袁聪 动点问题探究

动点问题探究

亳州市风华中学授课教师：袁聪

最后一题并不可怕，更要有信心！

图形中的点、线运动，构成了数学中的一个新问题----动态几何。它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。

本节课重点来探究动态几何中的第一种类型----动点问题。

一．问题情境

1.如图：已知ABCD中，AB=7cm，BC=4cm，∠A=30°点P从点A沿AB边向点B 运动，速度为1cm/s。若设运动时间为t(s)，连接PC.当t为何值时，△PBC为等腰三角形？错误！未找到引用源。

D C

30°

A B 二、问题情景变式

2.如图：已知ABCD中，AB=7cm，BC=4cm，∠A=30°, 若点P从点A沿射线AB运动，速度仍是1cm/s。当t为何值时，△PBC为等腰三角形？

D C

30°

A B

二、问题情景变式

3.如图：已知ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°。当t＞7时，是否存在某一时刻t,使得线段DP将线段BC三等分？

D C

30°

A B

（五）实践新知提炼运用

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P由点A出发，沿AC向C

运动，速度为2cm/s，同时点Q由AB中点D出发，沿DB向B运动，速度为1cm/s，连接PQ，若设运动时间为t(s) (0＜t ≤3)

（1）当t为何值时，PQ∥BC?

A

D

B C

(2)设△APQ的面积为y( cm2 )，求y与t之间的函数关系。

A

D P

Q

B C

(3)是否存在某一时刻t，使△APQ的面积与△ABC的面积比为7︰15？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由。（4）连接DP,得到△QDP，那么是否存在某一时刻t，使得点D在线段QP的垂直平分线上？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由。

A

D

Q P

B C

最后一题并不可怕，更要有信心！

要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。

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二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)33935

函数解题思路方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 动点问题题型方法归纳总结 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 二、 抛物线上动点 5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；

(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标． 注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为 顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M 为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平 分线与对称轴交点即为所求点P。 第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方 法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。

初三数学动点问题

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双（多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题。本专题原创编写单动点形成的面积问题模拟题。 在中考压轴题中，单动点形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。 原创模拟预测题1.某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8. 问题思考： 如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE. （1）在点P运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果时求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值. （2）分别连接AD、DF、AF， AF交DP于点A，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由. 问题拓展： （3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8.若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向D点运动，求点P从A到D的运动过程中， PQ 的中点O所经过的路径的长。

二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)

函数解题思路方法总结： ⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标.需转化为一元二次方程； ⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶根据图象的位置判断二次函数ax2+bx+c=0中a,b,c的符号.或由二次函数 中a,b,c的符号判断图象的位置.要数形结合； ⑷二次函数的图象关于对称轴对称.可利用这一性质.求和已知一点对称的点 坐标.或已知与x轴的一个交点坐标.可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸与二次函数有关的还有二次三项式.二次三项式ax2+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；下面以a＞0时为例.揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 动点问题题型方法归纳总结 动态几何特点----问题背景是特殊图形.考查问题也是特殊图形.所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中.特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点.近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或

其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍.解题方法、关键给以点拨。 二、 抛物线上动点 5、（湖北十堰市）如图①. 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A 和点B (－.与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式； (2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M .问在对称轴上是否存在点P .使△CMP 为等腰三角形若存在.请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在.请说明理由． (3) 如图②.若点E 为第二象限抛物线上一动点.连接BE 、CE .求四边形BOCE 面积的最大值.并求此时E 点的坐标． 注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P 坐标----①C 为顶点时.以C 为圆心CM 为半径画弧.与对称轴交点即为所求点P.②M 为顶点时.以M 为圆心MC 为半径画弧.与对称轴交点即为所求点P.③P 为顶点时.线段MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P 。 第（3）问方法一.先写出面积函数关系式.再求最大值（涉及二次函数最值）； 方法二.先求与BC 平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组）.再求面积。

(word完整版)北师大版九年级数学动点问题题型方法归纳,推荐文档

图（3） B 图（1） B 图（2） 动点问题题型方法归纳 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点 1、（2009年齐齐哈尔市）直线3 64 y x =- +与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当48 5 S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类； 第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 2、（2009年衡阳市） 如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60o． （1）求⊙O 的直径； （2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切； （3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<

二次函数动点问题解答方法技巧分析

函数解题思路方法总结: ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程; ⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号,或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置,要数形结合; ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求与已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标、 ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就就是所含字母x 的二次函数;下面以a ＞0时为例,揭示二次函数、二次三项式与一元二次方程之间的内在联系: 二、 抛物线上动点 5、(湖北十堰市)如图①, 已知抛物线32++=bx ax y (a ≠0)与x 轴交于点A (1,0)与点B (－3,0),与y 轴交于点C . (1) 求抛物线的解析式; (2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ,问在对称轴上就是否存在点P ,使△CMP 为等腰三角形？若存在,请直接写出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由. (3) 如图②,若点E 为第二象限抛物线上一动点,连接BE 、CE ,求四边形BOCE 面积的最大值,并求此时E 点的坐标.

