专题五 利用导数研究函数的极值、最值 (含答案)
课下层级训练(十七) 利用导数研究函数的极值、最值
[A 级 基础强化训练]
1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝ln(－x ) C ．y ＝x e －
x
D ．y ＝x ＋2
x
【答案】D [由题可知，B ，C 选项中的函数不是奇函数；A 选项中，函数y ＝x 3单调递增(无极值)；D 选项中的函数既为奇函数又存在极值．]
2．函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e]上的最大值为( ) A ．1－e B ．－1 C ．－e
D ．0
【答案】B [因为f ′(x )＝1
x －1＝1－x x ，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1，e]时，f ′(x )＜0，所以f (x )的单调
递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x ＝1时，f (x )取得最大值ln 1－1＝－1.]
3．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为( ) A ．1百万件 B ．2百万件 C ．3百万件
D ．4百万件
【答案】C [y ′＝－3x 2＋27＝－3(x ＋3)(x －3)， 当0
4．(2019·河南南阳月考)已知函数f (x )＝13x 3－1
2ax 2＋x 在区间????12，3上既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．???
?2，5
2 D ．?
???2，10
3 【答案】C [函数f (x )＝13x 3－1
2
ax 2＋x ，求导f ′(x )＝x 2－ax ＋1，由f (x )在????12，3上既有极大值又有极小值，则f ′(x )＝0在????12，3内应有两个不同实数根.?????
f ′????12＞0，
f ′3＞0，
12＜1a ＜3，
f ′???
?1a ＜0解得2＜a ＜5
2
，实数a 的取值范围????2，52.] 5．(2019·福建漳州月考)已知函数f (x )＝ln x －ax 存在极大值0，则a 的值为( )
A ．1
B ．2
C ．e
D ．1e
【答案】D [∵f ′(x )＝1x －a ，x ＞0，当a ≤0时，f ′(x )＝1
x －a ＞0恒成立，函数f (x )单调递增，不存在最大值；
当a ＞0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，解得x ＝1a ；当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＞0，函数单调递增，当x ＞1
a 时，f ′(x )＜0，
函数单调递减，∴f (x )max ＝f ????1a ＝ln 1a －1＝0，解得a ＝1
e
.] 6．(2018·山东临沂期中)若函数f (x )＝x 3－mx 2＋4恰有两个零点，则实数m ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
【答案】C [∵函数f (x )＝x 3－mx 2＋4，∴f ′(x )＝3x 2－2mx ，3x 2－2mx ＝0解得x ＝0或x ＝2
3m ，可知x ＝0或
x ＝2
3m 是函数的两个极值点，函数f (x )＝x 3－mx 2＋4恰有两个零点，可知一个极值为0，因为f (0)＝4＞0，所以x ＝23m 是函数的极小值点，f (0)是函数的极大值．可得：2
3m ＞0，并且f ????23m 是函数的极小值点，并且为0，f ????23m ＝????23m 3－m ·???
?23m 2＋4＝0，解得m ＝3.] 7．(2019·河北三市联考)若函数f (x )＝1
3x 3－????1＋b 2x 2＋2bx 在区间[－3，1]上不是单调函数，则函数f (x )在R 上的极小值为( ) A ．2b －4
3
B ．32b －23
C ．0
D ．b 2－1
6
b 3
【答案】A [f ′(x )＝x 2－(2＋b )x ＋2b ＝(x －b )(x －2)， ∵函数f (x )在区间[－3，1]上不是单调函数，
∴－30，得x 2，由f ′(x )<0，得b 3.] 8．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1，1]，则f (m )的最小值为________. 【答案】－4 [f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，故a ＝3. 由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4. f ′(x )＝－3x 2＋6x ，由此可得f (x )在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，∴当m ∈[－1，1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.] 9．(2019·山东省实验中学诊断)已知f (x )是奇函数，当x ∈(0，2)时，f (x )＝ln x －ax ，????a ＞1 2，当x ∈(－2，0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值为________. 【答案】1 [由于当x ∈(－2，0)时，f (x )的最小值为1，且函数y ＝f (x )是奇函数，所以当x ∈(0，2)时，f (x ) ＝ln x －ax ，????a ＞12有最大值为－1，从而由x ∈(0，2)，f ′(x )＝1x －a ＝0?x ＝1 a ∈(0，2)，所以有f (x )max ＝f ????1a ＝ln 1 a －1＝－1?a ＝1.] 10．(2019·山东菏泽月考)设函数f (x )＝x 2＋1－ln x . (1)求f (x )的单调区间； (2)求函数g (x )＝f (x )－x 在区间????12，2上的最小值． 【答案】解 (1)定义域为(0.＋∞)，f ′(x )＝2x －1x ，由f ′(x )＞0得x ＞22， ∴f (x )的单调递减区间为? ???0， 22，单调递增区间为??? ?2 2，＋∞. (2)g ′(x )＝2x －1 x －1＝ 2x ＋1x －1 x ，由g ′(x )＞0得x ＞1， ∴g (x )在???? 12，1上单调递减，在(1，2)上单调递增， ∴g (x )的最小值为g (1)＝1. 11．(2018·山东临沂期中)某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本C (x )万元，当年产量小于7万件时，C (x )＝13x 2＋2x (万元)；当年产量不小于7万件时，C (x )＝6x ＋ln x ＋e 3 x －17(万元)．