概率统计与随机过程第一章(第四节续,第五节)

第四节 全概率公式与

贝叶斯公式(续)

定理 设事件组n B B B ,,,21???满足：

（1）S B n i i =∑=1；

（2）n B B B ,,,21???互不相容；

（3）n i B P i ,,2,1,0)(???=>， (如果某0)(0=i

B P ,则在概率计算中

将其去掉) 则有如下结论

(I)对任意事件A ，恒有 )|()()(1i n

i i B A P B P A P ∑==; (1.10) (II)对任意事件)0)((>A P A ，有 ∑===n j j

j i i i i B A P B P B A P B P A P AB P A B P 1)|()()

|()()()()|( ,

n i ,,2,1???=,(1.11)

注:这两个公式当+∞=n 时,(条件也变为可列个事件),也有相应的公式.

)|()()(1

i i i B A P B P A P ∑+∞

== , ∑∞+===1)|()()|()()()()|(j j

j i i i i B A P B P B A P B P A P AB P A B P .

1. 理论意义,以后经常在论证

推导中用到;

2. 实际计算概率方法,化难为

易,解决问题;

3. 注意典型例题及在变化的情

景中灵活运用;

4. 贝叶斯公式在概率诊断,

概率推断方面有用。

例 4 在无线电通讯中,由于随机干扰,当发出信号为“0”时,收到信号为“0”、不清和1的概率分别为0.7,0.2,0.1; 当发出信号为 1时,收到信号

为1、不清和0的概率分别为0.9,0.1和0.如果在发报过程中0和1出现的概率分别是0.6和0.4,当收到信号不清时,原发信号是什么？试加以推测. 解 设=1B 原发信号为“0”, =2B 原发信号为“1”, =A 收到信号“不清”,

由贝叶斯公式得

)

|()()|()()|()()|(2211111B A P B P B A P B P B A P B P A B P +=

75.01

.04.02.06.02.06.0=?+??=, )

|()()|()()|()()|(2211222B A P B P B A P B P B A P B P A B P +=

25.01.04.02.06.01.04.0=?+??= . 由于收到信号不清时, 原发信号为“0”概率较之原发信号为“1”的概率为大,因此通常应推断原发信号为“0”.

例5 甲袋中装有3只红球、2只白球,乙袋中装有红、白球各2只.从甲袋中任取2只球放入乙袋,然后再从乙袋中任意取出3只球.

(1) 求从乙袋中至多取出1只

红球的概率;

(2) 若从乙袋中取出的红球不

多于1只,求从甲袋中

取出的2只全是白球的

概率.

解 令

=A 从乙袋中至多取出1只红球, =i B 从甲袋中恰好取出i 只红球, (i -2只白球), 2,1,0=i ;

(1) 易知210,,B B B 互不相容,

S B B B =++210 ,且

????

?????=====-2,1031,10

60,101)(25223i i i C C C B P i i i ; 又

????

?????====+=-+-+2,511,2

10,54)|(3624123402i i i C C C C C B A P i i i

i i , 故由全概率公式得

)|)(()(2

i i i B A B P A P ∑== 2511511032110654101=?+?+?=; (2) 易知要求概率)|(0A B P ,

由贝叶斯公式得

11

225

1154101)()|()()|(000=?==A P B A P B P A B P .

第五节 事件的独立性

一般情况下,条件概率

)()

()()|(A P B P AB P B A P ≠=, 这说明事件B 的发生对于事件

A 发生的概率有影响.

如果事件B 的发生不影响事件A 发生的概率, 即)()()()|(A P B P AB P B A P ==,

便得 )()()(B P A P AB P =.

我们把具有这种性质的两个事件A 与B 称为是相互独立的,即有

定义8 对任意两个事件A 、B ,若成立 )()()(B P A P AB P =, 则称A 与B 相互独立,简称独立.

例 把一颗匀称的骰子连续掷两次,观察出现的点数。

=A 第一次掷出5点,

=B 第二次掷时出5点, 则显然有6

1)(=A P , 61)(=B P , 36

1)(=AB P , 成立)()()(B P A P AB P =,

即A 与B 相互独立。

(这与实际感觉到的相符).

特殊事件的性质:

(1) 若0)(=C P ,则对任意事件B , C CB ?, 0)()(0=≤≤C P CB P ,

)()(0)(B P C P CB P ==,

C 与B 相互独立;

特别?与B 相互独立.

(2) 若1)(=C P ,对任意事件B , 由S C C =+且?=C C 知

0)(=C P ,0)(=C B P , 且)()()()}({)(BC P C B P BC P C C B P B P =+=+=, 故 )()()()(B P C P B P CB P ==, 即C 与B 相互独立;

特别S 与B 相互独立.

(3) 设A 为事件,若对任意事件B ,都

有A 与B 相互独立,则有0)(=A P 或1)(=A P .

事实上, )()()(B P A P AB P =,对任意事件B ,

特别取A B =,则

)()()()(A P A P AA P A P ==,

于是有0)(=A P 或1)(=A P ,再由(1)和

(2)得证.

事件相互独立判别法:

定理三 对任意事件A 、B , 且0)(>B P ,则A 与B 独立的充分必要条件是

)()|(A P B A P = .

证明 必要性 已知A 与B 独立, 即 有 )()()(B P A P AB P =,

于是

)()

()()()()()|(A P B P B P A P B P AB P B A P ===; 充分性 已知)()|(A P B A P =, 即得

)()()|()(B P AB P B A P A P ==,

从而)()()(B P A P AB P =,

即得A 与B 独立.

