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郑州市2014届第二次质量检测数学(理)

2014年高中毕业年级第二次质量预测

理科数学参考答案

一、选择题

BADC CABD BCDA 二、填空题

13．1;4 14．21; 15．(,);e e 16．1.2

三、解答题

17．解（Ⅰ）由已知，令p q n == 可得22n n n a a ?= ，------2分

因为0n a > ，所以2n n a = ．------5分（Ⅱ）2n n n b na n ==? ，------6分

1231122232(1)22,n n n S n n -=?+?+?++-+? ① 23412122232(1)22,n n n S n n +=?+?+?++-+? ②

由①-②得：1231122222,n n n S n +-=?++++-? ------8分

即：12(12)

2.12n n n S n +--=-?-------10分

整理可得：1(1)2 2.n n S n +=-?+------12分

18．解（Ⅰ）如图(2):在ABC ?中,由E 、F 分别是AC 、BC 的中点，

所以EF //AB ，

又?AB 平面DEF ,?EF 平面DEF ， ∴//AB 平面DEF ． ------4分

（Ⅱ）以点D 为坐标原点,以直线DB 、DC 、DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系．则

(0,0,1),(100),(22A B C E F ，，）,

(1,0,1),(AB BC =-=- 11),(22DE DF ==

设BP BC λ= ，则(1,1)AP AB BP λ=+=--

， –---7分

注意到1

1033

AP DE AP DE BP BC λ⊥??=?=?= ，

∴在线段BC 上存在点P ,使AP ⊥DE ． ------9分

（Ⅲ）平面CDF 的法向量(0,0,1)DA = ，设平面EDF 的法向量为(,,)n x y z =

，

则0,0,DF n DE n ??=???=??

即0,0,

x z ?+=?+=

取(3,n =

，----10分

cos =

． ---12分 19．解（Ⅰ）设印有“美丽绿城行”的球有n 个,同时抽两球不都是“美丽绿城行”标志为事件A ,

则同时抽取两球都是“美丽绿城行”标志的概率是226(),n

C P A C = ------3分

由对立事件的概率: ()P A =4

1().5

P A -= 即2261()5n C P A C ==，解得 3.n =

------5分

（Ⅱ）由已知，两种球各三个，故η可能取值分别为1,2,3， -----6分

23261(1).5C P C η===------7分 22112

33332222264641

(2)5

C C C C C P C C C C η==?+?=，------9

分

(3)1(1)(2)5

P P P ηηη==-=-==

，则η 的分布列为： ------11分

所以11312

1235555

E η=?+?+?= ．------12分

20．解（Ⅰ）由题知2x ≠±，且12y k x =+，22y k x =-，则3

224

y y x x ?=-+-，

--------2分

整理得,曲线C 的方程为22

1(0)43

x y y +

=≠．-----------5分

（Ⅱ）设MP 与x 轴交于(,0)D t ，则直线MP 的方程为(0)x my t m =+≠，记1122(,),(,)M x y P x y ，由对称性知1122(,),(,)Q x y N x y --，

由223412,x y x my t ?+=?=+?消x 得：222(34)63120m y mty t +++-=，-----7分

所以2248(34)0m t ?=+->

，且1,2y =

故1222

1226,34312,34mt y y m t y y m ?

+=-??+?-??=?+? ------------9分由M N S 、、三点共线知MS NS k k =，即

1244

y y x x -=

--，所以1221(4)(4)0y my t y my t +-++-=,整理得12122(4)()0my y t y y +-+=，----10分

所以222(312)6(4)

034m t mt t m ---=+，即24(1)0m t -=，1t =，

所以直线MP 过定点(1,0)D ，同理可得直线NQ 也过定点(1,0)D ，即四边形MNPQ 两条对角线的交点是定点，且定点坐标为

(1,0)．--------12分

21．解（Ⅰ）由题知()(1)()R x f x x e x -'=-∈，当()0f x '>时，1x <，当()0f x '<时，

1x >，----3分

所以函数()f x 的增区间为(,1)-∞，减区间为(1,)+∞，

其极大值为1

(1)f e

=，无极小值．-----------5分

（Ⅱ）由题知01x <<，当0k ≤时，因为01k

x x

≤<<，由⑴知函数在(,1)

-∞单调递增，

所以()()k

f x f x

>，符合题意；-------7分

当01k <<时，取x k =，可得()(1)f k f >，这与函数在(,1)-∞单调递增不

符；9分

当1k ≥时，因为

1k x x

≥>，由⑴知函数()f x 在(1,)+∞单调递减，所以1()()k f f x x ≤，即只需证1

()()f x f x

>，即证11x x xe e x -->，

即1ln ln x x x x ->--

，12ln 0x x x -+>，令1

()2ln (01)h x x x x x

=-+<<，则22

2221(1)()0x x x h x x x -+--'==-<对01x <<恒成立，

所以()h x 为(0,1)上的减函数，所以()(1)0h x h >=，

所以()()k

f x f x

>，符合题意．-------11分

综上：(,0][1,)k ∈-∞+∞ 为所求．------------12分 22．解（Ⅰ）如图，连结AM ，由AB 为直径可知90AMB ?∠= ，

又CD AB ⊥ ，所以90AEF AMB ?∠=∠=，

因此A E F M 、、、四点共圆． ------4分

（Ⅱ）连结AC ，由A E F M 、、、四点共圆，所以BF BM BE BA ?=? ，------6分在RT ABC ?中，2BC BE BA =? ，------8分

又由44MF BF ==知1,5BF BM == ，所以25BC = ，BC =．---10分

23．解（Ⅰ）圆:cos sin O ρθθ=+，即2cos sin ρρθρθ=+，

故圆O 的直角坐标方程为：220x y x y +--=，------2分

直线:sin 4l πρθ?

?-= ???，即sin cos 1ρθρθ-=，

则直线l 的直角坐标方程为：10x y -+=．------4分（Ⅱ）由⑴知圆O 与直线l 的直角坐标方程，

将两方程联立得220,10x y x y x y ?+--=?-+=?，解得0,

1x y =??=?，------6分

即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为（0,1），------8分

将（0,1）转化为极坐标为1,2π??

???

，即为所求．------10分

24．解（Ⅰ）由()51f x x >+化简可得|2|1x a ->，

即21x a ->或21x a -<-，------2分解得：12a x -<

或1

a x +>，所以，不等式()51f x x >+的解集为11

{|}22

a a x x x -+<>或．------4

分

（Ⅱ）不等式|2|50x a x -+≤等价于525x x a x ≤-≤-，

即52,25x x a x a x ≤-??-≤-? ，化简得,3

7a x a

x ?

≤-????≤??

．------6分若0a < ，则原不等式的解集为{|}7

x x ≤={|1}x x ≤-，此时，7a =- ；

-----8分

若0a ≥ ，则原不等式的解集为{|}3

x x ≤-={|1}x x ≤-，此时，3a = ．

综上所述，7a =- 或3a = ．------10分