中考数学压轴题 易错题难题提优专项训练试题
一、中考数学压轴题
1．已知：矩形ABCD 内接于⊙O ，连接 BD ，点E 在⊙O 上，连接 BE 交 AD 于点F ，∠BDC+45°=∠BFD ，连接ED ． （1）如图 1，求证：∠EBD=∠EDB ；
（2）如图2，点G 是 AB 上一点，过点G 作 AB 的垂线分别交BE 和 BD 于点H 和点K ，若HK=BG+AF ，求证：AB=KG ；
（3）如图 3，在（2）的条件下，⊙O 上有一点N ，连接 CN 分别交BD 和 AD 于10点 M 和点 P ，连接 OP ，∠APO=∠CPO ，若 MD=8，MC= 3，求线段 GB 的长．
2．如图所示，在平面直角坐标系中，点(),C m m 在一三象限角平分线上，点(),0B n 在x 轴上，且m=2n -+2n -+4，点A 在y 轴的正半轴上；四边形AOBC 的面积为6 （1）求点A 的坐标；
（2）P 为AB 延长线上一点，//PQ OC ，交CB 延长线于Q ，探究OAP ∠、ABQ ∠、
Q ∠的数量关系并说明理由；
（3）作AD 平行CB 交CO 延长线于D ，BE 平分CBx ∠，BE 反向延长线交CO 延长线于，若设ADO α∠=，F β∠=，试求2αβ+的值．
3．“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，重庆十一中学校以‘大阅读’特色课程实施为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰
富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上认识了很多有趣的数．其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x ，十位上和个位上的数字之和为y ，如果x y =，那么称这个四位数为“和平数”． 例如：1423，14x =+，23y =+，因为x y =，所以1423是“和平数”． （1）直接写出：最小的“和平数”是________，最大的“和平数”是__________； （2）求同时满足下列条件的所有“和平数”： ①个位上的数字是千位上的数字的两倍； ②百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数；
（3）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“和平数”为“相关和平数”． 例如：1423于4132为“相关和平数”
求证：任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数．
4．一种实验用轨道弹珠，在轨道上行驶5分钟后离开轨道，第一颗弹珠弹出后其速度1
y （米/分钟）与时间x （分钟）前2分钟满足二次函数2
1y ax =，后3分钟满足反比例函数
关系，如图，轨道旁边的测速仪测得弹珠1分钟末的速度为2米/分钟． （1）求第一颗弹珠的速度1y （米/分钟）与时间x （分钟）之间的函数关系式； （2）第一颗弹珠弹出1分钟后，弹出第二颗弹珠，第二颗弹珠的运行情况与第一颗相同，直接写出第二颗弹珠的速度2y （米/分钟）与弹出第一颗弹珠后的时间x （分钟）之间的函数关系式；
（3）当两颗弹珠同时在轨道上时，第____分钟末两颗弹珠的速度相差最大，最大相差______；
（4）判断当两颗弹珠同时在轨道上时，是否存在某时刻速度相同？请说明理由，并指出可以通过解哪个方程求出这一时刻．
5．在平面直角坐标系xOy 中，对于点A 和图形M ，若图形M 上存在两点P ，Q ，使得
3AP AQ =，则称点A 是图形M 的“倍增点”．
（1）若图形M 为线段BC ，其中点()2,0B
-，点()2,0C ，则下列三个点()1,2D -，
()1,1E -，()0,2F 是线段BC 的倍增点的是_____________；
（2）若O 的半径为4，直线l ：2y x =-+，求直线l 上O 倍增点的横坐标的取值范
围；
（3）设直线1y x =-+与两坐标轴分别交于G ，H ，OT 的半径为4，圆心T 是x 轴上的动点，若线段GH 上存在T 的倍增点，直接写出圆心T 的横坐标的取值范围．
6．对于平面直角坐标系xOy 中的图形W 1和图形W 2．给出如下定义：在图形W 1上存在两点A ，B （点A ，B 可以重合），在图形W 2上存在两点M ，N ，（点M 于点N 可以重合）使得AM=2BN ，则称图形W 1和图形W 2满足限距关系
(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(0，3)，点P 在线段DE 上运动(点P 可以与点D ，E 重合)，连接OP ，CP ．
①线段OP 的最小值为_______，最大值为_______；线段CP 的取值范直范围是_____； ②在点O ，点C 中，点____________与线段DE 满足限距关系；
(2)如图2，⊙O 的半径为1，直线3y x b =+(b>0)与x 轴、y 轴分别交于点F ，G ．若线段
FG 与⊙O 满足限距关系，求b 的取值范围；
(3)⊙O 的半径为r(r>0)，点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到⊙H 和 K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．
7．∠MON=90°，点A ，B 分别在OM 、ON 上运动（不与点O 重合）．