定理三＇ 对任意事件A 、B , 且0)(>B P ,0)(>B P ，则A 与B 独立的

充分必要条件是

)|()|(B A P B A P = .

(独立涵义直观理解的公式化) 证明

必要性 已知A 与B 独立,即 有

)()()(B P A P AB P =,

从而

)()

()()()()()|(A P B P B P A P B P AB P B A P ===, )()()()()|(B P AB A P B P B A P B A P -==

)()()(B P AB P A P -=)

()()()(B P B P A P A P -= )()

())(1)((A P B P B P A P =-=, 于是 )|()|(B A P B A P =

充分性 已知)|()|(B A P B A P =, 由)()()|(B P AB P B A P =,

)()()()()|(B P AB A P B P B A P B A P -==

)(1)()(B P AB P A P --=,

得出 )()(B P AB P )(1)()(B P AB P A P --=,

))()()(())(1)((AB P A P B P B P AB P -=-, 于是 )()()(B P A P AB P =,

即得A 与B 独立.

独立事件的性质

定理四 若A 与B 独立,则 (1) A 与B 独立;

(2) A 与B 独立; (3) A 与B 独立.

(结论的直观理解)

证明

(1)因AB B A B A B B A -=-==,B AB ?, 故 )()()()()()(B P A P B P AB P B P B A P -=-=

)()()())(1(B P A P B P A P =-= ,

由定义知, A 与B 独立;

(2)同理可证或由A 与B 的地位对称性,得A 与B 独立;

(3)A 与B 独立，推得A 与B 独立，利用(1)， 得A 与B 独立．

(或)(1)()(B A P B A P B A P +-=+=

)]()()([1AB P B P A P -+-=

)

()()()(1B P A P B P A P +--= )](1)][(1[B P A P --=

)()(B P A P =, 即得A 与B 独立)

有限多个事件的独立性和无穷多个事件的独立性.

定义9

(1)若事件n A A A ,,,21???满足条件: )()()(j i j i A P A P A A P =,n j i ≤<≤1, 则称n 个事件n A A A ,,,21???是两两独立

的.

(2)若事件n A A A ,,,21???满足条件: 对任意整数k (n k ≤≤2)和 n i i i k ≤

恒有

)(21k i i i A A A P ???)()()(21k

i i i A P A P A P ???=, 则称n 个事件n A A A ,,,21???相互独立.

(3)对于可列无穷多个事件??????,,,,21n A A A ,若其中任意有限多个事件都相互独立, 则称可列无穷多个事件??????,,,,21n A A A 相互独立.

显然,若事件n A A A ,,,21???相互独立,则事件n A A A ,,,21???是两两独立的;

反之,若事件n A A A ,,,21???是两两独立的,事件n A A A ,,,21???未必相互独立.

例如 }4,3,2,1{=S

(比如正四面体),

},2,1{1=A }3,2{2=A ,}3,1{3=A 显然21)()()(321===A P A P A P ,

4

1)()()(2121==A P A P A A P , 4

1)()()(3131==A P A P A A P , 4

1)()()(3232==A P A P A A P , 即321,,A A A 是两两独立的;

但)()()(0)(321321A P A P A P A A A P ≠=,

从而321,,A A A 不相互独立.

定理五 若事件n A A A ,,,21???相互独立,则事件n B B B ,,,21???也相互独立.其中i B 为i A 或i A ,n i ,,2,1???=.

事件的独立性一种是特殊简单情形,有了独立性,计算概率和理论

推导就容易.判断独立性靠定义和性质.实际中,事件的独立性常常根据经验来判断或告诉是独立的.一般地,若n 个事件n A A A ,,,21???中的每一个事件发生的概率都不受其它事件发生与否的影响,那么就可以认为这n 个事件是相互独立的.

独立条件下一些概率计算公式 设事件n A A A ,,,21???相互独立,则

(1)

)(21n A A A P ???)()()(21n A P A P A P ???=;

(2) )(21n A A A P +???++ )(121n A A A P +++-= )(121n A A A P -= )()()(121n A P A P A P -=; (3) )(21n A A A P +++

)(21n A A A P =

)(121n A A A P ???-=

)()()(121n A P A P A P ???-=.

例 1 设甲乙两人独立地射击同一目标,他们击中目标的概率分别为0.8和0.6。每人射击一次， 求目标被击中的概率。

解 令=A 目标被击中，

=B 甲击中目标，

=C 乙击中目标，

由题意知，

C B A +=，B 与C 独立，

8.0)(=B P ，6.0)(=C P ；

于是

)()()()()(BC P C P B P C B P A P -+=+= )()()()(C P B P C P B P -+=

92.06.08.06.08.0=?-+= 。 或 )(1)(A P A P -= )(1C B P +-= )(1C B P -=

)()(1C P B P -=

92.04.02.01=?-=。

例 2 三人独立地破译一个密码，他们各自能破译的概率分别为0.5,0.6,0.8,求至少有两人能将密码译出的概率.

解

设=A 至少有两人将密码译出,

=i A 第i 个人将密码译出,

3,2,1=i ,

由题意知,321,,A A A 相互独立,且 321321321321A A A A A A A A A A A A A +++=, 故由概率的有限可加性和独立的性质得

)()()()()(321321321321A A A P A A A P A A A P A A A P A P +++= )()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P +++=8.06.05.08.06.05.08.04.05.02.06.05.0??+??+??+??=7.0= .

