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苏教版 高中 必修四 平面向量教案(知识讲解+例题+巩固练习+答案)

苏教版 高中 必修四 平面向量教案(知识讲解+例题+巩固练习+答案)
苏教版 高中 必修四 平面向量教案(知识讲解+例题+巩固练习+答案)

平面向量的实际背景及基本概念

【学习目标】

1.了解向量的实际背景.

2.理解平面向量的含义,理解向量的几何表示的意义和方法.

3.掌握向量、零向量、单位向量、相等向量的概念,会表示向量.

4.理解两个向量共线的含义.

【要点梳理】

要点一:向量的概念

1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.

2.数量:只有大小,没有方向的量(如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等),称为数量.要点诠释:

(1)本书所学向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移.(2)看一个量是否为向量,就要看它是否具备了大小和方向两个要素.

(3)向量与数量的区别:数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能比较大小.

要点二:向量的表示法

1.有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.

2.向量的表示方法:

a b c等.

(1)字母表示法:如,,,

(2)几何表示法:以A为始点,B为终点作有向线段AB(注意始点一定要写在终点的前面).如果用一条有向线段AB表示向量,通常我们就说向量AB.

要点诠释:

(1)用字母表示向量便于向量运算;

(2)用有向线段来表示向量,显示了图形的直观性.应该注意的是有向线段是向量的表示,不是说向量就是有向线段.由于向量只含有大小和方向两个要素,用有向线段表示向量时,与它的始点的位置无关,即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.

要点三:向量的有关概念

1.向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).

要点诠释:

a .

(1)向量a的模||0

(2)向量不能比较大小,但||a是实数,可以比较大小.

2.零向量:长度为零的向量叫零向量.记作0,它的方向是任意的.

3.单位向量:长度等于1个单位的向量.

要点诠释:

(1)在画单位向量时,长度1可以根据需要任意设定;

(2)将一个向量除以它的模,得到的向量就是一个单位向量,并且它的方向与该向量相同.

4.相等向量:长度相等且方向相同的向量.

要点诠释:

在平面内,相等的向量有无数多个,它们的方向相同且长度相等.

要点四:向量的共线或平行

方向相同或相反的非零向量,叫共线向量(共线向量又称为平行向量).

规定:0与任一向量共线.

要点诠释:

1.零向量的方向是任意的,注意0与0的含义与书写区别.

2.平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

3.共线向量与相等向量的关系:相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相等的向量.

【典型例题】

类型一:向量的基本概念

例1.下列各题中,哪些是向量?哪些不是向量?

(1)密度;(2)浮力;(3)风速;(4)温度.

【思路点拨】抓住向量的两个特征:长度和方向进行辨析.

【解析】浮力和风速既有大小又有方向,所以是向量,其他的量只有大小没有方向,不是向量.故(2)(3)是向量,(1)(4)不是向量.

【总结升华】实际问题中的一些量,如温度、电量等,尽管它们有正、负之分,但没有方向,故表示数量,而向量是一个既有大小又有方向的量,如位移、速度、加速度、力等.向量和数量是有本质区别的两个概念.

举一反三:

【变式1】下列物理量中,不能称为向量的是()

A.质量B.速度C.位移D.力

【答案】A

例2.下列说法正确的是().

A.向量AB与CD是共线向量,则A,B,C,D必在同一直线上

B.向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反

C.向量AB的长度与向量BA的长度相等

D.单位向量都相等

【思路点拨】本题考查向量的有关概念.

【答案】C

【解析】对于A,考查的是有向线段共线与向量共线的区别.事实上,有向线段共线要求线段必须在同一直线上.而向量共线时,表示向量的有向线段可以是平行的,不一定在同一直线上.A错.

对于B,由于零向量与任意向量平行,因此若a,b中有一个为零向量时,其方向是不确定的.B错.

对于C,向量AB与向量BA方向相反,但长度相等.C对.

对于D,需要强调的是,单位向量不仅仅指的是长度,还有方向,而向量相等不仅仅需要长度相等而且还要求方向相同.D错.

【总结升华】上述概念性试题,关键是把握好概念的内涵与外延,对于一些似是而非的概念一定要分辨清楚,如有向线段与向量,有向线段是向量的几何表现形式,并不能等同于向量.还有如单位向量,任何

一个非零向量都有单位向量,若以2 cm 为1个单位,则长度为1 cm 的向量便不是单位向量.

举一反三:

【高清课堂:平面向量的实际背景及基本概念402589例2】

【变式1】判断下列命题的正误:

(1)零向量与非零向量平行;

(2)长度相等方向相反的向量共线;

(3)若向量a 与向量b 不共线,则a 与b 都是非零向量;

(4)若两个向量相等,则它们的起点、方向、长度必须相等;

(5)若两个向量的模相等,则这两个向量不是相等向量就是相反向量。

(6)若非零向量,AB CD 是共线向量,则A 、B 、C 、D 四点共线;

(7)共线的向量一定相等;

(8)相等的向量一定共线.

【答案】√√√××××√

【变式2】下列说法正确的个数是( )

①向量//AB DC ,则直线//AB 直线;CD

②两个向量当且仅当它们的起点相同,终点也相同时才相等;

③向量AB 既是有向线段AB ;

④在平行四边形ABCD 中,一定有AB DC =.

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

【答案】C

类型二:向量的表示方法

例3.在如图所示的坐标系中,用直尺和圆规画出下列向量.

(1)||3OA =,点A 在点O 正西方向;

(2)||32OB =,点B 在点O 北偏西45°方向;

(3)||2OC =,点C 在点O 南偏东60°方向.

【解析】 如图所示.

【总结升华 】准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.

例4.如下图,E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的各边中点,分别指出图中:

(1)与向量HG 相等的向量;

(2)与向量HG 平行的向量;

(3)与向量HG 模相等的向量;

(4)与向量HG 模相等、方向相反的向量.

【解析】(1)与向量HG 相等的向量有EF .

(2)与向量HG 平行的向量有EF 、FE 、AC 、CA 、GH .

(3)与向量HG 模相等的向量有GH 、EF 、FE .

(4)与向量HG 模相等、方向相反的向量有GH 、FE .

举一反三:

【变式1】如图,点D 、E 、F 分别是△ABC 的各边中点.在右图所示向量中,

(1)写出与ED ,DF ,FE 相等的向量;

(2)写出模相等的向量.

【解析】(1)ED CF FA ==,DF BE EC ==,FE AD DB ==.

(2)||||||FE AD DB ==,||||||DF BE EC ==,||||||ED FA CF ==.

【变式2】 (1)与向量OA 相等的向量有多少个?并把这些向量写出来.

(2)是否存在与向量OA 长度相等、方向相反向量?

(3)与向量OA 共线的向量有哪些?

【解析】(1)3个 CB 、DO 、EF (2)存在 AO 、OD 、FE 、BC

(3)向量OA 共线的向量有:AO 、BC 、CB 、OD 、DO 、EF 、、

、FE AD DA .

类型三:利用向量相等或共线进行证明

例5. 如图所示,四边形ABCD 中,AB DC =,N 、M 分别是AD 、BC

上的点,且CN MA =.

