如何求解双动点线段长的最小值问题

如何求解双动点线段长的最小值问题

双动点线段是指线段的两个端点都在某个图形上运动的线段．由于线段的两个端点都在运动，因此增加了解决问题的难度，这类问题的解题策略是：消点——将双动点转化为单动点，然后利用“垂线段最短”确定单动点线段长的最小值，进而得到双动点线段长的最小值．下面举例说明．

例1 如图1，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC，BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是_______．

说明本题构造矩形，利用“矩形的对角线相等“将双动点线段DE转化为单动点线段CF．达到消点目的．

例2 如图2，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD＝CE．连结DE，则DE长的最小值是_______．

由“垂线段最短”可知，当DF ⊥AC 时DF 长最小，此时，DF ＝

12AC=12

×8＝4，

∴DE 长的最小值是 说明 本题构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的斜边与直角边的关系，将双动点线段DE 与单动点线段DF 建立联系，进行消点．

例3 如图3，已知点A 在反比例函数y ＝6x

的图象上，且点A 横坐标为2．现将一个含30°的三角板的直角顶点与点A 重合并绕点A 旋转，旋转时三角板的两直角边与x 轴的交点分别为点B 、C ，则线段BC 的最小值是_________．

解析 过点A 作AD ⊥BC 于点D ，取线段BC 的中点E ，连结AE ．

当x ＝2时，y ＝6x

＝3， ∴点A 坐标为(2，3)，

∴AD ＝3．

∵∠BAC ＝90°，E 为线段BC 的中点，

∴BC ＝2AE ．

由“垂线段最短”可知，当AE ⊥BC 时AE 最小，此时AE ＝AD ＝3．

∴BC 的最小值为6．

说明 本题构造三角形中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，将双动点线段BC 与单动点线段AE 建立联系，从而灵活消点．

例4 如图4，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 过点A （－4，0）、B(O ，4)，⊙O 的半径为1（O 为坐标原点），点P 在直线AB 上，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为_______．

解得OP＝

说明本题构造直角三角形，利用勾股定理将双动点线段PQ与单动点线段OP建立联系，从而巧妙消点．

例5 如图5，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝D是线段BC

上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于点E、F，连结EF，则线段EF长度的最小值为_______．

解析作直径EG，则∠EFG＝90°，

∠G＝∠BAC＝60°，EG＝AD．

在Rt△EFG中，

EF＝EG·sin∠G

＝AD·sin60AD．

过点A作AH⊥BC，垂足为点H，

在Rt△ABH中，

AH＝AB·sin∠ABC＝sin45°

＝＝2．

由“垂线段最短”可知，AD≥AH，

∴线段EF长的最小值为

2

说明本题构造直径为斜边的直角三角形，利用同圆的直径都相等，将双动点线段EF与单动点线段AD建立联系，实现消点．

七年级数学 线段上的动点问题

专训2线段上的动点问题 名师点金：解决线段上的动点问题一般需注意：（1）找准点的各种可能的位置；（2）通常可用设元法，表示出移动变化后的线段的长（有可能是常数，那就是定值），再由题意列方程求解. 线段上动点与三等分点问题的综合 1.如图，在射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝20 cm，AB＝60 cm，BC＝10 cm，点P从点O出发，沿OM方向以1 cm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时，P、Q均停止运动），两点同时出发. （1）当PA＝2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点Q的运动速度. （2）若点Q运动速度为3 cm/s，经过多长时间P、Q两点相距70 cm. （第1题） 线段上动点问题中的存在性问题 2.如图，已知数轴上A，B两点对应的数分别为－2，6，O为原点，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x. （第2题） （1）PA＝，PB＝（用含x的式子表示）. （2）在数轴上是否存在点P，使PA＋PB＝10？若存在，请求出x的值；若不存在，请

说明理由. （3）点P 以1个单位长度/s 的速度从点O 向右运动，同时点A 以5个单位长度/s 的速度向左运动，点B 以20个单位长度/s 的速度向右运动，在运动过程中，M ，N 分别是AP ， OB 的中点，问：AB －OP MN 的值是否发生变化？请说明理由. 线段和差倍分关系中的动点问题 3.如图，线段AB ＝24，动点P 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB 运动，M 为AP 的中点，设P 的运动时间为x 秒. （1）当PB ＝2AM 时，求x 的值. （2）当P 在线段AB 上运动时，试说明2BM －BP 为定值. （3）当P 在AB 延长线上运动时，N 为BP 的中点，下列两个结论：①MN 长度不变；②MA ＋PN 的值不变.选择一个正确的结论，并求出其值. （第3题）