破译密码的故事，

电视剧《暗算》、〈〈对手〉〉、《风语》。

例 3 已知事件D C B A ,,,相互独立,且)(21)(21)()(D P C P B P A P ===,

625481)(=+++D C B A P ， 求)(A P .

解 由独立性及概率性质得 )(D C B A P +++ )(D C B A P =

)()()()(D P C P B P A P =

22)](21[)](1[A P A P --=,

而 )(D C B A P +++

)(1D C B A P +++-=

625

1446254811=-=, 得到2512)](21)][(1[=--A P A P ,

化简得 0]13)(10][1)(5[=--A P A P , 得51)(=

A P ,或1013)(=A P (舍去), 故51)(=A P . 例4 袋中装有r 红球,w 个白球,从中作有放回的抽取,每次取一球,直到取得红球为止.求恰好n 次取得

白球的概率.

解 设=A 恰好n 次取得白球, =i

W 第i 次取得白球,

=i

R 第i 次取得红球, w r w W P i +=)(,w r r R P i +=)(， ,2,1=i ,

根据题意知

121+=n n R W W W A ,

且121,,,+n n R W W W 相互独立, 从而)()()()()(121+=n n R P W P W P W P A P w r r w r w n ++=)( .

例5 甲、乙两人的射击水平相当,于是约定比赛规则:双方对同一目标轮流射击,若一方失利,另一方可以继续射击,直到有人命中目标为止.命中一方为该轮比赛的优胜者. 你认为先射击者是否一定沾光？为什么？

解 设甲、乙两人每次命中的概率均为p ,

失利的概率为q ，

)1,10(=+<

令

}{次射击命中目标第i A i =, ( ,2,1=i ).

假设甲先发第一枪,则

()

P 甲胜112312345()P A A A A A A A A A =+++

+++=)()()(543213211A A A A A P A A A P A P 112312345()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++

+ +++=p q p q p 42

)1(42 +++=q q p

211q

p -=11(1)(1)1p q q q ==-++ , 又可得

)(1)(甲胜乙胜P P -=

q +-=111q q +=1,

因为10<

所以)()(乙胜甲胜P P >.

（这个结论正应证了中国古语：先下手为强，后下手遭殃。

社会精神智慧学意义非常普遍，“狭路相逢，勇者胜”，“抢占先机”，奥运会上的击剑、柔道决赛上就出现了主动出击者，最终获胜这种情况。“不要输在起跑线上”等等。）

随机过程作业题及参考答案(第一章)

第一章 随机过程基本概念 P39 1. 设随机过程()0cos X t X t ω=，t -∞<<+∞，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。试求()X t 的一维概率分布。 解： 1 当0cos 0t ω=，02 t k π ωπ=+ ，即0112t k πω??= + ??? （k z ∈）时， ()0X t ≡，则(){}01P X t ==. 2 当0cos 0t ω≠，02 t k π ωπ≠+ ，即0112t k πω?? ≠ + ??? （k z ∈）时， ()~01X N ，，()0E X ∴=，()1D X =. ()[]()00cos cos 0E X t E X t E X t ωω===????. ()[]()22 000cos cos cos D X t D X t D X t t ωωω===????. ()()20~0cos X t N t ω∴，. 则( )2202cos x t f x t ω- = ；. 2. 利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为 ()cos 2t X t t π?=??，出现正面，出现反面 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为 12。试确定()X t 的一维分布函数12F x ?? ???；和()1F x ；，以及二维分布函数12112 F x x ?? ?? ? ，；， 。

00 11101222 11

《概率论与随机过程》第1章习题

《概率论与随机过程》第一章习题 1. 写出下列随机试验的样本空间。 （1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录 抽取的次数。 （4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选 举的结果。 （6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。 （7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。 （8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次 品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 （9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察 装球的情况。 （10） 测量一汽车通过给定点的速度。 （11） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1） A 发生，B 与C 不发生。 （2） A 与B 都发生，而C 不发生。 （3） A ，B ，C 都发生。 （4） A ，B ，C 中至少有一个发生。 （5） A ，B ，C 都不发生。 （6） A ，B ，C 中至多于一个发生。 （7） A ，B ，C 中至多于二个发生。 （8） A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设{}10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） BC A 。 （5）)(C B A ?。 4. 设{}20≤≤=x x S ，??????≤<=121x x A ，? ?????<≤=234 1x x B ，具体写出下列各式。 （1）B A ?。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） B A 。 5. 设A ，B ，C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，81)(=AC P ，求A ， B ， C 至少有一个发生的概率。 6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1） 求恰有90个次品的概率。 （2） 至少有2个次品的概率。 7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算）？ （2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少？

最新第1章 随机过程的基本概念习题答案

第一章 随机过程的基本概念 1．设随机过程 +∞<<-∞=t t X t X ,cos )(0ω，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。试求X （t ）的一维概率分布 解：∵ 当0cos 0=t ω 即 πω)2 1 (0+ =k t 即 πω)21(10+=k t 时 {}10)(==t x p 若 0cos 0≠t ω 即 πω)2 1 (1 0+≠ k t 时 {}{}x t X P x x X P t x F ≤=≤=0cos )(),(ω 当 0cos 0>t ω时 ξπ ωωξd e t x X P t x F t x ? - = ??? ? ??≤=02 cos 0 2 021cos ),( 此时 ()t e x t x F t x f t x 0cos 2cos 1 21,),(022ωπ ω? =??=- 若 0cos 0

