《高等数学(下册)》附答案
高等数学下册
一、填空题 1.________________ )sin( ==dz xy z 则，设.
2. )cos()
2
1(2
ππ
-=??=，则，设x
z y x z ,
2
z
x y ???= -2xsin(x^2y)-2x^3ycos(x^2y) .
二、选择题
3.在下列极限结果中，正确的是（ B ）.
22222(,)(0,0)(,)(0,0)2
(,)(0,0)(,)(0,0).lim 0.lim 0.lim
.lim
x y x y x y x y xy
x y
A B x y x y xy
x y
C D x y
x y
→→→→==++==++
.
6
5)( 65 )( 31)( 31 )( ) B ()1 1( )2ln() ( 4--=-'+
=D C B A f x
y
x y x f x ，，，，则，，设、
5、),(y x f 在点),(0
y x 处偏导数),(),(0
y x f y x f y
x
''、存在是),(y x f 在该点连续的( D ).
(A)充分条件， (B)必要条件， (C)充要条件， (D)既非充分条件又非必要条件。 6.
设函数(,)f x y = C ）.
)
3(21dy dx +π
.(0,0)(0,0).(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y x y x y x y A f f B f f f f f f ''''''''和都存在不存在，存在C.存在，不存在D.
和都不存在
三、计算题 7. 3
ln(e e ),==+x y
u y x
，求d d u x .
解
：
3
3222
d d d 11
e 3e e 3e e e 3.d d d e e e e e e e e
x
y
x
x x y x y x y x y x x u u x u y x x x x x x y x ??++=?+?=?+??==??++++ 8、设,
2
22z y x e
u ++=而y
x
z sin 2
=,求x
u
??. )
sin 21(2)sin 21(2u 22sin 2422222y x xe y z xe x
y
x y x z y x +=+=??++++解：
9.求下列隐函数的导数：
2
sin 0e x y xy -+=，求d d y x .
[解法1] 用隐函数求导公式，设F (x ,y )=sin y +e x -xy 2,
则 2
e ,cos 2,x x y F y F y xy =-=- 故 2
2
d e e d cos 2cos 2x
x
x y F y y y x F y xy y xy --=-=-=
--.
[解法2] 方程两边对x 求导，得
()2
cos e 02x
y y y x yy '?+-='+?
故
2e .cos 2x
y y y xy
-'=-
10. 设函数(,)z z x y =是由方程
232x z z e y -=+确定，求3z z
x y ??+??.
解：令
23(,,)2x z
F x y z e y z -=+-，则有
2323213x z
x z F
z e x F x
e z
--???=-=
??+?，23213x z F z y F y
e z
-???=-=
??+?，从而
32z z x y
??+=??. 11. 设直线030x y b l x ay z ++=??
+--=?在平面Π
上，而平面Π与曲面22
z x y =+相切于点
()1,2,5-，求,a b 之值.
{}{}{}()(){}()()()()()()=1,1,01,,11,1,11,2,52,4,1,2410 5.
142502450
,0,3,,0,32S a a n S n a a x y z x y z b b b b b b ?-=---∏=--⊥----==-∏--+--=---=---∏---∏----解：由题意知已知直线的方向向量又曲面在点的法向量也是平面的法向量显然有于是得又
平面的方程为 2即
在已知得直线上取一点因为直线在平面上，故满足平面的方程，因而有()350 2.
b -==-得
12.研究下列函数的极值：
22
e +2x z x y y =+（）;
解方程组22
2e (2241)02e (1)0x x x y z x y y z y ?=+++=??
=+=??
得驻点为1,12??- ???
. 22
224e (21)4e (1)2e
x xx x
xy x yy z x y y z y z =+++=+=
在点1,12??
- ???
处,A =2e,B =0,C =2e,B 2-AC =-4e 2<0,又A >0,所以函数有极小值e 1,122z ??=-- ???
. 13设222
2+2+88=0+-+x y z xz z ，确定函数(),z z x y =,研究其极值. 解：由已知方程分别对x ,y 求导，解得 484,281281z x z z y x z x y z x ?--?-==?+-?+-
令0,0,z z x y ??==??解得0,2
x y z ==-, 将它们代入原方程，解得16
2,7x x =-=
.
从而得驻点16(2,0),,07??
- ???
.
22222222
(281)(48)4828(281)428,(281)4(281)8
.
(281)
z z z x x z z x x x z x z y z x x y z x z z x z
y
y
z x ??????+-++--+ ? ????????=
?+-???+ ?????=??++?-+--??=?+-
在点（-2，0）处，
44
1,,0,,1515
Z A B C ====B 2-AC <0，因此函数有极小值z =1.
在点16,07??
???
处，82828
,,0,,7105105
Z A B C =-=-==-B 2-AC <0，函数有极大值87z =-.
14.已知曲面
222
z x y z
=++上点P
处的切平面220x y z -+=平行，求点P 的坐标以及曲面在该点的切平面方程。 解：曲面在点P 处的法向量为
()
(),,2,2,21x y z n F F F x y z '''==-，依题
意，()
1,2,2n -，于是有2221
112x y z -==-，联立
2
2
2
z x y z =++，解得111
(,,)636
P -或者
115(,,)636P -.