三角恒等变形(练习一)
一、选择题(每题4分,计40分)
1.已知0,2π
αβπ<<
<<又,5
4
)sin(,53sin -=+=βαα,则sin β=( ). ()A 1- ()B 1-或257- ()C 257- ()D 25
7 2.如果1
22
sin ,cos 3αα=-=
则2α为第( )象限角. ()A 一 ()B 二 ()C 三 ()D 四
3.设
1tan 2,1tan x
x +=-则sin 2x 的值是( ).
()A 35 ()B 34- ()C 3
4
()D 1-
4.已知(,2)αππ∈1cos()
2
απ-+( ).
()A sin
2α ()B cos 2α ()C sin 2α- ()D cos 2α- 5.化简1sin 2cos 21sin 2cos 2αααα
+-++的结果是( )
()A 2sin α ()B cos α ()C n ta α ()D 2tan α
6.3sin cos 23x x a +=-中,a 的取值域范围是( )
()
A 2521≤≤a ()
B 21≤a ()
C 25>a ()
D 2
125-≤≤-a 7.若x 是一个三角形的最小内角,则函数sin cos y x x =-的值域是( )
()A [2,2]- ()B 31(]-- ()C 31
[-- ()D 31()-- 8.设00
2
6
sin13cos13,22142,b c α=+==
则( ) ()A a c b >> ()B c b a >> ()C b c a >> ()D c a b >>
9函数cos 1sin x
y x =
-的单调增区间是( )
()A 3[2,2]22k k ππππ-+ ()B [2,2]22k k ππππ-+ ()C 3[2,2]22k k ππππ-- ()D [,]22
k k ππππ-+
10.在ABC ?中,tan tan 33tan A B A B +=,则C 等于( )
()
A 3π ()
B 23π ()
C 6π ()
D 4
π
二、填空题(每小题4分,共16分)
11.已知),4
,0(,135)4
sin(
π
ααπ
∈=
-则=+)
4
cos(2cos απ
α___ ___.
12.已知βαtan ,tan 是方程04332
=++x x 的两根,且),2
,2(,π
πβα-
∈则βα+等于__ ____. 13.函数x
x x
x y 2sin 2cos 2sin 2cos -+=
的最小周期是__ ___
14.在ABC ?中,,5
3
sin ,135cos ==B A 则C cos =___ ___. 三、解答题
15(10分)化简000020cos 1)]10tan 31(10sin 50sin 2[+++
16(10分)已知)(,2
,2
,sin 3)2sin(Z k k k ∈+
≠++
≠=+π
πβαπ
παββα
求证:αβαtan 2)tan(
=+.
17(12分)已知函数).(),12
(sin 2)6
2sin(3)(2R x x x x f ∈-
+-
=π
π
(1)求)(x f 的最小正周期.
(2)求使函数)(x f 取得最大值时x 的集合.
18(12分)如图所示,已知OPQ 是半径为1,圆心角为3
π
的扇形,ABCD 是扇形的内接矩形,C B ,两点 在圆弧上,OE 是POQ ∠的平分线,连接OC ,记α=∠COE ,问:角α为何值时矩形ABCD
面积最大,并求最大面积.
E
A
D C B Q
P
O
[参考答案]
1~5:CDADC 5~10: ABCAA (11)
1324 (12) 23π- (13)2π (14)65
16 15.解:原式=
6
30cos 22)1040cos(22]10sin 40sin 10cos 40[cos 22]
40sin 10sin 210cos 50sin 2[210
cos ]10cos 40sin 210sin 50sin 2[210cos 2]10
cos 10sin 310cos 10sin 50sin 2[10cos 2)]10cos 10sin 31(10sin 50sin 2[00000000
0000
000
0000
20
=?=-=+=+=??+=?+?+=++
16.证明:
))sin((3))sin((sin 3)2sin(ββααβαββα-+=++?=+
ββαββαββαββαsin )cos(3cos )sin(3sin )cos(cos )sin(+-+=+++?
ββαββαsin )cos(4cos )sin(2+-=+-? αβαtan 2)tan(=+?
17.解:(1))]12
(2cos(1[)6
2sin(3)(π
π
-
-+-
=
x x x f
1)6
2cos()6
2sin(3+-
--
=π
π
x x
1)]6
2cos(21)62sin(23[
2+---=π
πx x 1)3
2sin(2+-
=π
x
ππ
==
+22min
T
(2)当Z k k x ∈+=-,2232ππ
π
即Z k k x ∈+=,12
5ππ
时,3max =y Q
解:设OE 交AD 于M ,交BC 于N ,显然矩形
ABCD 关于OE 对称,而M ,N 均为AD ,BC
的中点,在ONC Rt ?中,.cos ,sin αα==ON CN
,sin 3336
tan
/απ
====CN DM DM OM
ααsin 3cos -=-=∴OM ON MN
即ααsin 3cos -=AB
αsin 22==∴CN BC
故:αααsin 2sin 3cos ?-=?=)(矩BC AB S ααα2
sin
32cos sin 2-=
)(αα2cos 132sin --= 32cos 32sin -+=αα
33
2sin
2-+=)(π
α
3
23
23,
320,6
0π
π
απ
παπ
α<
+
<<
<∴<< 故当,2
3
2π
π
α=
+即12
π
α=
时,矩形S 取得最大,此时32-=矩形S
E
A
D C B P
O