（1）如图①，AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的平分线，随着点A 、点B 的运动，∠AEB= °
（2）如图②，若BC 是∠ABN 的平分线，BC 的反向延长线与∠OAB 的平分线交于点D ①若∠BAO=60°，则∠D= °．
②随着点A ，B 的运动，∠D 的大小会变吗？如果不会，求∠D 的度数；如果会，请说明理由．
（3）如图③，延长MO 至Q ，延长BA 至G ，已知∠BAO ，∠OAG 的平分线与∠BOQ 的平分线及其延长线相交于点E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO 的度数．
8．如图一，矩形ABCD 中，AB=m ，BC=n ，将此矩形绕点B 顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A 1BC 1D 1，点A 1在边CD 上．
（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D 到点D 1所经过路径的长度；
（2）将矩形A 1BC 1D 1继续绕点B 顺时针方向旋转得到矩形A 2BC 2D 2，点D 2在BC 的延长线上，设边A 2B 与CD 交于点E ，若
161A E EC
=，求n
m 的值．
（3）如图二，在（2）的条件下，直线AB 上有一点P ，BP=2，点E 是直线DC 上一动点，在BE 左侧作矩形BEFG 且始终保持
BE n
BG m
=，设AB=33E 移动过程中，PF 是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
9．已知：如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（6，0），AB=62，点 P 从点 O 出发沿线段 OA 向终点 A 运动，点 P 的运动速度是每秒 2 个单位长度，点 D 是线段 OA 的中点．
（1）求点 B 的坐标；
（2）设点 P 的运动时间为点 t 秒，△BDP 的面积为 S ，求 S 与 t 的函数关系式； （3）当点 P 与点 D 重合时，连接 BP ，点 E 在线段 AB 上，连接 PE ，当∠BPE =2∠OBP 时， 求点 E 的坐标．
10．如图，抛物线2
(40) y ax bx a =++≠与x 轴交于()() 3,0, 4,0A C -两点，与y 轴
交于点B ．
()1求这条抛物线的顶点坐标；
()2已知AD AB =(点D 在线段AC 上)，有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动：同时另一个点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过()t s 的移动，线
段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；
()3在()2的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ,使MQ MC +的值最小?若存
在，请求出点M 的坐标：若不存在，请说明理由．
11．如图，抛物线2
14
y x bx c =
++与x 轴交于点A （-2，0），交y 轴于点B （0，5
2
-
）．直线32y kx =+过点A 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点是D ．
(1) 求抛物线2
14
y x bx c =
++与直线32y kx =+的解析式；
(2)点P 是抛物线上A 、D 间的一个动点，过P 点作PM ∥CE 交线段AD 于M 点. ①过D 点作DE ⊥y 轴于点E ，问是否存在P 点使得四边形PMEC 为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由;
②作PN ⊥AD 于点N ，设△PMN 的周长为m ，点P 的横坐标为x ，求m 关于x 的函数关系式，并求出m 的最大值．
12．如图，已知抛物线y ＝2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-（），B 33,0（）两点，与
y 轴交于点C 0,3（）．
（1）求抛物线的解析式及顶点M 坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找到点P ，使得PAC 的周长最小，并求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、C 重合）．过点
D 作D
E //PC 交x 轴于点E ．设CD 的长为m ，问当m 取何值时，
PDE
ABMC 1
S
S 9
=四边形． 13．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ． （2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值． （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝
1
3
，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．
14．新定义，若关于x ，y 的二元一次方程组①111
222a x b y c a x b y c +=??
