第九章 平面解析几何第8课时 双 曲 线? ??
??
对应学生用书(文)132~133页 (理)137~139页
1. 若双曲线方程为x2-2y2=1,则它的左焦点的坐标为________. 答案:? ??
??
-
62,0 解析:∵ 双曲线方程可化为x2-y212=1,∴ a2=1,b2=12.∴ c2=a2+b2=32,c =6
2.∴ 左
焦点坐标为? ??
??
-
62,0. 2. 双曲线x24-y2
16=1的渐近线方程为________. 答案:y =±2x 解析:∵ a =2,b =4,∴ 双曲线的渐近线方程为y =±2x.
3. 若双曲线x2
a2-y2=1的一个焦点为(2,0),则它的离心率为________. 答案:233
解析:依题意得a2+1=4,a2=3,故e =
2a2=23
=233. 4. (选修11P39习题2(2)改编)双曲线的焦点在 x 轴上,虚轴长为12,离心率为5
4,则双曲线的标准方程为______________________. 答案:x264-y2
36=1
解析:焦点在x 轴上,设所求双曲线的方程为x2a2-y2
b2=1.由题意,得?????2b =12,
c a =54,a2+b2=c2,解得??
???a =8,b =6,
c =10.
∴ 焦点在x 轴上的双曲线方程为x264-y2
36=1.
5. 设F1,F2是双曲线x2-y2
24=1的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且3PF1=4PF2,则△PF1F2的面积等于________. 答案:24 解析:由P 是双曲线上的一点和3PF1=4PF2可知,PF1-PF2=2,解得PF1=8,PF2=6.又F1F2=2c =10,所以△PF1F2为直角三角形,所以△PF1F2的面积S =123638=
24.
1. 双曲线的定义
平面内到两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2. 双曲线的标准方程和几何性质
3. 等轴双曲线
实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其标准方程
为x2-y2=λ(λ≠0),离心率e=2,渐近线方程为y=±x.[备课札记]
题型1 求双曲线方程
例1 已知双曲线的离心率等于2,且经过点M(-2,3),求双曲线的标准方程.
解:若双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),由已知可得c
a =2,即c =2a.又M(-2,3)在双曲线上, ∴ 4a2-9
b2=1, ∴ 4b2-9a2=a2b2①.∵ c =2a ,∴ b2=3a2,代入①得a2=1,b2=3. ∴ 双曲线方程为x2-y23=1.同理,若双曲线方程为y2a2-x2b2=1,则双曲线方程为3y223-x2
23=1. 变式训练
已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y =±3
3x ,若顶点到渐近线的距离为1,求双曲线方程.
解:由题意知:右顶点坐标为(a ,0),其到渐近线的距离为d =
????
??33a ?
??
??332+1=a
2=1,故a =2.又渐近线方程为y =±33x ,所以b =2 33,所以双曲线方程为x24-3y2
4=1. 题型2 求双曲线的基本量
例2 已知双曲线的焦点在x 轴上,两个顶点间的距离为2,焦点到渐近线的距离为 2. (1) 求双曲线的标准方程;
(2) 写出双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
解:(1) 依题意可设双曲线的方程为x2a2-y2
b2=1(a>0, b>0),则2a =2, 所以a =1.设双曲线的一个焦点为(c, 0), 一条渐近线的方程为bx - ay = 0,则焦点到渐近线的距离d =|bc|
a2+b2
=b
=2,所以双曲线的方程为x2-y2
2=1.
(2) 双曲线的实轴长为2,虚轴长为22,焦点坐标为(-3, 0), (3, 0),离心率为3,渐近线方程为y =±2x. 备选变式(教师专享)
如图,F1、F2分别是双曲线C :x2a2-y2
b2=1(a ,b >0)的左、右焦点,B 是虚轴的端点,直线F1B 与C 的两条渐近线分别交于P 、Q 两点,线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M.若MF2=F1F2,则C 的离心率是________.
