【上海市位育中学2015学年第一学期高二数学学科期末考试卷】 一、填空题（本大题满分40分，共有10题，要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）

1、若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m = ． 【答案：1 】

2、直线1

2

y x =

关于直线1x =对称的直线方程是 ． 【答案：220x y +-= 】

3、直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 ．

．

解析：直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=的普通方程为21x =和2

2

(1)1x y -+=，圆心到

直线的距离为11122-=，所以弦长为=】

4、若R θ∈，则直线sin 2y x θ=?+的倾斜角的取值范围是 ． 【答案：30,

,44πππ??

??

????????

】 5、已知双曲线22

22:1x y C a b

-=的焦距为10，点(2,1)P 在C 的渐近线上，则C 的方程

为 ．

【答案：

22

1205

x y -= 解析：设双曲线22

22:1x y C a b

-=的半焦距为c ，则210,5c c ==．

又∵C 的渐近线为b y x a =±

，点(2,1)P 在渐近线上，∴12b

a

=?，即2a b =．

又2

2

2

c a b =+，∴a b ==C 的方程为

22

1205

x y -=． 】

6、若122z z ==，且12z z +=12z z -= ． 【答案：2 】

7、在直角坐标系xOy 中，已知曲线11:12x t C y t =+??

=-?（t 为参数）与曲线2sin :3cos x a C y θ

θ

=??=?（θ

为参数，0a >）有一个公共点在x 轴上，则a = ． 【答案：

3

2

】 8、已知12,F F 分别为双曲线22

:

1927

x y C -=的左、右焦点，点A 在曲线C 上，点M 的坐标为(2,0)，AM 为12F AF ∠的平分线，则2AF = ． 【答案：6

解析：∵12(6,0),(6,0)F F -，由角平分线的性质得11228

24

AF MF AF MF ===， 又122236,6AF AF AF -=?=∴=． 】

9、已知直线:90L x y +-=和圆2

2

:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，,B C 为圆M 上两点，在ABC △中，45BAC ∠=?，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ． 【答案：[]3,6

解析：设(,9)A a a -，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =?，由直线AC 与圆M

有公共点，则d r ≤

，即d ≤

36a ≤≤．】 10、椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上任意两点,P Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ?的最

小值为 ．

【答案：22

22

2a b a b

+ 解析：设()

cos ,sin P OP OP θθ，cos ,sin 22Q OQ OQ ππθθ???

?

?

?±

± ? ? ??

??

???，由于,P Q 在椭圆上，有

2222

21

cos sin a b OP θθ

=+ ①，

22222

1

sin cos a b OQ θθ

=+ ②， ①＋②得

2

2

2

21111

a b

OP

OQ

+

=

+，

于是当OP OQ ==时，OP OQ ?达到最小值22222a b a b +． 】 二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论

是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．） 11、在复平面内，复数2334i

i

-+-（i 是虚数单位）所对应的点位于（ ）

A ． 第一象限

B ． 第二象限

C ． 第三象限

D ． 第四象限

【答案：B 】

12、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y ．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM =（ ）

A ．

B ． 4

C ．

D ．

【答案：C

解析：设抛物线方程为2

2y px =，焦点F ，则23,22

p

MF p =+

=∴=，∴24y x =

，OM ===】

13、设,mn R ∈，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22

(1)(1)1x y -+-=相切，则m n

+的取值范围是（ ） A ．

1??

B ．

(),113,?-∞++∞?

C ．

2?-+?

D ． (),2222,?-∞-++∞?

【答案：D

圆心为(1,1)，半径为1．直线与圆相切，所以圆心到直线的距

离满足

1=，即2

12m n m n mn +??

++=≤ ?

??

，设m n z

+=，即2

1104

z z --≥，解得

2z ≤-2z ≥+】 14、直线143

x y

+=，与椭圆

221169x y +=相交于,A B 两点，该椭圆上点P ，使得PAB ?面

积等于3．这样的点P 共有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个

【答案：B

解析：直线与椭圆的交线长为5．直线方程34120x y +-=．

设点(4cos ,3sin )P θθ．点P 与直线的距离12cos sin 1

5

d θθ+-=，

当02π

θ≤≤

时，12

1)5

d ≤

，1)3PAB S ?≤<，即此时没有三角形面积为3；

当22πθπ<≤

时，121)5

d ≤

，1)PAB S ?≤，即此时有2个三角形面积为3．选B ．】

三、解得题（本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要步骤．） 15、（本题10分）已知复数z 满足22z -=，4

z R z

+∈，求z ． 【解：设,(,)z x yi x y R =+∈，则

222222444()44z x yi x y z z x yi x y i z x y x y x y zz ??

-+

=+=++=++- ?+++??

