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高考真题-三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换

高考真题-三角函数的概念、诱导公式与三角

恒等变换

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换

2019年

1.（2019北京9）函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是 ________.

2.（2019全国Ⅲ理12）设函数()f x =sin （5

x ωπ

）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：

①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点

③()f x 在（0,

）单调递增 ④ω的取值范围是[1229

510

，)

其中所有正确结论的编号是

A ． ①④

B ． ②③

C ． ①②③

D ． ①③④

3.（2019天津理7）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ω?ω?π=+>><是奇函数，将

()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应

的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π

，且π4g ??= ???3π8f ??

= ???

A.2-

D.2

4.（2019全国Ⅱ理10）已知α∈(0，2π

)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=

A ．1

．

5.（2019江苏13）已知

tan 2

π3tan 4αα=-??+ ??

?，则πsin 24α??+ ??

?的值是_________. 6.（2019浙江18）设函数()sin ,f x x x =∈R .

（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；

（2）求函数22[()][()]124

y f x f x ππ

++ 的值域. 2010-2018年

一、选择题

1．(2018全国卷Ⅲ)若1

sin 3

α=

，则cos2α= A ．89 B ．79 C ．79

D ．89

2．（2016年全国III ）若3

tan 4

α= ，则2cos 2sin 2αα+=

A ．

6425 B ．4825 C ．1 D ．1625

3．（2016年全国II ）若3

cos()45πα-=，则sin 2α=（）

A ．7

25 B ．15 C ．15- D ．725-

4．（2015新课标Ⅰ）sin 20cos10cos160sin10-=

．-

．12- D ．1

5．（2015重庆）若tan 2tan

α=，则

3cos()10sin()

απ

α--＝

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 6．（2014新课标Ⅰ）若0tan >α，则

A ．0sin >α

B ． 0cos >α

C ． 02sin >α

D ． 02cos >α

7．（2014新课标Ⅰ）设(0,)2πα∈，(0,)2

β∈，且1sin tan cos βαβ+=，则

A ．32

αβ-=

B ．22

αβ-=

C ．32

αβ+=

D ．22

αβ+=

8．（2014江西）在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为,,,c b a ，若

32a b =，则

2222sin sin sin B A

-的值为（）

A ．19-

B ．13

C ．1

D ．72

9．(2013新课标Ⅱ)已知2sin 23α=，则2cos ()4

α+=（）

A ．16

B ．13

C ．12

D ．23

10．（2013浙江）已知2

cos 2sin ,=

+∈αααR ，则=α2tan A ．

34 B ．4

3 C ．43- D ．34-

11．（2012山东）若??

???∈2,4ππθ，8732sin =θ，则=θsin

A ．53

B ．54

C ．47

D ．4

12．(2012江西)若

sin cos 1

sin cos 2

αααα+=-，则tan2α=

A ．?34

B ．34

C ．?43

D ．43

13．（2011新课标）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在

直线2y x =上，则cos2θ=

A ．45-

B ．35-

C ．35

D ．45

14．（2011浙江）若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1

cos()43

πα+=

，cos()423πβ-=，则

cos()2

α+

．

．3-

．9

15．（2010新课标）若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则

1tan

21tan 2

α+=- A ．12- B ．12

C ．2

D ．-2

二、填空题

16．(2018全国卷Ⅰ)已知函数()2sin sin 2=+f x x x ，则()f x 的最小值是_____． 17．(2018全国卷Ⅱ)已知sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，则sin()+=αβ___．

18．（2017新课标Ⅱ）函数23()sin 4f x x x =+-

([0,])2

x π

∈的最大值是． 19．（2017北京）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终

边关于y 轴对称．若1

sin 3α=

，则cos()αβ-=___________． 20．（2017江苏）若1

tan()46

πα-=，则tan α= ．

21．（2015四川）=+ 75sin 15sin ． 22．（2015江苏）已知tan 2α=-，()1

tan 7

αβ+=

，则tan β的值为_______． 23．（2014新课标Ⅱ）函数()()()sin 22sin cos f x x x ???=+-+的最大值为____．

24．（2013新课标Ⅱ）设θ为第二象限角，若1tan 42πθ?

?+= ???，则sin cos θθ+=___．

25．（2013四川）设sin 2sin αα=-，(,)2

απ∈，则tan 2α的值是_____．

26．（2012江苏）设α为锐角，若4

cos 65απ?

+= ??