专题：二次函数中的动点问题2(平行四边形存在性问题)

y x O 二次函数中的动点问题（二） 平行四边形的存在性问题 一、技巧提炼 1、二次函数y=ax 2 +bx+c 的图像和性质 a ＞0 a ＜0 图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标 最 值 当x ＝ 时，y 有最 值是 当x ＝ 时，y 有最 值是 增减 性 在对称轴左侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 在对称轴右侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 2、平行四边形模型探究 如图1，点A ()11,x y 、B ()22,x y 、C ()33,x y 是坐标平面内不在同一直线上的三点。平面直角坐标系中是否存在点D ，使得以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点D 的坐标。 A B C x y 图1 图2 如图2，过A 、B 、C 分别作BC 、AC 、AB 的平行线，则以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个。

由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标。 3、平面直角坐标系中直线和直线l2: 当l1∥l2时k1= k2;当l1⊥l2时k1·k2= -1 4、二次函数中平行四边形的存在性问题： 解题思路：（1）先分类（2）再画图（3）后计算 二、精讲精练 1、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点（A、B分别在原点的左右两侧），与y轴正半轴相交于C 点，且OA：OB：OC=1：3：3，△ABC的面积为6，（如图1） （1）求抛物线的解析式； （2）坐标平面内是否存在点M，使得以点M、A、B、C为顶点四边形是平行四边形若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，在直线BC上方的抛物线上是否存在一动点P，△BCP面积最大如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

初三数学动点问题

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双（多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题。本专题原创编写单动点形成的面积问题模拟题。 在中考压轴题中，单动点形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。 原创模拟预测题1.某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8. 问题思考： 如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE. （1）在点P运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果时求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值. （2）分别连接AD、DF、AF， AF交DP于点A，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由. 问题拓展： （3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8.若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向D点运动，求点P从A到D的运动过程中， PQ 的中点O所经过的路径的长。

最好的数轴上的线段与动点问题

1、已知线段AB ＝12，CD ＝6，线段CD 在直线AB 上运动，（A 在B 的左侧，C 在D 的左侧） （1）M 、N 分别是线段AC 、BD 的中点，若BC ＝4，求MN 。 （2）当CD 运动到D 点与B 点重合时，P 是线段AB 的延长线上一点，下列两个结论： ○1 PA + PB PC 是定值，○2 PA - PB PC 是定值。其中有一个正确，请你作出正确的选择，并求出其定值。 2、如图，已知数轴上有三点A 、B 、C ，AB ＝ 1 2 AC ，点C 对应的数是200。 （1）若BC ＝300，求A 点所对应的数； （2）在（1）的条件下，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发向左运动，同时动点R 从A 点出发向右运动，点 P 、Q 、R 的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点M 为线段PR 的中点，点N 为线段RQ 的中点，多少秒时恰好满足MR ＝4RN （不考虑点R 与点Q 相遇之后的情形） （3）在（1）的条件下，若点E 、D 对应的数分别为－800、0，动点P 、Q 分别从E 、D 两点同时出发向左运动， P 、Q 的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，点M 为线段PQ 的中点，点Q 在从点D 运动到点 A 的过程中，3 2 QC －AM 的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由。 3、数轴上A 点对应的数为－5，B 点在A 点右边，电子蚂蚁甲、乙在B 分别以2个单位/秒、1个单位/秒的速度 C B A R Q P C A 200 -800 D C

向左运动，电子蚂蚁丙在A 以3个单位/秒的速度向右运动。 （1）若电子蚂蚁丙经过5秒运动到C 点，求C 点表示的数； （2）若它们同时出发，若丙在遇到甲后1秒遇到乙，求B 点表示的数； （3）在（2）的条件下，设它们同时出发的时间为t 秒，是否存在t 的值，使丙到乙的距离是丙到甲的距离的 2倍？若存在，求出t 值；若不存在，说明理由。 4、已知数轴上A 、B 两点对应数为－2、4，P 为数轴上一动点，对应的数为x 。 ⑴若P 为AB 线段的三等分点，求P 对应的数； ⑵数轴上是否存在P ，使P 到A 点、B 点距离和为10，若存在，求出x ；若不存在，说明理由。 ⑶A 点、B 点和P 点（P 在原点）分别以速度比1 ：1 ：2（长度：单位/分），向右运动几分钟时，P 为AB 的中点。 5、如图，若点A 在数轴上对应的数为a ，点B 在数轴上对应的数为b ，且a ，b 满足 ()0122 =-++b a -5B -5B -5 B 43210-1-2B A

爱智康2017七年级尖子班春季讲义第1讲平行线动点问题

平行线动点问题 模块一 课前检测 【题1】将一块等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若∠1=60°，则∠2的度数为 ． 【题2】如图，AB ∥DE ，∠1＝25°，∠2＝110°，求∠BCD 的度数． 【题3】如图AM ∥BN ，C 是BN 上一点，O 是射线CP 上的点，∠MAO 的平分线与∠OBN 的平分线交于点D ． （1）当点O 在AM 与BN 之间时，如图1所示，求证：∠D ＝12 ∠AOB ； （2）当点O 在AM 上方时，如图2所示，试判断（1）中的结论是否依然成立，给出结论，并对你给出的结论加以证明． 模块二 动点与角度 21E D C B A 21图1 N M O A B C D P 图2M N A B C O D P

