七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十六讲比例线段(含答案)
第十六讲比例线段
趣题引路】
如图，在AABC 的边上有一异于中点的动点P,若P 点沿平行于BC 的方向运动到AC 边于D,再沿 平行于方向运动到BC 边于E ……，如果每沿平行于某一边方向运动到另一边于一点算作一次，那么这 样运动2001次，点P 到达的位置在哪里？
解如图，由于每次运动都平行于每一边，
.AP AD BE _BF _CG _ AM
~PB =~DC = ~EC = ~AF =^G = ~BM
? AP _ AM ? AP _ NM AP+PB =
AM + MB ' .AP AM
PB AB
:.AP=AM,于是点P 经过六次运动返回到原出发点P,
72001=6x333+3,
???点P 经过2001次运动到点F 处.
知识拓展】
比例线段是研究相似三角形的重要手段，解决比例线段问题时，一要掌握和运用比例性质，如比例的 基本性质、反比定理、合比定理、分比定理、等比定理等；二要熟悉产生比例线段的常见途径：
(1) 平行线截割； (2) 线段等积变形； (3) 面积等式变形；
(4) 角平分线性质；(5)相似形.
平行线分线段成比例定理及其逆定理和推论，可以解决线段成比例或直线平行问题，因而作平行线构 造比例线段是本节问题中的常用技巧.
一、巧用比例性质解题
例1己知：p+q+=9,且-严 =』一 =」一，则E + Q+T 等于() X - - yz y~ - ZX _ 心 x+ y+ Z
A. 9
B. 10
C. 8
D. 7
解析 从结论的结构看，将已知中的等式各分子、分母分别乘以兀、y 、z ，再由等比的性质即可求出 代数式的值.
px + gy + r 乙
x 3 + y 3 + z 3 ~ ^xyz
qy _ 口
y 3
- xyz 乙3 - xyz px + q + 口 X 3 + y 3 + Z 3 - 3xyz
由①、②得:
X 2
+ y 2 + Z 2
~ yz- ZX-xy
解
_________ 卩+ q +广 _______ ①
x 2 + y 2 + z 2 - yz- zx-xy
x 3
-xyz
*.* 0+)Q+N-3 牌=(x+y+z)(x2+〉f-巧识切，
?px+qy + rz
??-------- = p + q+ r .
x+y+ z
???p+q+&9,???" + ? +7,故选A.
x+ y+ z
二、构造比例线段解题
例2 （江苏省初中竟赛题）如图，过A4BC顶点B的两条直线分三角形BC边上的中线AD所成的比AE:EF:FD=4： 3： 1,则这两直线分AC所成的比AG.GHHC为（）
A. 4： 5： 3
B. 3： 4： 2
C. 2： 3： 1
D. 1： 1： 1
解析由已知线段比想到平行线分线段成比例，先构造平行线.
解作DM〃BH交AC于M,
则竺=竺=7,
HM FD
???D是中点，
???M是HC的中点.
.AH 7
HC 2
作DN//BG交4G于N,则G为AN的中点，N为GC的中点，设HC=2k,贝0 AH=lk, AC=9k, .*,AG=3k, GH=4k,故AG:GH:HC=3： 4： 2.
故选B.
例3如图，PM磁的中位线“上-点冲交"于N,CP交丽于M求证：罷喘“
解析为达到籍与需“通分”的目的，确定以菟为“公分母”，于是想到构造平行四边形旳"；过A作BC 的平行线分别交直线BN、CM于G、H.连结GC、HB.这样就出现了我们需要的比例式:
AM _ AH AN AG ~MB=~BC' ~NC = ~BC
证明由作图可知HG//DE//BC.
由D为AB中点，可知P为BG、CH的中点，故四边形BCGH为平行四边形，有:
.AN AM AG HA AG + HA
? ? + " = + = ---------------
NC MB BC BC BC
三、巧用角平分线性质解题
在AABC中，若ZA的平分线交BC于点D,则竺= ￡2.利用这个性质可实现线段比例的转换. AC DC
例4如图，ZVIBC中，AD是角平分线，且丄=丄+丄，求ZBAC的度数.
