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三角恒等变形(练习一)

三角恒等变形(练习一)

一、选择题(每题4分,计40分)

1.已知0,2π

αβπ<<

<<又,5

4

)sin(,53sin -=+=βαα,则sin β=( ). ()A 1- ()B 1-或257- ()C 257- ()D 25

7 2.如果1

22

sin ,cos 3αα=-=

则2α为第( )象限角. ()A 一 ()B 二 ()C 三 ()D 四

3.设

1tan 2,1tan x

x +=-则sin 2x 的值是( ).

()A 35 ()B 34- ()C 3

4

()D 1-

4.已知(,2)αππ∈1cos()

2

απ-+( ).

()A sin

2α ()B cos 2α ()C sin 2α- ()D cos 2α- 5.化简1sin 2cos 21sin 2cos 2αααα

+-++的结果是( )

()A 2sin α ()B cos α ()C n ta α ()D 2tan α

6.3sin cos 23x x a +=-中,a 的取值域范围是( )

()

A 2521≤≤a ()

B 21≤a ()

C 25>a ()

D 2

125-≤≤-a 7.若x 是一个三角形的最小内角,则函数sin cos y x x =-的值域是( )

()A [2,2]- ()B 31(]-- ()C 31

[-- ()D 31()-- 8.设00

2

6

sin13cos13,22142,b c α=+==

则( ) ()A a c b >> ()B c b a >> ()C b c a >> ()D c a b >>

9函数cos 1sin x

y x =

-的单调增区间是( )

()A 3[2,2]22k k ππππ-+ ()B [2,2]22k k ππππ-+ ()C 3[2,2]22k k ππππ-- ()D [,]22

k k ππππ-+

10.在ABC ?中,tan tan 33tan A B A B +=,则C 等于( )

()

A 3π ()

B 23π ()

C 6π ()

D 4

π

二、填空题(每小题4分,共16分)

11.已知),4

,0(,135)4

sin(

π

ααπ

∈=

-则=+)

4

cos(2cos απ

α___ ___.

12.已知βαtan ,tan 是方程04332

=++x x 的两根,且),2

,2(,π

πβα-

∈则βα+等于__ ____. 13.函数x

x x

x y 2sin 2cos 2sin 2cos -+=

的最小周期是__ ___

14.在ABC ?中,,5

3

sin ,135cos ==B A 则C cos =___ ___. 三、解答题

15(10分)化简000020cos 1)]10tan 31(10sin 50sin 2[+++

16(10分)已知)(,2

,2

,sin 3)2sin(Z k k k ∈+

≠++

≠=+π

πβαπ

παββα

求证:αβαtan 2)tan(

=+.

17(12分)已知函数).(),12

(sin 2)6

2sin(3)(2R x x x x f ∈-

+-

π

(1)求)(x f 的最小正周期.

(2)求使函数)(x f 取得最大值时x 的集合.

18(12分)如图所示,已知OPQ 是半径为1,圆心角为3

π

的扇形,ABCD 是扇形的内接矩形,C B ,两点 在圆弧上,OE 是POQ ∠的平分线,连接OC ,记α=∠COE ,问:角α为何值时矩形ABCD

面积最大,并求最大面积.

E

A

D C B Q

P

O

[参考答案]

1~5:CDADC 5~10: ABCAA (11)

1324 (12) 23π- (13)2π (14)65

16 15.解:原式=

6

30cos 22)1040cos(22]10sin 40sin 10cos 40[cos 22]

40sin 10sin 210cos 50sin 2[210

cos ]10cos 40sin 210sin 50sin 2[210cos 2]10

cos 10sin 310cos 10sin 50sin 2[10cos 2)]10cos 10sin 31(10sin 50sin 2[00000000

0000

000

0000

20

=?=-=+=+=??+=?+?+=++

16.证明:

))sin((3))sin((sin 3)2sin(ββααβαββα-+=++?=+

ββαββαββαββαsin )cos(3cos )sin(3sin )cos(cos )sin(+-+=+++?

ββαββαsin )cos(4cos )sin(2+-=+-? αβαtan 2)tan(=+?

17.解:(1))]12

(2cos(1[)6

2sin(3)(π

π

-

-+-

=

x x x f

1)6

2cos()6

2sin(3+-

--

π

x x

1)]6

2cos(21)62sin(23[

2+---=π

πx x 1)3

2sin(2+-

x

ππ

==

+22min

T

(2)当Z k k x ∈+=-,2232ππ

π

即Z k k x ∈+=,12

5ππ

时,3max =y Q

解:设OE 交AD 于M ,交BC 于N ,显然矩形

ABCD 关于OE 对称,而M ,N 均为AD ,BC

的中点,在ONC Rt ?中,.cos ,sin αα==ON CN

,sin 3336

tan

/απ

====CN DM DM OM

ααsin 3cos -=-=∴OM ON MN

即ααsin 3cos -=AB

αsin 22==∴CN BC

故:αααsin 2sin 3cos ?-=?=)(矩BC AB S ααα2

sin

32cos sin 2-=

)(αα2cos 132sin --= 32cos 32sin -+=αα

33

2sin

2-+=)(π

α

3

23

23,

320,6

π

απ

παπ

α<

+

<<

<∴<< 故当,2

3

π

α=

+即12

π

α=

时,矩形S 取得最大,此时32-=矩形S

E

A

D C B P

O

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