Buct华罗庚班数学竞赛答案

首届BUCT 华罗庚班数学竞赛公开赛答案

(

)(

('12

12027133222

114max 9min 91818f y z x -+===+=一、填空题

1、、、、、

()()()

()()()212221cos tan sin 2

e 1512!!1lim 21!!212x x

f x a x x x C x C x e e n n n ππππ→∞=-+++-??= ? ?-+??

二、提示：命用中值定理

三、或者四、略

五、六、 ()()

()11+11

1+1221

111111=ln (,)1n 1n 11111111,,,ln 11111,n n n n n n

a a

a a n n a a a a n n n n n n n n n n a a ξξξξ+????--∈ ? ?++????-??=--=<< ?++++??+<<二、提示，运用中值公式

其中当a>1时，a

易得结论成立 222sin cos 22=tan 22cos 2cos 22

tan tan tan tan tan tan 222222

x x x x x dx dx dx

x x x x x x x x xd dx x dx dx C x C +=++=-++=+=???????三、原式

()()()()()()()()()()()()()()()[]()()()()11011110100100101000,00,,0000,0.cos 00cos 00=cos cos cos cos f x dx f x x f x f x f x x f x xdx f x dx x f x xdx f x dx f x x dx π

π

ππ

ππ

π

ξπξπξξξπξξππξξ=∈====><==-=-???????四、

方法，由知存在，使一下用反证法。如果在，内f 仅有一根则由推知，在，与，内异号。不妨设，在，内在，内f 于是由与及在，上单调递减知，

()()()()()()11

11012122cos cos cos cos 0,00.

f x x dx f x x dx f ξπξξξξξπξξξ=-+->∈≠=??从而得到矛盾。于是推知除外，还至少存在一点，，，使()()()()()()()()12220111121222121n 122200

022sin sin 1sin 11111.5511sin sin sin ,,sin lim n n n k k k x x x k k k k n n k k x n x x x x x x e x dx e x dx e xdx

e e e e e n x n e xdx e xdx e x dx n e x dx e ππππππππππ

π

πππ------==-+-+-=+-----→∞==--=+=+-≤<+≤<→∞=∑∑???∑???五、当时，由夹逼定理得()()22+2001sin 51x e e x dx e πππ∞

+=-??

()()()()()()()()()()()()()()()()

()()()

()()()()()()()22122002122022222221!!2!!sin ,sin 2!!221!!2

22!!0sin sin .221!!

2!!2!!22!!.21!!21!!221!!2n !!2!!.22121!!222!!2!!1022121n

n n n n n xdx xdx n n n x xdx xdx n n n n n n n n n n n n n n n ππππππππ

π

++-==+-<<<<--<<+--<<+--<-+-???六、

已知时，从而即于是，()()()()()()2222n 2!!11!!21!!2212!!11.

21!!2(21)222!!1lim 21!!212n n n n n n n n n n n n ππ→∞??????<- ? ? ? ? ?-+????????=< ? ?-+??

??= ? ?-+??由夹逼定理得