 而考虑到学生实际应用能力上的欠缺，那么用不等式或不等式组准确地表示出不等关系，就成为本节课的一个难点，并且在两式作差变形上的灵活度学生也难以把握，所以作差比较法的应用则是另一个难点。 二、学情分析 教学应走在发展的前面，教学创造着最近发展区，我认为对学生现有发展水平的充分了解对我们的教学至关重要。所以我对学生的学情作了如下分析 第一，初中已学简单的不等式；第二，会比较两数的大小；第三，具备“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有一定的抽象概括能力、数学建模能力和合情推理能力． 三、教法与学法 根据《新课标》中“坚持启发式，反对注入式”的教学要求，及基于本节课不等式的教学要着眼于与实际问题的联系. 在教学中我将建立“教师引导、自主探究、合作学习”的教学模式,在引导学生经历观察、思考、探究的过程中，重视让学生从问题中尝试、提炼、总结、运用，从而培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力.而且在鼓励学生主动参与的同时，也不忽视教师的主导作用，主要教会学生清晰的思维和严谨的推理。 为了更好地体现课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，在本节课的教学过程中，我将紧紧围绕教师组织——启发引导，学生探究——交流发现，组织开展教学活动。我设计了以下六个环节，层层深入，在教学中注意关注整个过程和全体学生，充分调动学生积极参与教学过程的每个环节。 四、教学过程 1、创设情景，引出问题 神七宇宙飞船发射升空，（观看视频小短片） 设计意图：这样通过精彩回放，吸引学生，拉近老师与学生之间的距离，充分调动学生的学习积极性。

5第五讲 不等关系与基本不等式(教师版) - 副本 - 副本

第一课时：不等式关系与不等式 知识点一 不等关系 思考 限速40km /h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km /h ，用不等式如何表示？ 答案 v ≤40. 梳理 试用不等式表示下列关系： (1)a 大于b a ＞b (2)a 小于ba b ?a －b >0；a ＝b ?a －b ＝0； a b ?b b ，b >c ?a >c (传递性)； 第三节.不等关系与基本不等式 基本不等式

(3)a >b ?a ＋c >b ＋c (可加性)； (4)a >b ，c >0?ac >bc ；a >b ，c <0?ac b ，c >d ?a ＋c >b ＋d ； (6)a >b >0，c >d >0?ac >bd ； (7)a >b >0?a n >b n (n ∈N ＋)； (8)a >b >0n ∈N ＋)． 类型一 用不等式(组)表示不等关系 例1 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 考点 用不等式(组)表示不等关系 题点 用不等式(组)表示不等关系 解 提价后销售的总收入为? ?? ?? 8－x －2.50.1×0.2x 万元， 那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式? ?? ?? 8－x －2.50.1×0.2x ≥20. 反思与感悟 数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时： (1)要先读懂题，设出未知量； (2)抓关键词，找到不等关系； (3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范． 跟踪训练1 某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种．按照生产的要求，600mm

2.3.2 等比数列的前n项和-王后雄学案

张喜林制 2.3.2 等比数列的前n 项和 教材知识检索 考点知识清单 1．等比数列}{n a 的前n 项和为,n S 当公比1=/q 时，=n s = 当q=l 时，=n S 2．若数列}{n a 的前n 项和),1(n n q p s -=且,1,0=/=/q q 则数列}{n a 是 3．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中共有n n S q n a a ,,,,1五个量，在这五个量中 4．在等比数列中，若项数为偶s N n n ),(2+∈与奇S 分别为偶数项与奇数项的和，则=÷奇偶S S 5．数列}{n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则--n n n n s s s s 32,,,,2 n s 仍构成 要点核心解读 1．等比数列前n 项和公式 (1)前n 项和公式的导出， 解法一：设等比数列 ,,,,,321n a a a a 它的前n 项和是 ?+++=n n a a a S 21 由等比数列的通项公式可将n S 写成 112111-++++=n n q a q a q a a s ① ①式两边同乘以q ，得 .131211n n q a q a q a q a qs ++++= ② ①一②，得,)1(11n n q a a S q -=- 由此得1=/q 时，q q a s n n --=1)1(1 ,11-=n n q a a

