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浙江省高中数学竞赛试题及详细解析答案

2011年浙江省高中数学竞赛试卷

一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1. 已知53[

,]42

ππ

θ∈

） A ．2sin θ B. 2sin θ- C. 2cos θ- D. 2cos θ

2．如果复数()()21a i i ++的模为4，则实数a 的值为（）

2 B. 2±

D. ±

3. 设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B ∈?，命题q ：x A ∈或x B ∈，则p 是q 的（）

A. 充分且必要条件

B. 充分非必要条件

C. 必要非充分条件

D. 非充分且非必要条件

4. 过椭圆2

212

x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45弦AB ，则AB 为（）

C. 3

5. 函数150

()51

x f x x -?-≥=?-

单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数

C. 单调增加函数、偶函数

D. 单调递减函数、奇函数 6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ A ）

正视图侧视图俯视图（圆和正方形） A. 4+

52π B. 4+32π C. 4+2

π D. 4+π 7．某程序框图如右图所示，现将输出（,)x y 值依次记为：

1122(,),(,),,(,),

;n n x y x y x y 若程序运行中输出的一个数组是 (,10),x -则数组中的

x =（）

A ．64

B ．32

C ．16

D ．8

8. 在平面区域{}

(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为（）

A. 4 C. 16 D. 32 9. 已知函数()sin(2)6f x x m π

=--在0,2π??

????

上有两个零点，则m 的取值范围为（）

A. 1, 12??

??? B 1, 12?????? C. 1, 12?????? D. 1, 12??

???

10. 已知[1,1]a ∈-，则2

(4)420x a x a +-+->的解为（） A.3x >或2x < B.2x >或1x < C.3x >或1x < D.13x << 二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，

每空7分，共49分） 11. 函数()2sin

3cos 2

f x x =-的最小正周期为__________。 12. 已知等差数列{}n a 前15项的和15S =30，则1815a a a ++=__________. 13. 向量(1,sin )a θ=，(cos ,3)b θ=，R θ∈，则a b -的取值范围为。 14. 直三棱柱111ABC A B C -，底面ABC ?是正三角形，P ，E 分别为1BB ，1CC 上的动点（含端点）,D 为BC 边上的中点，且PD PE ⊥。则直线,AP PE 的夹角为__。

15．设y x ,为实数，则

=+=+)(m ax 2210452

2y x x

y x ____________。

16. 马路上有编号为1，2，3，…，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的

300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有_________种。（用组合数符号表示）

17. 设z y x ,,为整数，且3,33

=++=++z y x z y x ，则=++2

z y x __。三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 17 分，共计 51 分） 18. 设2≤a ，求x x y )2(-=在]2 ,[a 上的最大值和最小值。

19. 给定两个数列{}n x ，{}n y 满足100==y x ，)1( 21

≥+=

--n x x x n n n ，

)1( 211

≥+=--n y y y n n n 。证明对于任意的自然数n ，都存在自然数n j ，使得 n j n x y =。

20. 已知椭圆22

22154

x y +=，过其左焦点1F 作一条直线交椭圆于A ，B 两点，D (,0)a 为1

F 右侧一点，连AD 、BD 分别交椭圆左准线于M,N 。若以MN 为直径的圆恰好过 1F ，求 a 的值。

2011年浙江省高中数学竞赛参考解答与评分规范

．

解

答

：

因

为

53[

,]42

ππθ∈，所

以

=cos sin cos sin θθθθ--+

2cos θ=。正确答案为D 。

42a =?=±。正确答案为C 。 3．解答：P 是q 的充分非必要条件。正确答案为B 。

4. 解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB 为1,y x =-代入椭圆方程得

21243400,3x x x x AB -=?==

?==。正确答案为C 。 5. 解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A 。 6.解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（2

），所以该几何体的体积为5221342

π??+-

。正确答案为A 。 7. 答案经计算32x =。正确答案为 B 。

8. 解答：平面区域{}

(,)||1,||1x y x y ≤≤的四个边界点（—1，—1），（—1，1），（1，—1），（1，1）满足22ax by -≤，即有22,22,22,22a b a b a b a b +≤-≤--≤-+≤,由此计算动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为4。正确答案为 A 。

9. 解答：问题等价于函数()sin(2)6f x x π

与直线y m =在0,2π??

????

上有两个交点，所以m 的取值范围为1

, 12??????

。正确答案为C 。

10. 解答：不等式的左端看成a 的一次函数，2

()(2)(44)f a x a x x =-+-+ 由2

(1)560,(1)3201f x x f x x x -=-+>=-+>?<或3x >。正确答案为C 。 11. 解答：最小正周期为4π。

12.解答：由1513072S a d =?+=，而181513(7)6a a a a d ++=+=。 13.