已知每件产品售价为6元， 假若该同学生产的产品当年全部售完． (1)写出年利润P (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本) (2)当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？(取e 3≈20) 【答案】解 (1)∵每件商品售价为6元，则x 万件商品销售收入为6x 万元． 依题意得，当0＜x ＜7时， p (x )＝6x －????13x 2＋2x －2＝－1 3x 2＋4x －2. 当x ≥7时， p (x )＝6x －????6x ＋ln x ＋e 3 x －17－2＝15－ln x －e 3 x ， ∴p (x )＝??? －1 3 x 2＋4x －2，0＜x ＜7，15－ln x －e 3 x ，x ≥7. (2)当0＜x ＜7时，p (x )＝－13x 2＋4x －2＝－1 3(x －6)2＋10， 此时，当x ＝6时，p (x )取得最大值p (6)＝10(万元)． 当x ≥7时，p (x )＝15－ln x －e 3 x ， ∴p ′(x )＝－1x ＋e 3x 2＝e 3－x x 2. 当7≤x ＜e 3时，p ′(x )＞0，函数p (x )单调递增， 当x ＞e 3时，p ′(x )＜0，函数p (x )单调递减， ∴当x ＝e 3时，p (x )取得最大值为p (e 3)＝15－ln e 3－1＝11(万元)． ∵10＜11， ∴当年产量约为20万件时，利润最大为11万元． [B 级 能力提升训练] 12．(2019·山东临沂月考)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 【答案】解 (1)f ′(x )＝1 x －a (x ＞0)． 若a ≤0，则f ′(x )＞0， ∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 若a ＞0，则当x ∈????0，1 a 时，f ′(x )＞0， 当x ∈????1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在????0，1a 上单调递增，在????1 a ，＋∞单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)无最大值． 当a ＞0时，f (x )在x ＝1 a 取得最大值， 最大值为f ????1a ＝ln 1a ＋a ???? 1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ????1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0，因此，a 的取值范围是(0，1)． 13．(2019·海南海口检测)已知函数f (x )＝ln x ＋x 2－2ax ＋a 2，a ∈R . (1)若a ＝0，求函数f (x )在[1，e]上的最小值； (2)根据a 的不同取值，讨论函数f (x )的极值点情况． 【答案】解 (1)当a ＝0时，f (x )＝ln x ＋x 2，其定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1 x ＋2x ＞0， 所以f (x )在[1，e]上是增函数，当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝1； 故函数f (x )在[1，e]上的最小值是1. (2)f ′ (x )＝2x 2－2ax ＋1 x ，g (x )＝2x 2－2ax ＋1， (ⅰ)当a ≤0时，在(0，＋∞)上g (x )＞0恒成立， 此时f ′(x )＞0，函数f (x )无极值点； (ⅱ)当a ＞0时，若Δ＝4a 2－8≤0，即0＜a ≤2时，在(0，＋∞)上g (x ) ≥0恒成立，此时f ′(x ) ≥0，函数f (x )无极值点； 若Δ＝4a 2－8＞0，即a ＞2时，易知 当a －a 2－22＜x ＜a ＋a 2－22时，g (x )＜0，此时f ′(x )＜0； 当0＜x ＜a －a 2－22或x ＞a ＋a 2－2 2时， g (x )＞0，此时f ′(x )＞0， 所以当a ＞2时，x ＝a －a 2－22是函数f (x )的极大值点，x ＝a ＋a 2－2 2 是函数f (x )的极小值点， 综上，当a ≤2时，函数f (x )无极值点；a ＞2时，x ＝a －a 2－22是函数f (x )的极大值点，x ＝a ＋a 2－2 2是函 数f (x )的极小值点． 14．(2018·山东日照期末)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c e x (a ＞0)的导函数y ＝ f ′(x )的两个零点为－3和0. (1)求f (x )的单调区间； (2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值． 【答案】解 (1)f ′(x )＝ 2ax ＋b e x －ax 2＋bx ＋c e x e x 2 ＝－ax 2＋2a －b x ＋b －c e x ， 令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ， 因为e x ＞0，所以y ＝f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点，且f ′(x )与g (x )符号相同． 又因为a ＞0，所以－3＜x ＜0时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0，当x ＜－3或x ＞0时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0， 所以f (x )的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)． (2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点， 所以有????? 9a －3b ＋c e －3 ＝－e 3，g 0＝b －c ＝0，g －3＝－9a －32a －b ＋b －c ＝0， 解得a ＝1，b ＝5，c ＝5，所以f (x )＝x 2＋5x ＋5 e x . 因为f (x )的单调递增区间是(－3，0)， 单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)， 所以f (0)＝5为函数f (x )的极大值，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者． 