本科优秀数学本科毕业论文

本科优秀数学本科毕业论

文

Last revision on 21 December 2020

***大学

2014 届本科毕业论文

论文题目：

行列式的计算及应用

学生姓名： ***

所在院系：数学科学学院

所学专业：数学与应用数学（金融方向）

导师姓名： ***

完成时间： ***年***月***日

行列式的计算及应用

摘要

在高等代数这门课程里，行列式是最基本而又重要的内容之一，同时也是数学研究中的重要的工具之一，在线性代数、数学分析、解析几何等众多课程理论中以及实际问题中许也发挥着重要作用，了解如何计算和应用行列式显得尤为重要。

本文首先阐述行列式的基本理论，在此研究的基础上介绍了降阶法，归纳法，化三角形法等几种常见的且有一定技巧的解行列式的方法,并列举了相关的例子，更直观地了解解行列式方法的精髓。另外，本文又介绍了行列式在解析几何、代数及其他课程当中的应用，进一步加深了对行列式的理解。最后本文又列举实例阐述行列式在实际当中的应用，实现了行列式的理论与实际相结合。研究行列式的计算方法及其应用可以提高对行列式的认识，有利于把行列式的研究推向深入。通过这一系列的方法可以进一步提升对行列式的认识，为以后学习奠定了基础。

关键词：行列式，因式分解，化三角形法, 归纳法，加边法，Matlab软件

Determinant calculation and application

Abstract

This course in advanced algebra, the determinant is one of the most basic and important content, while many math curriculum theory is one of the important research tools, linear algebra, mathematical analysis, analytic geometry, etc. as well as practical problems also plays an important role in understanding how to calculate and apply the determinant is particularly important.

This paper first describes the basic theory of determinants, based on this study describes the reduction method, induction techniques and a certain common determinant of several methods of solution method, the method of the triangle, and cited relevant examples, more intuitive understanding of the essence of the solution determinant method. In addition, this

paper describes the determinant in analytic geometry, algebra and other courses which further deepened the understanding of the determinants. Finally, they provide examples described determinant application in practice to achieve a theoretical and practical determinant combined. Research determinant calculation method and its application can improve the understanding of the determinant, is conducive to deepen the study of determinants. You can further enhance the understanding of the determinants through this series of methods, laid the foundation for future learning.

Keywords: determinants, factorization of a triangle, induction, plus side method, Matlab software

目录

1. 行列式的定义及性质 行列式的定义

排列[1]

在任意一个排列中，若前面的数大于后面的数，则它们就叫做一个逆序，在任意一个排列中，逆序的总数就叫做这个排列的逆序数.

定义[1]

n 阶行列式

就相当于全部不同行、列的n 个元素的乘积

n

nj j j a a a 2121 (1-1-1)

的代数和，这里n j j j 21是n ,,2,1 的一个排列，每一项（1-1-1）都按下列规则带有符号：当n j j j 21是偶排列时，（1-1-1）是正值，当n j j j 21是奇排列时，（1-1-1）是负值.这一定义可以表述为

n n

n nj j j j j j j j j nn

n n n

n

a a a a a a a a a a a a D

21212121)

(21

22221

11211

)1(∑

-=

=

τ， (1-1-2) 这里

∑

n

j j j 21表示对所有n 级排列求和.

由于行列指标的地位是对称的，所以为了决定每一项的符号，我们也可以把每一项按照列指标排起来，所以定义又可以表述为

n i i i i i i i i i nn

n n n

n

n n a a a a a a a a a a a a D

21)(21

22221

11211

212121)1(∑-==

τ. （1-1-3）

行列式的相关性质

记 nn

n n n n a a a a a a a a a D 21

22221

11211

=

,nn

n n

n n a a a a a a

a a a D 212

2212

12111'=,

则行列式'D 叫做行列式D 的转置行列式.

性质1 行列式和它的转置行列式是相等的[2]. 即D D ='. 证明：记D 中的一般项n 个元素的乘积是

它处于D 的不同行和不同列，所以它也处于'D 的不同行和不同列，在'D 中应是

所以它也是'D 中的一项.反之, 'D 的每一项也是D 的一项，即D 和'D 有相同的项.再由上面（1-2）和（1-3）可知这两项的符号也相同，所以D D ='.