注意:第(2)问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时,以C为圆心CM为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P,②M为顶点时,以M为圆心MC为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P,③P为顶点时,线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。 第(3)问方法一,先写出面积函数关系式,再求最大值(涉及二次函数最值); 方法二,先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标(涉及简单二元二次方程组),再求面积。 ①特殊四边形为背景; ②点动带线动得出动三角形; ③探究动三角形问题(相似、等腰三角形、面积函数关系式); ④求直线、抛物线解析式; ⑤探究存在性问题时,先画出图形,再根据图形性质探究答案。 二次函数的动态问题(动点)

相似三角形动点问题题型归纳

相似中动点问题 题型一位似图形 例1如图,已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3，-1)、(2,1)． (1)以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)， 画出图形； (2)分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标； (3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y),写出M的对应点M′的坐标． 例2如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′ B′ C′是关于点0为位似中 心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心点0； （2）求出△ABC与△A′B′C′的位似比； （3）以点0为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5． 题型二动点存在问题 1如图，在△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，有一动点P从A沿AB移动到B，移动速度 为2单位/秒，有一动点Q从C沿CA移动到A，移动速度为1单位/秒，问两动点同时移动 多少时间时，△PQA与△BCA相似。 2、如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0）， 动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的 速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒．(1) 求直线AB的 解析式；(2) 当t为何值时，△APQ与△AOB相似？ (3) 当t为 何值时，△APQ的面积为 5 24 个平方单位？ 3、如图所示，在矩形ABCD中， AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB 边从点A开始向点B以2厘米/ 秒的速度移动；点Q沿DA边从 点D开始向点A以1厘米/秒的 速度移动。如果P、Q同时出发， 用t（秒）表示移动时间（0≤t ≤6），那么： ⑴当t为何值时，⊿QAP为等腰直角三角形？ A B C D Q P y x O P Q A B

中考数学常见题型几何动点问题

中考数学压轴题型研究（一）——动点几何问题 例1：在△ABC 中，∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM, (1)求△ABC 的面积； (2)现有动点P 从A 点出发，沿射线AB 向点B 方向运动，动点Q 从C 点出发，沿射线CB 也向点B 方向运动。如果点P 的速度是4CM/秒，点Q 的速度是2CM/秒，它们同时出发，几秒钟后，△PBQ 的面积是△ABC 的面积的一半 (3)在第（2）问题前提下，P,Q 两点之间的距离是多少 例2: ()已知正方形ABCD 的边长是1，E 为CD 边的中点， P 为正方形ABCD 边上的一个动点，动点P 从A 点出发，沿 A → B → C →E 运动，到达点 E.若点P 经过的路程为自变量x ，△APE 的面积为函数y ， （1）写出y 与x 的关系式 (2)求当y ＝ 1 3 时，x 的值等于多少 例3：如图1 ，在直角梯形ABCD 中，∠B=90°，DC ∥AB ，动点P 从B 点出发，沿梯形的边由B →C → D → A 运动，设点P 运动的路程为x ,△ABP 的面积为y , 如果关于x 的函数y 的图象如图2所示 ，那么△ABC 的面积为（ ） A ．32 B ．18 C ．16 D ．10 例4：直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段 运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线→→运动．（1）直接写出两点的坐标； （2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式； （3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标． 例5：已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒． （1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形并求出该矩形的面积； （2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． 例6：如图（3），在梯形中，厘米，厘米，的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动，动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为秒． （1）求边的长； 图（3） B A C P Q B A M N

九年级中考压轴——动点问题集锦

动态几何综合练习 1、（宁夏回族自治区）已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒． （1）、线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）、线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． 2、如图，在梯形ABCD 中，3545AD BC AD DC AB B ====?∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长． （2）当MN AB ∥时，求t 的值． （3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形． 3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是梯形，OA ∥BC ，点A 的坐标为(6，0)，点B 的坐标为(4，3)，点C 在y 轴的正半轴上．动点M 在OA 上运动，从O 点出发到A 点；动点N 在AB 上运动，从A 点出发到B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t (秒)． (1)求线段AB 的长；当t 为何值时，MN ∥OC ？ (2)设△CMN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式， 并指出自变量t 的取值范围；S 是否有最小值？ 若有最小值，最小值是多少？ (3)连接AC ，那么是否存在这样的t ，使MN 与AC 若存在，求出这时的t 值；若不存在，请说明理由． C P Q B A M N C