而f (－5)＝5 e －5＝5e 5＞5＝f (0)，所以函数f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e 5. 专题检测（二十二） 函数、导数与方程 大题专攻强化练 1．(2019·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x －x cos x －x ，f ′(x )为f (x )的导数． (1)证明：f ′(x )在区间(0，π)存在唯一零点； (2)若x ∈[0，π]时，f (x )≥ax ，求a 的取值范围． 解：(1)证明：设g (x )＝f ′(x )，则g (x )＝cos x ＋x sin x －1，g ′(x )＝x cos x . 当x ∈? ???? 0，π2时，g ′(x )>0；当x ∈? ????π2，π时，g ′(x )<0， 所以g (x )在? ???? 0，π2上单调递增，在? ????π2，π上单调递减． 又g (0)＝0，g ? ?? ?? π2>0，g (π)＝－2， 故g (x )在(0，π)存在唯一零点． 所以f ′(x )在区间(0，π)存在唯一零点． (2)由题设知f (π)≥a π，f (π)＝0，可得a ≤0. 由(1)知，f ′(x )在(0，π)只有一个零点，设为x 0，且当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )>0；当x ∈(x 0，π)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，π)上单调递减． 又f (0)＝0，f (π)＝0，所以当x ∈[0，π]时，f (x )≥0. 又当a ≤0，x ∈[0，π]时，ax ≤0，故f (x )≥ax . 因此，a 的取值范围是(－∞，0]． 2．(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝(x －1)ln x －x －1.证明： (1)f (x )存在唯一的极值点； (2)f (x )＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 证明：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝x －1x ＋ln x －1＝ln x －1 x . 因为y ＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝1 x 在(0，＋∞)上单调递减， 所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增． 又f ′(1)＝－1<0，f ′(2)＝ln 2－12＝ln 4－1 2>0， 故存在唯一x 0∈(1，2)，使得f ′(x 0)＝0. 又当x (2)由(1)知f (x 0) 1 α <1 又f ? ????1α＝? ?? ??1α－1ln 1α－1α－1＝f （α） α＝0， 故 1 α 是f (x )＝0在(0，x 0)的唯一根． 综上，f (x )＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 3．(2019·东北四市联合体模拟(一))已知函数f (x )＝2 x ＋a ln x (a ＞0)． (1)若函数y ＝f (x )图象上各点切线斜率的最大值为2，求函数f (x )的极值点； (2)若关于x 的不等式f (x )＜2有解，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝－2 x 2＋a x (x ＞0)． (1)∵a ＞0，∴当1 x ＝a 4时，f ′(x )取得最大值a 28，∴a 2 8 ＝2.∵a ＞0，∴a ＝4.此时 f ′(x )＝－2x 2＋4x ＝4x －2 x 2 ，当x ∈? ???? 0，12时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，当 x ∈? ?? ?? 12，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， ∴f (x )的极小值点为x ＝1 2 ，无极大值点． (2)∵f ′(x )＝ax －2 x 2(x ＞0且a ＞0)， ∴当x ∈? ???? 0，2a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，当x ∈? ?? ??2a ，＋∞时，f ′(x )＞0， f (x )单调递增， ∴f (x )≥f ? ?? ??2a ＝a ＋a ln 2 a . ∵关于x 的不等式f (x )＜2有解，∴a ＋a ln 2 a ＜2. ∵a ＞0，∴ln 2a ＋1－2 a ＜0. 令g (x )＝ln x ＋1－x ，则g ′(x )＝1x －1＝1－x x ， 当x ∈(0，1)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增， 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减， ∴g (x )≤g (1)＝0，∴由ln 2a ＋1－2a ＜0可解得2a ＞0且2 a ≠1， ∴a 的取值范围是{}a |a ＞0且a ≠2. 4．(2019·兰州市诊断考试)已知函数f (x )＝12 x 2 －(a 2＋a ＋2)x ＋a 2(a ＋2)ln x ， a ∈R. (1)当a ＝－1时，求函数y ＝f (x )的单调区间； (2)试判断当a ∈[－1，1]时，函数y ＝f (x )的零点的个数，并说明理由． 解：(1)易知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－1时，f (x )＝1 2 x 2－2x ＋ln x ， ∴f ′(x )＝x －2＋1x ＝x 2－2x ＋1x ＝（x －1）2 x ≥0， ∴函数y ＝f (x )在其定义域内为增函数，单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间． (2)①当a ＝0，f (x )＝12x 2－2x ＝1 2(x －2)2－2(x ＞0)， 由于f (4)＝0，故函数有且只有一个零点． ②当a ＝－1时，由(1)知函数y ＝f (x )在其定义域内为增函数， 由于f (e)＝e 22－2e ＋1＝（e －2）2－2 2 ＜0， f (e 2)＝e 42－2e 2＋2＝（e 2－2） 2 2 ＞0，故函数有且只有一个零点． ③当－1＜a＜0或0＜a≤1时，a＋2＞a2＞0， 可得当x∈(0，a2)时，f′(x)＞0，函数为增函数；当x∈(a2，a＋2)时，f′(x)＜0，函数为减函数；当x∈(a＋2，＋∞)时，f′(x)＞0，函数为增函数． ∴当x＝a2时，函数有极大值f(a2)＝1 2 a2[a2－2(a2＋a＋2)＋2(a＋2)ln a2] ＝1 2 a2[－a2－2(a＋2)＋2(a＋2)ln a2]， 当－1＜a＜0或0＜a≤1时，a2≤1，∴f(a2)＜0， 又f(e3)＞0，故函数有且只有一个零点． 