求证:DN MB =.

【思路点拨】证明DN MB =,要证明这两个向量的方向相同和大小相等.

【证明】 ∵AB DC =,∴||||AB DC =且AB ∥CD ,

∴四边形ABCD 是平行四边形,

∴||||DA CB =且DA ∥CB .

又∵DA 与CB 的方向相同,∴CB DA =.

同理可证,四边形CNAM 是平行四边形,∴CM NA =.

∵||||CB DA =,||||CM NA =,∴||||MB DN =,

又DN 与MB 的方向相同,∴DN MB =.

【总结升华】本题主要目的是应用四边形的判定定理体会向量与几何的联系.若AB DC =,则||||AB DC =且AB ∥CD .

举一反三:

【变式1】如图,在△ABC 中,已知向量AD DB =,DF BE =,求证:

DE AF =.

【解析】因为AD DB =,所以D 为AB 的中点.又DF BE =,所以DF ∥

BE 且DF=BE ,所以F 为AC 的中点,则DF 是△ABC 的中位线,从而E 是BC 的中点,所以DE ∥AF ,且DE=AF .又DE 与AF 不共线,所以DE AF =.

【巩固练习】

1.下列物理量中不是向量的个数是( ).

(1)质量 (2)速度 (3)力 (4)加速度 (5)路程 (6)密度 (7)功 (8)电流强度

A .5

B .4

C .3

D .2

2.下列说法中错误的是( ).

A .有向线段可以表示向量但不是向量,且向量也不是有向线段

B .若向量a 与b 不共线,则a 与b 都是非零向量

C .长度相等但方向相反的两个向量不一定共线

D .方向相反的两个非零向量必不相等

3.下列说法正确的是( ).

①零向量的长度为零,方向是任意的;②若a ,b 是单位向量,则a =b ;③若非零向量AB 与CD 是

共线向量,则A ,B ,C ,D 四点共线.

A .①

B .②

C .③

D .①和③

4.如图所示,点O 是正六边形ABCDEF 的中心,则以图中点A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 中的任意一点为始点,与始点不同的另一点为终点的所有向量中,除向量OA 外,与向量OA 共线的向量共有( )

A .6个

B .7个

C .8个

D .9个

5.若|AB |=|AD |且BA =CD ,则四边形ABCD 的形状为( )

A .平行四边形

B .矩形

C .菱形

D .等腰梯形

6.在同一平面上,把所有长度为1的向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是( ).

A .一条线段

B .一段圆弧

C .圆上一群孤立的点

D .一个半径为1的圆

7.四边形ABCD 、CEFG 、CGHD 都是全等的菱形,HE 与CG 相交于点M ,则下列关系不一定成立的是( )

A .|A

B |=|EF |

B. AB 与FH 共线

C.BD 与EH 共线

D.DC 与EC 共线

8.下列命题正确的是( )

A .向量a 与b 共线,向量b 与c 共线,则向量a 与c 共线

B .向量a 与b 不共线,向量b 与c 不共线,则向量a 与c 不共线

C .向量AB →与C

D →是共线向量,则A 、B 、C 、D 四点一定共线

D .向量a 与b 不共线,则a 与b 都是非零向量

9.对于下列命题:

①相反向量就是方向相反的向量;②不相等的向量一定不平行;③相等的向量一定共线;④共线的单位向量一定相等;⑤共线的两个向量一定在同一条直线上。

其中真命题的序号为 。

10.已知a 、b 、c 为非零向量,且a 与b 不共线,若c ∥a ,则c 与b 必定________.

11.若某人从点A 出发向东走3km 至点B ,从点B 向北走km 至点C ,则点C 相对于点A 的位置向量为 。

12.一艘船以5/km h 的速度出发向垂直于对岸的方向行驶,而船实际的航行方向与水流成0

30,则船的实际速度的大小为 ,水流速度的大小为 。

13.在直角坐标系中,画出下列向量,使它们的起点都是原点O ,并求出终点坐标.

(1)|a |=2,a 的方向与x 轴正方向夹角为60°,与y 轴正方向夹角为30°;

(2)|a |=4,a 的方向与x 轴正方向的夹角为30°,与y 轴正方向的夹角为120°;

(3)||42a =,a 的方向与x 轴、y 轴正方向的夹角都是135°.

14.某人从A 点出发向东走了5米到达B 点,然后改变方向按东北方向走了米到达C 点,到达C 点后又改变方向向西走了10米,刚好到达B 点的正北方向D 点.

(1)作出向量AB ,BC ,CD ;

(2)求AD 的模.

【答案与解析】

1.【答案】A

【解析】看一个量是否为向量,就要看它是否具备向量的两个要素:大小和方向,特别是方向性的要求,对各量从物理本身的意义作出判断,(2)(3)(4)既有大小也有方向,是向量,(1)(5)(6)(7)(8)只有大小没有方向,不是向量.

2.【答案】 C

【解析】方向相反的两个向量是共线向量.

3. 【答案】A

【解析】单位向量是指长度为l 的向量,共线向量可能是平行的.

4.【答案】D

【解析】与向量OA 共线的向量有:,,,,,,,,OD DO AD DA EF FE BC CB AO ,故共有9个.

5.【答案】C 【解析】∵BA CD =,∴四边形ABCD 为平行四边形,又∵|AB |=|AD |,∴四边形为菱形.

6.【答案】D

【解析】所有的向量的终点均在半径为1的圆上.

7.【答案】C

【解析】∵三个四边形都是菱形,∴|AB |=|EF |,AB ∥CD ∥FH ,故AB 与FH 共线,又三点D 、C 、E

共线,∴DC 与EC 共线,故A 、B 、D 都正确.当ABCD 与其它两个菱形不共面时,BD 与EH 异面.

8.【答案】D

【解析】当b =0时,A 不对;如图a =AB →,c =BC →,b 与a ,b 与c 均不共线,但a 与c 共线,∴B 错.

在?ABCD 中,AB →与CD →共线,但四点A 、B 、C 、D 不共线,∴C 错;

若a 与b 有一个为零向量,则a 与b 一定共线,∴a ,b 不共线时,一定有a 与b 都是非零向量,故D 正确.

9.【答案】③

【解析】相反向量是方向相反、大小相等的向量。方向相同或相反的两个非零向量是共线(或平行)向量。

10.【答案】不共线

【解析】若b 与c 共线,即b ∥c ,又c ∥a ,则a ∥b ,这与已知a 与b 不共线相矛盾.

11.【答案】“东偏北60°,6km ”或“北偏东30°,6km ”

12.【答案】10km/h 13.【解析】如图所示.

14.【解析】(1)如图所示.

(2)连接BD ,可知△BDC 为一个等腰直角三角形,故BD 长为10

米.在Rt △ABD 中,AB=5,BD=10,所以

AD ==,即有||55AD =.

平面向量的线性运算

【学习目标】

1.能熟练运用三角形法则和平行四边形法则,作出几个向量的和、差向量.

2.能结合图形进行向量的计算.

3.能准确表达向量加法的交换律和结合律,并能熟练地进行向量计算.