知识点睛 变相考察平行线四大模型，依然遵循“逢拐作平行”原则． 典型例题 【例1】已知AB ∥CD ，线段EF 分别与AB 、CD 相交于E 、F ． （1）如图1，当∠A ＝20°，∠APC ＝70°时，求∠C 的度数； （1）如图2，当点P 在线段EF 上运动时（不包括E 、F 两点），∠A 、∠APC 与∠C 之间有怎样的数量关系？试证明你的结论； （3）如图3，当点P 在线段EF 的延长线上时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，试探究它们之间新的数量关系并证明． 【巩固】直线AB ∥CD ，直线a 分别交AB 、CD 于E 、F ，点M 在直线EF 上，点P 是直线CD 上的一个动点（点P 不与点F 重合）． （1）如图，当点P 在射线FC 上移动时，∠FMP +∠FPM 与∠AEF 有什么数量关系，请说明理由； （2）当点P 在射线FD 上移动时，请画出图形并探究∠BEM 、∠DPM 、∠EMP 有什么数量关系，请说明图3 图1图2A E B C F D P A E B C F D P A B C D P E F A B E M

动点问题中的最值、最短路径问题(解析版)

专题01 动点问题中的最值、最短路径问题 动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数学，自数轴起始，至几何图形的存在性、几何 图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中. 其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而其中又有一些 技巧性很强的数学思想（转化思想），本专题以几个基本的知识点为经，以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法. 一、基础知识点综述 1. 两点之间，线段最短； 2. 垂线段最短； 3. 若A 、B 是平面直角坐标系内两定点，P 是某直线上一动点，当P 、A 、B 在一条直线上时，PA PB 最大，最大值为线段AB 的长（如下图所示）； （1）单动点模型 作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位 置. 如下图所示，P 是x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值的作图.

（2）双动点模型 P 是∠AOB 内一点，M 、N 分别是边OA 、OB 上动点，求作△PMN 周长最小值. 作图方法：作已知点P 关于动点所在直线OA 、OB 的对称点P ’、P ’’，连接P ’P ’’与动点所在直线的交点 M 、N 即为所求. O B P P' P''M N 5. 二次函数的最大（小）值 ()2 y a x h k =-+，当a >0时，y 有最小值k ；当a <0时，y 有最大值k . 二、主要思想方法 利用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图形解答. （详见精品例题解析） 三、精品例题解析 例1. （2019·凉山州）如图，正方形ABCD 中，AB =12，AE =3，点P 在BC 上运动（不与B 、C 重合），过点P 作PQ ⊥EP ，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为 例2. （2019·凉山州）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8,0），（0,8）. 点C 、F 分别是直线x =－5 和x 轴上的动点，CF =10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当△ABE 面积取最小值时，tan ∠BAD =（ ）

(完整版)有关线段的动点问题

有关线段的动点问题 1．如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和8． （1）求线段AB的长； （2）若P为射线BA上的一点（点P不与A、B两点重合，M为PA的中点，N为PB的中点，当点P在射线BA上运动时；MN的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；若改变，请说明理由． 2．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB=10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒， （1）写出数轴上点B所表示的数； （2）点P所表示的数；（用含t的代数式表示）； （3）M是AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长． 3．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点同时从P、B出发分别以1cm/s和2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）．已知C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC． （1）线段AP与线段AB的数量关系是：； （2）若Q是线段AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求证：AP=PQ； （3）若C、D运动5秒后，恰好有CD=AB，此时C点停止运动，D点在线段PB上继续运动，M、N分别是CD、PD的中点，问的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值．

4．如图，已知：线段AD=10cm，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，设点B运动时间为t秒（0≤t≤10）． （1）当t=6秒时，AB=cm； （2）用含t的代数式表示运动过程中AB的长； （3）在运动过程中，若AB中点为E，BD的中点为F，则EF的长是否发生变化？若不变，求出EF的长；若发生变化，请说明理由． 5．如图，C为线段AB延长线上一点，D为线段BC上一点，CD=2BD，E为线段AC上一点，CE=2AE （1）若AB=18，BC=21，求DE的长； （2）若AB=a，求DE的长；（用含a的代数式表示） （3）若图中所有线段的长度之和是线段AD长度的7倍，则的值为． 6．如图，在射线OM上有三点A、B、C，满足OA=20cm，AB=60cm，BC=10cm（如图所示），点P从点O出发，沿OM方向以1cm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO 上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发． （1）当PA=2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点Q的运动速度．（2）若点Q运动速度为3cm/s，经过多长时间P、Q两点相距70cm． （3）当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，求的 值．

第1讲平行线动点问题-尖子班

【题1】将一块等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若∠1=60°，则∠2 的度数为 【题2】如图，AB ∥DE ，∠1=25°，∠2=110°，求∠BCD 的度数． 【题3】如图，AM ∥BN ，C 是BN 上一点，O 是射线CP 上的点，∠MAO 的平分线与∠OBN 的平分线交于点D ． （1）当点O 在AM 与BN 之间时，如图2所示，求证：∠D=12 ∠AOB ；（2）当点O 在AM 上方时，如图3所示，试判断（1）中的结论是否依然成立，给出结 论，并对你给出的结论加以证明． 平行线动点问题 模块一课前检测