综上可知，当a∈[－1，1]时，函数y＝f(x)有且只有一个零点． 高中数学：导数与函数的极值、最值练习 (时间:30分钟) 1.函数f(x)=ln x-x在区间(0，e]上的最大值为( B ) (A)1-e (B)-1 (C)-e (D)0 解析:因为f′(x)=-1=，当x∈(0，1)时，f′(x)>0;当x∈(1，e]时， f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x=1时，f(x)取得最大值ln 1-1=-1. 2.(豫南九校第二次质量考评)若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值，则常数c的值为( C ) (A)4 (B)2或6 (C)2 (D)6 解析:因为f(x)=x(x-c)2， 所以f′(x)=3x2-4cx+c2， 又f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值， 所以f′(2)=12-8c+c2=0，解得c=2或6， c=2时，f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值; c=6时，f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值; 所以c=2. 3.函数f(x)=3x2+ln x-2x的极值点的个数是( A ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)无数 解析:函数定义域为(0，+∞)，且f′(x)=6x+-2=，不妨设g(x)=6x2-2x+1. 由于x>0，令g(x)=6x2-2x+1=0，则Δ=-20<0， 所以g(x)>0恒成立，故f′(x)>0恒成立， 即f(x)在定义域上单调递增，无极值点. 4.(银川模拟)已知y=f(x)是奇函数，当x∈(0，2)时，f(x)=ln x-ax(a>)，当x∈(-2，0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于( D ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 解析:由题意知，当x∈(0，2)时，f(x)的最大值为-1. 令f′(x)=-a=0，得x=， 专题4 利用导数研究函数的极值和最值 专题知识梳理 1.函数的极值 （1）函数极值定义:一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作y 极大值=,是极大值点。如果对附近的所有的点，都 有.就说是函数的一个极小值，记作y 极小值=，是极小值点。极大值与极 小值统称为极值. (2)判别f (x 0)是极大、极小值的方法: 若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值. (3)求可导函数f (x )的极值的步骤: ①确定函数的定义区间，求导数 ; ①求出方程的定义域内的所有实数根； ①用函数的导数为的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.标出在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值。 ①根据表格下结论并求出需要的极值。 2. 函数的最值 （1）定义：若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最大值，记作;若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最小值，记作; （2）在闭区间上图像连续不断的函数在上必有最大值与最小值． （3）求函数在上的最大值与最小值的步骤： ①求在内的极值； ①将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值, 从而得出函数在上的最值。 考点探究 )(x f x 0x 0f (x ) 导数题型总结 1.导数的几何意义 2.导数四则运算构造新函数 3.利用导数研究函数单调性 4.利用导数研究函数极值和最值 5.①知零点个数求参数范围②含参数讨论零点个数 6.函数极值点偏移问题 7.导函数零点不可求问题 8.双变量的处理策略 9.不等式恒成立求参数范围 10.不等式证明策略 11.双量词的处理策略 12.绝对值与导数结合问题 导数专题一导数几何意义 一.知识点睛 导数的几何意义：函数y=f（x）在点x=x0 处的导数f’（x0）的几何意义是曲线在点x=x0 处切线的斜率。 二.方法点拨： 1.求切线 ①若点是切点：(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出y0(2)求出导数f′(x)，把x0代入导 数求得函数y ＝f(x)在点x=x 0处的导数f ′(x 0)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． ②点（x 0，y 0）不是切点求切线：（1）设曲线上的切点为(x 1，y 1)； (2)根据切点写出切线方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1) (3)利用点（x 0，y 0）在切线上求出（x 1，y 1）； (4)把（x 1，y 1）代入切线方程求得切线。 2.求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程：①切线斜率k=f ′(x 0) ②切点在曲线上③切点在切线上 三．常考题型：(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式 四．跟踪练习 1.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x ＜0时，f(x)=f （-x ）+3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，-3）处的切线方程是 2.（2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax-ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x ，则a= A. 0 B.1 C.2 D.3 3.（2016全国卷Ⅱ）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b= 4.