+=?的解是00
x x y y =??=?，关于
x ，y 的二元一次方程组②111222e x f y d e x f y d +=??+=?的解是11x x y y =??=?，且满足
10
00.1x x x -≤，10
0.1y y y -≤，则称方程组②的解是方程组①的模糊解．关于x ，y 的二元一次方程组222104x y m x y m +=+??
-=+?的解是方程组10
310
x y x y +=??+=-?的模糊解，则m 的取值范围是________． 15．2．如图1，90A ∠=?，
AB AC =，则
2BC
AB
=．
知识应用：
(1)如图2，ADE ?和ABC ?均为等腰直角三角形，90DAE BAC ∠=∠=?，D ，E ，C 三点共线，若2AD =，2BD =，求CD 的长．
知识外延：
(2)如图3，正方形ABCD 中，BE 和BC 关于BG 对称，C 点的对应点为E 点，AE 交
BG 的延长线于F 点，连接CF ． ①求证：GF EC =；
②若2AE =，2CE =，求BF 的长．
16．如图，在矩形ABCD 中，点E 为BC 的中点，连接AE ，过点D 作DF AE ⊥于点F ，过点C 作CN DF ⊥于点N ，延长CN 交AD 于点M ． （1）求证：AM MD =
（2）连接CF ，并延长CF 交AB 于G ①若2AB =，求CF 的长度； ②探究当
AB
AD
为何值时，点G 恰好为AB 的中点．
17．在△ABC 中∠B=45°，∠C=30°，点D 为BC 边上任意一点，连接AD ，将线段AD 绕A 顺时针旋转90°，得到线段AE ，连接DE ．
（1）如图1，点E 落在BA 的延长线上时，∠EDC= （度）直接填空． （2）如图2，点D 在运动过程中，DE ⊥AC 时，AB=4 ，求DE 的值．
（3）如图3，点F 为线段DE 中点，AB=2a ，求出动点D 从B 运动到C ，点F 经过的路径长度．
18．如图1，D 是等边△ABC 外一点，且AD ＝AC ，连接BD ，∠CAD 的角平分交BD 于E ． （1）求证：∠ABD ＝∠D ； （2）求∠AEB 的度数；
（3）△ABC 的中线AF 交BD 于G （如图2），若BG ＝DE ，求
AF
DE
的值．
19．问题提出
（1）如图1，已知三角形ABC ，请在BC 边上确定一点D ，使得AD 的值最小． 问题探究
（2）如图2，在等腰ABC 中，AB AC =，点P 是AC 边上一动点，分别过点A ，点
C 作线段BP 所在直线的垂线，垂足为点,
D
E ，若5,6AB BC ==，求线段BP 的取值范围，并求AD CE +的最大值．
问题解决
（3）如图3，正方形ABCD 是一块蔬菜种植基地，边长为3千米，四个顶点处都建有一个蔬菜采购点，根据运输需要，经过顶点A 处和BC 边的两个三等分点E F 、之间的某点
P 建设一条向外运输的快速通道，其余三个采购点都修建垂直于快速通道的蔬菜输送轨
道，分别为BB '、CC '、DD '．若你是此次项目设计的负责人，要使三条运输轨道的距离之和(
)
BB CC DD '''
++最小，你能不能按照要求进行规划，请通过计算说明．
20．（操作发现）如图1，ABC ?为等腰直角三角形，90ACB ∠=?，先将三角板的90?角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0?且小于45?），旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ．在三角板另一直角边上取一点F ，使
CF CD =，线段AB 上取点E ，使45DCE ∠=?，连接AF ，EF ．
（1）请求出EAF ∠的度数？ （2）DE 与EF 相等吗？请说明理由；
（类比探究）如图2，ABC ?为等边三角形，先将三角板中的60?角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0?且小于30）.旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D .在三角板斜边上取一点F ，使CF CD =，线段AB 上取点E ，使
30DCE ∠=?，连接AF ，EF .
（3）直接写出EAF
∠=_________度；
（4）若1AE =，2BD =，求线段DE 的长度.