变相考察平行线四大模型，依然遵循“逢拐作平行”原则。 【例1】已知AB ∥CD ，线段EF 分别与AB 、CD 相交于点E 、F ． （1）如图①，当∠A=20°，∠APC=70°时，求∠C 的度数； （2）如图②，当点P 在线段EF 上运动时（不包括E 、F 两点），∠A 、∠APC 与∠C 之间有怎样的数量关系？试证明你的结论； （3）如图③，当点P 在线段EF 的延长线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立， 请说明理由；如果不成立，试探究它们之间新的数量关系并证明． 模块二 动点与角度 知识点睛典型例题

【巩固】直线AB∥CD，直线a分别交AB，CD于点E，F，点M在直线EF上，点P是直线CD上的一个动点（点P不与点F重合） （1）如图，当点P在射线FC上移动时，∠FMP+∠FPM与∠AEF有什么数量关系，请说明理由． （2）当点P在射线FD上移动时，请画出图形并探究∠BEM，∠DPM，∠EMP有什么数量关系，请说明理由 【变式】如图，已知直线EF∥MN，点A、B分别为EF、MN上的动点，且∠ACB=90°，BD 平分∠CBN交EF于D． （1）若∠FDB＝120°，如图1，求∠MBC的度数； （2）在（1）的条件下，如图1，求∠EAC的度数； （3）延长AC交直线MN于G，如图2，GH平分∠AGB交DB于H，问∠GHB是否为定值，若是，请求值，若不是，请说明理由．

八年级数学上册第7章小专题_巧解平行线中的拐点问题(北师大版)

小专题12 巧解平行线中的拐点问题 【教材母题】（教材P186复习题T15（1））已知：如图，直线//AB ED .求证：ABC CDE BCD ∠+∠=∠. 【解答】 变式1，当点C 运动到如图所示的位置 如图，直线//AB ED B BCD ∠∠，，，D ∠之间的关系是______________. 【拓展】（商丘柘城中学月考）（1）如图1，若//AB CD ，则12B D E E ∠+∠+∠+∠的度数为_____________； （2）如图2，若//AB CD ，则123B D E E E ∠+∠+∠+∠+∠的度数为_________； （3）如图3，若//AB CD 猜想12n B D E E E ∠+∠+∠+∠+???+∠的度数为_________. 变式2 当点C 运动到如图所示的位置 已知//AB ED ，点C 为AB ，ED 之外任意一点. （1）如图1，B BCD D ∠∠∠，，之间的关系是______________； （2）如图2，B EDC C ∠∠∠，，之间的关系是______________. 方法指导 解决平行线的拐点间题，常用方法为：根据题目中已知的平行线和“拐点”的情况，在“拐点”处作已知平行线的平行线，然后根据平行线的性质得到相应的结论.

针对训练 1.（随州中考）如图，在平行线12,l l 间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A ，B 分别在直线12,l l 上.若∠1=65°，则∠2的度数是（ ） A. 25 B. 35 C. 45 D. 65? ??? 2.（聊城中考）如图，直线//AB EF ，点C 是直线AB 上一点，点D 是直线AB 外一点.若95BCD ?∠=，25CDE ?∠=，则DEF ∠的度数是（ ） .110?A .115?B C.120? D.125? 3.（莱芜中考）如图，//61AB CD BED ?∠=，，ABE ∠的平分线与CDE ∠的平分线交于点F ，则DFB ∠=（ ） .149?A .149.5?B C.150? D.150.5? 4.如图1，已知//30120AB CD B D ??∠=∠=，，. （1）若60BEF ?∠=，则EFD ∠=____________； （2）探索BEF EFD ∠∠与之间满足的数量关系，并说明理由； （3）如图2，已知EP 平分BEF ∠，FG 平分EFD ∠，反向延长FG 交EP 于点P ，求P ∠的度数.

线段角动点问题

七年级线段动点问题 1、如图1，直线AB 上有一点P ，点M 、N 分别为线段PA 、PB 的中点AB=14． （1）若点P 在线段AB 上，且AP=8，则线段MN 的长度为 ； （2）若点P 在直线AB 上运动，试说明线段MN 的长度与点P 在直线AB 上的位置无关； （3）如图2，若点C 为线段AB 的中点，点P 在线段AB 的延长线上，下列结论：①PC PB PA - 的值不变；②PC PB PA +的值不变， 请选择一个正确的结论并求其值． 2、已知直线l 上有一点O ，点A 、B 同时从O 出发，在直线l 上分别向左、向右作匀速运动，且A 、B 的速度比为1:2，设运动时间为t s ． （1）当t =2s 时，AB =12cm ．此时， ① 在直线l 上画出A 、B 两点运动2秒时的位置，并回答点A 运动的速度是________cm /s ； 点B 运动的速度是________cm /s ． ② 若点P 为直线l 上一点，且P A －PB=OP ，求OP AB 的值； （2）在（1）的条件下，若A 、B 同时按原速向左．．．．运动，再经过几秒，OA=2OB ． 3、已知数轴上A 、B 两点对应数分别为-2和4，P 为数轴上一点，对应数为x . （1）若P 为线段AB 的三等分点，求P 点对应的数 （2）数轴上是否存在点P ，使P 点到A 点、B 点距离和为10？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由 （3）若点A 、点B 和点P （P 点在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1、2、1个单位长度/分，则第几分钟时，P 为AB 的中点.