（2014江西）若曲线y=e -x 上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是 5.（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2 + x b （a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b= 6.（2012新课标全国）设点P 在曲线y=2 1e x 上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为 A.1-ln2 B. 2（1-ln2） C.1+ln2 D.2(1+ln2) 7.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3 和y=ax 2 + 4 15 x-9都相切，则a 等于 8.抛物线y=x 2 上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A. 2 B.8 27 C. 2 2 D. 1 教学过程 一、课堂导入 问题：判断函数的单调性有哪些方法？比如判断2x y=的单调性，如何进行？ 因为二次函数的图像我们非常熟悉,可以画出其图像，指出其单调区间，再想一下，有没有需要注意的地方？ 如果遇到函数x y3 x 3- =，如何判断单调性呢？你能画出该函数的图像吗？ 定义是解决问题的最根本方法，但定义法较繁琐,又不能画出它的图像，那该如何解决呢？ 二、复习预习 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢? 三、知识讲解 考点1 利用导数研究函数的单调性 如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)>0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是增加的；如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)<0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是减少的． 利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分． 求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小． 注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行． ①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点； ②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点； ③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点． (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的极值； ②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号____________________ 学员编号： 年 级： 课时数及课时进度：3（3/60） 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 学科组长/带头人签名及日期 课 题 利用导数学求函数单调区间、极值和最值 授课时间： 备课时间： 教学目标 1、能熟练运用导数求函数单调区间、判定函数单调性； 2、能用导数求函数的极值和最值。 重点、难点 考点及考试要求 教学内容 一、利用导数判定函数的单调性并求函数的单调区间 1.定义：一般地，设函数)(x f y =在某个区间内有导数，如果在这个区间内0)(' >x f ，那么函数)(x f y = 在 为这个区间内的增函数；如果在这个区间内 0)(' 二、利用导数求函数的极值 1、极大值 一般地，设函数)(x f 在点x 附近有定义，如果对 x 附近的所有的点，都有)( )(0 x f x f <，就说)(0 x f 是函数的一 个极大值，记作()x y f 0=极大值 ，x 0是极大值点 2、极小值 一般地，设函数)(x f 在x 附近有定义，如果对 x 附近的所有的点，都有)( )(0 x f x f >就说)(0 x f 是函数) (x f 的一个极小值，记作 ()x y f 0=极小值 ，x 0是极小值点 3、极大值与极小值统称为极值 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. （ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个. （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示， x 1 是极大值点， x 4 是极小值点，而)()( 1 4 x x f f >. （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 f(x 2)f(x 4) f(x 5) f(x 3) f(x 1) f(b) f(a) x 5 x 4x 3x 2 x 1b a x O y 4、判别()x f 0 是极大、极小值的方法: 若 x 满足 0)(0' =x f ，且在x 0的两侧)(x f 的导数异号，则x 0是)(x f 的极值点，()x f 0是极值，并且如果 )(' x f 在 x 两侧满足“左正右负”，则x 是)(x f 的极大值点，()x f 0 是极大值；如果)(' x f 在x 0两侧满足“左负右正” ，则x 0是)(x f 的极小值点，()x f 是极小值 5、求可导函数)(x f 的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数 )(' x f 导数与函数的极值、最值考点与题型归纳 考点一 利用导数研究函数的极值 考法(一) 已知函数的解析式求函数的极值点个数或极值 [例1] 已知函数f (x )＝x －1＋a e x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，求函数 f (x )的极值． [解] 由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－a e x . ①当a ≤0时，f ′(x )＞0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a ＞0时，令f ′(x )＝0， 得e x ＝a ，即x ＝ln a ， 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0， 所以函数f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故函数f (x )在x ＝ln a 处取得极小值且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值； 当a ＞0时，函数f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值． [例2] 设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R.讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由． [解] f ′(x )＝1 x ＋1＋a (2x －1)＝2ax 2＋ax －a ＋1x ＋1(x ＞－1)． 令g (x )＝2ax 2＋ax －a ＋1，x ∈(－1，＋∞)． ①当a ＝0时，g (x )＝1，f ′(x )＞0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． ②当 a ＞0时，Δ＝a 2－8a (1－a )＝a (9a －8)． 当0＜a ≤8 9时，Δ≤0，g (x )≥0，f ′(x )≥0， 函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． 当a ＞8 9 时，Δ＞0， 设方程2ax 2＋ax －a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1＜x 2)， 【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大. 【方法点评】 类型一 利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步 求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解析】 试题分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞U 【答案】B 【解析】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解析】 试题分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为 1. 【 2016 高考四川文科】已知函数的极小值点，则=( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】 D 考点：函数导数与极值. 【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点是方程但是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在 的解，附近，如 果时，，时，则是极小值点，如果时，，时，，则是极大值点， 2. 【 2015 高考福建，文A．充分而不必要条 件12】“对任意 B．必要而不充分条件 ，”是“ C ．充分必要条件 D ”的（） ．既不充分也不必 要条件 【答案】 B 【解析】当时，，构造函数，则 ．故在单调递增，故，则；当时，不等式等价于，构造函数 ，则，故在递增，故 ”是“，则．综上 ”的必要不充分条件，选 所述，“ 对任 意B． ， 【考点定位】导数的应用． 【名师点睛】 本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用， 根 据已知条件构造函数，进而研究其图象与性质，是函数思想的体现，属于难题． 3. (2014 课标全国Ⅰ，文 12) 已知函数 f ( x ) ＝ ax 3 － 3 2 ＋ 1，若 f ( ) 存在唯一的零点 x 0 ，且 x x x 0＞0，则 a 的取值范围是 ( ) ． A ． (2 ，＋∞ ) B ． (1 ，＋∞) C ． ( －∞，－ 2) D ．( －∞，－ 1) 答案： C 解析：当 a ＝ 0 时， f ( x ) ＝－ 3x 2＋ 1 存在两个零点，不合题意； 当 a ＞0 时， f ′(x ) ＝ 3ax 2－ 6x ＝ ， 令 ′( ) ＝ 0，得 x 1 ＝ 0， ， fx 所以 f ( x ) 在 x ＝0 处取得极大值 f (0) ＝ 1，在 处取得极小值 ， 要使 f ( x ) 有唯一的零点，需 ，但这时零点 x 0 一定小于 0，不合题意； 当 a ＜0 时， f ′(x ) ＝ 3ax 2－ 6x ＝ ， 令 f ′(x ) ＝ 0，得 x 1＝0， ，这时 f ( x ) 在 x ＝0 处取得极大值 f (0) ＝ 1，在 处取得极小值 ， 要使 f ( x ) 有唯一零点，应满足 ，解得 a ＜－ 2( a ＞ 2 舍去 ) ，且这时 零点 x 0 一定大于 0，满足题意，故 a 的取值范围是 ( －∞，－ 2) ． 名师点睛：本题考查导数法求函数的单调性与极值，函数的零点，考查分析转化能力，分类讨论思想， 较难题 . 注意区别函数的零点与极值点 . 4. 【 2014 辽宁文 12】当 时，不等式 恒成立，则实数 a 的取 值范围是（） 函数的极值与导数 作者单位：宁夏西吉中学作者姓名：蒙彦强联系电话： 一．教材分析 本节课选自高中数学人教A版选修2-2教材函数的极值与导数,就本册教材而言本节既是前面所学导数的概念、导数的几何意义、导数的计算、函数的单调性与导数等内容的延续和深化，又为下节课最值的学习奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用.就整个高中教学而言，函数是高中数学主要研究的内容之一，而导数又是研究函数的主要工具，同时导数在化学、物理中都有所涉及可见它的重要性. 二．教学目标 1. 了解极大值、极小值的概念，体会极值是函数的局部性质； 2. 了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件； 3. 会用导数求函数的极值； 4. 培养学生观察、分析、探究、推理得出数学概念和规律的学习能力； 5. 感受导数在研究函数性质中的一般性和有效性，体会导数的工具作用.三．重点与难点 重点是会用导数求函数的极值． 难点是导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件的理解. 四．学情分析 基于本班学生基础较差，思维水平参差不齐，所以备课上既要考虑到薄弱同学的理解与接受，又要考虑到其他同学视野的拓展，因此在本节课中我设置了许多的问题，来引导学生怎样学，以问答的方式来激发学生的学习兴趣，同时让更多的学生参与到教学中来．