答案:6
2
解析:设双曲线的焦点坐标为F1(-c ,0),F2(c ,0). ∵ B(0,b),∴ F1B 所在的直线为-x c +y
b =1.①
双曲线渐近线为y =±b a x ,由???y =b
a x ,
-x c +y
b
=1,得Q ????ac c -a ,bc c -a . 由???y =-b
a x ,
-x c +y
b =1,
得P ????-ac a +c ,bc a +c ,∴ PQ 的中点坐标为????a2c
c2-a2,bc2c2-a2.
由a2+b2=c2得,PQ 的中点坐标可化为???
?a2c b2,c2b . 直线F1B 的斜率为k =b c ,∴ PQ 的垂直平分线为y -c2b =-c b ???
?
x -a2c b2.
令y =0,得x =a2c b2+c ,∴ M ???
?a2c b2+c ,0,∴ F2M =a2c b2.
由MF2=F1F2得a2c b2=a2c c2-a2=2c ,即3a2=2c2,∴ e2=32,∴ e =6
2.
题型3 与椭圆、抛物线有关的基本量
例3 已知双曲线过点(3,-2),且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点. (1) 求双曲线的标准方程;
(2) 求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程.
解:(1) 由题意,椭圆4x2+9y2=36的焦点为(±5,0),即c =5,
∴ 设所求双曲线的方程为x2a2-y2
5-a2=1,
∵ 双曲线过点(3,-2),
∴ 9a2-45-a2=1, ∴ a2=3或a2=15(舍去).
故所求双曲线的方程为x23-y2
2=1. (2) 由(1)可知双曲线的右准线为 x =
35
. 设所求抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),则p =6
5
,故所求抛物线的标准方程为y2=-1255x.
备选变式(教师专享)
双曲线C 与椭圆x28+y2
4=1有相同的焦点,直线y =3x 为C 的一条渐近线.求双曲线C 的方程.
解:设双曲线的方程为x2a2-y2
b2=1(a>0,b>0),
由椭圆方程x28+y2
4=1,求得两焦点为(-2,0)、(2,0), ∴对于双曲线C :c =2.
又y =3x 为双曲线C 的一条渐近线, ∴b
a =3,解得 a2=1,b2=3. ∴双曲线C 的方程为x2-y2
3=1.
1. 已知双曲线C :x2a2-y2
b2=1的焦距为10,P(2,1)在C 的渐近线上,则C 的方程为________. 答案:x220-y25=1
解析:∵ x2a2-y2
b2=1的焦距为10,∴ c =5=a2+b2.①
又双曲线渐近线方程为y =±b a x ,且P(2,1)在渐近线上,∴ 2b
a =1,即a =2b.② 由①②解得a =25,
b = 5.
2. 若双曲线y216-x2
m =1的离心率e =2,则m =________. 答案:48
解析:根据双曲线方程y2a2-x2
b2=1知a2=16,b2=m ,并在双曲线中有a2+b2=c2,∴ 离心率e =c a =2
c2a2=4=16+m 16
m =48.
3. 已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P 为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则
PF1+PF2=________.
答案:2 3
解析:不妨设点P 在双曲线的右支上, 因为PF1⊥PF2,所以(22)2=PF21+PF22, 又因为PF1-PF2=2, 所以(PF1-PF2)2=4, 可得2PF12PF2=4, 则(PF1+PF2)2=PF21+PF22+2PF12PF2=12, 所以PF1+PF2=2 3.
4. 已知双曲线x2a2-y2
5=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率为________. 答案:32
解析:由题意知c =3,故a2+5=9,解得a =2,故该双曲线的离心率e =c a =3
2.
5. 已知双曲线x2a2-y2
b2=1(a >0,b >0)与抛物线y2=8x 有一个公共的焦点F ,且两曲线的一个交点为P ,若PF =5,则双曲线的渐近线方程为________. 答案:y =±3x
解析:设点P(m ,n),依题意得,点F(2,0),由点P 在抛物线y2=8x 上,且PF =5得???