?? ?= ,2 ,cos )(出现反面出现正面t t t X π 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为21。试确定)(t X 的一维分布函数)2 1 ,(x F 和)1,(x F ，以及二维分布函数)1,2 1;,(21x x F 解：（1）先求)21,(x F 显然???=?? ???-=??? ??出现反面出现正面 出现反面出现正面10,212,2cos 21π X 随机变量?? ? ??21X 的可能取值只有0，1两种可能，于是 21 021= ??????=?? ? ??X P 2 1121=??????=??? ??X P 所以 ?????≥<≤<=??? ?? 11102 1 0021,x x x x F 再求F （x ,1） 显然? ??-=???=出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1 2 cos (1)πX {}{}2 1 2)1(-1 (1)====X p X p 所以 ???? ???≥<≤<=2 121- 2 1-1 0,1)(x x x x F (2) 计算)1,2 1 ;,(21x x F ???-=???=出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1)1(, 1 0)2 1 ( X X 于是

概率统计与随机过程复习提纲

概率统计与随机过程 课程编号：H0600071S学分： 4 开课学院：理学院课内学时：64 课程类别：学科基础课课程性质：必修 一、课程的性质和目的 课程性质：本课程是我校有关专业的学科基础课 目的：通过本课程的学习，使学生系统地掌握概率论、数理统计和随机过程的基本理论和基本方法，为后续各专业基础课和专业课的学习提供必要的数学理论基础。另外，通过本课程的系统教学，特别是讲授如何提出新问题、思考分析问题，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力以及解决实际问题的能力，从而逐步培养学生的创新思维能力和创新精神。 二、课程教学内容及基本要求 （一）课程教学内容及知识模块顺序 第一章概率论的基本概念 8学时 （1）随机试验 （2）样本空间、随机事件 （3）频率与概率 （4）等可能概型（古典概型） （5）条件概率 （6）独立性 教学基本要求： 了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，熟练掌握事件之间的关系与运算。了解事件频率的概念，理解概率的统计定义。了解概率的古典定义，会计算简单的古典概率。了解概率的公理化定义，熟练掌握概率的基本性质，会运用这些性质进行概率计算。理解条件概率的概念、概率的乘法定理与全概率公式，会应用贝叶斯(Bayes)公式解决比较简单的问题。理解事件的独立性概念。理解伯努利(Bernoulli)概型和二项概率的计算方法。 第二章随机变量及其分布 6 学时 （1）随机变量 （2）离散型随机变量及其分布律 （3）随机变量的分布函数 （4）连续型随机变量及其概率密度 （5）随机变量的函数的分布 教学基本要求： 理解随机变量的概念，了解分布函数的概念和性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率。理解离散型随机变量及其分布律的概念，熟练掌握0-1分布、二项分布和泊松(Poisson)分布。理解连续型随机变量及其概率密度的概念，熟练掌握正态分布、均匀分布和指数分布。会根据自变量的概率分布求简单随机变量函数的概率分布。

(完整版)北邮研究生概率论与随机过程2012-2013试题及答案

北京邮电大学2012——2013学年第1学期 《概率论与随机过程》期末考试试题答案 考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; （D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-； （B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ，则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==； （C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++； （D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100 0()k A k f kI ω==∑，其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ；

《概率论与随机过程》课程自学内容小结

大学2015～2016学年秋季学期本科生 课程自学报告 课程名称：《概率论与随机过程》 课程编号：07275061 报告题目：大数定律和中心极限定理在彩票选号的应用学生： 学号： 任课教师： 成绩： 评阅日期：

随机序列在通信加密的应用 2015年10月10日 摘 要：大数定律与中心极限定理是概率论中很重要的定理，较多文献给出了不同条件下存在的大数定律和中心极限订婚礼，并利用大数定律与中心极限定理得到较多模型的收敛性。但对于他们的适用围以及在实际生活中的应用涉及较少。本文通过介绍大数定律与中心极限定理，给出了其在彩票选号方面的应用，使得数学理论与实际相结合，能够让读者对大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用价值有更深刻的理解。 1. 引言 在大数定律与中心极限定理是概率论中很重要的定理，起源于十七世纪，发展到现在，已经深入到了社会和科学的许多领域。从十七世纪到现在，很多国家对这两个公式有了多方面的研究。长期以来，在大批概率论统计工作者的不懈努力下，概率统计的理论更加完善，应用更加广泛，如其在金融保险业的应用，在现代数学中占有重要的地位。 本文主要通过对大数定律与中心极限定理的分析理解，研究探讨了其在彩票选号中的应用，并给出了案例分析，目的旨在给出大数定律与中心极限定理应用对实际生活的影响，也对大数定律与中心极限定理产生更深刻的理解。 2. 自学容小结与分析 2.1 随机变量的特征函数 在对随机变量的分析过程中，单单由数字特征无法确定其分布函数，所以引入特征函数。特征函数反映随机变量的本质特征，可唯一的确定随机变量的分布函数、随机变量X 的特征函数定义为： 定义1 ][)()(juX jux e E dx e x p ju C ==? +∞ ∞ - (1) 性质1 两两相互独立的随机变量之和的特征函数等于各个随机变量的特征函数之积。 性质1意味着在傅立叶变换之后，时域的卷积变成频域的相乘，这是求卷积的简便方法。类比可知求独立随机变量之和的分布的卷积，可化为乘法运算，这样就简便了计算，提高了运算效率。 性质2 求矩公式：0)(|) ()(][=-=u n u x n n n du C d j X E (2) 性质3 级数展开式：!)(][!|)()()(0 00n ju X E n u du u C d u C n n n n n n n n X ∑∑∞ ==∞ === (3) 2.2 大数定律与中心极限定理 定义2 大数定律：设随机变量相互独立，且具有相同的μ=)(k X E 和,...2,1,)(2 ==k X D k σ, 则0∈>?,有