AD AB AC
解析由AD是角平分线想到过B作BE//AD交C4的延长线于E,从而得Z1=Z2=ZE=Z3,猜测△ABE为等边三角形.若能证明BE二AB,问题就明朗了.
解作BE//AD交CA延长线于E.
.1 1 1 AB + AC^
由——=——+——= ----------- 得
AD AB AC AB ?AC
AB + AC= AB*AC?
AD
由角平分线定理，得￡2 =也，
DC AC
.BD + DC AB+AC
DC= AC
即竺=AB+AC②
DC AC
由①*②，得
BC _ AB ?AC _ AB
~DC ~ AD ?AC ~ ~AD
又AD//BE,—=—
DC AD
?AB BE
?? —---
AD AD
故AB二BE
由AD//BE知Z1=Z2=Z3=ZE,
:.AE=AB, :. AABE是等边三角形，ZBAE=60。
???ZBAC=12Q°
AN AM
----- + -------
NC MB
E
点评猜测结论是数学思维的一种，它基于对图形的深入认识和平时解题经验的积累
.
四、利用相似三角形的性质研究线段比例
例5求证：顶角为36。等腰三角形的底与腰之比等于黄金数. 己知如图，在AABC 中，AC=BC, ZC=36°.
解析 若将三角形分成两个相似三角形，可找到AB. AC 间的关系式. 证明 作ZCBA 的平分线交AC 于D. V ZC=36°, AC 二BC, :. ZCBA=72°
:.ZDBA=ZDBC=ZC.?: ZA=ZA,
:.ABADs MAB.:— AC AB
:.CD=BD=AB :. — = A 。-A"
AC AB :.AB^Ar-ABAC 即 f —"l + — -1 = 0
\AC ） AC
??.竺=石_1或竺"+1 （舍去） AC 2 AC 2 ???命题成立.
点评顶角为36。的等腰三角形的底与腰之比等于黄金分割比，顶角为108。的等腰三角形的腰与底之 比等于黄金分剖比，因此，常把这两种三角形称之为黄金三角形.
例6如图，在△磁中，己知"ZCBA ：你I 2： 4,求证：需+存点.
解析 延长AB 至D,使BD 二BC,连接CD,在AB 上取一点E,使ED 二CD 设ZA=a t 则ZCBA=2a,
ZBCA=4a, ZA+ Z CBA+ ZBCA=la= 180°.
T ZCBD=13Q°-2a=5a,
求证:
AB _ V5-1
AC~ -2~
C
D H
E A
??? ZBCD=ZD="°°一％ = a .
2
ZBCE=3a-a=2a,
??? CE=BE=DE-BD=AC-BC.
V ZACE=ZABC=2a, ZA=ZA,
:.AACE^AABC.
?BC CE
AB AC
?BC AC-BC
AB AC
:._L = _L-丄即丄+丄=丄.
AB BC AC AB AC BC
点评当条件中存在倍角关系时，延长一边等于另一边，这样构造相似三角形，进而证明比例关系.
好题妙解】
佳题新题品味
例1 （2001年吉林省中考题）如图，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙1.6m,梯上点D距墙
1.4m, BD长0.55m,则梯子的长为（）
DE即AB _ 1.6
BC-DE 0.55 _ 0^2
所以AB=4.4Q选C.
例 2 如图：RtAABC中，ZA=90°, ZB=30。，AB=3芋,E、F 为AB±两点，AE二BF, EG//FH/ //AC,求：EG+FH的值.
解析在RtZXABC 中，ZB=30°, AB=3y/3 , &AC=a,贝lj BC=2a.
A. 3.85m
B. 4.00m
C. 4.40m
解析
依题有DEg因此篇=等?
则岛
D. 4.50m
B^-AC^AB2
,
???4，"=（3苗尸，
.\a=3,即AC=3.
?: GEHFHUAC,
.EG BE FH _ BF
** AC = AB * AC = AB ■
又TAE=BF,
:.BE=AF
? EG FH BE BF AF BF ,
AC AC AB AB AB AB
:.EG+FH=AC=3.