?
?m +2=5,n2=8m ,
由此解得m =3,n2=24.于是有????
?a2+b2=4,9a2-24b2=1,由此解得a2=1,b2=3,该双曲线的渐近线方
程为y =±b
a x =±3x.
6. 已知椭圆x2a2+y2
b2=1(a >b >c >0,a2=b2+c2)的左、右焦点分别为F1,F2,若以F2为圆心,b -c 为半径作圆F2,过椭圆上一点P 作此圆的切线,切点为T ,且PT 的最小值为3
2(a -c),则椭圆的离心率e 的取值范围是________. 答案:????
??3
5,22
解析:因为PT =PF22-(b -c )2(b >c),而PF2的最小值为a -c ,所以PT 的最小值为(a -c )2-(b -c )2.
依题意有,(a -c )2-(b -c )2≥3
2(a -c), 所以(a -c)2≥4(b -c)2, 所以a -c≥2(b -c), 所以a +c≥2b ,
所以(a +c)2≥4(a2-c2), 所以5c2+2ac -3a2≥0, 所以5e2+2e -3≥0 ①.
又b >0,所以b2>c2,所以a2-c2>c2, 所以2e2<1 ②, 联立①②,得35≤e <22.
1. 双曲线x216-y2
9=1上一点P 到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项,则P
点到左焦点的距离为________. 答案:13
解析:由a =4,b =3,得c =5.设左焦点为F1,右焦点为F2, 则|PF2|=1
2(a +c +c -a)=c =5,
由双曲线的定义,得|PF1|=2a +|PF2|=8+5=13.
2. 已知△ABC 外接圆半径R =143
3,且∠ABC =120°,BC =10,边BC 在x 轴上且y 轴垂直平分BC 边,则过点A 且以B 、C 为焦点的双曲线方程为______________. 答案:x216-y29=1
解析:∵ sin ∠BAC =BC 2R =5314,∴ cos ∠BAC =1114,AC =2Rsin ∠ABC =2×143333
2=14, sin ∠ACB =sin(60°-∠BAC)=sin 60°cos ∠BAC -cos60°2sin ∠BAC =3231114-1235314=3314, ∴ AB =2Rsin ∠ACB =2×1433333
14=6, ∴ 2a =|AC -AB|=14-6=8,
∴ a =4,又c =5,∴ b2=c2-a2=25-16=9,∴ 所求双曲线方程为x216-y2
9=1. 3. 根据下列条件,求双曲线方程.
(1) 与双曲线x29-y2
16=1有共同的渐近线,且过点(-3,23); (2) 与双曲线x216-y2
4=1有公共焦点,且过点(32,2). 解:解法1:(1) 设双曲线的方程为x2a2-y2
b2=1,
由题意,得?????b a =4
3,(-3)2a2-(23)2b2=1,
解得a2=9
4,b2=4.
所以双曲线的方程为x294
-y2
4=1.
(2) 设双曲线方程为x2a2-y2
b2=1.由题意易求得c =2 5. 又双曲线过点(32,2),∴(32)2a2-4
b2=1. 又∵a2+b2=(25) 2,∴a2=12,b2=8.
故所求双曲线的方程为x212-y2
8=1.
解法2:(1) 设所求双曲线方程为x29-y2
16=λ(λ≠0),
将点(-3,23)代入得λ=14,所以双曲线方程为x29-y216=1
4. (2) 设双曲线方程为x216-k -y2
4+k
=1,
将点(32,2)代入得k =4,所以双曲线方程为x212-y2
8=1.
4. 已知双曲线x2a2-y2
b2=1的离心率为2,焦点到渐近线的距离等于3,过右焦点F2的直线l 交双曲线于A 、B 两点,F1为左焦点. (1) 求双曲线的方程;
(2) 若△F1AB 的面积等于62,求直线l 的方程.