21．问题一：如图①，已知AC ＝160km ，甲，乙两人分别从相距30km 的A ，B 两地同时出发到C 地．若甲的速度为80km /h ，乙的速度为60km /h ，设乙行驶时间为x （h ），两车之间距离为y （km ）．
（1）当甲追上乙时，x ＝ ． （2）请用x 的代数式表示y ．
问题二：如图②，若将上述线段AC 弯曲后视作钟表外围的一部分，线段AB 正好对应钟表上的弧AB （1小时的间隔），易知∠AOB ＝30°．
（3）分针OD 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 km ，时针OE 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 °；
（4）若从2：00起计时，求几分钟后分针与时针第一次重合？
22．综合与探究：
如图1，抛物线24832
999
y x x =-
++与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点为D ，P 为对称轴右侧抛物线的一个动点，直线AD 与y 轴于点C ，过点P 作
//PF AD ，交x 轴于点F ．
（1）求直线AD 的函数表达式及点C 的坐标；
（2）如图2，当//PC x 轴时，将AOC ?以每秒1个单位长度的速度沿x 轴的正方向平移，当点C 与点P 重合时停止平移．设平移t 秒时，在平移过程中AOC ?与四边形AFPC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； （3）如图3，过点P 作x 轴的平行线，交直线AD 于点E ，直线DF 与PE 交于点M ，设点P 的横坐标为m ．
①当3DM MF =时，求m 的值；
②试探究点P 在运动过程中，是否存在值m ，使四边形AFPE 是菱形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（问题探究）课堂上老师提出了这样的问题：“如图①，在ABC 中，
108BAC ∠=?，点D 是BC 边上的一点，7224BAD BD CD AD ∠=?==，，，求AC 的
长”．某同学做了如下的思考：如图②，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，进而求解，请回答下列问题： （1）ACE ∠=___________度； （2）求AC 的长．
（拓展应用）如图③，在四边形ABCD 中，12075BAD ADC ∠=?∠=?，，对角线
AC BD 、相交于点E ，且AC AB ⊥，22EB ED AE ==，，则BC 的长为_____________．
24．在ABC ?中，若存在一个内角角度，是另外一个内角角度的n 倍（n 为大于1的正整数），则称ABC ?为n 倍角三角形．例如，在ABC ?中，80A ∠=?，75B ∠=?，
25C ∠=?，可知3∠=∠B C ，所以ABC ?为3倍角三角形．
（1）在ABC ?中，55A ∠=?，25B ∠=?，则ABC ?为________倍角三角形；
（2）若DEF ?是3倍角三角形，且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的1
3
，求DEF ?的最小内角． （3）若MNP ?是2倍角三角形，且90M N P ∠<∠<∠
25．如图，等腰△ABC ，AB ＝CB ，边AC 落在x 轴上，点B 落在y 轴上，将△ABC 沿y 轴翻折，得到△ADC
（1）直接写出四边形ABCD 的形状：______；
（2）在x 轴上取一点E ，使OE ＝OB ，连结BE ，作AF ⊥BC 交BE 于点F ．
①直接写出AF 与AD 的关系：____（如果后面的问题需要，可以直接使用，不需要再证明）；
②取BF 的中点G ，连接OG ，判断OG 与AD 的数量关系，并说明理由； （3）若四边形ABCD 的周长为8，直接写出GE 2＋GF 2＝____．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、中考数学压轴题 1．G
解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）GB
13
10 15
．
【解析】
【分析】