4.理解实数与向量的积的意义,会利用实数与向量的积的运算律进行计算.

5.掌握向量共线的条件. 【要点梳理】

要点一:向量加法的三角形法则与平行四边形法则

1.向量加法的概念及三角形法则

已知向量,a b ,在平面内任取一点A ,作,A B a B C b ==,再作向量AC ,则向量AC 叫做a 与b 的和,记作a b +,即a b AB BC AC +=+=.如图

本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则.

2.向量加法的平行四边形法则

已知两个不共线向量,a b ,作,AB a AD b ==,则,,A B D 三点不共线,以,AB AD 为邻边作平行四边形ABCD ,则对角线AC a b =+.这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则.

求两个向量和的运算,叫做向量的加法.

对于零向量与任一向量a ,我们规定00a a a +=+=.

要点诠释:

两个向量的和与差仍是一个向量,可用平行四边形或三角形法则进行运算,但要注意向量的起点与终点. 要点二:向量求和的多边形法则及加法运算律

1.向量求和的多边形法则的概念

已知n 个向量,依次把这n 个向量首尾相连,以第一个向量的起点为起点,第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则.

112231n n n A A A A A A A A -=++???+

特别地,当1A 与n A 重合,即一个图形为封闭图形时,有1223110n n n A A A A A A A A -++???++=

2.向量加法的运算律

(1)交换律:a b b a +=+;

(2)结合律:()()a b c a b c ++=++

要点三:向量的三角形不等式

由向量的三角形法则,可以得到

(1)当,a b 不共线时,||||||a b a b +<+;

(2)当,a b 同向且共线时,,,a b a b +同向,则||||||a b a b +=+;

(3) 当,a b 反向且共线时,若||||a b >,则a b a +与同向,||||||a b a b +=-;若||||a b <,则a b b +与

同向,||||||a b b a +=-.

要点四:向量的减法

1.向量的减法

(1)如果b x a +=,则向量x 叫做a 与b 的差,记作a b -,求两个向量差的运算,叫做向量的减法.此定义是向量加法的逆运算给出的.

相反向量:与向量a 方向相反且等长的向量叫做a 的相反向量.

(2)向量a 加上b 的相反向量,叫做a 与b 的差,即()a b a b -=+-.求两个向量差的运算,叫做向量的减法,此定义是利用相反向量给出的,其实质就是把向量减法化为向量加法.

要点诠释:

(1)两种方法给出的定义其实质是一样的.

(2)对于相反向量有()0a a +-=;若a ,b 互为相反向量,则,0a b a b =-+=.

(3)两个向量的差仍是一个向量.

2.向量减法的作图方法

(1)已知向量a ,b (如图),作,OA a OB b ==,则BA a b =-=OA OB -,即向量BA 等于终点向量(OA )减去起点向量(OB ).利用此方法作图时,把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的,被减向量的终点为终点的向量.

(2)利用相反向量作图,通过向量加法的平行四边形法则作出a b -.作,,OA a OB b AC b ===-,则()OC a b =+-,如图.由图可知,一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量.

要点五:数乘向量

1.向量数乘的定义 实数与向量的积:实数λ与向量a 的积是一个向量,记作:a λ

(1)||||||a a λλ=;

(2)①当0>λ时,a λ的方向与a

的方向相同; ②当0<λ时.a λ的方向与a 的方向相反; ③当0=λ时,0 =a λ.

2.向量数乘的几何意义

由实数与向量积的定义知,实数与向量的积a λ的几何意义是:a

λ可以由a 同向或反向伸缩得到.当||1λ>时,表示向量a 的有向线段在原方向(0λ>)或反方向(0λ<)上伸长为原来的||λ倍得到a λ;

当0||1λ<<时,表示向量a 的有向线段在原方向(0λ>)或反方向(0λ<)上缩短为原来的||λ倍得到a λ;当1λ=时,a λ=a ;当1λ=-时,a λ=-a ,与a 互为相反向量;当0λ=时,a

λ=0.实数与向

量的积得几何意义也是求作向量a λ的作法.

3.向量数乘的运算律

设λμ、为实数

结合律:()()a a λμλμ=; 分配律:a a a μλμλ+=+)(,b a b a λλλ+=+)(

要点六:向量共线的条件

1.向量共线的条件

(1)当向量0a =时,a 与任一向量b 共线.

(2)当向量0a ≠时,对于向量b .如果有一个实数λ,使b a λ=,那么由实数与向量的积的定义知b 与a 共线.

反之,已知向量b 与a (0a ≠)共线且向量b 的长度是向量a 的长度的λ倍,即||||b a λ=,那么当b 与a 同向时,b a λ=;当b 与a 反向时,b a λ=-.

2.向量共线的判定定理

a 是一个非零向量,若存在一个实数λ,使

b a λ=,则向量b 与非零向量a 共线.

3.向量共线的性质定理

若向量b 与非零向量a 共线,则存在一个实数λ,使b a λ=.

要点诠释:

(1)两个向量定理中向量a

均为非零向量,即两定理均不包括0与0共线的情况;

(2)0a ≠是必要条件,否则0a =,0b ≠时,虽然b 与a 共线但不存在λ使b a λ=;

(3)有且只有一个实数λ,使b a λ=.

(4)//(0)a b a b b λ?=≠是判定两个向量共线的重要依据,其本质是位置关系与数量关系的相互转化,体现了数形结合的高度统一.

【典型例题】

类型一:向量加法的几何运算

例1.如图,O 为正六边形ABCDEF 的中心,作出下列向量:

(1)OA OC +;(2)BC FE +;(3)OA FE +.

【解析】(1)由图知,OABC 为平行四边形,∴OA OC OB +=

(2)由图知BC FE OD AO ===,∴BC FE AO OD AD +=+=.

(3)∵OD FE =,∴OA FE OA OD +=+.

又OA DO =,∴0OA FE DO OD +=+=.

【总结升华】利用向量加法的平行四边形法则或三角形法则求两个向量的和向量,注意当两个向量共线时,三角形法则仍适用,而平行四边形法则不适用.

举一反三:

【变式1】在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F .若AC a =,BD b =,则AF =( )

A .1142a b +

B .2133a b +

C .1124a b +

D .1233

a b + 【答案】B

类型二:向量减法的几何运算

例2.如图,解答下列各题:

(1)用a ,d ,e 表示DB ;(2)用b ,c 表示DB ;

(3)用a ,b ,e 表示EC ;(4)用d ,c 表示EC .

【答案】(1)d e a ++(2)b c -- (3)a b e ++ (4)c d --

【解析】 ∵AB a =,BC b =,CD c =,DE d =,EA e =,

∴(1)DB DE EA AB d e a =++=++.

(2)DB CB CD BC CD b c =-=--=--.

(3)EC EA AB BC a b e =++=++.

(4)()EC CE CD DE c d =-=-+=--.

【总结升华】在本题中,我们看到DB ,EC 这两个向量的表示并不唯一.在解决这类问题时,要注意向量加法、减法和共线(相等)向量的应用.当运用三角形法则时,要注意两向量首尾相接,当两个向量起点相同时,可以考虑用减法.