解:(1) 依题意,b =3,c a =2a =1,c =2,∴ 双曲线的方程为:x2-y2
3=1. (2) 设A(x1,y1),B(x2,y2),F2(2,0),直线l :y =k(x -2), 由?
????y =k (x -2),
x2-y2
3=1,消元得(k2-3)x2-4k2x +4k2+3=0,
k ≠±3时,x1+x2=4k2k2-3,x1x2=4k2+3k2-3,y1-y2=k(x1-x2),
△F1AB 的面积S =1
224k 1+k2
(x1-x2)2+(y1-y2)2=2|k|·|x1-x2|=
2|k|·
(4k2)2-4(k2-3)(4k2+3)|k2-3|=12|k|·k2+1|k2-3|
=62
k4+8k2-9=0
k2=1
k =±1,
所以直线l 的方程为y =±(x -2).
1. 应用双曲线的定义需注意的问题
在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定点的距离”.若定义中的“绝对值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支.
2. 区分双曲线与椭圆中a ,b ,c 的关系,在椭圆中a2=b2+c2,而在双曲线中c2=a2+b2.双曲线的离心率e >1,椭圆的离心率e ∈(0,1).
3. 双曲线方程的求法
(1) 若不能明确焦点在哪条坐标轴上,设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0); (2) 与双曲线x2a2-y2b2=1有共同渐近线的双曲线方程可设为x2a2-y2
b2=λ(λ≠0); (3) 若已知渐近线方程为mx +ny =0,则双曲线方程可设为m2x2-n2y2=λ(λ≠0).
请使用课时训练(A )第8课时(见活页).
[备课札记]
椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论) 高三数学备课组 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和 A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 2O M A B b k k a ?=-, 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b +=+.
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷II) 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2013课标全国Ⅱ,理1)已知集合M ={x |(x -1)2<4,x ∈R },N ={-1,0,1,2,3},则M ∩N =( ). A .{0,1,2} B .{-1,0,1,2} C .{-1,0,2,3} D .{0,1,2,3} 2.(2013课标全国Ⅱ,理2)设复数z 满足(1-i)z =2i ,则z =( ). A .-1+i B .-1-I C .1+i D .1-i 3.(2013课标全国Ⅱ,理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3=a 2+10a 1,a 5=9,则a 1=( ). A .13 B .13- C .19 D .1 9- 4.(2013课标全国Ⅱ,理4)已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ,l ⊥n ,l α,l β,则( ). A .α∥β且l ∥α B .α⊥β且l ⊥β C .α与β相交,且交线垂直于l D .α与β相交,且交线平行于l 5.(2013课标全国Ⅱ,理5)已知(1+ax )(1+x )5的展开式中x 2的系数为5,则a =( ). A .-4 B .-3 C .-2 D .-1 6.(2013课标全国Ⅱ,理6)执行下面的程序框图,如果输入的N =10,那么输出的S =( ). A .1111+23 10+++ B .1111+2!3! 10!+++ C .1111+23 11+++ D .1111+2!3!11!+++ 7.(2013课标全国Ⅱ,理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O -xyz 中的坐标分别是 (1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( ). 8.(2013课标全国Ⅱ,理8)设a =log 36,b =log 510,c =log 714,则( ). A .c >b >a B .b >c >a C .a >c >b D .a >b >c
2015高考数学全国卷1(完美版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给 出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1.设复数z满足1+z 1-z =i,则|z|= A.1 B.2 C. 3 D.2 2.sin20°cos10°-cos160°sin10°= A.- 3 2B. 3 2C.- 1 2 D.1 2 3.设命题P:?n∈N,n2>2n,则¬P为 A.?n∈N,n2>2n B.?n∈N,n2≤2n C.?n∈N,n2≤2n D.?n∈N,n2=2n
4.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测 试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为 A .0.648 B .0.432 C .0.36 D .0.312 5.已知M (x 0,y 0)是双曲线C :x 22 -y 2 =1 上的一点, F 1、F 2是C 上的两个焦点,若 M F 1→· M F 2 →<0 ,则y 0的取值范围是 A .? ???? -33 ,33 B . ? ???? -36 ,36 C .? ????-223,223 D .? ?? ?? -233,233 6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著, 书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有