(08)二次函数动点探究题赏析

二次函数动点探究题赏析 江苏 朱元生 二次函数是初中数学的重要内容之一，而数学探究又是数学教育改革的新亮点，因此二次函数探究题便成了各地中考命题的热点，命题者将二次函数问题巧妙设计成数学探究题用以考查同学们的分析能力、想象能力、探究能力和创新能力。现仅就2008年中考题有关二次函数动点探究题精选两例解析如下,供同学们鉴赏： 例1(2008福建龙岩)如图，等腰梯形ABCD 中，AB =4，CD =9，∠C =60°，动点P 从点C 出发沿CD 方向向点D 运动，动点Q 同时以相同速度从点D 出发沿DA 方向向终点A 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. （1）求AD 的长； （2）设CP =x ，问当x 为何值时△PD Q 的面积达到最大，并求出最大值； （3）探究：在BC 边上是否存在点M 使得四边形PD Q M 是菱形？若存在，请找出点M ，并求出BM 的长；不存在，请说明理由. 分析 (1)过点A 作AE ∥BC 交CD 于点E,证△AED 为 等边三角形,则AD 可求; (2)将△PDQ 的边PD 及PD 边上的高h 用含x 的代数式 表示,则△PDQ 的面积可表示为x 的二次函数,根据二次函数的 极值可求得△PDQ 面积的最大值; (3)先假设四边形PDQM 为菱形,则PD=DQ 从而求得点Q,过点Q 作QM ∥DC 交BC 于点M,则点M 为所求,然后再证四边形PDQM 为菱形. 解 (1)如图1, 过点A 作AE ∥BC 交CD 于点E ，则CE =AB =4 . ∠AED =∠C =60°. 又 ∵∠D =∠C =60°， ∴△AED 是等边三角形 . ∴ AD =DE =9－4=5 . （2）如图2, DQ=CP=x ,h 为PD 边上的高, ∠D =60°， 则PD=x -9,x h 2 3= △PD Q 的面积S 可表示为： S=21PD ·h =21(9－x )·x 23=43(9x －x 2) =－43(x －29)2＋16 381. 由题意，知0≤x ≤5 . ∴当x = 29时（满足0≤x ≤5），S 最大值=16381. （3）如图3,假设存在满足条件的点M ，则PD 必须等于D Q . 于是9－x =x ，x =2 9.则点P 为CD 的中点. 此时，点P 、Q 的位置如图3所示， 连Q P .∠D=600,则△PD Q 为等边三角形. 过点Q 作Q M ∥DC ，交BC 于M ，点M 即为所求. 连结MP ，则CP=PD=DQ=CM, ∠C=600,则△CPM 也是等边三角形. ∴∠D=∠3 =600. ∴MP ∥Q D , ∴四边形PD Q M 是平行四边形 . 又, PD =D Q . ∴四边形PD Q M 是菱形 . 图2 图1 图 3

初一数学动点问题例题集

初一数学动点问题集锦 1、如图,已知ABC △中，10AB AC ==厘米,8BC =厘米，点D 为AB 的中点. （1）如果点P 在线段ＢC 上以３厘米/秒的速度由Ｂ点向C 点运动,同时,点Q 在线段CA 上由C 点向Ａ点运动. ①若点Ｑ的运动速度与点P 的运动速度相等，经过１秒后,BPD △与CQP △是否全等,请说明理由; ②若点Ｑ的运动速度与点P 的运动速度不相等,当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与 CQP △全等? (2)若点Ｑ以②中的运动速度从点Ｃ出发，点Ｐ以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动,求经过多长时间点Ｐ与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 解：（1)①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==?=厘米， ∵10AB =厘米,点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米． 又∵厘米， ∴835PC =-=厘米8PC BC BP BC =-=，， ∴PC BD =.

又∵AB AC =, ∴B C ∠=∠, ∴BPD CQP △≌△.?（４分) ②∵ P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠,则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ,点Q 运动的时间 4 33BP t = =秒, ∴ 515 443Q CQ v t = ==厘米／秒. (7分） (２）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇, 由题意,得15 32104x x =+?， 解得 80 3x = 秒． ∴点P 共运动了80 380 3?=厘米. ∵8022824=?+， ∴点P 、点Q 在AB 边上相遇, ∴经过80 3秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇. （12分） ２、直线3 6 4y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点,动点P Q 、同时从 O 点出发,同时到达A 点，运动停止.点Q 沿线段OA 运动，速度为每 秒1个单位长度,点P 沿路线O →B →A 运动. (1)直接写出A B 、两点的坐标；

历年中考数学动点问题题型方法归纳

x A O Q P B y 动点问题题型方法归纳 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点 1、（2009年齐齐哈尔市）直线3 64 y x =- +与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当48 5 S = 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类； 第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