4、如图所示，在数轴上A 点表示数a ，B 点表示数b ，且a 、b 满足2690a b ++-= (1) 点A 表示的数为 ， 点B 表示的数为 ； (2) 若点A 与点C 之间的距离表示为AC ，点B 与点C 之间的距离表示为BC ，请在点A ．、点．B ．之间的数轴上．．．．．． 找一点C ，使BC=2AC ，则C 点表示的数为 ； (3) 在(2)的条件下，若一动点P 从点A 出发，以3个单位长度／秒速度由A 向B 运动；同 一时刻，另一动点Q 从点C 出发，以1个单位长度／秒速度由C 向B 运动，终点都为B 点．当一点到达终点时，这点就停止运动，而另一点则继续运动，直至两点都到达终点时才结束整个运动过程．设点Q 运动时间为t 秒． ① 用含t 的代数式表示：点P 到点A 的距离PA= ，点Q 到点B 的距离QB= ； ② 当t 为何值时，点P 与点Q 之间的距离为1个单位长度． 5、已知数轴上有A 、B 、C 三点，分别表示有理数-26，-10，10，动点P 从A 出发，以每秒1 个单位的速度向终点C 移动，设点P 移动时间为t 秒． （1）用含t 的代数式表示P 到点A 和点C 的距离：PA=______，PC=______． （2）当点P 运动到B 点时，点Q 从A 出发，以每秒3个单位的速度向C 点运动，Q 点到达C 点后，再立即以同样的速度返回点A ，在点Q 开始运动后，P,Q 两点之间的距离能否为 2个单位长度？如果能，请求出t 的值和此时P 表示的数；如果不能，写明理由。 6、如图1，在长方形ABCD 中，12AB =厘米，6BC =厘米．点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2厘米/秒的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1厘米/秒的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t (秒)表示移动的时间, 那么： ⑴ DQ = 厘米, AP = 厘米(用含t 的代数式表示) ⑵ 如图1，当t = 秒时，线段AQ 与线段AP 相等? ⑶ 如图2，P 、Q 到达B 、A 后继续运动，P 点到达C 点后都停止运动。当t 为何值时，线段AQ 的长等于线段CP 的长的一半。

人教版初一数学下册相交线与平行线的动点问题

课题相交线与平行线的动点问题 教学目标知识与技能 1.运用平行线的判定与性质进行角的计算与证 明; 2.在探究动点问题的过程中，体会图形之间变化 及联系，培养学生的识图和逻辑推理能力. 过程与方法 在探究由点运动而产生的角的关系发生变化的过程中，学会通过观察、比较、分析、归纳去解决问题.情感价值观 培养学生的团队合作精神，培养学生分析解决问题的能力，使学生养成良好的学习习惯. 教学重点运用平行线的判定与性质进行角的计算与证明； 能够认识和分析图形，并利用数学的语言表达所探究的结论．教学难点探究出点在运动的过程中所产生的不同基本图形的联系与区别 学情分析 学生刚接触几何不久，认识和分析图形的能力不强，逻辑推理能力、空间想象能力及规范的几何表述能力都有待提高. 教学内容分析 相交线与平行线是平面几何中的重要内容，而动点问题是中考考查中的常考考点.本节课以几个基本图形为切入点，以动点问题为背景，通过师生的合作,利于提高学生分析几何问题，解决几何问题的能力. 媒体资源黑板，三角板，多媒体投影 教学过程 教学 流程教学活动学生 活动 设计 意图

学生利用平行线的的性质和判定求解出几个基本图形中三个重要角的数量关系。为下面解决动点问题做铺垫，分解难点. 独立 思考 交流 完成 类比 归纳 证明 明确知 识，引 出课题 例题讲解 例.如图,线段AB经过平移后得到线段CD,分别 连接AC、BD,点M、N分别为AC、BD的中点. (1)线段AC、BD的关系是 ; 强调易错点：线段的关系指的是数量关系和位置 关系. (2)点P是线段CD上一个动点，连接MP、NP，当点 P在线段CD上运动时，AMP与BNP、MPN的数量 关系是 ; 让学生尝试去认识基本图形，构建基本图形.师 学生 分析 ， 独立 完成 ， 教师 板书 关键 步骤 重视基 础知识 ，让学 困生也 有所收 获. 基本图 形与动 点问题 的简单 结合. 总结解 B A C D M N

