2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
教学目的:
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义;
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;
3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题;
4.掌握向量垂直的条件.
教学重点:平面向量的数量积定义
教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
教学过程:
一、复习引入:
(1)两个非零向量夹角的概念: 已知非零向量a与b,作=a,OB =b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.
说明:(1)当θ=0时,a与b同向;
(2)当θ=π时,a与b反向;
(3)当θ=2π
时,a与b垂直,记a⊥b;
(4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的.范围0?≤θ≤180?
(2)两向量共线的判定
(3)练习
1.若a=(2,3),b=(4,-1+y),且a∥b,则y=( C )
A.6
B.5
C.7
D.8 2.若A(x ,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则x 的值为( B )
A.-3
B.-1
C.1
D.3
(4)力做的功:W = |F|?|s|cos θ,θ是F 与s 的夹角.
二、讲解新课:
1.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,
则数量|a||b|cos θ叫a与b的数量积,记作a ?b ,即有a ?b = |a||b|cos θ,(0≤θ≤π).
并规定0向量与任何向量的数量积为0.
?探究:1、向量数量积是一个向量还是一个数量?它的符号什么时候为正?什么时候为负?
2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别?
(1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cosθ的符号所决定.
(2)两个向量的数量积称为内积,写成a?b;今后要学到两个向量的外积a×b,而a?b是两个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替. (3)在实数中,若a≠0,且a?b=0,则b=0;但是在数量积中,若a≠0,且a?b=0,不能推出b=0.因为其中cosθ有可能为0.
(4)已知实数a、b、c(b≠0),则ab=bc ? a=c.但是a?b = b?c a = c
如右图:a?b = |a||b|cosβ = |b||OA|,b?c = |b||c|cosα = |b||OA|
? a?b = b?c 但a ≠ c
(5)在实数中,有(a?b)c = a(b?c),但是(a?b)c ≠ a(b?c)
显然,这是因为左端是与c共线的向量,而右端是与a共线的向量,而一般a与c不共线.
2.“投影”的概念:作图
定义:|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量,不是向量;
当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;
当θ = 0?时投影为 |b|;当θ = 180?时投影为-|b|.
3.向量的数量积的几何意义:
数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积.
探究:两个向量的数量积的性质:设a、b为两个非零向量,
1、a⊥b ? a?b = 0
2、当a与b同向时,a?b = |a||b|;当a与b反向时,a?b = -|a||b|.
特别的a?a = |a|2或
a
a
a?
=|
| |a?b| ≤ |a||b| cosθ =|
||
|b
a
b
a?
探究:平面向量数量积的运算律
1.交换律:a ? b = b ? a
证:设a,b夹角为θ,则a ? b = |a||b|cosθ,b ? a = |b||a|cosθ∴a ? b = b ? a
2.数乘结合律:(λa)?b =λ(a ?b) = a ?(λb)
证:若λ> 0,(λa)?b =λ|a||b|cos θ, λ(a ?b) =λ|a||b|cos θ,a ?(λb) =λ|a||b|cos θ,
若λ< 0,(λa)?b =|λa||b|cos(π-θ) = -λ|a||b|(-cos θ) =λ|a||b|cos θ,λ(a ?b) =λ|a||b|cos θ, a ?(λb) =|a||λb|cos(π-θ) = -λ|a||b|(-cos θ) =λ|a||b|cos θ.
3.分配律:(a + b)?c = a ?c + b ?c
在平面内取一点O ,作OA = a , = b ,OC = c , ∵a + b (即OB )在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和,即 |a + b| cos θ = |a| cos θ1 + |b| cos θ2
∴| c | |a + b| cos θ =|c| |a| cos θ1 + |c| |b| cos θ2, ∴c ?(a + b) = c ?a + c ?b 即:(a + b)?c = a ?c + b ?c
说明:(1)一般地,(a·b)с≠a(b·с)
(2)a·с=b·с,с≠0a=b
(3)有如下常用性质:a2=|a|2,
(a+b)(с+d)=a·с+a·d+b·с+b·d
三、讲解范例:
例1.证明:(a+b)2=a2+2a·b+b2
例2.已知|a|=12, |b|=9,254-=?b a
,求a 与b 的夹角。
例3.已知|a|=6, |b|=4, a 与b 的夹角为60o 求:(1)(a+2b)·(a -3b). (2)|a+b|与|a-b|. ( 利用 a a a ?=|| )
例4.已知|a|=3, |b|=4, 且a 与b 不共线,k 为何值时,向量a+kb 与a-kb 互相垂直.
四、课堂练习:
1.P106面1、2、3题。
2.下列叙述不正确的是( )
A. 向量的数量积满足交换律
B. 向量的数量积满足分配律
C. 向量的数量积满足结合律
D. a·b 是一个实数
3.|a|=3,|b|=4,向量a+43b 与a-43
b 的位置关系为( )
A.平行
B.垂直
C.夹角为3
D.不平行也不垂直
4.已知|a|=8, |b|=10, |a+b|=16,求a 与b 的夹角.