性质2 nn

n n in i i n

nn n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a

21

211121121

21

11211=. 证明：

in

in i i i i nn

n n in i i n A ka A ka A ka a a a ka ka ka a a a +++=

22112

1

2111211

性质3 如果行列式的某行(列)的元素都为两个数之和[2]，如

nn

n n n

n n a a a c b c b c b a a a D 21221111211+++=，

那么行列式D 就等于下列两个行列式的和： 可以参照性质2的证明得出结论.

性质4 对换行列式中任意两行的位置，行列式值相反.即若设 则.1D D -=

证明：记D 中的一般项中的n 个元素的乘积是

它在D 中处于不同行、不同列，因而在1D 中也处于不同行、不同的列，所以它也是1D 的一项.反之，1D 中的每一项也是D 中的一项，所以D 和1D 有相同的项，且对应的项绝对值相同.

现在看该项的符号：它在D 中的符号为

由于1D 是由交换D 的i 、k 两行而得到的，所以行标的n 级排列

n k i 12变为n 级排列n k i 12，而列标的n 级排列并没有发生变化.因此D 和1D 中每一对相应的项绝对值相等，符号相反，即.1D D -=

性质5 如果行列式中任有两行元素完全相同，那么行列式为零.

证明：设该行列式为D ，交换D 相同的那两行，由性质4可得D D -=,故.0=D

性质6 如若行列式中任有两行或者两列元素相互对应成比例，则行列式为零.

证明：设n 阶行列式中第i 行的各个元素为第j 行的对应元素的k 倍，由性质2，可以把k 提到行列式外，然后相乘.则剩下的行列式的第i 行与第j 行两行相同，再由性质5，最后得到行列式为零.

性质7 把任意一行的倍数加到另一行，行列式的值不改变.

nn

n n kn k k in i i n a a a a a a a a a a a a 21

212111211=.

2. 行列式的计算方法 几种特殊行列式的结果

三角行列式

nn nn n

n

a a a a a a a a a 221122*********=（上三角行列式）.

nn nn

n n a a a a a a a a a

221121

2221110

=（下三角行列式）. 对角行列式

nn nn

a a a a a a

221122110

00

=. 定义法

例1 用定义法证明.00

000000002

12121

5

4321

54321=e e d d c c b b b b b a a a a a 证明：行列式的一般项可表成.5432154321j j j j j a a a a a 列标543,,j j j 只能在

5,4,3,2,1中取不同的值，故543,,j j j 三个下标中至少有一个要取5,4,3中的一个

数，则任意一项里至少有一个0为因子，故任一项必为零，即原行列式的值为零.

利用行列式的性质计算

例2 一个n 阶行列式ij n a D =的元素都满足n j i a a ji ij ,,2,1,, =-=， 那么

n D 叫做反对称行列式,证明：奇数阶的反对称行列式的值等于0.

证明：由ji ij a a -=知ii ii a a -=，即n i a ii ,,2,1,0 ==

所以行列式n D 可写为0

00032132313

22312

11312 n n n

n n n

n a a a a a a a a a a a a D ------=，再由行列式的性质2，'A A =得到

0000

00032132313

223121131232132313

22312

11312

n

n

n

n

n n n n

n

n n

n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ------=------=

n n n

n n n n

n n D a a a a a a a a a a a a )1(0

000)1(32132313

22312

11312-=-------= ，

当n 为奇数时，得n n D D -=，因而得到0=n D .

降阶法

例3 计算)2(≥n n 级行列式x

y y x y x y x

d 0

00

000000

000

=. 解：按第一列展开得到

原式阶

阶

)1(1

)1(00

0000000)1(0

00

0000000

000-+--?+=n n n y x

y y x y y x y

x y x y x x

)2()1()1(≥-+=+n y x n n n .

归纳法

形如行列式

叫做n 阶范德蒙（Vandermonde ）行列式.

下面证明，对每一个)2(≥n n ，n 阶范德蒙行列式就等于

n a a a ,,,21 这n 个数的所有可能的差)1(n i j a a j i ≤<≤-的乘积.

用数学归纳法证明范德蒙德行列式 我们对n 作归纳法. （1）当2=n 时，

122

1

11a a a a -=，结果是对的.

（2）设对于1-n 级的范德蒙行列式，结论是成立的，先来看n 级的情况.在

中，第n 行减第1-n 行的1a 倍，第1-n 行减第2-n 行的1a 倍，即由下而上逐次地从每一行减它上一行的1a 倍，得到

2

23

222

232

2

3211312111)())((------=n n

n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a

. 最后面这个行列式是1-n 级范德蒙德行列式，再由归纳法假设，它的值就是)1(n i j a a j i ≤<≤-；而所有带有1a 的差即为上式最后等式行列式的前面.所以，结论对n 级范德蒙德行列式也是成立的.由数学归纳法，证明了结论.