解

答

：

(1cos a b -=-== ，

其最大值为3，最小值为1，取值范围为[1，3]。

14. 解答：因为平面ABC ⊥平面11BCC B ，AD ⊥BC ，所以AD ⊥平面11BCC B ，所以AD ⊥PE ，又PE ⊥PD ，PE ⊥平面APD ，所以PE ⊥PD 。即夹角为90。

15. 解答：2

54104105002x y x y x x x +=?=-≥?≤≤

22222224()1025(5)2534x y x x x x y +=-=--≤-?+≤

16. 解答：问题等价于在1711只路灯中插入300只暗灯，所以共有300

1710C 种关灯方法。 17. 解答：将3z x y =--代入33

=++z y x 得到8

3()9xy x y x y

=+-+

+，因为,x y 都是整数，所以1428

,,,,25116x y x y x y x y xy xy xy xy +=+=+=+=?????

???====????

前两个方程组无解；后两个方程组解得1;4,5x y z x y z ======-。所以=++2

22z y x 3或57。

18. 解答：当20,(1)1,x y x ≤=--+ 当2

0,(1)1,x y x >=-- 由此可知 max 0y =。

当2

min 12,2a y a a ≤≤=-；当min 11,1a y ≤<=-；

当2min 12a y a a <=-+。

19. 解答：由已知得到：

1112111112(1){1}n n n n n

x x x x x --=+?+=+?+为等比数列，首项为2，公比为2，所以

11111221

n n n n x x +++=?=-。又由已知，222

11111

(1)11111()1(1)12n n n n n n n n n y y y y y y y y y -----++++=?=?+=++

由011121212221n n

n y n y y +=?+=?=

-，所以取21n n j =-即可。 20. 解答：125

(3,0),3

F x -=-左准线方程为;AB 方程为(3)()y k x k =+为斜率。

设

1122(,),(,)

A x y

B x y ，由

???=+

+=11625)3(2

y x x k y 2222(1625)1502254000k x k x k ?+++-=得设342525

(,),(,)33M y N y -

-。

由M 、A 、D 共线123412

(325)(325),3()3()a y a y y y a x a x ++==--同理。又131411111616

(,),(,),033

F M y F N y F M F N F M F N =-=-⊥??=由已知得，得

212343412325)256,99()()

a y y y y y y a x a x +=-=--（而，即222561625k k -

?+2

12325)9()()a a x a x +--（=256,9-整理得 2

(1)(16400)05,3,5k a a a a +-=?=±>-=又所以。

2010年浙江省高中数学竞赛试卷

说明：

本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的22题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。

一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）

1．化简三角有理式x

x x x x

x x x 2

2662244cos sin 2cos sin cos sin sin cos ++++的值为（）

A ．1

B ． sin cos x x +

C ．sin cos x x

D ．1+sin cos x x

2．若2

:(0,:2p x x q x ++≥≥-，则p 是q 的

（）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 3．集合P={

63,=+++∈x x R x x }，则集合R

C P 为

（）

A ．{6,3}x x x <>或

B ．{6,3}x x x <>-或

C ．{6,3}x x x <->或

D ．{6,3}x x x <->-或

4．设a ,b 为两个相互垂直的单位向量。已知OP =a ，OQ =b ，OR =r a +k b .若△PQR 为等边三角形，则k ，r 的取值为

（）

A ．k r ==

．313

k r ±±==

C ．k r ==

．k r =

5．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若1，则CA 1与C 1B 所成的角的大小是（） A ．60°B ．75°C ．90°D ．105°

6．设{}n a ，{}n b 分别为等差数列与等比数列，且11444,1a b a b ====，则以下结论正确的是

（）

A ．22a b >

B ．33a b <

．

55a b >

D ．66a b >

7．若15

,(12)x R x +

∈+则的二项式展开式中系数最大的项为（）

A ．第8项

B ．第9项

C ．第8项和第9项

D ．第11项

8．设()cos

f x =

，12111(log ),(log ),(log )e e a f b f c f e πππ

===，则下述关

系式正确的是

（）

A ．a b c >>

B ． b c a >>

C ． c a b >>

D ．b a c >> 9．下面为某一立体的三视图，则该立体的体积为

（）

A ．

B ．

C ．

43π D ．34

10．设有算法如下：

如果输入A=144,B=39,则输出的结果是

（）

正视图：半径为1的半圆以及高为1的矩形

侧视图：半径为1的

圆以及高为1的矩形俯视图：半径为1的圆

A ．144

B ．3

C ． 0

D ．12

二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）

11．2=所有实数解为。

12．,x R ∈ 函数()2sin

3cos 23

x x

f x =+的最小正周期为． 13．设P 是圆2

36x y +=上一动点，A 点坐标为()20,0。当P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹方程为.