所以上式可化为q q a a s n n --=11 当q=l 时，?=1na s n 解法二：由等比数列的定义知?====-q a a a a a a n n 1 2312 当1=/q 时，,12132q a a a a a a n n =++++++- 即?=--q a S a s n n n 1 故当1=/q 时，q q a q q a a S n n n --=--=1)1(111 当q=l 时，?=1na s n 解法三：112111-++++=n n q a q a q a a S )(21111-++++=n q a q a a q a 11-+=n qs a ).(1n n a s q a -+= 当1=/q 时，q q a q q a a s n n n --=--=1)1(111 当q=l 时，?=1na S n (2)注意问题， ①上述证法中，解法一为错位相减法，解法二为合比定理法，解法三为拆项法．各种解法在今后的解题中都经常用到，要用心体会， ②公比为1与公比不为1时公式不同，若公比为字母，要注意分类讨论． ③当已知n q a ,,1时，用公式,1)1(1q q a S n n --=当已知,,1q a n a 时，用公式q q a a S n n --=11 ④在解决等比数列问题时，如已知n n s q n a a ,,,,1中的任意三个量，可由通项公式或前n 项和公式求解其余两个量． (3)等比数列前n 项和的一般形式 一般地，如果q a ,1是确定的，那么--=--=q a q q a S n n 11)1(11,11n q q a -设,11q a A -=则上式可写为 ?=/-=)1(q Aq A s n n

不等关系与不等式的复习 教案

一、复习预习 教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容二、知识讲解 考点/易错点1 比较两个实数的法则 设a，b∈R，则 （1）a－b＞0?a＞b； （2）a－b＝0?a＝b； （3）a－b＜0?a＜b. 考点

考点(1)倒数性质 ①a >b ，ab >0?1a <1 b . ②a >b >0,0b d . ③0b >0，m >0，则 ①真分数的性质：b a b －m a －m ( b －m >0)． ②假分数的性质： a b >a ＋m b ＋m ；a b 0). 三、例题精析 【例题1】 【题干】(1)若x 0，b >0且a ≠b ，试比较a a b b 与a b b a 的大小． 【解析】(1)(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y ) ＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y ) ∵x 0，x －y <0，

∴－2xy (x －y )>0， ∴(x 2 ＋y 2 )(x －y )>(x 2 －y 2 )(x ＋y )． (2)根据同底数幂的运算法则． aabb abba ＝a a －b ·b b －a ＝(a b )a －b ， 当a >b >0时，a b >1，a －b >0， 则(a b )a －b >1，于是a a b b >a b b a . 当b >a >0时，01，于是a a b b >a b b a . 综上所述，对于不相等的正数a 、b ，都有a a b b >a b b a . 【点评】比较大小的常用方法： (1)作差法 一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配 方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都 为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法 一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特值法 若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可以用特值法探究 思路，其实质就是利用特殊值判断． 【例题2】 【题干】对于实数a 、b 、c ，判断下列命题的真假． (1)若a >b ，则ac >bc ； (2)若a >b ，则ac 2>bc 2； (3)若a ab >b 2； (4)若a 1 b . 【解析】(1)因未知c 的正负或是否为零，无法确定ac 与bc 的大小，所以是假命题． (2)因为c 2≥0，所以只有c ≠0时才能正确．c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以是假命题． (3)a ab ；a b 2，命题是真命题．

(浙江专用)2021版新高考数学一轮复习第七章不等式1第1讲不等关系与不等式教学案

第七章不等式 知识点 最新考纲 不等关系与不等式了解不等关系，掌握不等式的基本性质. 一元二次不等式及其解法了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，会解一元二次不等式. 二元一次不等式(组)与简单的线性 规划问题了解二元一次不等式的几何意义，掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系，并会求解简单的二元线性规划问题. 基本不等式 ab≤a＋b 2 (a，b＞0) 掌握基本不等式ab≤ a＋b 2 (a，b＞0)及其应用. 绝对值不等式 会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式． 了解不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. 1．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?ab，ab>0?1 a < 1 b .

②a <0b >0，0b d . ④0b >0，m >0，则 ①b a b －m a －m (b －m >0)． ②a b > a ＋m b ＋m ；a b 0)． [疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a 1，则a >b .( ) (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( ) (4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( ) (5)同向不等式具有可加性和可乘性．( ) (6)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化] 1．(必修5P74练习T3改编)若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2 －b 2 >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选A.a －b >0?a >b ?a >b ?a 2 >b 2 ， 但由a 2 －b 2 >0?/ a －b >0. 2．(必修5P75A 组T2改编) 1 5－2______1 6－5(填“>”“<”或“＝”)． 解析：分母有理化有 1 5－2＝5＋2，1 6－5 ＝6＋5，显然5＋2<6＋5，所以