点评由平行线可利用平行线分线段成比例，然后转化为同分母分式相加，使求两线段和或两个比例式等于第三比，这也是解此类问题的常用方法之一.
中考真题欣赏
例（河北省中考题）在AABC中，D为BC边的中点，E为AC边上任意一点，BE交AD于点、0,某
学生在研究这一问题
时，发现了如下事实:
（其中“是正整数）
解析考察观察、分析能力。
解依题意可猜想：当△色=
AC 过点D作DF//BE交AC
于点F.
???F是EC的中点，即EC=2EF.
(1)当AE11时
，
有AO 2 _2如图(1)1
AC2 1 + 1AD3 2 + 1
(2)当
AE11时
，
有
AO22
如图(2)1
AC3 1 + 2AD4 2 + 2
(3)当
AE11时
，
有
AO22
如图⑶】;
AC4 1 + 3AD5 2 + 3
,参照上述研究结论,
在图（4）中，当竺=丄
AC 1 + 77
请你猜想用〃表示黑的-般结论，并给出证明.
2—成立，下面证明之:
图3图4
丄可知△色=丄.
1 + /1 EC n
4E _ 1 AE _ 2 AE _ 2
2EF n EF n AF 2 + n
.AO AE _ 2
AD AF 2 +n
竞赛样题展示
例1 （2001年山西省中考题）（1）阅读下列材料，补全证明过程：
如图（1）,矩形ABCD中，AC、BD相交于O, OE丄BC于E,连结DE交OC于点F,作FG丄BC 于G.求证；点G是线段BC的三等分点.
证明：在矩形ABCD中，OE丄BC, DC丄BC,则OE//DC,
1 OE 1 z R EF OE 1
由——=—,得——= ------- =一，
DC 2 FD DC 2 即竺=2 .
ED 3
所以点G是BC的一个三等分点.
（2）请你仿照上面画法，在原图上画出BC的一个四等分点（保留画图痕迹，不写证明过程）.
解析本题题型新颖、别致，考查学生阅读、证明、作图三个方面的能力.
解（1）补充证明：TFG丄BC, DC丄BC,
:.FG//DC：.竺=竺=丄.
EC ED 3
?GC 2
? . —一 = —?
EC 3
???E是BC中点，
? CG CG 2 1
?.?■ --------- — .
BC 2EC 63
???点G是BC的一个三等分点.
（2）如图（2）为所求，同理/为四等分点.
例2 （2001年绍兴市初中联赛题）如图，在ZXABC中，AG=-AB, BE=1 BC, CF=-CA,则
3 3 3
AN:NL:LE= ________ .
解析作AP//BC 交CG 的延长线于P,
AP AN _ 3
CE = 1VE = 4'
作 EH//AC 交
BF 于 H.
则巴丄空L 旦丄
CF 3 AF AL 6
故 AN:NLLE=3： 3： 1.
如图，AB//EF//CD, AC+BD=24Q, BC=1QO, EC+ED=192, 求CF.
解析由AB//EFHCD 彳导. 空=些=竺①
CF BF BC 匹旦旦②
CF BF BC
⑥得 CE+DE AE + BE AC + BD _ 240 、-CF 一 BF 一 BC 一
100 即竺》
CF .*.CF=30.
过关检测】
A 级
1.（河北省中考题）如图，已知在口4BCD 中，0、。2、03为对角线BD 上三点，且B O^O^OzO 尸O3D
连结A0并延长交BC 于点E,连结EO,并延长交AD 于点F,则AD.FD 等于（ ）
.AG 1
由——=_,
AB 3
得些=竺=丄 BG BC 2
（2000年山东省初中竟赛题）
p
A
A. 19： 2
B. 9： 1
C. 8： 1
D. 7： 1
3. （2000
年上海市初中竞赛题）如图，已知口4BCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长
线相交于点E 、F 、G,若BE=5, EF=2,则FG 的长是 _______________ .