《概率论与随机过程》第1章习题

《概率论与随机过程》第一章习题 1.写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。 （4）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （5）一个小组有A，B，C，D，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。 （6）甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。 （7）一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。 （8）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 （9）有A，B，C三只盒子，a，b，c三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。 （10）测量一汽车通过给定点的速度。 （11）将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 2.设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。 （1）A发生，B与C不发生。 （2）A与B都发生，而C不发生。 （3）A，B，C都发生。 （4）A，B，C中至少有一个发生。 （5）A，B，C都不发生。 （6）A，B，C中至多于一个发生。 （7）A，B，C中至多于二个发生。 （8）A，B，C中至少有二个发生。

3. 设{ }10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） BC A 。 （5）)(C B A ?。 4. 设{}20≤≤=x x S ，?????? ≤<=121x x A ，? ?????<≤=2341x x B ，具体写出下列各式。 （1）B A ?。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） B A 。 5. 设A ，B ，C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，1)(=AC P ，求A ，B ， C 至少有一个发生的概率。 6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1） 求恰有90个次品的概率。 （2） 至少有2个次品的概率。 7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算） （2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少 8. 一盒子中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只测试，直到4只次品管子都找到为止。求 第4只次品管子在下列情况发现的概率。 （1） 在第5次测试发现。 （2） 在第10次测试发现。 9. 甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。以A ，B 分别表示甲，乙二城市出现雨天这一 事件。根据以往的气象记录已知4.0)()(==B P A P ，28.0)(=AB P ，求)/(B A P ，)/(A B P 及)(B A P ?。 10. 已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概 率。 （1） 二只都是正品。 （2） 二只都是次品。 （3） 一只是正品，一只是次品。 （4） 第二次取出的是次品。 11. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率

05-06概率论与随机过程试题(A卷)

05-06概率论与随机过程试题（A ） 一、选择题 1．设0

2． 设随机变量X 的密度函数为, 0 1, ()0, .ax x f x <

概率论与数理统计第一章04 第四节 条件概率

第四节 条件概率 教学目的 理解条件概率的概念，掌握概率的乘法原理，掌握全概率公式和贝叶斯公式。 教学重点 理解条件概率的概念，掌握概率的乘法原理，掌握全概率公式和贝叶斯公式。 教学难点 条件概率的概念的理解，乘法公式，全概率公式以及贝叶斯公式的应用。 教学内容 一、 条件概率的概念 引例 一批同型号的产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表： （1） 从这批产品中随意地取一件，则这件产品为次品的概率为多少？ （2） 当被告知取出的产品是甲厂生产的时，那么这件产品为次品的概率又是多大？ 在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率。如在事件A 发生的条件下，求事件B 发生的条件概率，记作)|(A B P 。 二、条件概率的定义 定义1 设B A ,是两个事件, 且0)(>A P , 则称 ) ()()|(A P AB P A B P = (1) 为在事件A 发生的条件下，事件B 的条件概率。相应地，把)(B P 称为无条件概率。一般地，)|(A B P )(B P ≠。 性质 例1 一袋中装有10个球, 其中3个黑球, 7个白球, 先后两次从袋中各取一球(不放回) (1) 已知第一次取出的是黑球, 求第二次取出的仍是黑球的概率; (2) 已知第二次取出的是黑球, 求第一次取出的也是黑球的概率. 注: （1） 用维恩图表达(1)式.若事件A 已发生,则为使B 也发生,试验结果必须是既在A 中又在B 中的样本点,即此点必属于AB .因已知A 已发生,故A 成为计算条件概率)|(A B P 新的样本空间. （2） 计算条件概率有两种方法: a) 在缩减的样本空间A 中求事件B 的概率，就得到)|(A B P ； b) 在样本空间S 中，先求事件)(AB P 和)(A P ，再按定义计算)|(A B P 。 例2 袋中有5个球, 其中3个红球2个白球. 现从袋中不放回地连取两个. 已知第一次取得红球时, 求第二次取得白球的概率。 三、乘法公式 由条件概率的定义立即得到: )0)(()|()()(>=A P A B P A P AB P (2) 注意到BA AB =, 及B A ,的对称性可得到:

浙江大学《概率论、数理统计与随机过程》课后习题答案张帼奋主编第七章数理统计习题__奇数

注意： 这是第一稿（存在一些错误） 第七章数理统计习题__奇数.doc 1、解 由θ θθμθ 2 ),()(0 1===? d x xf X E ，204103)(2 221θθθ=-==X D v ，可得θ的矩估计量为X 2^ =θ，这时θθ==)(2)(^X E E ，n n X D D 5204)2()(2 2 ^ θθθ= ? ==。 3、解 由)1(2)1(2)1(2)(21θθθθμ-=-+-==X E ，得θ的矩估计量为： 3 2 62121^ =-=- =X θ。 建立关于θ的似然函数：482232)1(4)1())1(2()()(θθθθθθθ-=--=L 令014 8))1ln(4ln 8()(ln =--=?-+?=??θ θθθθθθL ， 得到θ的极大似然估计值：32^=θ 5、解 由33)1(3)1(3)(222+-=-+-+=p p p p p p X E ，所以得到p 的矩估计量为 ^ 32p = = 建立关于p 的似然函数：32 10)1()2 )1(3()()2)1(( )(22n n n n p p p p p p p L ---= 令0)(ln =??p p L ，求得到θ的极大似然估计值：n n n n p 222 10^++= 7、解 （1）记}4{<=X P p ，由题意有}4{}4{}4{-≤-<=<=X P X P X P p 根据极大似然估计的不变性可得概率}4{<=X P p 的极大似然估计为： 4484.05.0)6 4 ()64( 5.0)25 /2444( )25 /2444( 22^ =-Φ=-Φ-=--Φ--Φ=s s p （2）由题意得：)6 24 ( )25 /244( }{}{105.012-Φ=-Φ=≤=>-=-A s A A X P A X P ，于是经查表可求得A 的极大似然估计为0588.12^ =A