（1）根据矩形的性质可知∠BDC=∠DBA，∠A=90°，再结合已知条件∠BDC+45°=∠BFD，通过角的等量代换可得出∠EBD=45°，又因为∠BED=90°，即可得出结论；
（2）过点K 作 KS⊥BE，垂足为 R，交 AB 于点 S．证明△SRB≌△HRK，得出SB=HK，再证
明△ABF≌△GKS，即可得出结论；
（3）过点 O 分别作AD 和 CN 的垂线，垂足分别为 Q 和 T，连接 OC．通过证明
△OQD≌△OTC，得出AD=CN=BC，连接ON，证△NOC≌△BOC，得出∠BCO=∠NCO
设∠OBC=∠OCB=∠NCO=α，由此得出∠MOC=2α，过点 M 作 MW⊥OC，垂足为 W
在 OC 上取一点 L，使 WL=OW，连接 ML，设OM=ML=LC=a，根据勾股定理可求出OM的值,继而求出MW=3，WC=9，∴OB=OC=OD=13，BD=26，再解直角三角形即可．
【详解】
解：（1）如图1，∵矩形 ABCD
∴AB∥CD，∠A=90°
∴∠BDC=∠DBA，BD是⊙O的直径
∴∠BED=90°
∵∠BFD=∠ABF+∠A，∠BFD=∠BDC+45°
∴∠ABF+∠A=∠BDC+45°
即∠ABF+90°=∠DBA+45°
∴∠DBA-∠ABF=45°
∴∠EBD=45°
∴∠EBD=∠EDB
（2）证明：如下图，在图2中，过点K 作 KS⊥BE，垂足为 R，交 AB 于点 S．
∵KG⊥AB
∴∠BGH=∠KRH=∠SRB=∠KGS=90°
∴∠SBR=∠HKR
∵∠RBK=∠RKB=45°
∴BR=KR
∵∠SRB=∠HRK=90°
∴△SRB≌△HRK
∴SB=HK
∵SB=BG+SG，HK=BG+AF
∴BG+SG=BG+AF
∴SG=AF
∵∠ABF=∠GKS，∠BAF=∠KGS=90°
∴△ABF≌△GKS
∴AB=KG
（3）如下图，在图3中，过点 O 分别作AD 和 CN 的垂线，垂足分别为 Q 和 T，连接 OC．∵∠APO=∠CPO
∴OQ=OT
∵OD=OC，∠OQD=∠OTC=90°
∴△OQD≌△OTC
∴DQ=CT
∴AD=CN=BC
连接 ON
∵OC=OC，ON=OB
∴△NOC≌△BOC
∴∠BCO=∠NCO
设∠OBC=∠OCB=∠NCO=α
∴∠MOC=2α
过点 M 作 MW⊥OC，垂足为 W
在 OC 上取一点 L，使 WL=OW，连接 ML
∴MO=ML
∴∠MOL=∠MLO=2α
∴∠LCM=∠LMC=α
∴ML=CL
设OM=ML=LC=a
则OD=a+8=OC，∴OL=8，OW=WL=4
∵OM 2-OW2=MW2=MC 2-CW 2
∴ 24450a a +-=
1a = -（9 舍去），2a = 5
∴OM=5
∴MW=3，WC=9，∴OB=OC=OD=13，BD=26
∵∠GKB=∠CBD=∠ADB=∠BCO=∠MCW ，tan ∠MCW=13 ∴tan ∠GKB=tan ∠CBD=tan ∠ADB=tan ∠BCO=tan ∠MCW=1
3
∴CD=GK=AB 13
105
=
在 Rt △GKB 中，tan ∠GKB= 1
3
GB GK = ∴GB 13
1015
=
【点睛】
本题是一道关于圆的综合题目，难度很大，综合性很强，考查了圆周角定理、矩形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形等多个知识点，和三角形,四边形相比，圆这部分知识综合性比较强，与各方面联系比较广，所以一道题往往有多种证明方法，添加辅助线的原则是：一,运用基本图形的性质,补全基本图形，以利证明；二,运用图形转化的思想，将图形中的分散的条件相对集中，产生新的图形，运用基本图形的性质证明．
2．A
解析：（1）A （0，1）
（2）结论：∠ABQ +∠OAB ﹣∠Q ＝135°. （3）α+2β＝45°． 【解析】 【分析】
（1）利用二次根式的性质求出m 、n 的值，求出B 、C 两点坐标，由S 四边形AOBC ＝S △OBC +S △AOC ，推出
12×2×4+1
2
×OA ×4＝6，求出OA 即可；
（2）如图2中，结论：∠ABQ+∠OAB﹣∠Q＝135°．根据三角形内角和定理，三角形的外角的性质即可解决问题；
（3）由AD∥BC，推出∠ADC＝∠DCB＝α，由BE平分∠CBx，推出∠CBE＝∠EBx，由
∠CBE＝∠F+∠OCB＝α+β，推出∠OBF＝∠EBx＝α+β，由OC平分∠AOB，可得∠COB＝45°＝∠F+∠OBF＝α+（α+β），由此即可解决问题；
【详解】
解：（1）由题意
20
20
n
n
-≥
?