用连乘号，这个结果可以简写为

∏≤<≤-----==n

i j j i n n

n n n n

n n a a a a a a a a a a a a a a D 11

13

121

12

23222

1321

1111）（

. （2-5-1）

递推法

给定一个递推关系式，再给定某一个较低阶初始行列式的值，就可递推求得所给n 阶行列式的值，运用这种方法计算的方法就叫做递推法。

一个典型的例子是范德蒙德行列式. 1

13

12112

23222

1321

1111----=n n

n n n n n

n a a a a a a a a a a a a D

分析：如果第一行全是1把第一行变出一排0其他位置将会变得不好掌握，所以通过把第一列变出一排0来降阶；并且，为了使降阶后的行列式仍然具有原来的形式，不能用第一行的若干倍加到其他各行的办法，而用逐行变零的方法.

解：同上题，第n 行减第1-n 行的1a 倍，第1-n 行减第2-n 行的1a 倍，即由下而上逐次地从每一行减它上一行的1a 倍，有

原式211231132

21121231232

12

21

131

20001

111---------------=n n

n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

1

11312)())((----=n n D a a a a a a .

其中行列式1-n D 仍然是同样形式的但阶数少1的范德蒙德行列式，所以可以按同样的办法反复降阶.从上面的计算知道，这样的办法做一次，出现的因式是第一列后面的每列的字母j a 减去第一列的字母的差之积.因此得

)

()())(()())((12242311312--??---?---=n n n n a a a a a a a a a a a a a a .

所以阶范德蒙德行列式为∏

≤<≤-=

n

i j j i

n a a D 1）

（. 拆项法

把给定的行列式的某一行或者某一列的元素表述为两数之和的形式，再根据行列式的性质把原行列式表示为两行列式的和的方法叫做拆项法.把一个繁琐的行列式化简为两个简单的行列式，把问题简单化以便于计算.

例4 计算行列式 n n n n n a a a a a a a a a D λλλ+++=

2

1

2212

1

1.

解：n

n n n n a a a a a a a a a D λλ++=

21

2212

1

+

n

n n n a a a a a a λλλ++

2

222

1

n

n

a a a λλ

0221化简

+11-n D λ =)1(1

21∑

=+=n

i i

i

n a λλλλ .

用范德蒙德行列式计算

例5 计算n

n n

n n n n D

2223332221

1

1

=.

解：n D 中的各行元素都各自是一个数不同的方幂，方幂的次数从左到右依次递升，次数由1递升至n .提取出每一行的公因数，那么方幂的次数就由0增至1-n ，得到

上等式右端的行列式是n 阶范德蒙德行列式，由（2-5-1）公式得

!1!2)!2()!1(! --=n n n .

化三角形法

把原有的行列式简化为上（下）三角形或者对角形或者阶梯形行列式计算的方法叫做化三角形法。

例6

m

x x x x m x x x x m

x n n n ---

2

1

212

1.

解：将第2、3、…、n 列的元素都加到第一列上，提出公因式，得

原式=m

x x m x x m x m x x x m x n n

i i n n

i i n n

i i -----∑∑∑===

2121

2

1

）

（）（）

（

=11

))((-=--∑n n

i i m m x .

加边法

加边法是把原来的行列式加上一行，一列然后再利用性质简化进行计算的方法。它的一般做法是：

特殊情况取121====n a a a 或121====n b b b . 让我们以例6为例

1

01000010

1)(132211

m x m x m x m

x

m n n n

i i

n

--

-

-

-+∑=列加到第一列，第列，列，第把第

)1()(1

∑

=--=n

i i

n

m x m .

拉普拉斯定理的运用

拉普拉斯定理：设任意取定行列式D 中的)11(-≤≤n k k 个行.那么行列式

D 就等于这k 行元素所构成的所有k 级子式和它们的代数余子式的乘积的和.

例7 计算n 2阶行列式1

1

1

1

d c d c b a b a D n

n

n n n

=

.

解：由拉普拉斯展开定理，按照第1行和第n 2列展开得

1

1111)(--=n n D c b d a D .

)1(2-n 阶的行列式1-n D 也按同样方法展开，得

2

22221111))((---=n n D c b d a c b d a D .

