2014年辽宁省高考数学试卷(理科)
2014年辽宁省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014?辽宁）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合?U（A∪B）=（）
A ．{x|x≥0}B
．
{x|x≤1}C
．
{x|0≤x≤1}D
．
{x|0＜x＜1}
2．（5分）（2014?辽宁）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）
A ．2+3i B
．
2﹣3i C
．
3+2i D
．
3﹣2i
3．（5分）（2014?辽宁）已知a=，b=log 2，c=log，则（）
A ．a＞b＞c B
．
a＞c＞b C
．
c＞a＞b D
．
c＞b＞a
4．（5分）（2014?辽宁）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）
A ．若m∥α，n∥α
，则m∥n
B
．
若m⊥α，n?α
，则m⊥n
C
．
若m⊥α，m⊥n
，则n∥α
D
．
若m∥α，m⊥n
，则n⊥α
5．（5分）（2014?辽宁）设，，是非零向量，已知命题p ：若?=0，?=0，则?=0；命题q ：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）
A ．p∨q B
．
p∧q C
．
（￢p）∧（￢q
）
D
．
p∨（￢q）
6．（5分）（2014?辽宁）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）
A ．144 B
．
120 C
．
72 D
．
24
7．（5分）（2014?辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A ．8﹣2πB
．
8﹣πC
．
8﹣D
．
8﹣
8．（5分）（2014?辽宁）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{}为递减数列，则（）
A ．d＜0 B
．
d＞0 C
．
a1d＜0 D
．
a1d＞0
9．（5分）（2014?辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（
）
A
．
在区间[，
]上单调递减B
．
在区间[，
]上单调递增
C
．
在区间[﹣，
]上单调递减D
．
在区间[﹣，
]上单调递增
10．（5分）（2014?辽宁）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）
A ．B
．
C
．
D
．
11．（5分）（2014?辽宁）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）
A ．[﹣5，﹣3]B
．
[﹣6，﹣]C
．
[﹣6，﹣2]D
．
[﹣4，﹣3]
12．（5分）（2014?辽宁）已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：
①f（0）=f（1）=0；
②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．
若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜k恒成立，则k的最小值为（）
A ．
B
．
C
．
D
．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。考生根据要求作答．
13．（5分）（2014?辽宁）执行如图的程序框图，若输入x=9，则输出y= _________ ．
14．（5分）（2014?辽宁）正方形的四个顶点A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）分别在抛物线y=﹣x2和y=x2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域
的概率是_________ ．
15．（5分）（2014?辽宁）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|= _________ ．
16．（5分）（2014?辽宁）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，﹣+的
最小值为_________ ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）（2014?辽宁）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知?=2，cos
B=，b=3，求：
（Ⅰ）a和c的值；
（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．
18．（12分）（2014?辽宁）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（
X）．
19．（12分）（2014?辽宁）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=
120°，E、F分别为AC、DC的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥BC；
（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣C的正弦值．
20．（12分）（2014?辽宁）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线C1：﹣=1过点P且离心率为．
（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径
的圆过点P，求l的方程．
21．（12分）（2014?辽宁）已知函数
f（x）=（cosx﹣x）（π+2x）﹣（sinx+1）
g（x）=3（x﹣π）cosx﹣4（1+sinx）ln（3﹣）
证明：
（Ⅰ）存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；
（Ⅱ）存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，且对（Ⅰ）中的x0，有x0+x1＜π．
四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在
答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．选修4-1：几何证明选讲.