《概率论与随机过程》第1章习题答案

《概率论与随机过程》第一章习题答案 1. 写出下列随机试验的样本空间。 （1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 解： ? ??????=n n n n S 100 , ,1,0 ，其中n 为小班人数。 （2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 解：{}18,,4,3 =S 。 （3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录 抽取的次数。 解： {}10,,4,3 =S 。 （4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 解： { } ,11,10=S 。 （5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选 举的结果。 解： {}ED EC EB EA DE DC DB DA CE CD CB CA BE BD BC BA AE AD AC AB S ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=其中，AB 表示A 为正组长，B 为副组长，余类推。 （6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。 解： {}210,,e e e S =其中，0e 为和棋，1e 为甲胜，2e 为乙胜。 （7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。 解： {}rwb wb rb rw b w r S ,,,,,,=其中，,,,b w r 分别表示红色、白色、蓝色。 （8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次 品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 解： {}1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00=S 其中，0为次品，1为正品。 （9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察 装球的情况。 解： {}Ca Bb Ac Cc Ba Ab Cb Bc Aa Cb Ba Ac Ca Bc Ab Cc Bb Aa S ,,;,,;,,;,,;,,;,,=其中，Aa 表示球a 放 在盒子A 中，余者类推。 （10） 测量一汽车通过给定点的速度。 解：{}0>=v v S （11） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 解： (){}1,0,0,0,,=++>>>=z y x z y x z y x S 其中，z y x ,,分别表示第一段，第二段，第三段的 长度。# 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1） A 发生，B 与C 不发生。 解：C A （2） A 与B 都发生，而C 不发生。 解： C AB （3） A ，B ，C 都发生。 解： ABC （4） A ，B ，C 中至少有一个发生。 解： C B A ?? （5） A ，B ，C 都不发生。 解： C B A （6） A ，B ，C 中至多于一个发生。 解： A C C A ?? （7） A ，B ，C 中至多于二个发生。 解： C B A ?? （8） A ，B ，C 中至少有二个发生。 解： CA BC AB ??. # 3. 设{ }10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。 解： {}5=B A ； （2）B A ?。 解： { }10,9,8,7,6,5,4,3,1=?B A ； （3）B A 。 解：{}5,4,3,2=B A ；

随机过程知识点汇总

第一章随机过程的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布 1．随机变量，分布函数 离散型随机变量的概率分布用分布列分布函数 连续型随机变量的概率分布用概率密度分布函数 2．n维随机变量 其联合分布函数 离散型联合分布列连续型联合概率密度 ３．随机变量的数字特征 数学期望：离散型随机变量连续型随机变量 方差：反映随机变量取值的离散程度 协方差（两个随机变量）： 相关系数（两个随机变量）：若，则称不相关。 独立不相关 ４．特征函数离散连续 重要性质：，，， ５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 二项分布 泊松分布均匀分布略 正态分布 指数分布 ６．Ｎ维正态随机变量的联合概率密度 ，，正定协方差阵 二．随机过程的基本概念 １．随机过程的一般定义 设是概率空间，是给定的参数集，若对每个，都有一个随机变量与之对应，则称随机变量族是上的随机过程。简记为。 含义：随机过程是随机现象的变化过程，用一族随机变量才能刻画出这种随机现象的全部统计规律性。另一方面，它是某种随机实验的结果，而实验出现的样本函数是随机的。 当固定时，是随机变量。当固定时，时普通函数，称为随机过程的一个样本函数或轨道。 分类：根据参数集和状态空间是否可列，分四类。也可以根据之间的概率关系分类，如独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程等。 ２．随机过程的分布律和数字特征 用有限维分布函数族来刻划随机过程的统计规律性。随机过程的一维分布，二维分布，…，维分布的全体称为有限维分布函数族。随机过程的有限维分布函数族是随机过程概率特征的完整描述。在实际中，要知道随机过程的全部有限维分布函数族是不可能的，因此用某些统计特征来取代。（１）均值函数表示随机过程在时刻的平均值。 （２）方差函数表示随机过程在时刻对均值的偏离程度。 （３）协方差函数且有 （４）相关函数(3)和(4)表示随机过程在时刻，时的线性相关程度。

概率论与随机过程论文

随机过程论文 题目: 通信系统中随机过程的模型研究 姓名刘鲁鹏 学院电子工程学院 专业电子科学与技术 班级概率论与随机过程1班学号2014110632 本人签字 2014 年12月

通过幅度概率分布研究通信系统中的骚扰问题 摘要：通过目前学术界广泛关注的幅度概率分布(APD)检测方法与传统电磁兼容测量方法的比较,说明了幅度概率分布统计测量方法的优越性.并且采用统计测量方法来研究骚扰对数字通信系统的影响,以PAM二进制调制系统为例,推导出了骚扰的APD与通信系统误码概率之间的关系式,给出了骚扰的幅度概率分布测量结果与对应干扰下的数字通信系统的误码概率两者之间的联系.本文的研究结果对于制订电子设备的电磁辐射限值具有参考价值. 关键词：电磁兼容;幅度概率分布;数字通信系统;误码概率;测量检波器