举一反三:

【高清课堂:向量的线性运算 395568 例1】

【变式1】O 为正六边形ABCDEF 的中心,设OA a =,OB b =,则DE 等于( ).

(A)a b + (B)a b - (C)b a - (D)a b --

【答案】B

【变式2】如图所示,O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点,设

AB a =,DA b =,OC c =.求证:b c a OA +-=.

【解析】∵b c DA OC OC CB OB +=+=+=,OA a OA AB OB +=+=,∴b c OA a +=+,即b c a OA +-=.

类型三:与向量的模有关的问题

例3. 已知非零向量a ,b 满足||71a =+,||71b =-,且|a -b |=4,求|a +b |的值.

【解析】 如图,OA a =,OB b =,则||BA a b =-.

以OA 与OB 为邻边作平行四边形OACB ,则||||OC a b =+.

由于2221)1)4+=.

故222||||||OA OB BA +=,

所以△OAB 是∠AOB 为90°的直角三角形,从而OA ⊥OB ,所以

OACB 是矩形.

根据矩形的对角线相等有||||4OC BA ==,即|a +b |=4.

【总结升华】 (1)向量a +b ,a -b 的几何意义在证明、运算中具有重要的应用.对于平行四边形、菱形、矩形、正方形对角线具有的性质要熟悉并会应用.

(2)关于向量的加减法运算除掌握法则外,还应注意一些特殊情况,如零向量、共线向量等.要注意到向量的加法和求模运算的次序不能交换,即两个向量和的模不一定等于这两个向量的模的和.因为向量的加法实施的对象是向量,而模是数量,模的加法是数量的加法.

举一反三:

【变式1】若||9AB =,||4AC =,则||BC 的取值范围是多少?

【答案】5||13BC ≤≤

【解析】BC AC AB =-. 当AB ,AC 同向时,|||94|5BC =-=,当AB ,AC 反向时,|||94|13BC =+=;

当AB ,AC 不共线时,5||13BC <<.

类型四:向量的数乘运算

例4. 计算下列各式:

(1)4(a +b )―3(a ―b );

(2)3(a ―2b +c )―(2a +b ―3c );

(3)212()(24)(213)5315

a b a b a b --+++. 【解析】(1)原式=4a ―3a +4b +3b =a +7b .

(2)原式=3a ―6b +3c ―2a ―b +3c =a ―7b +6c .

(3)原式222442655331515

a b a b a b =---++ 22424260000053155315a b a b ????=-++--+=?+?=+= ? ?????

. 【总结升华】 数乘向量与数乘数不同,前者结果是一个向量,后者结果是一个数,λ>0时,λa 与a 同向;λ<0时,λa 与a 反向;λ=0时,λa =0;故λa 与a 一定共线.应用实数与向量的积的运算律时,应联想数与数乘积运算的有关知识,加深对数乘向量运算律的理解.

举一反三:

【变式1】计算:

(1)6(3a ―2b )+9(―2a +b );

(2)127137(32)236276a b a b a b a ??????+---++ ???????????; (3)6(a ―b +c )―4(a ―2b +c )―2(―2a +c ).

【解析】 (1)原式=18a ―12b ―18a +9b =―3b .

(2)127137(32)236276a b a b a b a ??????+---++ ??????????? 127113322362

27a a b b a a b ????=-+--++ ? ????? 17732367a b a b ????=+-+ ? ?????

(完整版)高中物理经典选择题(包括解析答案)

物理 1.一中子与一质量数为A(A>1)的原子核发生弹性正碰。若碰前原子核静止,则碰撞前与碰撞后中子的速率之比为( ) A. B. C. D. [解析] 1.设中子质量为m,则原子核的质量为Am。设碰撞前后中子的速度分别为v0、v1,碰后原子核的速度为v2,由弹性碰撞可得mv0=mv1+Amv2,m=m+Am,解得v1=v0,故=,A正确。 2.很多相同的绝缘铜圆环沿竖直方向叠放,形成一很长的竖直圆筒。一条形磁铁沿圆筒的中心轴竖直放置,其下端与圆筒上端开口平齐。让条形磁铁从静止开始下落。条形磁铁在圆筒中的运动速率( ) A.均匀增大 B.先增大,后减小 C.逐渐增大,趋于不变 D.先增大,再减小,最后不变[解析] 2.对磁铁受力分析可知,磁铁重力不变,磁场力随速率的增大而增大,当重力等于磁场力时,磁铁匀速下落,所以选C。 3.(2014大纲全国,19,6分)一物块沿倾角为θ的斜坡向上滑动。当物块的初速度为v时, 上升的最大高度为H,如图所示;当物块的初速度为时,上升的最大高度记为h。重力加速度大小为g。物块与斜坡间的动摩擦因数和h分别为( )

A.tan θ和 B.tan θ和 C.tan θ和 D.tan θ和 [解析] 3.由动能定理有 -mgH-μmg cos θ=0-mv2 -mgh-μmg cos θ=0-m()2 解得μ=(-1)tan θ,h=,故D正确。 4.两列振动方向相同、振幅分别为A1和A2的相干简谐横波相遇。下列说法正确的是( ) A.波峰与波谷相遇处质点的振幅为|A1-A2| B.波峰与波峰相遇处质点离开平衡位置的位移始终为A1+A2 C.波峰与波谷相遇处质点的位移总是小于波峰与波峰相遇处质点的位移 D.波峰与波峰相遇处质点的振幅一定大于波峰与波谷相遇处质点的振幅 [解析] 4.两列振动方向相同的相干波相遇叠加,在相遇区域内各质点仍做简谐运动,其振动位移在0到最大值之间,B、C项错误。在波峰与波谷相遇处质点振幅为两波振幅之差,在波峰与波峰相遇处质点振幅为两波振幅之和,故A、D项正确。

平面向量经典例题讲解

平面向量经典例题讲解 讲课时间:___________姓名:___________课时:___________讲课教师:___________ 一、选择题(题型注释) 1. 空间四边形OABC 中,OA a =u u u r r ,OB b =u u u r r , OC c =u u u r r ,点M 在OA 上,且MA OM 2=,N 为BC 的 中点,则MN u u u u r =( ) A C 【答案】B 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 N 为 BC 的中点,则 , ,选 B 考点:向量加法、减法、数乘的几何意义; 2.已知平面向量a ,b 满足||1= a ,||2= b ,且()+⊥a b a ,则a 与b 的夹角是( ) (A (B (C (D 【答案】D 【解析】 试题分析:2()()00a b a a b a a a b +⊥∴+?=∴+?=r r r r r r r r r Q ,||1=a ,||2=b ,设夹角为θ,则 考点:本题考查向量数量积的运算 点评:两向量垂直的充要条件是点乘积得0,用向量运算得到cos θ的值,求出角 3.若OA u u r 、 OB u u u r 、OC uuu r 三个单位向量两两之间夹角为60u u r 【答案】D 【解析】 试题分析 :ΘOA u u r 、OB u u u r 、OC uuu r 三个单位向量两两之间夹角为 60° 6= r 考点:向量的数量积. 4.在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O E ,是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F , 若AC a =u u u r r ,BD b =u u u r r ,则AF =u u u r ( ) A.1142a b +r r B.1233a b +r r C.1124a b +r r D.2133 a b +r r 【答案】D 【解析】 试题分析:由题意可知,AEB ?与FED ?相似,且相似比为3:1,所以由向量加减法 的平行四边形法则可知,,AB AD a AD AB b +=-=u u u r u u u r r u u u r u u u r r ,解得,故D 正确。 考点:平面向量的加减法 5.在边长为1的等边ABC ?中,,D E 分别在边BC 与AC 上,且BD DC =u u u r u u u r ,2 AE EC =u u u r u u u r 则AD BE ?=u u u r u u u r ( ) A .【答案】A 【解析】 试题分析:由已知,D E 分别在边BC 与AC 上,且BD DC =u u u r u u u r , 2AE EC =u u u r u u u r 则D 是BC 的中轴点,E 为AC 的三等分点,以D 为坐标原点,DA 所在直线为y 轴,BC 边所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系, ,设),(y x E ,由EC AE =2可得:

平面向量知识点总结(精华)

必修4 平面向量知识点小结 一、向量的基本概念 1.向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别. 向量常用有向线段来表示 . 注意:不能说向量就是有向线段,为什么?提示:向量可以平移. 举例 1 已知A(1,2),B(4,2),则把向量u A u B ur按向量a r( 1,3)平移后得到的向量是. 结果:(3,0) 2.零向量:长度为 0 的向量叫零向量,记作:0r,规定:零向量的方向是任意的; 3.单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位 向量(与u A uu B r共线uuur 的单位向量是u A u B ur ); | AB| 4.相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性; 5.平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量 a r、 b r叫做平行向量,记作:a r∥b r, 规定:零向量和任何向量平行 . 注:①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合; ③平行向量无传递性!(因为有r0); ④三点A、B、C 共线u A uu B r、u A u C ur共线. 6.相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量 . a r的相反向量记作a r. 举例 2 如下列命题:(1)若|a r | |b r | ,则a r b r. (2)两个向量相 等的充要条件是它们的起点相同,终点相同 . (3)若u A u B ur u D u C u r,则ABCD是平行四边形 . (4)若ABCD是平行四边形,则u A uu B r u D u C uur. (5)若a r b r,b r c r,则a r c r. (6)若a r / /b r,b r / /c r则a r / /c r.其中正确的是. 结果:(4)(5) 二、向量的表示方法

高中物理电磁学经典例题

高中物理典型例题集锦 (电磁学部分) 25、如图22-1所示,A、B为平行金属板,两板相距为d,分别与电源两极相连,两板 的中央各有小孔M、N。今有一带电质点,自A板上方相距为d的P点由静止自由下落(P、M、N三点在同一竖直线上),空气阻力不计,到达N点时速度恰好 为零,然后按原路径返回。若保持两板间的电压不变,则: A.若把A板向上平移一小段距离,质点自P点下落仍能返回。 B.若把B板向下平移一小段距离,质点自P点下落仍能返回。 C.若把A板向上平移一小段距离,质点自P点下落后将穿过 N孔继续下落。 图22-1 D.若把B板向下平移一小段距离,质点自P点下落后将穿过N 孔继续下落。 分析与解:当开关S一直闭合时,A、B两板间的电压保持不变,当带电质点从M向N 运动时,要克服电场力做功,W=qU AB,由题设条件知:带电质点由P到N的运动过程中,重力做的功与质点克服电场力做的功相等,即:mg2d=qU AB 若把A板向上平移一小段距离,因U AB保持不变,上述等式仍成立,故沿原路返回, 应选A。 若把B板下移一小段距离,因U AB保持不变,质点克服电场力做功不变,而重力做功 增加,所以它将一直下落,应选D。 由上述分析可知:选项A和D是正确的。 想一想:在上题中若断开开关S后,再移动金属板,则问题又如何(选A、B)。 26、两平行金属板相距为d,加上如图23-1(b)所示的方波形电压,电压的最大值为U0,周期为T。现有一离子束,其中每个 离子的质量为m,电量为q,从与两板 等距处沿着与板平行的方向连续地射 入两板间的电场中。设离子通过平行 板所需的时间恰为T(与电压变化周图23-1 图23-1(b)

平面向量经典习题_提高篇

平面向量: 1. 已知向量a =(1,2),b =(2,0),若向量λa +b 与向量c =(1,- 2)共线,则实数λ等于( ) A .-2 B .-13 C .-1 D .-23 [答案] C [解析] λa +b =(λ,2λ)+(2,0)=(2+λ,2λ), ∵λa +b 与c 共线, ∴-2(2+λ)-2λ=0,∴λ=-1. 2. (文)已知向量a =(3,1),b =(0,1),c =(k ,3),若a +2b 与 c 垂直,则k =( ) A .-1 B .- 3 C .-3 D .1 [答案] C [解析] a +2b =(3,1)+(0,2)=(3,3), ∵a +2b 与c 垂直,∴(a +2b )·c =3k +33=0, ∴k =-3. (理)已知a =(1,2),b =(3,-1),且a +b 与a -λb 互相垂直,则实数λ的值为( ) A .-611 B .-116

C.6 11D. 11 6 [答案] C [解析] a+b=(4,1),a-λb=(1-3λ,2+λ), ∵a+b与a-λb垂直, ∴(a+b)·(a-λb)=4(1-3λ)+1×(2+λ)=6-11λ=0,∴λ =6 11 . 3.设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则向量a、 b间的夹角为( ) A.150° B.120° C.60° D.30° [答案] B [解析] 如图,在?ABCD中, ∵|a|=|b|=|c|,c=a+b,∴△ABD为正三角形, ∴∠BAD=60°,∴〈a,b〉=120°,故选B.

(理)向量a ,b 满足|a |=1,|a -b |=3 2,a 与b 的夹角为60°, 则|b |=( ) A.12 B.1 3 C.1 4 D.15 [答案] A [解析] ∵|a -b |=32,∴|a |2+|b |2 -2a ·b =34, ∵|a |=1,〈a ,b 〉=60°, 设|b |=x ,则1+x 2 -x =34,∵x >0,∴x =1 2 . 4. 若AB →·BC →+AB →2=0,则△ABC 必定是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .等腰直角三角形 [答案] B [解析] AB →·BC →+AB →2=AB →·(BC →+AB →)=AB →·AC →=0,∴AB →⊥AC →, ∴AB ⊥AC ,∴△ABC 为直角三角形. 5. (文)若向量a =(1,1),b =(1,-1),c =(-2,4),则用a ,b 表示 c 为( ) A .-a +3b B .a -3b