∵4

z R z

+

∈，∴2

2

40y y x y -=+，又22z -=，∴22(2)4x y -+=， 联立解得，当0y =时，4x =或0x =（舍去0x =，因此时0z =），

当0y ≠

时，1

1x z y =??=±?

=??

，综上所得1234,1,1z z z ===．

】 16、（本题10分）已知以点P 为圆心的圆经过点(1,0)A -和(3,4)B ，线段AB 的垂直平分线交P 于点C 和D

，且CD =P 的方程． 【解：直线AB 的斜率为1k =，AB 中点坐标为(1,2)， 所以直线CD 的方程为2(1)y x -=--，即30x y +-=． 设圆心(,)P a b ，则由P 在CD 上得30a b +-= ①．

又由直径CD =

2

2

(1)40PA a b =∴++= ②．

由①②解得36

a b =-??

=?或5

2a b =??=-?，∴圆心(3,6)P -或(5,2)P -，

∴圆P 的方程为22(3)(6)40x y ++-=或22

(5)(2)40x y -++=．】

17、（本题12分）已知椭圆2

2:14

x G y +=．过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于,A B 两点．

（1）求椭圆G 的焦点坐标；（2）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值． 【解：（1）由已知得2,1a b ==，

∴c =

=，∴椭圆G 的焦点坐标

为

(,0)3,0)．

（2）由题意知，1m ≥．

当1m =时，切线l 的方程为1x =，点,A B 的坐

标分别为,1,?

? ????

，此

时AB =；

当1m =-

时，同理可得AB =； 当1m >时，设切线方程为()y k x m =-，

由22

()

14

y k x m x y =-???+=??得22222(14)8440k x k mx k m +-+-=．

设,A B 两点两点坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则

222121222

844

,1414k m k m x x x x k k

-+==++， 又由l 于圆2

2

1x y +=

1=，即2221m k k =+．

所以

AB === 由于当

1m =±时，AB =，

所以(][),11,AB m =

∈-∞-+∞．

因为23AB m m

=

=

≤+

，当且仅当m =2AB =，所以AB 的最大值为2．】

18、（本题12分）过抛物线2

2(0)y px p =>的对称轴上一点(,0)(0)A a a >的直线与抛物线相交于,M N 两点，自,M N 向直线:l x a =-作垂线，垂足分别为11,M N ． （1）当2

p

a =

时，求证：11AM AN ⊥； （2）记1111,,AMM AM N ANN ???的面积分别为123,,S S S ，是否存在λ，使得对任意的

0a >，都有2213S S S λ=成立．若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

【解：依题意，可设直线MN 方程为1122,(,),(,)x my a M x y N x y =+，则有

111

2(,),(,)M a y N a y --． 由22x my a y px =+??=?

消去x 可得2

220y mpy ap --=，从而有121222y y mp y y ap +=??=-? ①

于是2

1212()22()x x m y y a m p a +=++=+ ②

又由22

11222,2y px y px ==可得()()2

2

12212

2

2

244y y ap x x a p

p

-=

=

= ③

（1）如图1，当2p a =

时，点,02p A ??

???

即为抛物线的焦点，l 为其准线2p x =-， 此时1112,,,22p p M y N y ????

-

- ? ?????

，并由①可得212y y p =-． 证法1：1112(,),(,)AM p y AN p y =-=-，

∴222

11120AM AN p y y p p ?=+=-=，即11AM AN ⊥．

证法2：∵1

112

,AM AN y y k k p p

=-=-，∴11212221AM AN y y p k k p p ==-=-，即11AM AN ⊥．

（2）存在4λ=，使得对任意的0a >，都有2

2134S S S =成立，证明如下：

证明：记直线l 与x 轴的交点为1A ，则1OA OA a ==．于是有

11111121111231112211

(),221

,211

(),

22S MM A M x a y S M N AA a y y S NN A N x a y =

?=+=?=-=?=+

()222

2

21212122

2

131212121212

441()()()4a y y y y a y y S S S x x a x x a y y x a x a y y ??+--??==??+++??++， 由①、②、③代入上式化简可得22

13

4S S S =，所以对任意的0a >，都有22134S S S =恒成立．

】 四、附加题

19设椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>

过M N 两点，O 为坐标原点．是否存

在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且O

A O

B ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求出AB 的取值范围；若不存在，说明理由．

【解：（1）因为椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>

过M N 两点，所以有

2222421611a b a b ?+=???

?+=??，解得2211

8

11

4

a b ?=????=??，即2

284a b ?=??=??，所以椭圆E 的方程为22184x y +=． （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且

O A O B ⊥，设该圆的切线方程为y k x

m

=+，解方程组2218

4y kx m

x y =+??

?+=??得222(12)4280k x kmx m +++-=，

则222222

164(12)(28)8(84)0k m k m k m ?=-+-=-+>，即22

840k m -+>，

122

2

1224122812km x x k m x x k ?