4. （
2002年广西赛区试题）如图，梯形ABCD 中，AB//DC,
如果些=2, AB=7, DC=10,那么，EF=
ED ----------
5. （1997年“祖冲之杯"初中竞赛题）如图16-16,在梯形ABCD 中，AB//CD , AB = 3CD, E 是对角线 AC 的中点，BE 延长后交AD 于F,
-----------------
AABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AQ 上的一点，且
2.（全国初中联赛题）如图16-18, AB//^F//DC ，已知AB = 20, CD = 30, BC = 10,那么的值是（
）
2. 点 E 、F 分别在 AB 、BC 上，EF//DC,
1.（2000年河北省初中竞赛题）如图16-17, AF:FD=l ：5,连结CF 并延长初交于点E, 则等于（ A.1： 6
B.1： 8
C.1： 9
（1998年重庆市初三竞赛）若
图16-16
D.1： 10
图 16-17
3.如图16-19,正方形ABCQ 的边长是1，E 为
CB 延长线上一点，连交AB 于P,且PE = *，则BE-PB
的值为 _______ o
4.
（大庆市初中竞赛题）如图16-20, P 为AABC 的中位线DE 上的一点，BP 交AC 于N , CP 交于M,
5.
（2000年湖北省初中竞赛题）如图16-21,已知M 、N 为AABC 的边BC 上的两点，且满足
BM=MN = NC , 一条平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和初的延长线于点D 、E 和F.求证： EF = 3DE.
A.10
B.12
C.16
D.18
求证: AN + NC
AM =1
MB
图 16-18
6.（1998年山东省初中竞赛题）如图16-22,在四边形ABCD 中，AC与BD相交于O,直线/平行于BD且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别交于点M、N、R、S和P,求证：PM PN = PR PS .
第十六讲比例线段
h B提示;易知鑰=3,舘=3,故AD ： FQ三9 ： I.
4.
5.
0 5提示話号器诗提示:作〃俎）.
提示:过￡作初的平行线.
图16-22
1. D 故 AE : BF
= 1 ： 10.
2 C 椁亓 EF FB EF EF .妊 rF 山
2C 提肩朋-EC Q 58証…巫+而仏故E416.
3” 令 BE =x,PE =7?则 平T ②
1 X 4-1
由②，有& -y =巧③
由①、③有(x-y)" +2(*-刃-3-0, (上-y -1-3)(* -y - 1) =0. V x >y,x -y +3 >0,
/. ?~y-l =0,x-y = l,B P BE ■ PB = 1. 4：
作BC 的平行线分别交直线BN 、CM 于G 、H,连GC 、HB ?易知HG//DE//BC,
由。为曲中点,知尸为BC 、則的中点，得四边形BCGH 为平行四边形?有需二舘牆二鈴： 需 AM AG HA BC 、 MB^BC BC~BC~ r
5.过M 、/V 分别作AC 的平行线交佔于G 、刃两点,Mf 交側于K.由题设，易证HK=jGM,GM = 护V,故HK =訥、即鬻七?囁=鑰???酢二3DE.