高考数学专题复习第二轮第18讲 平面向量与解析几何

第18讲 平面向量与解析几何 在高中数学新课程教材中,学生学习平面向量在前,学习解析几何在后,而且教材中二者知识整合的不多,很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题,不会应用平面向量去解决解析几何问题。用向量法解决解析几何问题思路清晰,过程简洁,有意想不到的神奇效果。著名教育家布鲁纳说过:学习的最好刺激是对所学材料的兴趣,简单的重复将会引起学生大脑疲劳,学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性,如果我们能重视向量的教学,必然能引导学生拓展思路,减轻负担。 一、知识整合 平面向量是高中数学的新增内容,也是新高考的一个亮点。 向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用,它具有代数形式和几何形式的“双重身份”,能融数形与一体,能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合,形成知识交汇点。而在高中数学体系中,解析几何占有着很重要的地位,有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂,不妨运用向量作形与数的转化,则会大大简化过程。 二、例题解析 例1、(2000年全国高考题)椭圆 14 9 2 2 =+ y x 的焦点为F ,1F 2,点P 为其上的动点,当∠F 1P F 2为钝角时,点P 横坐标的取值范围是___。 解:F 1(-5,0)F 2(5,0),设P (3cos θ,2sin θ) 21PF F ∠ 为钝角 ∴ 123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ?=- -?- ( =9cos 2θ-5+4sin 2θ=5 cos 2θ-1<0 解得:5 5cos 5 5< <- θ ∴点P 横坐标的取值范围是(5 5 3,553- ) 点评:解决与角有关的一类问题,总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为 向量的数量积为负值,通过坐标运算列出不等式,简洁明了。 例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0),P 是圆(x-3)2+(y-4)2 =4上的一动点,求22 PA PB +的最 大值和最小值。 分析:因为O 为AB 的中点,所以2,P A P B P O += 故可利用向量把问题转化为求向量O P 的最值。 解:设已知圆的圆心为C ,由已知可得:{1,0},{1,0}O A O B =-=

平面向量知识点归纳

平面向量知识点归纳-标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

第一章 平面向量 2.1向量的基本概念和基本运算 16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为0的向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式: a b a b a b -≤+≤+. ⑷运算性质:①交换律: a b b a +=+; ②结合律:()() a b c a b c ++=++;③00a a a +=+=. ⑸坐标运算:设()11,a x y =,()22,b x y =,则 ()1212,a b x x y y +=++. 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设()11,a x y =,()22,b x y =,则()1212,a b x x y y -=--. 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()1212,x x y y AB =--. 19、向量数乘运算: ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ. ①a a λλ=; ②当0λ>时,a λ的方向与a 的方向相同;当0λ<时,a λ的方向与a 的方向相反;当0λ=时,0a λ=. ⑵运算律:①()()a a λμλμ=;②()a a a λμλμ+=+;③() a b a b λλλ+=+. ⑶坐标运算:设(),a x y =,则()(),,a x y x y λλλλ==. b a C B A a b C C -=A -AB =B

高中物理必修一经典例题附解析

华辉教育物理学科备课讲义 A.大小为2N,方向平行于斜面向上 B.大小为1N,方向平行于斜面向上 C.大小为2N,方向垂直于斜面向上 D.大小为2N,方向竖直向上 答案:D 解析:绳只能产生拉伸形变, 绳不同,它既可以产生拉伸形变,也可以产生压缩形变、弯曲形变和扭转形变,因此杆的弹力方向不一定沿杆. 2.某物体受到大小分别为 闭三角形.下列四个图中不能使该物体所受合力为零的是 ( 答案:ABD 解析:A图中F1、F3的合力为 为零;D图中合力为2F3. 3.列车长为L,铁路桥长也是 桥尾的速度是v2,则车尾通过桥尾时的速度为 A.v2

答案:A 解析:推而未动,故摩擦力f=F,所以A正确. .某人利用手表估测火车的加速度,先观测30s,发现火车前进540m;隔30s 现火车前进360m.若火车在这70s内做匀加速直线运动,则火车加速度为 ( A.0.3m/s2B.0.36m/s2 C.0.5m/s2D.0.56m/s2 答案:B 解析:前30s内火车的平均速度v=540 30 m/s=18m/s,它等于火车在这30s 10s内火车的平均速度v1=360 10 m/s=36m/s.它等于火车在这10s内的中间时刻的速度,此时刻Δv v1-v36-18

两根绳上的张力沿水平方向的分力大小相等. 与竖直方向夹角为α,BC与竖直方向夹角为 .利用打点计时器等仪器测定匀变速运动的加速度是打出的一条纸带如图所示.为我们在纸带上所选的计数点,相邻计数点间的时间间隔为0.1s. ,x AD=84.6mm,x AE=121.3mm __________m/s,v D=__________m/s 结果保留三位有效数字)

平面向量典型题型大全

平面向量 题型1.基本概念判断正误: 例2 (1)化简:①AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r ___;②AB AD DC --=u u u r u u u r u u u r ____;③()()AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r _____ (2)若正方形ABCD 的边长为1,,,AB a BC b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ,则||a b c ++r r r =_____ (3)若O 是ABC V 所在平面内一点,且满足2OB OC OB OC OA -=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,则ABC V 的形状为_ 9.与向量a =(12,5)平行的单位向量为 ( ) A .125,1313??- ??? B .12 5,1313??-- ??? C .125125,,13131313????-- ? ?????或 D .125125,,13131313???? -- ? ????? 或 10.如图,D 、E 、F 分别是?ABC 边AB 、BC 、CA 上的 中点,则下列等式中成立的有_________: ①+-=u u u r u u u r u u u r FD DA AF 0 ②+-=u u u r u u u r u u u r FD DE EF 0 ③+-=u u u r u u u r u u u r DE DA BE 0 ④+-=u u u r u u u r u u u r AD BE AF 0 11.设P 是△ABC 所在平面内的一点,2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r ,则( ) A.0PA PB +=u u u r u u u r r B.0PC PA +=u u u r u u u r r C.0PB PC +=u u u r u u u r r D.0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r 12.已知点(3,1)A ,(0,0)B ,(3,0)C .设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E ,那么有BC CE λ=u u u r u u u r ,其中λ等于 ( ) A.2 B. 1 2 C.-3 D.-13 13.设向量a=(1, -3),b=(-2,4),c =(-1,-2),若表示向量4a ,4b -2c ,2(a -c ),d 的有向线段首尾相接能构成四边形, 则向量d 为 ( ) A.(2,6) B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6) 14.如图2,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若AD xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r ,则 x = ,y = . 图2 15、已知O 是ABC △所在平面内一点D 为BC 边中点且20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 那么( ) A.AO OD =u u u r u u u r B.2AO OD =u u u r u u u r C.3AO OD =u u u r u u u r D.2AO OD =u u u r u u u r 题型3平面向量基本定理 F E C B A

平面向量典型例题67629

平面向量经典例题: 1. 已知向量a =(1,2),b =(2,0),若向量λa +b 与向量c =(1,-2)共线,则实数λ等于( ) A .-2 B .-13 C .-1 D .-23 [答案] C [解析] λa +b =(λ,2λ)+(2,0)=(2+λ,2λ),∵λa +b 与c 共线,∴-2(2+λ)-2λ=0,∴λ=-1. 2. (文)已知向量a =(3,1),b =(0,1),c =(k , 3),若a +2b 与c 垂直,则k =( ) A .-1 B .- 3 C .-3 D .1 [答案] C [解析] a +2b =( 3,1)+(0,2)=( 3,3), ∵a +2b 与c 垂直,∴(a +2b )·c = 3k +3 3=0,∴k =-3. (理)已知a =(1,2),b =(3,-1),且a +b 与a -λb 互相垂直,则实数λ的值为( ) A .- 611 B .-116 C.611 D.11 6 [答案] C [解析] a +b =(4,1),a -λb =(1-3λ,2+λ), ∵a +b 与a -λb 垂直, ∴(a +b )·(a -λb )=4(1-3λ)+1×(2+λ)=6-11λ=0,∴λ=611 . 3. 设非零向量a 、b 、c 满足|a |=|b |=|c |,a +b =c ,则向量a 、b 间的夹角为( ) A .150° B .120° C .60° D .30° [答案] B [解析] 如图,在?ABCD 中, ∵|a |=|b |=|c |,c =a +b ,∴△ABD 为正三角形,∴∠BAD =60°,