+=-??+?-?=?+?

，

2222222

2

2

12121212222

(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=

+++．

要使OA OB ⊥，需使12120x x y y +=，即22

222

28801212m m k k k --+=++，所以22

3880m k --=，所以22

3808m k -=≥，又22

840k m -+>，所以2

2238

m m ?>??≥??，所以283m ≥

，即m ≥

或m ≤． 因为直线y kx m =+

为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r =

2

22

22

8,381318

m m r r m k ==

==-++

，所求的圆为22

83x y +=

，此时圆的切线方程y kx m =+

都满足m ≥

或m ≤；而当切线斜率不存在时，

切线为x =椭圆

22

184x y +=

的两个交点为33??± ? ???

或33?-± ?

?满足OA OB ⊥． 综上，存在圆心在原点的圆228

3

x y +=

，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且OA OB ⊥．

AB ===

①当0k ≠

时，AB =

因为22

1448k k +

+≥，所以2211

01844

k k

<≤++

，所以3AB <≤，当且仅当

k =“=”； ②当0k =或k

不存在时，AB =

综上，AB

的取值范围是,3???．

【上海市虹口区2014-2015学年度高二第一学期数学期末质量测试】

一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对

得3分，否则得零分.

1．数1与9的等差中项是 .5

2．方程组21

320x y x y +=??-=?

对应的增广矩阵为 .

211320?? ?-??

3．行列式2

4

1

5

21

3

4--k 的元素-3的代数余子式的值为7，则=k .3 4．若131

lim 33(1)

n n n n a +→∞=++，则实数a 的取值范围是 . )2,4(-∈a 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和248,60,n n S S ==则3n S =_______ . 36

6．已知()()126,3,3,8P P --，且12||2||PP PP =，点P 在线段12P P 的延长线上，则P 点的坐标为__________.()12,19-

7. 已知向量、a b 满足==+=1a b a b ，则、a b 的夹角为___________.120? 8．设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞

→a a a n ，则q= .

2

5

1+- 9．执行右边的程序框图，若，则输出的S . 10. 给出下列命题：

① 若02

2

=+，则==；

② 若R k ∈，则0=?k ;

9p =_______=5

2

③ 若//

=;

④ 若两个非零向量

+=+

，则=?⑤ 已知a 、b 、c 是三个非零向量，若0=+b a

=. 其中真命题的序号是 . ①、④、⑤

11．已知1e 、2e 是两个不平行的向量，实数x 、y 满足1212(5)(1)xe y e y e xe +-=++，则 x y +=____________.5

12. 若数列{}n a 是等差数列，首项120142015201420150,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和

0n S >成立的最大自然数n 是___________ .4028

二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个

结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.

13.“11220a b D a b =≠”是“方程组111

222

a x

b y

c a x b y c +=??+=?有唯一解”的 （ ）C

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条

C. 充要条件

D. 既不充分又不必要条件

14．若=)4,5(-，=)9,7(，向量AB 同向的单位向量坐标是 （ ）B

A. )135

,1312(--

B. )135

,1312(

C. )13

5

,1312(-

D. )13

5,1312(-

15．用数学归纳法证明123(21)(1)(21)n n n +++++=++…时，在验证1n =成立时，左边所得的代数式是 （ ）C

A. 1

B. 13+

C. 123++

D. 1234+++

16. 由9个正数组成的矩阵???

?

?

??3332

31

232221

131211a a a a a a a a a 中，每行中的三个数成等差数列，且131211a a a ++、232221a a a ++、333231a a a ++成等比数列，下列四个判断正确的有 （ ）

A

①第2列322212,,a a a 必成等比数列 ②第1列312111,,a a a 不一定成等比数列

③23213212a a a a +≥+ ④若9个数之和等于9，则122≥a A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个

三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．（本题满分8分，第1小题4分，第2小题4分） 已知关于x 的不等式

01

2<+x

a x 的解集为()

b ,1-．求实数a 、b 的值。

解： 原不等式等价于02)(<-+x a x ，即022<-+ax x ……………………4分

由题意得，??