?
-≥
?
，
，得
，
解得n＝2，
∴m＝4，B（2，0），C（4，4）．如图：
∵S四边形AOBC＝S△OBC+S△AOC，
∴
1
2
×2×4+
1
2
×OA×4＝6，
∴OA＝1，
∴A（0，1）．
（2）结论：∠ABQ+∠OAB﹣∠Q＝135°．如图：
理由如下：
∵OC∥PQ，
∴∠Q＝∠OCB，
∵∠ABQ＝∠1+∠OCB＝∠1+∠Q，∠1＝180°﹣∠OAB﹣∠AOC＝180°﹣∠OAB﹣45°＝135°﹣∠OAB，
∴∠ABQ＝∠Q+135°﹣∠OAB，
∴∠ABQ +∠OAB ﹣∠Q ＝135°． （3）如图：
∵AD ∥BC ，
∴∠ADC ＝∠DCB ＝α， ∵BE 平分∠CBx ， ∴∠CBE ＝∠EBx ，
∵∠CBE ＝∠F +∠OCB ＝α+β， ∴∠OBF ＝∠EBx ＝α+β， ∵C （4，4）， ∴OC 平分∠AOB ，
∴∠COB ＝45°＝∠F +∠OBF ＝α+（α+β）， ∴α+2β＝45°． 【点睛】
本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于压轴题． 3．（1）1001；9999；（2）2754和4848；（3）见解析 【解析】 【分析】
（1）根据“和平数”的定义可直接得出最小的“和平数”是1001，最大的“和平数”是9999；
（2）设这个“和平数”的千位数字是a ，百位数字是m ，十位数字是n ，其中a ，m ，n 均是正整数且19a ≤≤，09m ≤≤，09n ≤≤，则个位数字是2a ，又由029a ≤≤得到a 的可能取值为1，2，3，4；根据百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数，可知m +n =12，得到12
2
a m +=，由a 的可能取值可得m 的取值，即可求得符合条件的“和平数”；
（3）设任意一个“和平数”千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，则它的“相关和平数”千位数字为b ，百位数字为a ，十位数字为d ，个位数字为c ，计算它们的和，根据“和平数”的定义可知a+b=c+d ，因式分解可得原式= 1111(a+b )，即可证明．
【详解】
解：（1）根据“和平数”的定义可得： 最小的“和平数”1001，最大的“和平数”9999， 故答案为1001；9999；
（2）设这个“和平数”的千位数字是a ，百位数字是m ，十位数字是n ，其中a ，m ，n 均是正整数且19a ≤≤，09m ≤≤，09n ≤≤， 则个位数字是2a ， 又∵029a ≤≤，
∴a 的可能取值为1，2，3，4；
∵百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数， ∴m+n =0或m+n =12， ∵“和平数”中a+m =n+2a ，
当m+n =0时，即m=n =0，则此时a =0，不符合题意， ∴m+n =12，
∴a+m =12?m +2a ，解得：12
2
a m +=
， ∵a 的可能取值为1，2，3，4；且m 为正整数， ∴m 的可能取值为7，8；
当a =2时，m =7，这个“和平数”是2754； 当a =4时，m =8，这个“和平数”是4848； 综上所述，满足条件的“和平数”是2754和4848；
（3）设任意一个“和平数”千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，则它的“相关和平数”千位数字为b ，百位数字为a ，十位数字为d ，个位数字为c ， ∴(100010010)(100010010)a b c d b a d c +++++++ 110011001111a b c d =+++
1100()11()a b c d =+++
由“和平数”的定义可知：a+b =c+d ， ∴原式1100()11()a b a b =+++ 1111()a b =+，
∵a ，b 为正整数，则1111()a b +能被1111整除，
即(100010010)(100010010)a b c d b a d c +++++++能被1111整除， ∴任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数． 【点睛】
本题考查新定义运算、因式分解的应用；能够读懂题意，根据数的特点，确定数的取值范围，进行正确的因式分解是解题关键．
4．（1）212(02)
16(25)x x y x x ?≤≤?=?≤≤??；（2）2
20(01)2(1)(13)16(36)
1
x y x x x x ?