14．设锐角三角形ABC 的边BC 上有一点D ，使得AD 把△ABC 分成两个等腰三角形，试求△ABC 的最小内角的取值范围为 . 15．设z 是虚数，1

w z z

，且12w -<<，则z 的实部取值范围为. 16．设4

)1()1()(x x x x k x f --+-=。如果对任何]1,0[∈x ，都有0)(≥x f ，则k 的最小值为 .

17．设R q p ∈,，q x p x x f ++=||)(2

。当函数)(x f 的零点多于1个时，)(x f 在以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值为.

三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分） 18．设数列 ,1

,,12,

1,,13,22,31,12,21,11k

k k -，

问：（1）这个数列第2010项的值是多少；

（2）在这个数列中，第2010个值为1的项的序号是多少.

19．设有红、黑、白三种颜色的球各10个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。问共有多少种放法。

20．已知椭圆)1(12

22>=+a y a

x ，Rt ABC ?以A （0，1）为直角顶点，边AB 、

BC 与椭圆交于两点B 、C 。若△ABC 面积的最大值为27

，求a 的值。

四、附加题：（本大题共有2小题，每题25分，共50分。）

21．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点。记

CA CE BC BD =

γβα,,。证明：ABC DEF S S ??≥ αβγ。

22．（1）设0a >，平面上的点如其坐标都是整数，则称之为格点。今有曲线3

y ax =过格点（n ，m ），记1x n ≤≤对应的曲线段上的格点数为N 。证明：

11n

k k N ak mn ==??=+-??∑∑。

（2）进而设a 是一个正整数，证明：

21(1)(31)4an k a n n n n ==+-+∑。（注[]x 表示不超过x 的最大整数）

参考答案

1．解答为 A 。

22442222sin cos )(sin cos sin cos )2sin cos x x x x x x x x ++-+分母=(

4422sin cos sin cos x x x x =++。

也可以用特殊值法

2．解答为 B 。p 成立3x ?≥-，所以p 成立，推不出q 一定成立。 3．解答：D 。画数轴，由绝对值的几何意义可得63x -≤≤-，

{}63,{6,3}R P x x C P x x x =-≤≤-=<->-或。

4．解答．C ． PQ QR PR ==，

即

==r=k=。

5．解答：C。建立空间直角坐标系，以

A B所在的直线为x轴，在平面

111

A B C上

垂直于

A B的直线为y轴，

BB所在的直线为z轴。则

C C

(0,0,1)

，

1111

(,1),(0

2222

CA C B CA C B

=--=--?=。

6．解答：A。

1144

4,1

a b a b

====设等差数列的公差为d，等比数列公比为q,由，得

d=-1,q= 22335566

3,2,0,1,

a b a b a b a b

=======-=

得。

7．解答：D．

115121

2932

r r

r r r r r

T C T T T T r

++++

=≤≤?≤≤

由，，r=10，第11项最大。

8．解答： D。函数()cos

f x=为偶函数，在（0，

）上，()cos

f x x

=为减

函数，而

1111

log log,log,log2log

log

e e e

e e

ππ

πππ

=-=-=，

log2log

5log554

e e

πππ

<<<<，所以b a c

>>。

9．解答：C．根据题意，该立体图为圆柱和一个1/4的球的组合体。

10．解答 B （1）A=144，B=39，C=27：（2）A=39，B=27，C=12：（3）A=27，B=12，C=3：（4）A=12，B=3，C=0。所以A=3。

二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）

11．20102011

≤≤。

解答

201

=?≤≤，解得

20102011

≤≤。

12．12π．

解答 2sin 43cos ()1223

x f x πππ的周期为，的周期为6，所以函数的周期为。 13．2

(10)9x y -+=.