?-=?--=+-2

11b a

b …………………6分

解得1-=a ，2=b ． ……………………8分

18．（本题满分8分）

设｛a n ｝为等差数列，｛b n ｝为等比数列. 已知a 1＝b 1＝1，a 2＋a 6＝b 4， b 2b 6＝a 4. 分别求出10a 和10b ．

解：｛a n ｝为等差数列，｛b n ｝为等比数列，

则有a 2＋a 6＝2a 4，b 2b 6＝b 42．……………………2分

已知a 2＋a 6＝b 4，b 2b 6＝a 4，得，b 4＝2a 4，a 4＝b 42．即 b 4＝2b 42．

又b 4≠0 所以得，b 4＝

21，a 4＝4

1

． ……………………4分 由a 1＝1，a 4＝4

1知｛a n ｝的公差为d ＝41

-，则45)110(110-=-+=d a a ； (6)

分

由b 1＝1，b 4＝2

1知｛b n ｝的公比为213=q ，则81

9110==q b b ………8分

19．（本题满分10分）

一航模小组进行飞机模型实验，飞机模型在第一分钟时间里上升了15米高度。 （1）若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟里,上升的高度都比它前一分钟上升的高度少2米，达到最大高度后保持飞行，问飞机模型上升的最大高度是多少？

（2）若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟上升的高度是它在前一分钟里上升高度的80%，那么这个飞机模型上升的最大高度能超过75米吗？请说明理由。 解：（1）由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成2,151-==d a 的等差数列，则

n

n n n n d n n na S n 16)

2(2

)

1(152)1(21+-=-?-+=-+

= ………………………3分 当8=n 时，64)(8max ==S S n

即，飞机模型在第8分钟上升到最大高度为64米。 ………………………5分 （2）不能超过。 ………………………6分

由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成8.0,151==q b 的等比数列，则

)8.01(752

.0)8.01(151)1(1n n n n q q b S -=-=--= ……………………8分

飞机模型上升的最大高度是这个等比数列的各项和。

即， 758

.0115

1lim 1=-=-=

=∞

→q b S S n n 所以，这个飞机模型上升的最大高度不能超过75米。 ………………………10分

20．（本题满分12分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题4分）

已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a =（1，2）

（1） 若|c |，且a c //，求c 的坐标；

（2） 若|b |=

且b a 2+与b a -2垂直，求a 与b 的夹角； （3） 若(1,1),b a a b λ=+且与的夹角为锐角，求实数λ的取值范围。

解：（1）设),(y x c =，由//

52=可得：

∴ 或

∴)4,2(=c ，或)4,2(--=c …………………4分

（2）由)2()2(-⊥+得，0)2()2(=-?+ …………………5分

即，02322

2

=-?+

03=-?+b a

52=,2

5

θ???200212

2=+=?-?y x x y ???42==y x ???42-=-=y x

0452352=?

-?+?b a ， 所以2

5

-=?b a …………………6分 得，

1cos -==b a θ 由

得，

. …………………8分

（3） )2,1()2,1(++=+?=λλλb a a

由a 与b a λ+的夹角为锐角，得0)(>+?b a a λ

3

5

0421->?>+++λλλ …………………10分

若//λ+得0=λ，所以，),0()0,3

5

(∞+-∈ λ …………………12分

21．（本题满分14分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分）

设x 轴、y 轴正方向的单位向量分别为,，坐标平面上的点n A 满足条件：

j i A A j i OA n

n n -=+=+2,11 ()*N n ∈。

（1） 若数列}{n a 的前n 项和为n s ，且11+?=n n n A A OA s ，求数列}{n a 的通项公式。 （2） 求向量 1+n OA 的坐标，若11+?n A OA ()*

N n ∈的面积11+?n A OA S 构成数列}{n b ，

写出数列}{n b 的通项公式。

（3） 若2-=

n

n

n a b c ，指出n 为何值时，n c 取得最大值，并说明理由。 解：（1） 由题意1211-=?=+n

n n n A A s ① …………………… 2分 当1=n 时，11211=-==s a

当2≥n 时，121

1-=--n n s ②

由 ① — ②得：

1

12)12(12--=---=n n n n a

又当1=n 时，11=a 符合题意，所以

12-=n n a （*

N n ∈） ……………………4分

（不对1=n 的情况进行验证说明的扣1分） （2）解：

],0[πθ∈πθ=

n j

i A A A A OA OA n n n n n )1()12

()111()2221(1

212111-+-=---+++++=+++=+++

所以，)1,12

(1

1n OA n n --=++ …………………… 7分

由当*N n ∈时，11+?n A OA 的顶点坐标分别为：

)1,12()1,1()0,0(111n A A O n n --++、、得，

2

22)22(211

11210

1112

1

1111-+=-+=

--=

++?+n n n S n n n A OA n ………9分 即2

2

2-+

=n b n n （*N n ∈） ……………………10分 （其他方法求出}{n b 通项公式的参照给分）

（3）n

n n n

n

n n n a b c 222222

221-=--+

=-=- ……………………11分

当2n ≥时，112322n n n n n n c c -----=

- 42

n n

-=， ……………………12分

∴ 13n ≤≤时，{}n c 是递增数列，5n ≥时，{}n c 是递减数列，

123456............n

c c c c c c c <<=>>>>>， ……………………13分 ∴当3=n 或4=n 时，n c 取得最大值，8

1

43==c c ……………………14分 （设最大项、解不等式等方式阐述理由的参照给分）