随着数字通信技术的飞速发展,各种电子设备大量涌现,这使得我们的电磁环境变得越来越复杂.如何保证通信系统在如此复杂的电磁环境下能够正常工作是通信技术发展面临的难题,因此电磁兼容性问题变得越来越重要.研究骚扰对通信系统的影响就是要求当骚扰通过通信系统之后,对接收机所产生的最终结果.现有标准中所采用的方法是直接测量这种最终结果,以表示干扰的大小.例如在话音通信中,接收者就是凭听觉来判断干扰的存在和强弱的.由于骚扰经准峰值检波器之后的电表指示与人耳的主观感觉一样,所以准峰值常用来评价骚扰对调幅通信系统的影响,在国际无线电干扰特别委员会(CISPR)出版物中规定的各种骚扰限值都是以准峰值表示的.但是现在面临的问题是准峰值无法反映出骚扰对数字通信系统的影响,如何解决这一问题,是目前CISPR关注的焦点.目前针对这一问题的解决方案主要有:①研究一种新型的加权评估检波器;②采用传统的有效值(RMS)检波器;③采用APD统计测量方法. 其中,方案①研究进展比较缓慢,很难找到一种新型的评估检波器,能像准峰值检波器对模拟通信系统的评估一样有效.RMS检波器只是在评估类似于高斯型噪声对数字通信系统方面得到了验证,对于脉冲型噪声的评估方面,仍显得无能为力.APD统计参量描述的是,骚扰的随机包络的统计特性,它与数字通信系统的误码率有着紧密的联系,而且可以用来建立脉冲干扰的统计模型.目前APD统计测量方法已经得到了CISPR的初步认可,CISPR已经投票通过了APD测量仪的标准草案,而关于APD限值标准则,正在征求各个产品分委会的意见. 本文分析了APD测量方法的理论基础及APD测量方法的优越性,推导了干扰的APD统计结果与二进制PAM调制系统误码率之间的关系,并通过实验数据说明了干扰APD测量结果对于预测通信系统性能的可行性. 1.APD统计测量基础 APD统计测量方法是建立在概率论和数理统计的基础之上的,统计测量最重要的一个目的是获得无线电骚扰的概率密度函数. CISPR给出的APD定义为:干扰幅度超过规定电平的时间概率,用下式表示为 式中:R是门限电平;T是测量总时间;tk是第k个幅度超过R的脉冲的持续时间应用概率论的知识可以把APD表示为 式中,P(R)是干扰包络的累积概率分布. 从式(1)中可以看出,APD与包络的概率密度函数有着直接的联系.以高斯白噪声为例,其概率密度函数满足正态分布为 式中,mx和σ2分别是随机变量x的均值和方差. 由式(1)可以得出高斯白噪声的APD分布为

《概率论与随机过程》课程自学内容小结

上海大学2015～2016学年秋季学期本科生 课程自学报告 课程名称：《概率论与随机过程》 课程编号：07275061 报告题目：大数定律和中心极限定理在彩票选号的应用学生姓名： 学号： 任课教师： 成绩： 评阅日期：

随机序列在通信加密的应用 2015年10月10日 摘 要：大数定律与中心极限定理是概率论中很重要的定理，较多文献给出了不同条件下存在的大数定律和中心极限订婚礼，并利用大数定律与中心极限定理得到较多模型的收敛性。但对于他们的适用范围以及在实际生活中的应用涉及较少。本文通过介绍大数定律与中心极限定理，给出了其在彩票选号方面的应用，使得数学理论与实际相结合，能够让读者对大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用价值有更深刻的理解。 1. 引言 在大数定律与中心极限定理是概率论中很重要的定理，起源于十七世纪，发展到现在，已经深入到了社会和科学的许多领域。从十七世纪到现在，很多国家对这两个公式有了多方面的研究。长期以来，在大批概率论统计工作者的不懈努力下，概率统计的理论更加完善，应用更加广泛，如其在金融保险业的应用，在现代数学中占有重要的地位。 本文主要通过对大数定律与中心极限定理的分析理解，研究探讨了其在彩票选号中的应用，并给出了案例分析，目的旨在给出大数定律与中心极限定理应用对实际生活的影响，也对大数定律与中心极限定理产生更深刻的理解。 2. 自学内容小结与分析 2.1 随机变量的特征函数 在对随机变量的分析过程中，单单由数字特征无法确定其分布函数，所以引入特征函数。特征函数反映随机变量的本质特征，可唯一的确定随机变量的分布函数、随机变量X 的特征函数定义为： 定义1 ][)()(juX jux e E dx e x p ju C == ? +∞ ∞ - (1) 性质1 两两相互独立的随机变量之和的特征函数等于各个随机变量的特征函数之积。 性质1意味着在傅立叶变换之后，时域的卷积变成频域的相乘，这是求卷积的简便方法。类比可知求独立随机变量之和的分布的卷积，可化为乘法运算，这样就简便了计算，提高了运算效率。 性质2 求矩公式：0)(|) ()(][=-=u n u x n n n du C d j X E (2) 性质3 级数展开式：!)(][!|)()()(0 00n ju X E n u du u C d u C n n n n n n n n X ∑∑∞==∞ === (3) 2.2 大数定律与中心极限定理 定义2 大数定律：设随机变量相互独立，且具有相同的μ=)(k X E 和,...2,1,)(2==k X D k σ,则0∈>?,有 11lim 1=? ?? ???<∈-∑=∞ →n k k n X n P μ (4) 这验证了人们的猜想：大量随机现象的平均结果一般也具有稳定性。