爱智康2017七年级尖子班春季讲义第1讲平行线动点问题

平行线动点问题 模块一 课前检测 【题1】将一块等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若∠1=60°，则∠2的度数为 ． 【题2】如图，AB ∥DE ，∠1＝25°，∠2＝110°，求∠BCD 的度数． 【题3】如图AM ∥BN ，C 是BN 上一点，O 是射线CP 上的点，∠MAO 的平分线与∠OBN 的平分线交于点D ． （1）当点O 在AM 与BN 之间时，如图1所示，求证：∠D ＝ 1 2 ∠AOB ； （2）当点O 在AM 上方时，如图2所示，试判断（1）中的结论是否依然成立，给出结论，并对你给出的结论加以证明． 模块二 动点与角度 21E D C B A 2 1 图1N M O A B C D P 图2 M N A B C O D P

知识点睛 变相考察平行线四大模型，依然遵循“逢拐作平行”原则． 典型例题 【例1】已知AB ∥CD ，线段EF 分别与AB 、CD 相交于E 、F ． （1）如图1，当∠A ＝20°，∠APC ＝70°时，求∠C 的度数； （1）如图2，当点P 在线段EF 上运动时（不包括E 、F 两点），∠A 、∠APC 与∠C 之间有怎样的数量关系？试证明你的结论； （3）如图3，当点P 在线段EF 的延长线上时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，试探究它们之间新的数量关系并证明． 【巩固】直线AB ∥CD ，直线a 分别交AB 、CD 于E 、F ，点M 在直线EF 上，点P 是直线CD 上的一个动点（点P 不与点F 重合）． （1）如图，当点P 在射线FC 上移动时，∠FMP +∠FPM 与∠AEF 有什么数量关系，请说明理由； 图3 图1图2A E B C F D P A E B C F D P A B C D P E F

动点问题最值

G F D A B C E 动点问题最值 最值问题有四种情形：定点到动点的最值，动点在圆上或直线上，就是点到圆的最近距离，和点到直线的最近距离；三角形两边之和大于第三边的问题，当两边成一直线最大；几条线段之和构成一条线段最小；还有就是对称点最小问题。 一、定点到动点所在圆的最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质是圆外一点到圆的最大或最小距离，就是定点与圆心所在直线与圆的交点的两个距离。 方法：证明动点在圆上或者去找不变的特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边的值。 1．如图，△ABC 、△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、 FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是（ ） A ．32- B ．13+ C ．2 D ．13- 提示：点M 在以AC 为直径的圆上 2．（2015?咸宁）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是边BC 上的动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ．下列说法：①AG ＞GE ；②AE =BF ；③点G 运动的路径长为π；④CG 的最小值为 ﹣1．其中正确的说法是 ②③ ．（把你认为正确的说法的序号都填上） 提示：G 在以AB 为直径的圆上：正确答案是：②④ 3、如图，正方形ABCD 的边长为4cm,正方形AEFG 的边长为1cm ，如果正方形AEFG 绕点A 旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为 4、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°,M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度的最小值是

线段中的动点问题

线段中的动点问题专项练习 1、已知方程564m m -=的解也是关于x 的方程()234x n --=的解. （1）求m 、n 的值； （2）已知线段AB=m ，在直线AB 上取一点P ，恰好使AP n PB =，点Q 为PB 的中点，求线段AQ 的长. 2、如图，已知数轴上有三点A 、B 、C ，AB= 1 2 AC ，点C 对应的数是200. （1）若BC=300，求点A 对应的数； （2）在（1）的条件下，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发向左运动，同时动点R 从A 点出发向右运动，点P 、Q 、R 的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点M 为线段PR 的中点，点N 为线段RQ 的中点，多少秒时恰好满足MR=4RN （不考虑点R 与点Q 相遇之后的情形）； （3）在（1）的条件下，若点E 、D 对应的数分别为-800、0，动点P 、Q 分别从E 、D 两点同时出发向左运动，点P 、Q 的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，点M 为线段PQ 的中点，点Q 在从是点D 运动到点A 的过程中，32 QC -AM 的值是否发生变化？若不变，求其值；若不变，请说明理由. B A A C

3、如图, 已知线段AB 上有两点C 、D, 且AC ＝BD ， M 、N 分别是线段AC 、AD 的中点, 若AB ＝a cm , AC ＝BD ＝b cm , 且a 、b 满足2(10)|4|02 b a -+-=. (8分) （1）求AB 、 AC 的长度(4分)。 （2）求线段MN 的长度(4分)。 4、如图，点A 从原点出发沿数轴向左运动，同时，点B 也从原点出发沿数轴向右运动，3秒后，两点相距15个单位长度.已知点B 的速度是点A 的速度的4倍（速度单位：单位长度/秒）. （1）求出点A 、点B 运动的速度，并在数轴上标出A 、B 两点从原点出发运动3秒时的位置；（4分） 解： （2）若A 、B 两点从(1)中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，几秒时，原点恰好处在点A 、点B 的正中间？（4分） 解： （3）若A 、B 两点从(1)中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动时，另一点C 同时从B 点位置出发向A 点运动，当遇到A 点后，立即返回向B 点运动，遇到B 点后又立即返回向A 点运动，如此往返，直到B 点追上A 点时，C 点立即停止运动.若点C 一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C 从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？（4分） 解： 21题图N C B A