.BO OC OD BO AO 0D ..荷PN OD PS OD . PN PS
&丽=元=莎，丽=祁=药，从而莎=而，兩=而…PR^PM'
B 级
提示：作 DG//EC 交 48 于&，则 AE : EG = AF : FD “ ：5, v
BD = DC,:. BG = GE
(完整版)七年级数学(下)培优试题
七年级数学（下）培优竞赛试题 1、已知直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠1：∠3=3：1， ∠2=20度，求∠DOE 的度数。 2、如图所示,O 为直线AB 上一点,∠AOC=1 3 ∠BOC,OC 是∠AOD 的平分线。 ①求∠COD 的度数； ②判断OD 与AB 的位置关系，并说明理由。 3、如图，两直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，如果∠AOC ：∠AOD=7：11， ①求∠COE ； ②若OF ⊥OE ，∠AOC=70°，求∠COF 。 4、如图⑺，在直角 ABC 中，∠C ＝90°，DE ⊥AC 于E,交AB 于D . ①指出当BC 、DE 被AB 所截时，∠3的同位角、内错角和同旁内角. ②试说明∠1＝∠2＝∠3的理由.（提示：三角形内角和是1800） 5、如图是一个3×3的正方形，则图中∠1＋∠2＋∠3＋…＋∠9= 。 6,（安徽中考）如图，已知AB ∥DE ，∠ABC= 80 ，∠CDE= 1400 ，则∠BCD= . 3 21O F E D C B A O D C B A A B C D O E F 6 3 2 １ 9 8 7 5 4
7、如图，BO 、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ， （1）若∠A=60°。求∠Q （2）若∠A=100°、120°，∠Q 又是多少？ （3）由（1）、（2）你发现了什么规律？当∠A 的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？ （提示：三解形的内角和等于180°） 8、如图所示，AB ⊥EF 于G ，CD ⊥EF 于H ，GP 平分∠EGB ，HQ 平分∠CHF ，试找出图中有哪些平行线，并说明理由． 9，（北大）如图所示，图（1）是某城市古建筑群中一座古 塔底部的建筑平面图，请你利用学过的知识设计测量古塔外墙底部的∠ABC 大小的方案，并说明理由，（注：图（2）、图（3）备用） （1） （2） （3） 10、已知点B 在直线AC 上，AB=8cm ，AC=18cm ，P. Q 分别是AB. AC 的中点,则PQ 为多少cm? （自己构造图） A B C D E F G H P Q
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人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程 （10）二元一次方程组解的讨论 【知识精读】 1． 二元一次方程组???=+=+222 111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当2 12121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效） ② 当2 12121c c b b a a ≠=时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的） ③ 当 2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ??? ????--=--=12212 11212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。 3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3） 【分类解析】 例1. 选择一组a,c 值使方程组???=+=+c y ax y x 275 ① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解 解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解 解比例得a=10, c=14。 ② 当 5∶a ＝1∶2≠7∶c 时，方程组无解。 解得a=10, c ≠14。 ③当 5∶a ≠1∶2时，方程组有唯一的解， 即当a ≠10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。 例2. a 取什么值时，方程组? ??=+=+3135y x a y x 的解是正数？ 解：把a 作为已知数，解这个方程组
新人教版七年级数学下册提高培优题