?，则sin 212απ

+ ???的值为．三、解答题

27．（2018江苏）已知,αβ为锐角，4

tan 3

α=

，cos()5αβ+=-．

(1)求cos2α的值； (2)求tan()αβ-的值．

28．（2018浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的

终边过点34

(,)55

P --．

(1)求sin()απ+的值； (2)若角β满足5

sin()13

αβ+=

，求cos β的值．

29．（2017浙江）已知函数22()sin cos cos f x x x x x =--()x ∈R ．

（Ⅰ）求2(

f π

的值；（Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间． 30．(2014江苏)已知),2

(ππ

α∈，5

5sin =

α． (1)求)4

sin(απ

+的值；

(2)求)26

5cos(

απ

-的值． 31．（2014江西）已知函数()()()θ++=x x a x f 2cos cos 22为奇函数，且04=??

??πf ，其

中()πθ，，

0∈∈R a ．（1）求θ，

a 的值；（2）若??

? ??∈-=??? ??ππαα，，

2524f ，求??? ??

+3sin πα的值．

32．（2013广东）已知函数(),12f x x x R π?

?=-∈ ??

?．

(1) 求3f π??

???

的值；

(2) 若33cos ,,252πθθπ??

=∈ ???

，求

6f πθ?

?- ??

?．

33．（2013北京）已知函数21

()(2cos 1)sin 2cos 42

f x x x x =-+

（1）求()f x 的最小正周期及最大值；

（2）若(,)2

απ∈，且()2f α=，求α的值．

34．（2012广东）已知函数()2cos()6

f x x π

ω=+，（其中0ω>，x R ∈）的最小正周

期为10π． (1)求ω的值；

(2)设,[0,]2παβ∈,56(5)35f απ+=-,516

(5)617

f βπ-=,求cos()αβ+的值．

答案 2019年

1.解析：因为2

1cos 411

sin 2cos 422x f x x x -==

=-（）（），

所以f x （）的最小正周期2π4T ==2.解析当[0,2]x ∈π时，,2555x ωωπππ??

∈π+????

，因为()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，所以5265

ωπ

ππ+

<π，所以

ω<

，故④正确，因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，下面判断③是否正确，当(0,

)10x π

∈时，(2),5510x ωωππ+π??+∈????

，

若()f x 在0,10π??

???

单调递增，

则

(2)102ω+ππ<，即3ω<，因为12

ω<

，故③正确．故选D ．

3.解析因为()f x 是奇函数，所以0?=，()sin f x A x ω=.

将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对

应的函数为()g x ，即()1sin 2g x A x ω??

= ???

，

因为()g x 的最小正周期为2π，所以

2212

ωπ

=π，得2ω=，所以()sin g x A x =，()sin 2f x A x =.

若4g π??

= ???

sin 44g A A ππ??=== ???2A =，

所以()2sin 2f x x =

，332sin 22sin 28842f ππ3π????

=?==?= ? ?????故选C ．

4.解析：由2sin 2cos21αα=+，得24sin cos 2cos ααα=.

因为π0,2α??

∈ ???

，所以cos 2sin αα=.

由22

cos 2sin sin cos 1αααα=??+=?

，得sin 5α=.故选B. 5.解析由

tan 23tan()4α

α=-π+，得tan 2

3tan tan 4

1tan tan

ααα=-π+π

-，所以tan (1tan )21tan 3ααα-=-+，解得tan 2α=或1tan 3α=-．

当tan 2α=时，22tan 4

sin21tan 5

ααα==

+，221tan 3cos21tan 5ααα-==-+，

43sin(2)sin2cos cos2sin 444525210

αααπππ+=+=?-?=.

当1tan 3α=-时，22tan 3

sin21tan 5

ααα==-+，221tan 4cos21tan 5ααα-=

=+，

所以34sin(2)sin2cos cos2sin 444525210αααπππ+=+=-?+?=.

综上，sin(2)4

απ

的值是10．

6.解析（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有

sin()sin()x x θθ+=-+，

即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=．又[0,2π)θ∈，因此π2θ=

或3π2

．（2）2

22ππππsin sin 124124y f

x f x x x ?

???????????=+++=+++ ? ? ? ?????????????

????

ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ???

?-+-+ ? ?

?????=+=--????

π1223x ?

?=-

+ ??

?．

因此，函数的值域是[1]22

+． 2010-2018年

1．B 【解析】2217

cos 212cos 12()39

αα=-=-?=．故选B ．

2．A 【解析】由sin 3tan cos 4ααα==，22cos sin 1αα+=，得3sin 5α=，4

cos 5

α=或

3sin 5α=-，4cos 5α=-，所以24

sin 22sin cos 25

ααα==，

则2164864

cos 2sin 2252525

αα+=

，故选A ． 3．D

【解析】因为3cos cos )45πααα??

-=+= ?