平行线拐点问题六种模型题型

平行线常见四种易错题型分析 七年级下学期，平行线常见四种易错题型分析:过拐点作已知直线的平行线。本篇内容，我们接着介绍平行线中常见的六种易错题型，早掌握避免遇到时出错。平行线间拐点问题基本模型有三种: 第一种铅笔模型；第二种M型；第三种猪手模型。 我们还介绍了平行线四大拐点模型：“铅笔”模型、“猪蹄”模型、“臭脚”模型、“骨折”模型，这四类模型的共通点是需要做辅助线，做辅助线的方法比较多，通用的方法为：过拐点作已知直线的平行线。 一、性质定理与判定定理的区分 要分清它们，只要注意：（1）由角得到直线平行，是判定定理，选择①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行，这三个定理之一。（2）由平行的直线得到角的关系，是性质定理，选择①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补，这三个定理之一。 【分析】先由垂直的定义得到：∠2=∠3，然后由同位角相等，两直线平行得到：EF∥BD，再由两直线平行，同位角相等得到：∠4=∠5，然后根据等量代换得到：∠1=∠5，再根据内错角相等，两直线平行得到：DG∥BC，最后由两直线平行，同位角相等即可证∠ADG=∠C．

二、三线八角理解不透彻 很多学生遇到两条平行线被第三条直线所截时，会找同位角、内错角、同旁内角，但是遇到两条相交线被第三条直线所截时，却不会找了，主要原因就是对“三线八角”理解不透彻。要想准确地解决这类问题，首先要明确三种角的位置特点，在前一篇文章中我们特地介绍过，七年级下学期，三线八角、平行线的性质与判定定理，掌握解题诀窍其次要搞清楚被哪条直线所截。 【分析】∠A与∠B的共边线为直线AB，那么直线AB为截线，即直线AC与直线BC被第三条直线AB所截，那么∠A与∠B是同旁内角，正确；∠1与∠2是邻补角，错误；∠2与∠A的共边线为直线AC，是同位角，错误；∠2与∠3是内错角，错误。 三、对平行线的概念理解不透彻

初二动点问题(含标准答案)

动态问题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想数形结合思想转化思想 1、如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从 A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动， 如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。 当t= 时，四边形是平行四边形；6 当t= 时，四边形是等腰梯形 . 8 2、如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任 意一点，则DN+MN的最小值为 5 3、如图，在Rt ABC △中，9060 ACB B ∠=∠= °，°，2 BC=．点O是AC的中点，过 点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作 CE AB ∥交直线l于点E，设直线l的旋转角为α． （1）①当α=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为； ②当α=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为； （2）当90 α=°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由． 解：（1）①30，1；②60，1.5； （2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形 在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300. ∴AB=4,AC ∴AO= 1 2 AC .在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2. ∴BD=2. ∴BD=BC. 又∵四边形EDBC是平行四边形， ∴四边形EDBC是菱形 4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E. (1) 当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE； (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE； (3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明. （备用图）C B E D 图1 N M A B C D E M A C B E D N M

动点问题+角度拔高

动点问题+角度拔高 一．填空题（共1小题） 1．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕．若∠ABE＝30°，则∠DBC为度． 二．解答题（共10小题） 2．已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|＝|a ﹣b|回答问题： （1）数a在数轴上对应的点到1的距离为； （2）已知|a|＝﹣a，求|a﹣1|+|a﹣2|的最小值为； （3）已知a＜b，且有|x﹣1|+|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为5．你能否求出a的值？b的值？ 或a，b之间的关系？

3．已知A、B在数轴上对应的数分别用+2、﹣6表示，P是数轴上的一个动点． （1）数轴上A、B两点的距离为． （2）当P点满足PB＝2PA时，求P点表示的数． （3）将一枚棋子放在数轴上k0点，第一步从k点向右跳2个单位到k1，第二步从k1点向左跳4个单位到k2，第三步从k2点向右跳6个单位到k3，第四步从k3点向左跳8个单位到k4． ①如此跳6步，棋子落在数轴的k6点，若k6表示的数是12，则k o的值是多少？ ②若如此跳了1002步，棋子落在数轴上的点k1002，如果k1002所表示的数是1998，那么k0所表示的数是（请直接写答案）．