学生已经学习了函数的单调性与导数的关系，学生已经初步具备了运用导数研究函数的能力，为了进一步培养学生的这种能力，体会导数的工具作用，本节进一步研究函数的极值与导数． 五．教具教法 多媒体、展台，问题引导、归纳、类比、合作探究发现式教学 六．学法分析 借助多媒体辅助教学，通过观察函数图像分析极值的特征后，得出极值的定义；通过函数图像上极值点及两侧附近导数符号规律的探究，归纳出极值与导数的关系；通过求极值的问题归纳用导数求函数极值的方法与步骤． 七．教学过程 1．引入 让学生观察庐山连绵起伏的图片思考“山势有什么特点”并结合诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”，这就是数学上研究的函数的极值引出课题． 【设计意图】从庐山美景出发并结合学生熟悉的诗句来激发学生学习兴趣，让学生在愉快中知道学什么． 第三十九讲 函数的极值、最值与导数 一、引言 1.用导数求函数的极大(小)值，求函数在连续区间上的最大最小值，或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化，因而已逐渐成为高考试题的又一热点． 2.考纲要求：了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值和极小值，能求出最大值和最小值；会利用导数解决某些实际问题． 3.考情分析：2010年高考预测对本专题内容的考查将继续以解答题形式与解析几何、不等式、平面向量等知识结合，考查最优化问题，加强了能力考查力度，使试题具有更广泛的实际意义，更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法． 二、考点梳理 1．函数的极值： 一般地，设函数()y f x =在0x x =及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大，我们说()0f x 是函数()y f x =的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，我们说()y f x =是函数()y f x =的一个极小值．极大值与极小值统称极值． 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值． 理解极值概念要注意以下几点： （1）极值是一个局部概念．由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小． （2）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个． （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值．如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而4()f x >)(1x f ． 2．函数极值的判断方法： 若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点， 用导数来求函数的极值 例 求下列函数的极值： 1．x x x f 12)(3-=；2．x e x x f -=2)(；3．.21 2)(2-+= x x x f 分析：按照求极值的基本方法，首先从方程0)(='x f 求出在函数)(x f 定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值． 解：1．函数定义域为R ．).2)(2(3123)(2-+=-='x x x x f 令0)(='x f ，得2±=x ． 当2>x 或2- 令0)(='x f ，得1±=x ． 当1- 【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试卷难度考查较大. 【方法点评】 类型一利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解读】 试卷分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞ 【答案】B 【解读】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解读】 试卷分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为 高考压轴题：导数题型及解题方法 （自己总结供参考） 一．切线问题 题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。 方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。 题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。 方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。 注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。 例 已知函数f （x ）=x 3﹣3x ． （1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ） （2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、 （提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。（答案：m 的范围是()2,3--） 练习 1. 已知曲线x x y 33 -= （1）求过点（1，-3）与曲线x x y 33-=相切的直线方程。答案：（03=+y x 或027415=--y x ） （2）证明：过点（-2,5）与曲线x x y 33-=相切的直线有三条。 2.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切，求a 的值. （答案：1） 题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。 方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。（)(,22x f x ）； 利用导数求函数的极值 例 求下列函数的极值： 1．x x x f 12)(3-=；2．x e x x f -=2)(；3．.21 2)(2-+=x x x f 分析：按照求极值的基本方法，首先从方程0)(='x f 求出在函数 )(x f 定义域内所有可能的极值点， 然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值． 解：1．函数定义域为R ．).2)(2(3123)(2-+=-='x x x x f 令0)(='x f ，得2±=x ． 