，所以sin cos 5αα+=，所以181sin 225α+=

,所以7

sin 225

α=-,故选D ． 4．D 【解析】原式=1

sin 20cos10cos 20sin10sin(2010)sin 302

+=+==

． 5．C 【解析】

3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cos sin

ππαππα+=- 33cos 2tan sin 105102tan

cos

sin

ππππ

-33cos cos 2sin sin

510510sin

cos

πππππ

+= ＝155(cos cos )(cos cos )2

1010101012sin 25πππππ++-3cos

103cos 10

ππ==，选C ． 6．C 【解析】 tan 0α>知α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，

故sin 22sin cos 0ααα=>，选C ． 7．B 【解析】由条件得

sin 1sin cos cos αβ

αβ

+=，即sin cos cos (1sin )αβαβ=+，得sin()cos sin()2παβαα-==-，又因为22ππαβ-<-<，022ππ

α<-<，

所以2

αβα-=

-，所以22

αβ-=

．

8．D 【解析】2222sin sin sin B A A -=22sin 2()12()1sin B b A a -=-，∵32a b

=，∴上式=7

． 9．A 【解析】因为2

1cos 2()1cos(2)1sin 242cos ()4222

ππ

ααπαα++++-+===

，所以2211sin 213cos ()4226

παα-

-+===，选A.

10．C 【解析】由2

2(sin 2cos )(2αα+=可得2222sin 4cos 4sin cos 10sin cos 4

αααααα++=+，进一步整理可得23tan 8tan 30αα--=，解得tan 3α=或1

tan 3

α=-，

于是22tan 3

tan 21tan 4ααα==-

-． 11．D 【解析】由42ππθ??

∈????

，可得],2[2ππθ∈，812sin 12cos 2-=--=θθ，

22cos 1sin =-=

θθ，答案应选D ．

另解：由42ππθ??

∈????

，及sin 2θ，可得sin cos θθ+==

344===+，而当42ππθ??

∈????

，时 θθcos sin >，结合选项即可得4

7cos ,4

sin ==θθ． 12．B 【解析】分子分母同除cos α得：

sin cos tan 11

,sin cos tan 12

αααααα++==--∴tan 3α=-，

∴22tan 3

tan 21tan 4

ααα=

- 13．B 【解析】由角θ的终边在直线2y x =上可得，tan 2θ=，

2222

222cos sin 1tan 3

cos 2cos sin cos sin 1tan 5

θθθθθθθθθ--=-===-++．

14．C 【解析】cos()cos[()()]2442βππβαα+

=+--cos()cos()442

ππβ

α=+- sin()sin()442ππβα++-，而3(,)444πππα+∈，(,)4242

πβππ-∈，

因此sin()43πα+=，sin()423πβ-=，

则1cos()233339

α+

=?+?=． 15．A 【解析】 ∵4cos 5α=-，且α是第三象限，∴3

sin 5

α=-，

∴

1tan 21tan

2αα

-2cos

sin

(cos

sin )2

222

cos sin (cos sin )(cos sin )222222ααα

ααα

++=

--+

221sin 1sin 1cos 2cos sin 22ααααα++===--．

．【解析】解法一因为()2sin sin 2=+f x x x ，所以21

()2cos 2cos 24cos 2cos 24(cos )(cos 1)2

'=+=+-=-+f x x x x x x x ，

由()0'≥f x 得1cos 12≤≤x ，即2233

ππ

ππ-+≤≤k x k ，，

由()0'≤f x 得11cos 2-≤≤x ，即223

πππ++≤≤k x k

或223

πππ--≤≤k x k ，∈Z k ，

所以当23

π=-

x k （∈Z k ）时，()f x 取得最小值，

且min ()(2)2sin(2)sin 2(2)3332ππππππ=-=-+-=-f x f k k k ．

解法二因为()2sin sin 22sin (1cos )=+=+f x x x x x ，所以2223[()]4sin (1cos )4(1cos )(1cos )=+=-+f x x x x x