1、(本小题满分14分) 已知函数. (1)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围; (2)当时,试比较与的大小; (3)求证:(). 2、设函数,其中为常数. (Ⅰ)当时,判断函数在定义域上的单调性; (Ⅱ)若函数的有极值点,求的取值范围及的极值点; (Ⅲ)当且时,求证:. 3、在平面直角坐标系中,已知椭圆.如图所示,斜率为且不过原 点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直 线于点. (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)若?,(i)求证:直线过定点;
(ii )试问点,能否关于轴对称?若能,求出 此时 的外接圆方程;若不能,请说明理由. 二、计算题 (每空? 分,共? 分) 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ,且函数为偶函数.若函数 满足下列条件:①;② 对一切实数 ,不等式恒成立. (Ⅰ)求函数的表达式; (Ⅱ)求证: . 5 、已知函数: (1 )讨论函数的单调性; (2) 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为,问:在什么范围取值 时,函数 在区间上总存在极值? (3)求证:.
6、已知函数=,. (Ⅰ)求函数在区间上的值域; (Ⅱ)是否存在实数,对任意给定的,在区间上都存在两个不同的, 使得成立.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)给出如下定义:对于函数图象上任意不同的两点,如果对 于函数图象上的点(其中总能使得 成立,则称函数具备性质“”,试判断函数是不是具 备性质“”,并说明理由. 7、已知函数 (Ⅰ)若函数是定义域上的单调函数,求实数的最小值; (Ⅱ)方程有两个不同的实数解,求实数的取值范围; (Ⅲ)在函数的图象上是否存在不同两点,线段的中点的横坐标 为,有成立?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由. 8、已知函数: ⑴讨论函数的单调性;
椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论) 高三数学备课组 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积 为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式:10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆 准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于 点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则2 2OM AB b k k a ?=-,即0 202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端 点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支) 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上,则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)外 ,则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2 的直线方程是00221x x y y a b -=. 7. 双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >o )的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=,则双曲线的焦 点角形的面积为122 t 2 F PF S b co γ ?=. 8. 双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >o )的焦半径公式:(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时,10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时,10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦 点F 的双曲线准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和 A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF.
绝密★启封并使用完毕前 试题类型:A 2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页。 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 (1) 设复数z 满足1+z 1z -=i ,则|z|= (A )1 (B (C (D )2 (2)sin20°cos10°-con160°sin10°= (A )2-(B )2 (C )12- (D )12 (3)设命题P :?n ∈N ,2n >2n ,则?P 为 (A )?n ∈N, 2n >2n (B )? n ∈N, 2n ≤2n (C )?n ∈N, 2n ≤2n (D )? n ∈N, 2n =2n (4)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为 (A )0.648 (B )0.432 (C )0.36 (D )0.312
(5)已知00(,)M x y 是双曲线2 2:12 x C y -=上的一点,12,F F 是C 上的两个焦点,若120MF MF <,则0y 的取值范围是 (A )( (B )( (C )(3-,3 ) (D )(3-,3) (6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有 A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 (7)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =,则 (A )1433AD AB AC =-+ (B) 1433 AD AB AC =- (C )4133AD AB AC =+ (D) 4133AD AB AC =- (8)函数()cos()f x x ω?=+的部分图像如图所示,则()f x 的单调递减区间为 (A)13(,),44k k k Z ππ- +∈ (B) 13(2,2),44 k k k Z ππ-+∈ (C) 13(,),44k k k Z -+∈ (D) 13(2,2),44k k k Z -+∈