2014新人教版七年级数学下册提高培优题 1、已知：如图，∠1 =∠2，∠3 =∠4，∠5 =∠6.求证： ED 4、已知，如图，BCE 、AFE 是直线，AB ∥CD ，∠1=∠2，∠3=∠4。 求证：AD ∥BE 。 证明：∵AB ∥CD （已知） ∴∠4=∠ （ ） ∵∠3=∠4（已知） ∴∠3=∠ （ ） ∵∠1=∠2（已知） ∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF （ ） 即∠ =∠ ∴∠3=∠ （ ） ∴AD ∥BE （ ） 5、已知△ABC 中，点A （-1，2），B （-3，-2），C （3，-3）①在直角坐标系中，画出△ABC ②求△ABC 的面积 6、在平面直角坐标系中，用线段顺次连接点A （，0），B （0，3），C （3，3）， D （4，0）． （1）这是一个什么图形；（2）求出它的面积；（3）求出它的周长． 7、在平面直角坐标系中描出下列各点A （5，1），B （5，0），C （2，1），D （2，3），并顺次连接，且将所得图形向下平移4个单位，写出对应点A ＇、B ＇、C ＇、D ＇的坐标。 8、已知 ,求 的平方根. 9、已知关于x ，y 的方程组 与 的解相同，求a ，b 的值．
10、A、B两地相距20千米，甲、乙两人分别从A、B 两地同时相向而行，两小时后在途中相遇．然后甲返回A地，乙继续前进，当甲回到A地时，乙离A地还有2千米，求甲、乙两人的速度． 11、荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售，经与春晨运输公司协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车一次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨。已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元，且同一种型号汽车每辆租车费用相同。 （1）求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元？ （2）若荣昌公司计划此次租车费用不超过5000元，通过计算求出该公司有几种租 车方案？请你设计出来，并求出最低的租车费用。 12、若，求的平方根. 13、已知＋|2x－3y－18|＝0，求x－6y的立方根．14、若不等式组的解是，求不等式的解集。 15、解不等式组并把解集在数轴表示出来.(5分) 16、某工厂现有甲种原料280kg，乙种原料190kg ，计划用这两种原料生产两种产品50 件，已知生产一件产品需甲种原料7kg、乙种原料3kg，可获利400元；生产一件产品需甲种原料3kg，乙种原料 5kg，可获利350元． （1）请问工厂有哪几种生产方案？ （2）选择哪种方案可获利最大，最大利润是多少？ 17、李大爷一年前买入了相同数量的A、B两种种兔，目前，他所养的这两种种兔数量仍然相同，且A种种兔的数量比买入时增加了20只，B种种兔比买入时的2倍少10只． （1）求一年前李大爷共买了多少只种兔？ （2）李大爷目前准备卖出30只种兔，已知卖A种种兔可获利15元／只，卖B种种兔可获利6元／只．如果要求卖出的A种种兔少于B种种兔，且总共获利不低于280元，那么他有哪几种卖兔方案？哪种方案获利最大？请求出最大获利．
最新沪科版七年级数学培优竞赛训练一
培优竞赛训练一 1. 有理数a ，b ，c 在数轴上对应点位置如图所示，用“＞”或“＜”填空： (1)｜a ｜______｜b ｜； (2)a ＋b ＋c ______0： (3)a －b ＋c ______0； (4)a ＋c ______b ； (5)c －b ______a ． 2. 已知321===c b a ，，，且c b a >>，那么c b a -+＝ ． 3. 已知d c b a 、、、是有理数，169≤-≤-d c b a ，，且25=+--d c b a ， 那么=---c d a b ． 4. 若有理数x 、y 满足2002(x 一1)2 +0112=+-y x ，则=+2 2y x ． 5. a 与b 互为相反数，且54=-b a ，那么1 2+++-ab a b ab a ＝ ． 6. 设0=++c b a ，0>abc ，则c b a b a c a c b +++++的值是（ ）． A ．-3 B ．1 C ．3或-1 D ．-3或1 7. 若｜x ｜＝x ，并且｜x －3｜＝3－x ，请求出所有符合条件的整数x 的值，并计算这些值 的和． 8. 已知m ，n 为整数，且｜m －2｜＋｜m －n ｜＝1，求m ＋n 的值． 9. ｜x －1｜＋｜y ＋2｜＋｜z －3｜＝0，则(x －1)(y －2)(z ＋3)的值为( )． (A)48 (B)－48 (C)0 (D)xyz 10. 巧算下列各题： (1))2004 11)(120031( )151)(411)(131)(211(--?---- (2)666663333222299999?-? 11. 式子| |||||ab ab b b a a ++的所有可能的值有( )． (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)无数个 12. 13. 如果c b a 、、是非零有理数，且0=++c b a ，那么 abc abc c c b b a a +++的所有可能
七年级数学竞赛培优(含解析)专题27 以形借数