依次类推，得 ∏=-=n

i i i i i n c b d a D 1

)(.

行列式计算的Matlab 实验

除了上述几种常规方法，还可以借助一些数学软件进行计算，它不仅简便易操作，而且计算效率高。求解方阵A 的行列式时可调用)det(A .

例8 求矩阵???

?

? ??=936242531A 的行列式.

用Matlab 编程 >> A=[1 3 5;2 4 2;6 3 9] >> det(A)

运行后得到结果为-78.(见附录1) 例9 解方程组 用Matlab 编程

>> A=[1 1 1 1;1 2 -1 4;2 -3 -1 -5;3 1 2 11] >> b=[4 6 -7 17]' >> x=inv(A)*b

运行后得到结果为????

???====1

111

4

32

1

x x x x （见附录2）

Matlab 可以进行符号运算，首先应对数学式将用到的符号用语句syms 定义.

例10 求行列式d

c b a 的值.

用Matlab 编程 >> syms a b c d >> A=[a b;c d] >> det(A)

运行后得到结果为a*d - b*c.（见附录3）

3. 行列式的应用

行列式应用在解析几何中

根据齐次线性方程组有非零解的充要条件这一重要结论，在中学解析几何中直线方程、圆锥曲线方程中可以给出行列式的形式.

例11 求解过点???? ??324,1和????

??-23,473，而且焦点在x 轴上的椭圆方程.

解：设所求的椭圆方程为122

22=+b

y a x ，如果点()11,y x 和()22,y x 在椭圆上，

则

把它看成是关于,1

,122b

a 和1-的齐次线性方程组，由于它有非零解，故椭

圆方程可写为

01

11

2222

212

122=y x y x y x ，

代值得

014

9

16

631932

1122=y x ， 即

04

91663932

1116

631

114

9

1932

22=+

-y x . 解得

1492

2=+y x .

用行列式表示的三角形面积

例12 在一个平面内以三点),(),,(),,(332211y x R y x Q y x P 为顶点的PQR ?的

面积S ，是

1

11

21

33

2211

y x y x y x 的绝对值. 证明：把平面中),(),,(),,(332211y x R y x Q y x P 为三点扩充到三维空间里, 设它的坐标分别为112233(,,),(,,),(,,)x y k x y k x y k , k 是任意的常数. 则：

2121(,,0)PQ x x y y =--, 3131(,,0)PR x x y y =--

则

PQR ?面积为

=

1

2PQ PR

?= 应用行列式分解因式

利用行列式分解因式主要在于构造，再根据行列式的性质来计算，以便于提取公因式.

例13 解因式223+-+x x x .

解： )2()1(2223--+=+-+x x x x x x

1

122+-=

x x x (把第一列加到第二列)

2

1

)

1)(2(2+-+=

x x x x （提取公因式）

)1)(2(2+-+=x x x .

利用行列式解代数不等式

例14 求证不等式

abc c b a ≥++3

3

33，其中+∈R c b a ,,. 证明：要证明

abc c b a ≥++3

3

33，只需证明03333≥-++abc c b a ;

a

c

b

b a c

c b

a abc c

b a =-++3333(把第二行、第三行各自加到第一行) 因为，+

∈R c b a ,,所以033

3

3

≥-++abc c b a ，故

abc c b a ≥++3

3

33得证. 利用行列式来证明拉格朗日中值定理[7]

证明拉格朗日中值定理时，一般要构建一个辅导函数，让它满足罗尔定理，于是一般要构建一个辅导函数，让它满足定理中的条件，从而得到结论.下面给出证明.

拉格朗日中值定理 设函数f 满足条件

（1）f 在闭区间],[b a 上连续，

（2）f 在开区间),(b a 上可导，则在),(b a 内至少存在有一点ξ，使得： 构建行列式型的辅助函数来证明

证明：设 1

)(1)(1)()(x f x

b f b

a f a

x =Φ 因)(x f 在],[b a 上是连续的，在),(b a 内是可导的，故)(x Φ在],[b a 上是连续的，在),(b a 内是可导的，且0)()(=Φ=Φb a ，故由罗尔定理得，至少存在有一点),(b a ∈ξ，使得

)(1

1)(1)()('ξξf b f b

a f a

=Φ=01

)

(1

1)()(1)(=--x f a f b f a

b a f a

所以

a

b a f b f f --=

)

()()('ξ.