?≤≤?=-<≤???<≤-?；（3）第2分钟末两颗
弹珠速度相差最大，最大相差6米/分钟；（4）存在，理由详见解析 【解析】 【分析】
（1）将（1，2）代入2
1y ax =，得2a =，从而得到212y x =，再代入2x =求出
18y =，即可得到反比例函数解析式，即可得解；
（2）当01x ≤≤时，第二颗弹珠未弹出，故第二颗弹珠的解析式为20y =；再分别根据（1）中的结论，即可求出当13x <≤和36x <≤时第二颗弹珠的解析式；
（3）由图可知看出，前2分钟，弹珠的速度逐渐增大，则第2分钟末两颗弹珠速度相差最大，分别求出第2分钟末时两颗弹珠的速度，再相减即可的解；
（4）第2分钟末到第3分钟末，第一颗弹珠的速度由8米/分钟逐步下降到5
1
3
米/分钟，第二颗弹珠的速度由2米/分逐步上升到8米/分，故在此期间必定存在一时刻，两颗弹珠的速度相同．可以根据速度相等时列方程求得时刻． 【详解】
（1）当02x ≤≤时，将（1，2）代入2
1y ax =，得2a =，
212y x ∴=，
∵当2x =时，18y =， ∴当25x ≤≤时，116y x
=
， 1y ∴与x 的函数关系式为212(02)16(25)x x y x x
?≤≤?
=?≤≤??；
（2）当01x ≤≤时，第二颗弹珠未弹出， ∴第二颗弹珠的解析式为20y =；
当13x <≤时，第二颗弹珠的解析式为2
22(1)y x =-；
当36x <≤时，第二颗弹珠的解析式为216
1
y x =
-； ∴2y 与x 的函数关系式为2
20(01)2(1)(13)16(36)1
x y x x x x ?
?≤≤?=-<≤???<≤-?；
（3）由图可知看出，前2分钟，弹珠的速度逐渐增大， ∴第2分钟末两颗弹珠速度相差最大，
∵第一颗弹珠的速度为2
218222y x =?==米/分钟， 第二颗弹珠的速度为212
2(1)212y x =?==-米/分钟，
∴两颗弹珠的速度最大相差8-2=6米/分钟； （4）存在，理由如下：
第2分钟末到第3分钟末，第一颗弹珠的速度由8米/分钟逐步下降到51
3
米/分钟， 第二颗弹珠的速度由2米/分逐步上升到8米/分， 故在此期间必定存在一时刻，两颗弹珠的速度相同． 这个时刻可以通过解方程216
2(1)x x
=-求得． 【点睛】
本题考查了反比例函数和二次函数的应用．解题的关键是从图中得到关键性的信息，明确自变量的取值范围和图象所经过的点的坐标．
5．A
解析：（1）()1,1E -；（2）12m -≤≤-或01m ≤≤3）9t ≤≤. 【解析】 【分析】
（1）首先要理解点A 是图形M 的“倍增点”的定义，将三个点逐一代入验证即可； （2）分两种情况:①点"倍增点”在O 的外部，分别求得“倍增点”横坐标的最大值和最
小值，②点"倍增点"在O 的内部，依次求得“倍增点"横坐标的最大值和最小值，即可确
定“倍增点”横坐标的范围；
（3）分别求得线段GH 两端点为T "倍增点”时横坐标的最大值和最小值即可． 【详解】
（1）()1,2D -到线段BC 的距离为2，
32DC ==? ∴()1,2D -不是线段BC 的倍增点；
()1,1E -到线段BC 的距离为1，
3EC ==>,
∴在线段BC 上必存在一点P 使EP=3，∴()1,1E -是线段BC 的倍增点；
()0,2F 到线段BC 的距离为2，
32FC ==