27 以形借数——借助图形思考 阅读与思考 数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题，就解题而言，数与形的恰当结合，常常有助于问题的解决，美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并且能创造性地思考问题的解法”．将问题转化为一个图形，把问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，是一个十分重要的解题方法，现阶段借助图形思考是指以下两个方面： 1．从给定的图形获取解题信息 数学问题的表述方法很多，既有用文字叙述的，也有通过图形（如数轴、图表、平面图形等）来呈现的，善于从给定的图形获取解题信息是一个重要技能． 2．有意地画图辅助解题 图形能直观、形象地表示数量及关系，解题中有意地画图（如画直线图、列表、构造图形等）能帮助分析理顺复杂数量关系，使问题获得简解． 阅读与思考 【例1】如图，圆周上均匀地钉了9枚钉子，钉尖朝上，用橡皮筋套住 其中的3枚，可套得一个三角形，所有可以套出来的三角形中，不同 形状的共有____________种。 （“五羊杯”竞赛试题） x y z则解题思路：圆周长保持不变，设圆周长为9，套成的三角形三边所对应的弧长分别为,,, ≤≤，借助图形分析，找出满足条件的整数解即可。 ++=。不妨设x y z 9 x y z
【例2】一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为 ．．．．．．．．y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系。根据图像进行一下探究： 信息读取 （1）甲、乙两地之间的距离为___________km。 （2）请解释图中点B的实际意义。 图像理解 （3）求慢车和快车的速度。 （4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。 问题解决 （5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同。在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇。求第二列快车比第一列快车晚车发多少小时？ （江苏省南京市中考试题）解题思路：函数图像包含了两种不同层次的信息：有慢车行驶900km用了12h等可直接感知的浅层结构信息，也有在0～4小时之间以及稍后的一段时间内，快车和慢车的速度之和为定值和C点表示快车在某一时刻已到达终点等需要经过分析或运算才能获得的深层结构的信息。
人教版七年级下册数学培优讲义(附答案)
第19讲相交线、平行线 知识理解 1．如果∠AOB＋∠DOE＝180°，∠AOB与∠BOC互为邻补角，那么∠DOE与∠BOC的关系是（）A．互为补角B．互补C．相等D．互余 2．如图，三条直线a、b、c相交于一点，则∠1、∠2、∠3的度数和是（） A．360°B．180°C．120°D．90° 3．如果两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角（） A．相等B．互补C．相等或互余D．相等或互补 4．下列语句事正确的有（） ①有公共顶点且相等的两个角是对顶角；②有公共顶点且互补的两个是邻补角；③对顶角的平分线 在同一直线上；④对顶角相等但不一定互补；⑤对顶角有公共的邻补角． A．1个B．2个C．3个D．4个 5．下列说法：①点与直线的位置关系有点在直线上和点在直线外两种；②直线与直线的位置关系的相交、垂直和平行三种，其中（） A．①②都对B．①对②错C．①错②对D．①②都错 6．下列图中的∠1和∠2不是同位角的是（） A B C D 7．已知，如图，BD⊥AC，AE⊥CG，AF⊥AC，AG⊥AB，则图中表示A点到直线BC的距离的是（）A．线段BD的长B．线段AE的长C．线段AF的长D．线段AG的长 8．如图，不能判断AB∥DF的是（） A．∠2＋∠A＝180°B．∠A＝∠3 C．∠1＝∠A D．∠1＝∠4
第7题图 第8题图 第9题图 9．如图，下列条件中能说明AB ∥CD 的是（ ） A ．∠1＝∠2 B ．∠3＝∠4 C ．∠BA D ＋∠ABC ＝180° D ．∠ABC ＝∠ADC ，∠1＝∠2 10．在下列条件下，不能得到互相垂直的直线是（ ） A ．邻补角的平分线所在直线 B ．平行线的同旁内角平分线所在直线 C ．两组对边分别平行，一组对边方向相同，另一组对边方向相反的两个角的平分线所在直线 D ．两组对边互相垂直的两角的平分线所在直线 11．如图，已知DE ⊥AB ，∠1＝∠2，∠AGH ＝∠B ，则下列结论： ①GH ∥BC ；②∠D ＝∠HGM ；③DE ∥FG ；④FG ⊥A B ．其中正确的是（ ） A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②③④ 12．（1）观察图①，图中共有 条直线， 对对顶角， 对邻补角． （2）观察图②，图中共有 条直线， 对对顶角， 对邻补角． （3）观察图③，图中共有 条直线， 对对顶角， 对邻补角． （4）若有n 条不同直线相交于一点，则可以形成 对对顶角， 对邻补角． H M
七年级数学培优竞赛教案