行列式在实际中的应用

行列式在许多工程上的问题上，特别是在电子工程和控制论，能用拉普拉斯变换进行分析，在经济管理和工业生产中也有着很普遍的应用，可以根据行列式的性质来解决一部分工程中的现实的问题.

例15 现有三块草地人工饲养羊，草地的草是一样密集，生长速度也一样.

这三块草地的面积分别为3

1

3亩、10亩和24亩，第一块草地饲养12只羊可维

持4周；第二块草地饲养21只羊可支撑9周，问在第三块草地上应豢养几只羊恰巧能支撑18周

解： 设每亩草地有草x kg ，每周每亩生长新草y kg ，第三片牧场可饲养z 只羊，每只羊每周吃草a kg ，由题意，得

即

可以得到，这是以a y x ,,为未知数的齐次线性方程组，由于它有非零解，故它的系数行列式

3-72

4

189-9010144-4010==z

D ，

展开后得36=z ，即可以在第三块草地饲养36只羊维持18周.

总结

行列式从线性方程组的问题引出来，成为线性代数中一个最基本的工具.在高深的高等数学领域里和现实生活里的实际问题当中，都有着直接或者间接的联系.

行列式一般有很多种计算方法，综合性要求也很高，比较灵活，这就要求我们平时在学习当中多练习多总结.一般常用来计算行列式的方法主要有降阶法，归纳法，化三角形法，范德蒙德行列式等.本文先从行列式的定义以及性质出发，介绍了求解行列式比较基本的方法.随后又介绍了几种比较常见的有技巧的方法，如加边法、降阶法、化三角形法等，加深了对行列式的研究.最后还列举了用数学软件Matlab 求解行列式的方法，给求行列式带来了极大的方便.

行列式在数学科学领域中有着普遍的应用，本文介绍了行列式在解析几何、代数及其他课程中的应用.通过这一系列应用进一步提高对行列式的认识，为以后的学习发挥着重大作用.最后又列举了行列式在现实中的应用，化抽象为具体，更加深入理解行列式的作用.

参考文献

[1] 北京大学数学系几何与代数教研小组编.高等数学（第三版）[M],2003. 1-120

[2] 毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳[M].武汉：华中科技大学, [3] 贾兰香、张建华.线性代数.南开大学出版社[M]

[4] 钱吉林. 高等代数题解精粹[M]. 北京: 中央民族大学出版社,2002. 58-79

[5] 吕林根、许子道.解析几何.高等教育出版社（第四版）[M], [6] 杨立群. 行列式在初等代数中的应用[J]. 东北师范大学学报, [7] 华东师范大学数学系.数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，

[8] 贾计荣. 行列式在初等代数中的应用[J].太原大学教育学院学报 2007年增刊（总第83期）

[9] 李小刚.线性代数及其应用[M].科学出版社，2006. 51-57

[10] 刘剑平、施劲松.线性代数及其应用[M].华东理工大学出版社，

附录1

>> A=[1 3 5;2 4 2;6 3 9]

A =

1 3 5

2 4 2

6 3 9

>> det(A)

ans =

-78

附录2

>> A=[1 1 1 1;1 2 -1 4;2 -3 -1 -5;3 1 2 11]

A =

1 1 1 1

1 2 -1 4

2 -

3 -1 -5

3 1 2 11

>> b=[4 6 -7 17]'

b =

4

6

-7

17

>> x=inv(A)*b

x =

附录3

>> syms a b c d

>> A=[a b;c d]

A =

[ a, b]

[ c, d]

>> det(A)

ans =

a*d - b*c

>>

谢辞

在这次毕业论文的书写过程中，最为感谢的是我的指导老师姜贺老师，本文是在姜老师精心指导下完成的，从论文选题到研究最后到完成的过程中，姜老师始终细心的对我进行指导，并时常给我鼓励和支持。感谢他及时的纠正与指导，感谢他在百忙之中对我的关键性建议，感谢老师提供的相关材料。正是因为有老师的陪伴指导，才能使我的毕业论文完成的如此顺利成功。同时在此感谢四年来教授我知识的所有老师和陪伴我一起成长的同学特别是和我朝夕相处的室友们，因为有你们，我的大学才如此精彩。虽然四年之中我也努力的完成了专业课程，但是书写毕业论文对我来说还是一个较为艰巨的挑战，因为有了那些同学与老师的帮助我的论文最终完成了，在此我表示真切的谢意！