443(1cos )(1cos )(1cos )(1cos )27

[]344

-++++++?=

≤x x x x ，当且仅当3(1cos )1cos -=+x x ，即1

cos 2

=x 时取等号，

所以227

0[()]4

≤≤f x ，

所以()f x

的最小值为2

． 17．1

-【解析】∵sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，

∴22sin cos 2sin cos 1αβαβ++= ①，

22cos sin 2cos sin 0αβαβ++= ②，

①②两式相加可得

2222sin cos sin cos 2(sin cos cos sin )1ααββαβαβ+++++=，

∴1

sin()2

αβ+=-．

18．1【解析】化简三角函数的解析式，则

(

)2231

1cos cos 44

f x x x x x =--

=-+

=2(cos 12x --+，由[0,]2

x π

∈可得cos [0,1]x ∈

，当cos 2x =时，函数()f x 取得最大值1．

19．7

-【解析】∵角α与角β的终边关于y 轴对称，所以2k αβππ+=+，

所以1

sin sin(2)sin 3

k βππαα=+-==，cos cos βα=-；

222cos()cos cos sin sin cos sin 2sin 1αβαβαβααα-=+=-+=-

2172()139

=?-=-．

20．75【解析】tan()tan

744tan tan[()]445

1tan()tan 44ππ

αππααππα-+=-+==--?． 21

6sin15sin 75sin15cos152sin(1545)2+=+=+=．

22．3【解析】1

tan()tan 7tan tan()32

1tan()tan 17

αβαβαβααβα++-=+-===++-． 23．1【解析】()sin[()]2sin cos()f x x x ????=++-+

sin()cos cos()sin x x ????=+-+

sin()sin x x ??=+-=．∵

x R ∈，所以()f x 的最大值为1．

24．【解析】∵1tan 42πθ?

?+=

可得1tan 3θ=-，∴sin

θθ=

=， sin cos θ

θ+=． 25 sin 22sin cos sin αααα==-，则1cos 2α=-，又(,)2

απ∈，

则tan α=2

2tan tan 21tan 13

ααα-=

==-- 26．

50217【解析】因为α为锐角，cos()6πα+=45,∴sin()6πα+=3

， ∴sin2(,2524)6

αcos2(7

)625πα+=，所以sin(50

217251722]4

(2sin[)12

2=?=

απ

α． 27．【解析】(1)因为4

tan 3

α=，sin tan cos ααα=

，所以4

sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，所以29

cos 25

α=，因此，27cos22cos 125

αα=-=-

． (2)因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．

又因为cos()αβ+=sin()αβ+= 因此tan()2αβ+=-．

因为4

tan 3

α=，所以22tan 24

tan 21tan 7

ααα=

-，因此，tan 2tan()2

tan()tan[2()]1+tan 2tan()11

ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．

28．【解析】(1)由角α的终边过点34(,)55P --得4

sin 5

α=-，

所以4

sin()sin 5απα+=-=．

(2)由角α的终边过点34(,)55P --得3

cos 5

α=-，

由5sin()13αβ+=得12

cos()13

αβ+=±．

由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-

或16cos 65

β=-．

29．【解析】（Ⅰ）由2sin

3π=21

cos 32

π=-，

(

f π

2211()()22=----

得2(

)23

f π

=．（Ⅱ）由22cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得

()cos 222sin(2)6

f x x x x π

=-=-+

所以()f x 的最小正周期是π 由正弦函数的性质得

32222

k x k π

ππ++

+≤≤

，k ∈Z 解得

k x k π

ππ++≤≤

,k ∈Z 所以()f x 的单调递增区间是2[,]63

k k ππ

ππ++(k ∈Z )．

30．【解析】（1）∵()

sin 2ααπ∈π，，，∴cos α==

()

sin sin cos cos sin sin )44

αααααπππ+=++=；

（2）∵2

43sin 22sin cos cos 2cos sin 55

αααααα==-=-=，

∴()()

314cos 2cos cos2sin sin 266

5ααα5π5π5π-=+=+?-=

31．【解析】（1）因为()()()22cos cos 2f x a x x θ=++是奇函数，而2

12cos y a x =+为偶

函数，所以2cos(2)y x θ=+为奇函数，又()0,θπ∈，

得2

θ=．

所以()f x =2sin 22cos x a x -?+（）由04=??

? ??πf ，得(1)0a -+=，即 1.a =-

（2）由（1）得：()1sin 4,2f x x =-因为12sin 425f αα??

=-=- ???

，得4

sin ,5α=

又2

απ??

∈ ??

，，所以3cos ,5

α=-

因此sin sin cos sin cos 333

πππ

ααα??+=+=

32．【解析】（1）() 1.3124f πππ

-==

（2）33cos ,52

θ=由于<θ<2π，

所以4sin 5

θ===-，

因此())6612

f πππ

θθ-=--=

)cos sin )

444

341()52525

πππ

θθθ=-=+=?-?=-

33．【解析】：（1）21

()(2cos 1)sin 2cos 42

f x x x x =-+

1cos 2sin 2cos 42x x x =+11

sin 4cos 422

x x =+

)24

x π

+ 所以，最小正周期242

T ππ

== 当424

x k π

π+

(k Z ∈)，即216

k x ππ

+(k Z ∈)

时，max ()2f x =．（2

）因为())4f παα=+=sin(4)14

α+=，因为

2π

απ<<，所以

9174444

πππ

α<+<

，所以5442ππα+=，即916

α=．

34．【解析】（1）21

105T ππωω==?=．

（2）56334

(5)cos()sin ,cos 352555f ππαααα+=-?+=-?==

516815(5)cos ,sin 6171717

f πβββ-=?==．

4831513

cos()cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=?-?=-．