第一章随机过程

第一章 随机过程 1.1 引言 对随机微分方程的研究所需要的随机过程的知识很多，因篇幅关系，只在本章中列出重要的、必备的相关知识和重要结论，这些知识主要包括：随机变量的概念及相关知识及条件期望；随机过程，特别是Markov 过程和Brown 运动的相关知识；随机微积分；It?公式；一些重要不等式及随机比较定理。 本章的内容参考或转引自文献（Murry ，1998陈希孺，2003；林无烈2002；Mao ，1997；Mao ，2006胡适耕等，2007；王克，2010等），谨向相应的作者表示感谢。 1.2 随机变量 概率用于度量随机事件的可能性，某个随机试验的所有可能的所有可能的基本结果或基本随机事件ω所构成的集合记为Ω，称为样本空间。Ω的满足下面三个条件的子集族F 称为样本空间Ω的一个σ代数： （1）F ?∈ （2）若D F ∈，则其补集c D D F =Ω-∈； （3）若(i 1,2, )i D F ?=，则 1 i i D F ∞=∈。 F 中的元素称为Ω的F 可测集或随机事件。若C 是样本空间Ω的一个子集族，则存在一个Ω的包含C 的最小的σ代数，记为(C)σ，称为由C 生成的σ代数。由n 的所有开 集所生成的σ代数称为Borel σ代数，记为n B ，其中的元素称为 n 中的Borel 集。 定义在F 上的函数[]:0,1P F →称为可测空间(,F)Ω上的概率测度，如果它满足： （1）()1P Ω=； （2）若(i 1,2,)i A F ∈=且(i j)i j A A ?=?≠，则()11 i i i i P A P A ∞ ∞==?? = ???∑。 三元组(),F,P Ω称为概率空间。若一个概率空间的F 包含Ω的所有P 零外测集，也就是说，如果 ()(){}*:inf ,0P G P F F F G F =∈?=， 则G F ?，此概率空间称为完备的。任何一个概率空间都可以通过把其所有P 零外测集加入F 中，并重新定义概率测度来完备化。本书总假设所涉及的概率空间为完备的。

概率论与数理统计第一章教案.docx

精品文档 第一随机事件 一、随机象 在自然界和人社会生活中普遍存在着两象：一是在一定条件下必然出的象，称 确定性象。 例如： (1) 一物体从高度h （米）垂直下落，t （秒）后必然落到地 面，且当高度 h一定，可由公式h1gt 2得到，t2h / g （秒）。 2 (2)异性荷相互吸引，同性荷相互排斥。? 另一是在一定条件下我事先无法准确知其果的象，称随机象。例如： (1) 在 相同条件下抛同一枚硬，我无法事先知将出正面是反 面。 (2)将来某日某种股票的价格是多少。? 概率就是以数量化方法来研究随机象及其律性的一数学学科。 二、随机 了随机象的律性行研究 ,就需要随机象行重复察，我把随机象的察称随 机，并称， E 。例如，察某射手固定目行射；抛一枚硬三次 ,察出正面的次数； 某市 120 急救一昼夜接到的呼叫次数等均随机。 随机具有下列特点： (1)可重复性；可以在相同的条件下重复行； (2)可察性；果可察 ,所有可能的果是明确的； (3)不确定性：每次出的果事先不能准确知。 三、本空 尽管一个随机将要出的果是不确定的 , 但其所有可能果是明确的 , 我把随机的 每一种可能的果称一个本点 , e（或）；它的全体称本空 , S (或 ).

精品文档反面 . 本空 S={ 正面，反面 } 或121正面，2反面。 S {e , e }( e e) (2)在将一枚硬抛三次，察正面H、反面 T 出情况的中，有8 个 本点，本空： S { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH ,TTT }。 (3)在抛一枚骰子，察其出的点数的中，有 6 个本点： 1 点， 2 点， 3 点， 4 点， 5 点， 6 点，本空可S {1 ，2，3，4，5，6} 。 (4)察某交台在一天内收到的呼叫次数，其本点有无多个：i 次， i=0,1,2,3，?，本空可 S {0 ， 1， 2， 3，? } 。 (5)在一批灯泡中任意抽取一个，其寿命，其本点也有无多个(且不可 数)：t小，本空可S { t |0t}=[0,+ ] 。 注：同一个随机，的本点与本空是要根据要察的内容来确定的。 四、随机事件 在概率中，把具有某一可察特征的随机的果称事件，事件可分以下三： (1)随机事件：在中可能生也可能不生的事情。 (2)必然事件：在每次中都必然生的事件。 (3)不可能事件：在任何一次中都不可能生的事件。 然，必然事件和不可能事件都是确定性事件，方便，今后将它看作是两个特殊的 随机事件，并将随机事件称事件。 五、事件的集合表示 任何一个事件都可以用S的某一子集来表示,常用字母A, B,等表示。 称含一个本点的事件基本事件；含有两个或两个以上本点的事件复合事件。然， 本空 S 作事件是必然事件，空集作一个事件是不可能事件。 六、事件的关系与运算 事件之的关系与运算可按集合之的关系和运算来理 .了方便，出下列照表：