(完整word版)高中物理功和功率典型例题解析

功和功率典型例题精析 [例题1] 用力将重物竖直提起,先是从静止开始匀加速上升,紧接着匀速上升,如果前后两过程的时间相同,不计空气阻力,则[ ] A.加速过程中拉力的功一定比匀速过程中拉力的功大 B.匀速过程中拉力的功比加速过程中拉力的功大 C.两过程中拉力的功一样大 D.上述三种情况都有可能 [思路点拨]因重物在竖直方向上仅受两个力作用:重力mg、拉力F.这两个力的相互关系决定了物体在竖直方向上的运动状态.设匀加速提升重物时拉力为F1,重物加速度为a,由牛顿第二定律F1-mg=ma, 匀速提升重物时,设拉力为F2,由平衡条件有F2=mg,匀速直线运动的位移S2=v·t=at2.拉力F2所做的功W2=F2·S2=mgat2. [解题过程] 比较上述两种情况下拉力F1、F2分别对物体做功的表达式,不难发现:一切取决于加速度a与重力加速度的关系. 因此选项A、B、C的结论均可能出现.故答案应选D. [小结]由恒力功的定义式W=F·S·cosα可知:恒力对物体做功的多少,只取决于力、位移、力和位移间夹角的大小,而跟物体的运动状态(加速、匀速、减速)无关.在一定的条件下,物体做匀加速运动时力对物体所做的功,可以大于、等于或小于物体做匀速直线运动时该力做的功. [例题2]质量为M、长为L的长木板,放置在光滑的水平面上,长木板最右端放置一质量为m 的小物块,如图8-1所示.现在长木板右端加一水平恒力F,使长木板从小物块底下抽出,小物块与长木板摩擦因数为μ,求把长木板抽出来所做的功.

[思路点拨] 此题为相关联的两物体存在相对运动,进而求功的问题.小物块与长木板是靠一对滑动摩擦力联系在一起的.分别隔离选取研究对象,均选地面为参照系,应用牛顿第二定律及运动学知识,求出木板对地的位移,再根据恒力功的定义式求恒力F的功. [解题过程] 由F=ma得m与M的各自对地的加速度分别为 设抽出木板所用的时间为t,则m与M在时间t内的位移分别为 所以把长木板从小物块底下抽出来所做的功为 [小结]解决此类问题的关键在于深入分析的基础上,头脑中建立一幅清晰的动态的物理图景,为此要认真画好草图(如图8-2).在木板与木块发生相对运动的过程中,作用于木块上的滑动摩擦力f 为动力,作用于木板上的滑动摩擦力f′为阻力,由于相对运动造成木板的位移恰等于物块在木板左端离开木板时的位移Sm与木板长度L之和,而它们各自的匀加速运动均在相同时间t内完成,再根据恒力功的定义式求出最后结果.

平面向量经典习题-提高篇61861

平面向量: 1. 已知向量a =(1,2),b =(2,0),若向量λa +b 与向量c =(1,-2)共线,则实数λ等于( ) A .-2 B .-1 3 C .-1 D .-23 [答案] C [解析] λa +b =(λ,2λ)+(2,0)=(2+λ,2λ), ∵λa +b 与c 共线, ∴-2(2+λ)-2λ=0,∴λ=-1. 2. (文)已知向量a =(3,1),b =(0,1),c =(k ,3),若a +2b 与c 垂直,则k =( ) A .-1 B .-3 C .-3 D .1 [答案] C [解析] a +2b =(3,1)+(0,2)=(3,3), ∵a +2b 与c 垂直,∴(a +2b )·c =3k +33=0, ∴k =-3. (理)已知a =(1,2),b =(3,-1),且a +b 与a -λb 互相垂直,则实数λ的值为( ) A .-611 B .-116 C.611 D.116 [答案] C [解析] a +b =(4,1),a -λb =(1-3λ,2+λ),

∵a+b与a-λb垂直, ∴(a+b)·(a-λb)=4(1-3λ)+1×(2+λ)=6-11λ=0,∴λ=6 11 . 3.设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则向量a、b间的夹角为( ) A.150° B.120° C.60° D.30° [答案] B [解析] 如图,在?ABCD中, ∵|a|=|b|=|c|,c=a+b,∴△ABD为正三角形, ∴∠BAD=60°,∴〈a,b〉=120°,故选B. (理)向量a,b满足|a|=1,|a-b|= 3 2 ,a与b的夹角为60°,则|b|=( ) A.1 2 B. 1 3 C.1 4 D. 1 5 [答案] A [解析] ∵|a-b|= 3 2 ,∴|a|2+|b|2-2a·b= 3 4 ,

平面向量易错题解析

平面向量易错题解析 1.你熟悉平面向量的运算(和、差、实数与向量的积、数量积)、运算性质和运算的几何意义吗? 2.你通常是如何处理有关向量的模(长度)的问题?(利用2 2 ||→→ =a a ;22||y x a +=) 3.你知道解决向量问题有哪两种途径? (①向量运算;②向量的坐标运算) 4.你弄清“02121=+?⊥→ → y y x x b a ”与“0//1221=-?→ → y x y x b a ”了吗? [问题]:两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别? (1) 在实数中:若0≠a ,且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中,若→→≠0a ,且0=?→ →b a ,不能推 出→ →=0b . (2) 已知实数)(,,,o b c b a ≠,且bc ab =,则a=c,但在向量的数量积中没有→ →→→→→=??=?c a c b b a . (3) 在实数中有)()(c b a c b a ??=??,但是在向量的数量积中)()(→ → → → → → ??≠??c b a c b a ,这是因为 左边是与→ c 共线的向量,而右边是与→ a 共线的向量. 5.正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗?三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点? 1.向量有关概念: (1)向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就是有向线段,为什么?(向量可以平移)。如已知A (1,2),B (4,2),则把向量AB 按向量a =(-1,3)平移后得到的向量是_____(答:(3,0)) (2)零向量:长度为0的向量叫零向量,记作:,注意零向量的方向是任意的; (3)单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是|| AB AB ±); (4)相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性; (5)平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量,记作:∥,规定零向量和任何向量平行。提醒:①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直 线重合;③平行向量无传递性!(因为有0);④三点A B C 、、共线? AB AC 、 共线; (6)相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是-。 如下列命题:(1)若a b =,则a b =。(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同。(3)若AB DC =,则ABCD 是平行四边形。(4)若ABCD 是平行四边形,则AB DC =。(5)若,a b b c ==,则a c =。(6)若//,//a b b c ,则//a c 。其中正确的是_______(答:(4)(5)) 2.向量的表示方法:(1)几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如,注意起点在前,终点在后;(2)符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如,,等;(3)坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,j 为基底,则平面内的任一向量可表示为 (),a xi y j x y =+=,称(),x y 为向量的坐标,=(),x y 叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在 原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 3.平面向量的基本定理:如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使a =1λe 1+2λe 2。