图（3） A B C O E F A B C O D 图（1） A B O E F C 图（2） y M C D 2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60o． （1）求⊙O 的直径； （2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切； （3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<

中考数学--动点问题题型方法归纳

动点问题 题型方法归纳 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。) 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点 3 1、( 2009年齐齐哈尔市) 直线y x 6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发, 4 同时到达A点，运动停止?点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单 位长度，点P沿路线O T B T A运动. (1)直接写出A、B两点的坐标； (2)设点Q的运动时间为t秒，△ OPQ的面积为S,求出S与t之间 的函数关系式； 「48 (3)当S 时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的5 坐标. 提示：第(2)问按点P到拐点B所有时间分段分类； 第(3)问是分类讨论：已知三定点OP、Q，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同 分类-----①OP为边、OQ为边，②OP为边、OQ为对角线，③OP为对角线、OQ为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 2、(2009年衡阳市) 如图，AB是O O的直径，弦BC=2cm / ABC=60). (1) 求O O的直径； (2) 若D是AB延长线上一点，连结CD当BD长为多少时，CD与O O相切； (3) 若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC t(S)(0 ::: t ::: 2)，连结EF,当t为何值时，△ BEF为直角三角形. 注意：第(图问按直角位置分类讨论 O 图(2) D A

(完整版)中考二次函数-动点专题内含答案

模式1：平行四边形 分类标准：讨论对角线 例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况 （1）当边AB 是对角线时，那么有BC AP // （2）当边AC 是对角线时，那么有CP AB // （3）当边BC 是对角线时，那么有BP AC // 例题1：（山东省阳谷县育才中学模拟10）本题满分14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点. (1)求抛物线的解析式； (2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S.求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值； (3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标. 练习：图1，抛物线322 ++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ． （1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF //DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ． ①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系．

模式2：梯形 分类标准：讨论上下底 例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成梯形，则可分成以下几种情况 （1）当边AB 是底时，那么有PC AB // （2）当边AC 是底时，那么有BP AC // （3）当边BC 是底时，那么有AP BC // 例题2：已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A 的坐标为(4,0)，点C 的坐标为)20(-， ，直线x y 3 2 -=与边BC 相交于点D ． (1)求点D 的坐标； (2)抛物线c bx ax y ++=2 经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式； (3)在这个抛物线上是否存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 练习：已知二次函数的图象经过A （2，0）、C (0，12) 两点，且对称轴为直线x ＝4，设顶点为点P ，与x 轴的另一交点为点B ． （1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；

动点问题题型方法归纳

动点问题题型方法归纳 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点 1、（2009年齐齐哈尔市）直线 3 6 4 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时 从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长 度，点P沿路线O→B→A运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ △的面积为S，求出S与t之间的函数关系式； （3）当 48 5 S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第 四个顶点M的坐标． 提示：第（2）问按点P到拐点B所有时间分段分类； 第（3）问是分类讨论：已知三定点O、P、Q，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP为边、OQ为边，②OP为边、OQ为对角线，③OP为对角线、OQ为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

图（3） B 图（1） B 图（2） 2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60o． （1）求⊙O 的直径； （2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切； （3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<

相似三角形的动点问题题型

相似三角形的动点问题题型 一、动点型 例1、如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； （2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由； （3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由． 例2、如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2） （1）当t=1秒时，S的值是多少？ （2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围 （3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．

迁移应用 1、如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q 到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s）， （1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； （2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式； （3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？ 2、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC 上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0

初中数学动点问题及练习题附参考答案汇编

初中数学动点问题及练习题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查。 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 专题一：建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式。 二、应用比例式建立函数解析式。 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。 专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、以动态几何为主线的压轴题。 （一）点动问题。（二）线动问题。（三）面动问题。 二、解决动态几何问题的常见方法有: 1、特殊探路，一般推证。 2、动手实践，操作确认。 3、建立联系，计算说明。 三、专题二总结，本大类习题的共性： 1．代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考查;

二、动点问题题型方法归纳中考专题二《动点问题题型方法归纳》

动点问题 题型方法归纳 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点 1、（2009年齐齐哈尔市）直线3 64 y x =- +与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当48 5 S = 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间 分段分类； 第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

图（3） B 图（1） B 图（2） 2、（2009年衡阳市） 如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ， ∠ABC=60o． （1）求⊙O 的直径； （2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切； （3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<

3.动点问题题型方法归纳

3.动点问题题型方法归纳标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

动点问题 知识点： 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点 1、（2009年齐齐哈尔市）直线 3 6 4 y x =-+ 与坐标轴分别交于A B 、两点，动点 P Q 、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ △的面积为S，求出S与t之间的函数关系式； （3）当 48 5 S= 时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行 四边形的第四个顶点M的坐标．

提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类； 第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60o． （1）求⊙O 的直径； （2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切； （3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<