4．已知在纸面上有一数轴，折叠纸面． （1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与数表示的点重合（2）若﹣2表示的点与4表示的点重合，回答以下问题： ①数7对应的点与数对应的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2019（点A在B的左侧），且A、B两点经折 叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ （3）点C在数轴上，将它向右移动4个单位，再向左2个单位后，若新位置与原位置到原点的距离相等，则C原来表示的数是多少？请列式计算，说明理由． 5．如图，数轴上有点a，b，c三点 （1）用“＜”将a，b，c连接起来． （2）b﹣a1（填“＜”“＞”，“＝”） （3）化简|c﹣b|﹣|c﹣a+1|+|a﹣1| （4）用含a，b的式子表示下列的最小值： ①|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为； ②|x﹣a|+|x﹣b|+|x+1|的最小值为； ③|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的最小值为．

拔高专题(一) 平行线中的规律探究

拔高专题（一） 平行线中的规律探究 教学目标 1. 掌握平行线中从一般到特殊的较复杂图形问题中的规律. 2. 掌握平行线中的动点问题. 教学过程 一、基本模型构建 常见模型 P D C B A P D C B A 图① 图② 图③ 图④ P D C B A P 2 P 1D C B A 思考 上面四个图中，∠P ，∠A,∠B 的等量关系为： ①∠P=∠A+∠C ； ②∠P=∠C-∠A ； ∠P=∠A-∠C ；④∠A+∠P+∠C=360°. AP 、CP 分别为角平分线，∠P 的度数是_90°. 3.∠BAP 1：∠BAP 2= ∠DCP 1：∠DCP 2= m ：n ，求∠P 1:∠P 2. = m ：n. 二、拔高探究 探究点一：探究平行线中常见模型中的角度关系 例1：1已知如图，AB ∥CD ，试解决下列问题： （1）∠1+∠2= ______； （2）∠1+∠2+∠3= _____； （3）∠1+∠2+∠3+∠4= ______； （4）试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n= ______． 解析：（1）∵AB ∥CD ，∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）； （2）过点E 作一条直线EF 平行于AB ，∵AB ∥CD ，∵AB ∥EF ，CD ∥EF ，∴ ∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°； （3）过点E 、F 作EG 、FH 平行于AB ，∵AB ∥CD ， ∵AB ∥EG ∥FH ∥CD ， ∴∠1+∠AEG=180°，∠GEF+∠EFH=180°，∠HFC+∠4=180°；∴∠1+∠2+ ∠3+∠4=540°； （4）中，根据上述规律，显然作（n-2）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n 个角的和是180°（n-1）． 答案：（1）180°；（2）360°；（3）540°；180°（n-1）． 【变式训练】1.（2015?汉阳区期中）已知：如图，AB ∥CD ，E ，F 分别是AB ，CD 之间的两点，且∠BAF=2∠EAF ，∠CDF=2∠EDF ． （1）判定∠BAE ，∠CDE 与∠AED 之间的数量关系，并证明你的结论； （2）直接写出∠AFD 与∠AED 之间的数量关系. 解：（1）过点E 作EG ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥EG ∥CD ，∴∠AEG=∠BAE ，∠DEG=∠CDE ，∵∠AED=∠AEG+∠DEG ，∴∠AED=∠BAE+∠CDE ； （2）同（1）可得∠AFD=∠BAF+∠CDF ，∵∠BAF=2∠EAF ，∠CDF=2∠EDF ， ∴∠BAE+∠CDE= 23∠BAF+23∠CDF ，∴∠AED=2 3 ∠AFD. 【教师总结】无论平行线中的何种问题，都可转化到基本模型中去解决，把复杂的问题分解到简单模型中，问题便迎刃而解.

数轴上的线段与动点问题

数轴上的线段与动点问题 明确以下几个问题： 1．数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值 ．．．． ．．．．．．．，也即用右边的数减去左边的数的差。即数轴上两 点间的距离 ．．．．．．．．．．．．．．．。 ．．．．．=．右边点表示的数－左边点表示的数 2．点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向作运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a－b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b。 3．数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。 基础题 1.如图所示，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C点. （1）求动点A所走过的路程及A、C之间的距离. （2）若C表示的数为1，则点A表示的数为. 2.画个数轴,想一想 (1)已知在数轴上表示3的点和表示8的点之间的距离为5个单位,有这样的关系5=8-3,那么在数轴上表示数4的点和表示-3的点之间的距离是________单位； (2)已知在数轴上到表示数-3的点和表示数5的点距离相等的点表示数1，有这样的关系1 =-+，那么 1(35) 2 在数轴上到表示数a的点和表示数b的点之间距离相等的点表示的数是__________________. (3)已知在数轴上表示数x的点到表示数-2的点的距离是到表示数6的点的距离的2倍，求数x. 应用题 1已知数轴上有A、B、C三点，分别代表－24，－10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时出发相向而行，甲的速度为4个单位/秒。 ⑴问多少秒后，甲到A、B、C的距离和为40个单位？ ⑵若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？ ⑶在⑴⑵的条件下，当甲到A、B、C的距离和为40个单位时，甲调头返回。问甲、乙还能在数轴上相遇吗？ 若能，求出相遇点；若不能，请说明理由。