解答设M 的坐标为00(,)(,),x y P x y ，设点坐标为则有 0020,22

x y

x y +=

= 00220,2x x y y ?=-=，因为P 点在圆上，所以22(220)(2)36x y -+= 所以P

点轨迹为2

(10)9x y -+=。

14．30

解答如图，（1）AD=AC=BD ；（2）DC=AC ，AD=BD 。

在

（1）中，设最小的角为x ，则2x<90,得x<45,又x+180-4x<90,得x>30,所以30

2）中，设最小的角为x ，则3x<90,得x<30,又180-4x<90,得x>,所以

a -

<<. 解答设2222120

a bi b

z a bi a bi b a b a b -=+?-<++

2201b a b ?=+=或

当0b =，无解；当22

112

a b a +=?-<<。 16．1192

. 解

答

1)1(224+--≥x x x x k 222133131(),124424

x x x x x x -+=-+≥=-+因为时最小值为

448111,(1)222

x x x ≤=-时，取最大值（）

，所以k 的最小值为1

192。 17．0或q.

解答因为函数q x p x x f ++=||)(2

为偶函数，由对称性以及图象知道，)(x f 在以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值0或q 。三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分） 18．解（1）将数列分组： ),1

,,12,1(,),13,22,

31(),12,21(),11

k k - 因为1+2+3+…+62=1953；1+2+3+…+63=2016，所以数列的第2010项属于第63组倒数第7个数，即为

。 --------- 10分（2）由以上分组可以知道，每个奇数组中出现一个1，所以第2010个1出现在第4019组，而第4019组中的1位于该组第2010位，所以第2010个值为1的项的序号为（1+2+3+…+4018）+2010=809428。 ------------ 17分 19．解：设甲袋中的红、黑、白三种颜色的球数为,,x y z ，则有1,,9x y z ≤≤，且

(10)(10)(10)xyz x y z =--- （*1）

----------------- 5分

即有

50050()5()xyz x y z xy yz zx =-+++++。（*2）

于是有 5xyz 。因此,,x y z 中必有一个取5。不妨设5x =，代入（*1）式，得到

10y z +=。 ----------------10分

此时，y 可取1，2，…，8，9（相应地z 取 9，8，…，2，1），共9种放法。同理可得y=5或者z=5时，也各有9种放法，但有x y z ==时二种放法重复。因此可得共有

9×3－2 = 25种放法。 ---------------------17分

20．解：不妨设AB 的方程()01>+=k kx y ，则AC 的方程为11

=x k

y 。

由?????=++=1

22y a

x kx y 得：02)1(2

222=++kx a x k a 2222,1B a k x a k -?=+ 由222

111

y x k x y a ?=-+????+=??得：2222

()20a k x a kx +-=22

2,C a k x a k ?=+ 从而有

AB AC == --------5分

于是 244

2222

224211(1)2212(1)()()1ABC k k k k

S AB AC a a a k a k a k a k

+===+++++。令1

2t k k

=+≥，有

2222

222,(1)(1)

ABC a t

a S a a t a a t t

?==-+-+

--------- 10分因为222

(1)2(1),a a t a a t

-+≥-21a t a -=时等号成立。

因此当23

max 21,(),1

ABC a a S a a ?-=-t= ------------- 14分

令322273(3)(839)03,1816

a a a a a a a =?---=?==-

21321() 3.16

a a a a a -+>?>+=∴=不合题意，舍去， --------- 17分

四、附加题：（本大题共有2小题，每题25分，共50分。）

．

证

明

由

sin (1).sin BFD ABC BD BF B

S S BC BA B

αγ???==-? ---------5分

(1),(1)DEC AEF ABC ABC

S S

S S βαγβ????=-=-同理

。 ----------

10分

所以，

1(1)(1)(1)ABC BFD DEC AEF

DEF ABC ABC

S S S S S S S αγβαγβ???????---==------ =(1)(1)(1),111αβγαβγαβγαβγ---+≥?===等号成立或或。 ----20分因此ABC DEF S S ??≥ αβγ，等号成立，当且仅当，D 与C 重合，

或E 与A 重合，或F 与B 重合。 ----- 25分 22．证明（1）考虑区域0,0,x n y m <≤<≤且该区域上的格点为nm 个。

又该区域由区域E ：

30,0,x n y ax <≤<≤以及区域F

：0,0y m x <≤<≤

组成。在区域E 上，直线段(,1)x k k N k n +

=∈≤≤上的格点为3

[]ak 个，

所以区域E 上的格点数为31

[]n

k ak =∑

。 -----------------

5分

同理区域F

上的格点数为1

k =∑

。 ----------------- 10分

由

容

斥

原

理

，3

11n

k k N ak mn ==??=+-??∑∑。

-------------------------15分

（2）当a 是一个正整数时，曲线3

y ax =上的点（3

,k ak ）(,1)k N k n +

∈≤≤都是格点，所以（1）中的N=n 。同时，3

m an =。将以上数据代入（1）得

1an n

k k an a k n ===-+=∑

∑2(1)(31)4a n n n n +-+。 -----------------

25分