22．（10分）（2014?辽宁）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并
延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．
（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；
（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED．
选修4-4：坐标系与参数方程
23．（2014?辽宁）将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．
（Ⅰ）写出C的参数方程；
（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过
线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
不等式选讲
24．（2014?辽宁）设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的
解集为N．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．
2014年辽宁省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014?辽宁）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合?U（A∪B）=（）
A ．{x|x≥0}B
．
{x|x≤1}C
．
{x|0≤x≤1}D
．
{x|0＜x＜1}
考点：交、并、补集
的混合运算．
专题：计算题；集合
．
分析：先求A∪B，再
根据补集的定
义求C U（A∪B
）．
解答：解：A∪B={x|x
≥1或x≤0}，
∴C U（A∪B）
={x|0＜x＜1}，
故选：D．
点评：本题考查了集
合的并集、补
集运算，利用
数轴进行数集
的交、并、补
运算是常用方
法．
2．（5分）（2014?辽宁）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）
A ．2+3i B
．
2﹣3i C
．
3+2i D
．
3﹣2i
考点：复数代数形式
的乘除运算．
专题：数系的扩充和
复数．
分析：把给出的等式
两边同时乘以
，然后利
用复数代数形
式的除法运算
化简，则z可求
．
解答：解：由（z﹣2i
）（2﹣i）=5，
得：
，
∴z=2+3i．
故选：A．
点评：本题考查了复
数代数形式的
除法运算，是
基础的计算题
．
3．（5分）（2014?辽宁）已知a=，b=log2，c=log，则（）
A ．a＞b＞c B
．
a＞c＞b C
．
c＞a＞b D
．
c＞b＞a
考点：对数的运算性
质．
专题：计算题；综合
题．
分析：利用指数式的
运算性质得到0
＜a＜1，由对
数的运算性质
得到b＜0，c＞
1，则答案可求
．
解答：解：∵0＜a=
＜20=1，
b=log2＜log21
=0，
c=log=log2
3＞log22=1，
∴c＞a＞b．
故选：C．
点评：本题考查指数
的运算性质和
对数的运算性
质，在涉及比
较两个数的大
小关系时，有
时借助于0、1
这样的特殊值
能起到事半功
倍的效果，是
基础题．
4．（5分）（2014?辽宁）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）
A ．若m∥α，n∥α
，则m∥n
B
．
若m⊥α，n?α
，则m⊥n
C
．
若m⊥α，m⊥n
，则n∥α
D
．
若m∥α，m⊥n
，则n⊥α
考点：空间中直线与
直线之间的位
置关系．
专题：空间位置关系
与距离．
分析：A．运用线面平
行的性质，结
合线线的位置
关系，即可判
断；
B．运用线面垂
直的性质，即
可判断；
C．运用线面垂
直的性质，结
合线线垂直和
线面平行的位
置即可判断；
D．运用线面平
行的性质和线
面垂直的判定
，即可判断．解答：解：A．若m∥
α，n∥α，则m
，n相交或平行
或异面，故A错
；
B．若m⊥α，n
?α，则m⊥n，
故B正确；
C．若m⊥α，m
⊥n，则n∥α或
n?α，故C错；
D．若m∥α，m
⊥n，则n∥α或
n?α或n⊥α，故
D错．
故选B．
点评：本题考查空间
直线与平面的
位置关系，考
查直线与平面
的平行、垂直
的判断与性质
，记熟这些定
理是迅速解题
的关键，注意
观察空间的直
线与平面的模
型．
5．（5分）（2014?辽宁）设，，是非零向量，已知命题p：若?=0，?=0，则?=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）
A ．p∨q B
．
p∧q C
．
（￢p）∧（￢q
）
D
．
p∨（￢q）
考点：复合命题的真
假．
专题：简易逻辑．
分析：根据向量的有
关概念和性质
分别判断p，q
的真假，利用
复合命题之间
的关系即可得
到结论．
解答：解：若?=0，
?=0，则?
=?，即（
﹣）?=0，则
?=0不一定成
立，故命题p为
假命题，
若∥，∥
，则∥平行
，故命题q为真
命题，
则p∨q，为真
命题，p∧q，（
￢p）∧（￢q）
，p∨（￢q）
都为假命题，
故选：A．
点评：本题主要考查
复合命题之间
的判断，利用
向量的有关概
念和性质分别
判断p，q的真
假是解决本题
的关键．
6．（5分）（2014?辽宁）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）
A ．144 B
．
120 C
．
72 D
．
24
考点：计数原理的应
用．
专题：应用题；排列
组合．
分析：先排人，再插
入椅子，根据
乘法原理可得
结论．
解答：解：3人全排，
有=6种方法
，形成4个空，
在前3个或后3
个或中间两个
空中插入椅子
，有4种方法，
根据乘法原理
可得所求坐法
种数为6×4=24
种．
故选：D．
点评：本题考查排列
知识的运用，
考查乘法原理
，先排人，再
插入椅子是关
键．
7．（5分）（2014?辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A ．8﹣2πB
．
8﹣πC
．
8﹣D
．
8﹣