五、小结:
1.平面向量的数量积及其几何意义;
2.平面向量数量积的重要性质及运算律;
3.向量垂直的条件. 六、作业:《习案》作业二十三。
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
重庆巴蜀中学 关于开展校本课程总结表彰及等级评定的通知各位校长、各位老师: 为了调动学校广大教职工积极参与新课程改革,开发校本课程,促进学校办出特色,促进教师专业发展;也为了整理、总结学校开展校本课程建设的成果,不断提高教师、学校实施校本课程建设的能力,经学校研究,决定自2011年起,每年进行一次校本课程建设总结表彰。现将《巴蜀中学校本课程评价方案》(见附一)公布于此,并对校本课程等级申报、评定工作,做如下部署,请各位老师参照执行。 1、凡是参与过高2011级高一(下)选修课程开设(具体课程名称及指导教师姓名,见附三)的教师及课程;凡是参与过高2013级高一(下)选修课程开设(具体课程名称及指导教师姓名,见附四)的教师及课程,因相关资料在学校已有存档,故相关课程教师,可以不再提交资料及填写申报表,学校组织专家组根据学校已有资料进行评审。 2、学校除高2011级、高2013级外,在其他年级开设过选修课的老师,或附 3、附4有遗漏、错误的教师,请将开课的相关材料进行整理,于7月29日以前将纸质材料,课程等级申报表(见附二)交到本部行政楼二楼课改处。或发往bashu_zhang@https://www.wendangku.net/doc/cd11668836.html,。逾期不予受理申报申请。 重庆巴蜀中学 2011年7月21日
附一: 巴蜀中学校本课程评价方案 (试行) 一、指导思想及评价原则 落实学校教育理念。校本课程开设要符合学校“教育以人为本,校长以教师为本,教师以学生为本”的教育理念,发现和发展学生的潜能,促进学生全面发展和个性成长,引领教师多元发展。 贯穿学校德育主线。校本课程必须体现学校的“善为根、雅为骨、志为魂”的育人理念,校本课程评价必须依托“公正诚朴”的校训,提升学生对“善雅志”的感悟,培养紧跟时代主旋律的合格中学生。 彰显区域发展特色。校本课程在“131”校本课程体系内,教师可以选择自己认为合适的任何内容来设计课程,但课程的选择要体现学校的办学特色及学校所在区域的政治、经济、文化、社会等各方面实际情况,体现区域发展特色。 把握时代发展脉搏。校本课程的提出和教学内容设计必须符合时代发展的特征,扎根经济、政治、文化和社会的丰厚土壤,尽量体现经济发展的方向、政治民主法治建设进程、文化发展的趋势和社会发展的热点。总之,校本课程要引领时代发展潮流。 坚持科学发展思路。校本课程是在国家课程基础上的拓展,学生能否实现知识、能力、视野的拓展,能否实现情感、态度、价值观的感悟是评价校本课程实施成效的重要内容。因此,校本课程的开发必须与国家课程相一致,与学生身心特点相适应,与学生的兴趣爱好相一致,帮助学生认识科学规律、接受人文熏陶。 二、评价策略
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
2014-2015重庆巴蜀高一(上)期末 物理试卷 一、单项选择题(本题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的) 1.下列说法正确的是( ) A .研究地球的公转不能把地球当成质点 B .空间站中的物体由于处于失重状态会失去惯性 C .只有物体做单向直线运动,位移的大小才和路程相等 D .物体对桌面的压力和物体的重力是一对作用力与反作用力 2.如图所示为质点B 、D 的运动轨迹,两个质点同时从A 出发,同时到达C , 下列说法正确的是( ) A .质点B 的位移大 B .质点D 的路程大 C .质点D 的平均速度大 D .质点B 的平均速率大 3.从同一地点同时开始沿同一直线运动的两个物体Ⅰ、Ⅱ的速度图象如图所示.在0-t 0时间 内,下列说法中正确的是( ) A .Ⅰ、Ⅱ两个物体所受的合外力都在不断减小 B .Ⅰ物体的加速度不断增大,Ⅱ物体的加速度不断减小 C .Ⅰ、Ⅱ两个物体在t 1时刻相遇 D .Ⅰ、Ⅱ两个物体的平均速度大小都是 12 2 v v 第2题 第3题
4.一个质量为50kg 的人,站在竖直向上运动的升降机地板上,升降机加速度大小2m/s 2, 若g 取10m/s 2,这时人对升降机地板的压力可能等于( ) A .400 N B .500 N C .700 N D .0 5.在地面上方某处,将一个小球以V=20m/s 初速度竖直上抛,则小球到达距抛出点10m 的 位置所经历的时间可能为(g=10m/s 2)( ) A . 2S B .(2- 2)s C .(2+2)s D .(2+ 6)s 6.如图所示,清洗楼房光滑玻璃的工人常用一根绳索将自己悬在空中,工人及其装备的总重量为G ,且视为质点.悬绳与竖直墙壁的夹角为α,悬绳对工人的拉力大小为F 1,墙壁对工人的弹力大小为F 2,则( ) A .F 1= sin G B .F 2=Gtanα C .若工人缓慢下移,增加悬绳的长度,则F 1与F 2的合力变大 D .若工人缓慢下移,增加悬绳的长度,则F 1减小,F 2增大 7.如图所示,传送带向右上方匀速运转,若石块从漏斗里无初速度掉落 到传送带上,然后随传送带向上运动,下述说法中正确的是( ) A .石块落到传送带上可能先做加速运动后做减速运动 B .石块在传送带上一直受到向右上方的摩擦力作用 C .石块在传送带上一直受到向左下方的摩擦力作用 D .开始时石块受到向右上方的摩擦力后来不受摩擦力 8.一小船在静水中的速度为5m/s ,它在一条河宽150m ,水流速度为4m/s 的河流中渡河, 则该小船( ) A .不能到达正对岸 B .渡河的时间可能小于30s C .以最短位移渡河时,位移不能为150m D .以最短时间渡河时,它沿水流方向的位移大小为120m