当2>x 或2- 当2=x 时，函数取得极大值24)2(-=e f ． 3．函数的定义域为R ． .)1()1)(1(2)1(22)1(2)(2 2222++-=+?-+='x x x x x x x x f 令0)(='x f ，得1±=x ． 当1- 导数与函数的极值专题 1.函数的极值 (1)函数的极小值: 函数y=f (x )在点x=a 的函数值f (a )比它在点x=a 附近其他点的函数值都 ；,f ' (a )= ;而且在点x=a 附近的左侧 ,右侧 ,则 叫作函数y=f (x )的极小值点, 叫作函数y=f (x )的极小值. (2)函数的极大值: 函数y=f (x )在点x=a 的函数值f (a )比它在点x=a 附近其他点的函数值都 ；,f ' (a )= ;而且在点x=a 附近的左侧 ,右侧 ,则 叫作函数y=f (x )的极大值点, 叫作函数y=f (x )的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值. 2、利用导数求函数极值的一般步骤： (1) 求导函数f /(x)； (2) 求解方程f /(x)=0； (3)检查f /(x)在方程f /(x)=0的根的左右的符号，并根据符号确定极大值与极小值 题型1：极值与导数的关系： 1、已知定义在R 的函数f(x),则“0x 是函数 f(x)的极值点”是“0)(0='x f ”的（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.以上都不对 2、已知定义在R 的可导函数f(x),则“0x 是函数 f(x)的极值点”是“0)(0='x f ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.以上都不对 3、已知函数f (x )=2e f '(e)ln x e x -(e 是自然对数的底数),则f (x )的极大值为( ) A .2e -1 B .e 1- C .1 D .2ln 2 4、设f (x )=12x 2-x+cos(1-x ),则函数f (x ) ( ) A .有且仅有一个极小值 B .有且仅有一个极大值 C .有无数个极值 D .没有极值 第十三讲 利用导数求函数的单调性、极值 、最值 【套路秘籍】 一．函数的单调性 在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减． 二．函数的极值 (1)一般地，求函数y ＝f (x )的极值的方法 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时： ①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x )； ②求方程f ′(x )＝0的根； ③考查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 三．函数的最值 (1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值． (2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值． 【套路修炼】 考向一 单调区间 【例1】求下列函数的单调区间： （1）3 ()23f x x x =-； （2）2 ()ln f x x x =-. （3）)f (x )＝2x －x 2. 【答案】见解析 【解析】（1）由题意得2 ()63f x x '=-. 令2 ()630f x x '=->，解得2x <- 或2 x >. 当(,2x ∈-∞- 时，函数为增函数；当)2 x ∈+∞时，函数也为增函数. 令2 ()630f x x '=-<，解得22x - <<.当(22 x ∈-时，函数为减函数. f(a) O a x y f ( b) O b x 【学习目标】： 函数的极值与导数（复习学案） 1.回顾函数极值的概念. 2.总结掌握函数极值的四种类型题型. 3.培养分析问题、解决问题的能力. 【温故知新】： 极值的概念： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有意义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的，其中x0叫作函数的. 如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0) ，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个，其中x0叫作函数的. 【类型1】：函数y=f(x)的图象与函数极值 【针对训练1】 1.图3 中的极大值点有；极小值点有. 2.观察函数在X2 与X6 的极值，能发现什么？ 【类型2】导数y=f(x)的图象与函数极值 1.由图3 分析极值与导数的关系 x0是函数f(x)的极值点f(x0) =0 f(x0) =0 x0是函数f(x)的极值点 总结：f(x0)=0 是函数取得极值的条件. 2.利用导数判别函数的极大（小）值： 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，且f ' (x0)=0，判别f(x0)是极大（小）值的方法是： (1)如果在x0附近的左侧f '(x)＞0，右侧f '(x)＜0，那么，f(x0)是； ⑵如果在x0附近的左侧f '(x)＜0，右侧f '(x)＞0，那么，f(x0)是；【针对训练2】 导函数y=f’(x)的图像如图，试找出函数y=f(x)的极值点， 并指出那些是极大值点，那些是极小值点？ 【针对训练3】 导函数y=f’(x)的图像如图，在标记的点中哪一点处 （1）导函数y=f’(x)有极大值？ （2）导函数y=f’(x)有极小值？ （3）函数y=f(x)有极大值？ （4）函数y=f(x)有极小值？ 【类型3】求函数y=f(x)的极值 求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤： (1) (2) (3) (4) (5) 用导数来求函数的极值 例 求下列函数的极值： 1．x x x f 12)(3-=；2．x e x x f -=2)(；3．.21 2)(2-+=x x x f 分析：按照求极值的基本方法，首先从方程0)(='x f 求出在函数)(x f 定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值． 解：1．函数定义域为R ．).2)(2(3123)(2-+=-='x x x x f 令0)(='x f ，得2±=x ． 当2>x 或2- 令0)(='x f ，得1±=x ． 当1-高中数学：导数与函数的极值、最值练习
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