奥数培训之趣味数学 生活中的数学： 1、诗仙李白豪放豁达，有斗酒诗百篇的美名，为唐代“饮中八仙”之一， 民间流传李白买酒歌谣，是一道有趣的数学问题：李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一抖，三遇店和花，喝完壶中酒。试问：酒壶中原有多少酒？ 解：设酒壶中原有酒x 斗，“三遇店和花”意思是李白三遇店，同时也三见花。 第一次见店又见花后，酒有：12-x ； 第二次见店又见花后，酒有：1-122）（ -x ； 第三次见店又见花后，喝完壶中酒，所以 依题意，得 ()[]0111222=---x 解方程，得 87= x 答：酒壶中原有酒8 7斗。 2、有甲乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我一只，我的羊数就是你的羊数的2倍。”乙回答说：“最好还是把你的羊给我一只，我们的羊数就一样了”，求两个牧童各有多少只羊。 解：设甲有x 只羊，乙有y 只羊。依题意，得 ()? ??+=--=+11121y x y x 解方程组，得? ??==57y x 所以甲牧童有羊7只，乙牧童有5只。 3、一片牧场上的草长得一样快，已知60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完．那么，若在120天里将草吃完，则需要（ ）头牛 A 、16 B 、18 C 、20 D 、22 分析：设草一天增加量是a ，每头牛每天吃的草的量是b ，原有草的量是c ，根据60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完，列方程组，用其中一个未知数表示另一个未知数即可求解。
解：设草一天增加量是a ，每头牛每天吃的草的量是b ，原有草的量是c 。 根据题意，得 ???==???+=?+=?b c b a a c b a c b 120010606030242460解得， 则若在120天里将草吃完，则需要牛的头数是20120120=+b a c 。故选C 。 4、杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A ．一样多． B ．多了． C ．少了． D ．多少都可能． 解：设杯中原有水量为a ，依题意可得， 第二天杯中水量为a ×(1－10%)=0.9a ； 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a ； 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为199.01.19.01.19.0<=?=??a a 。 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C ． 5、 甲杯中盛有2m 毫升红墨水，乙杯中盛有m 毫升蓝墨水，从甲杯倒出a 毫升到乙杯里（0＜a ＜m ），搅匀后，又从乙杯倒出a 毫升到甲杯里，则这时( )。 A ．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少． B ．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多． C ．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同． D ．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定． 解：从甲杯倒出a 毫升红墨水到乙杯中以后： 乙杯中含红墨水的比例是a m a +， 乙杯中含蓝墨水的比例是 a m m +， 再从乙杯倒出a 毫升混合墨水到甲杯中以后： 乙杯中含有的红墨水的数量是毫升a m ma a m a a a +=+?- ①
初一数学培优专题讲义一 有理数及其运算(完整资料).doc
此文档下载后即可编辑 初一数学培优专题讲义一 有理数及其运算 一、 有理数的基本概念梳理与强化： （一）几个小知识点的梳理与强化：小知识点是常考的考点，也是易错点。理清小知识点，减少失误 1.字母可以表示任意有理数，不能说a 一定是正数，-a 也不一定是负数 2.相反数等于本身的数是 ；平方等于本身的数是 ；立方 等于本身的数是 ；倒数等于本身的数是 。 3.互为相反数的两个数的绝对值相等。若|－x |=|2 1-|，则x =______； 若|x |=|－4|，则x =____； 若-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿；若-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿ 4.互为相反数的两个数的平方相等。如果 ，那么a=____；若 x 2=(－2)2，则x =_______. 5.注意乘方中括号的作用。（－2）3的底数是_______，结果是_______； －32的底数是_______，结果是_______；n 为正整数，则（－1）2n =_ __, (－1) 2n +1=_ __。计算： （1） = ； （2） = ； （3） = ；（4） = （5） = 6.a 的相反数是 ；a+b 的相反数是 ；a-b 的相反数 是 ；-a+b-c 的相反数是 ； 变式训练：若a ＜b ，则∣a-b ∣= ，-∣a-b ∣= （二）突破绝对值的化简： 7.绝对值即距离，则0≥a 8.绝对值的代数定义用式子可表示为：（体现分类讨论的思想） （a ＞0） |a| = （a ＝0 ） （a ＜0 ） 9.绝对值的非负性： 162=a
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