平面向量知识点总结归纳

平面向量知识点总结归纳 1、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为0的向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 2、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:a b a b a b -≤+≤+ . ⑷运算性质:①交换律:a b b a +=+ ;②结合律:()() a b c a b c ++=++ ; ③00a a a +=+= . ⑸坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y +=++ . 3、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y -=-- . b a C B A a b C C -=A -AB =B

设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()1212,x x y y AB =-- . 4、向量数乘运算: ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ . ①a a λλ= ; ②当0λ>时,a λ 的方向与a 的方向相同;当0λ<时,a λ 的方向与a 的方向相 反;当0λ=时,0a λ= . ⑵运算律:①()()a a λμλμ= ;②()a a a λμλμ+=+ ;③() a b a b λλλ+=+ . ⑶坐标运算:设(),a x y = ,则()(),,a x y x y λλλλ== . 5、向量共线定理:向量() 0a a ≠ 与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使 b a λ= . 设()11,a x y = ,()22,b x y = ,其中0b ≠ ,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a 、 () 0b b ≠ 共线. 6、平面向量基本定理:如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于 这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+ .(不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底) 7、分点坐标公式:设点P 是线段12P P 上的一点,1P 、2P 的坐标分别是()11,x y , ()22,x y ,当12λP P =PP 时,点P 的坐标是1212,11x x y y λλλ λ++?? ?++??. 8、平面向量的数量积: ⑴() cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤ .零向量与任一向量的数量积为0. ⑵性质:设a 和b 都是非零向量,则①0a b a b ⊥??= .②当a 与b 同向时, a b a b ?= ;当a 与b 反向时,a b a b ?=- ;22a a a a ?== 或a .③ a b a b ?≤ . ⑶运算律:①a b b a ?=? ;②()()()a b a b a b λλλ?=?=? ;③() a b c a c b c +?=?+? . ⑷坐标运算:设两个非零向量()11,a x y = ,()22,b x y = ,则1212a b x x y y ?=+ .

高中物理牛顿第二定律经典例题

牛顿第二运动定律 【例1】物体从某一高度自由落下,落在直立于地面的轻弹簧上,如图3-2所示,在A点物体开始与弹簧接触,到B点时,物体速度为零,然后被弹回,则以下说法正确的是: A、物体从A下降和到B的过程中,速率不断变小 B、物体从B上升到A的过程中,速率不断变大 C、物体从A下降B,以及从B上升到A的过程中,速 率都是先增大,后减小 D、物体在B点时,所受合力为零 的对应关系,弹簧这种特 【解析】本题主要研究a与F 合 殊模型的变化特点,以及由物体的受力情况判断物体的 运动性质。对物体运动过程及状态分析清楚,同时对物 =0,体正确的受力分析,是解决本题的关键,找出AB之间的C位置,此时F 合 由A→C的过程中,由mg>kx1,得a=g-kx1/m,物体做a减小的变加速直线运动。在C位置mg=kx c,a=0,物体速度达最大。由C→B的过程中,由于mgf m′,(新情况下的最大静摩擦力),可见f m>f m′即是最大静摩擦力减小了,由f m=μN知正压力N减小了,即发生了失重现象,故物体运动的加速度必然竖直向下,所以木箱的运动情况可能是加速下降或减速上升,故A、B正确。另一种原因是木箱向左加速运动,由于惯性原因,木块必然向中滑动,故D 正确。 综合上述,正确答案应为A、B、D。 【例3】如图3-11所示,一细线的一端固定于倾角为45°度的光滑楔形滑块A 的顶端p处,细线的另一端栓一质量为m的小球,当滑块以2g的加速度向左运动时,线中拉力T等于多少? 【解析】当小球贴着滑块一起向左运动时,小球受到三个力作用:重力mg、线 中拉力T,滑块A的支持力N,如 图3-12所示,小球在这三个力作用 下产生向左的加速度,当滑块向左

高一数学平面向量知识点及典型例题解析

高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一.【要点精讲】 1.向量的概念 ①向量:既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模(长度),记作|AB u u u r |.即向量的大小,记作|a |。 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,规定0r 平行于任何向量。(与0的区 别) ③单位向量| a |=1。④平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量,记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等,方向相同) ,(),(2211y x y x 2121y y x x 2.向量的运算 (1)向量加法:求两个向量和的运算叫做向量的加法. 如图,已知向量a ,b ,在平面内任取一点A ,作AB u u u r a ,BC u u u r b ,则向量AC 叫做a 与b 的和,记作a+b ,即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况: a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A a b b b a A A B C C ) 2() 3( 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加: AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ,但这时必须“首尾相连”。

②向量减法: 同一个图中画出a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则” (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量。 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点. (3)实数与向量的积 3.两个向量共线定理:向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ,使得b =a 。 二.【典例解析】 题型一: 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段 (5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若b a ,c b ,则c a ; (7)若b a //,c b //,则c a // (8) b a 的充要条件是||||b a 且b a //; (9) 若四边形ABCD 是平行四边形,则DA BC CD B ,A 练习. (四川省成都市一诊)在四边形ABCD 中,“AB →=2DC →”是“四边形ABCD 为梯形”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 题型二: 考查加法、减法运算及相关运算律 例2 化简)()(BD AC CD AB = 练习1.下列命题中正确的是 A .OA O B AB u u u r u u u r u u u r B .0AB BA u u u r u u u r C .00AB r u u u r r D .AB BC CD AD u u u r u u u r u u u r u u u r 2.化简AC u u u r BD u u u r CD u u u r AB u u u r 得 A .A B u u u r B .DA C .BC D .0r 3.如图,D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点,则

平面向量知识点及方法总结总结

平面向量知识点及方法总结总结 一、平面向量两个定理 1、平面向量的基本定理 2、共线向量定理。 二、平面向量的数量积 1、向量在向量上的投影:,它是一个实数,但不一定大于0、 2、的几何意义:数量积等于的模与在上的投影的积、三坐标运算:设,,则(1)向量的加减法运算:,、(2)实数与向量的积:、(3)若,,则,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标、(4)平面向量数量积:、(5)向量的模:、 四、向量平行(共线)的充要条件、 五、向量垂直的充要条件、六、七、向量中一些常用的结论 1、三角形重心公式在中,若,,,则重心坐标为、 2、三角形“三心”的向量表示(1)为△的重心、(2)为△的垂心、(3)为△的内心; 3、向量中三终点共线存在实数,使得且、 4、在中若D为BC边中点则 5、与共线的单位向量是七、向量问题中常用的方法 (一)基本结论的应用

1、设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,则(A)8 (B)4 (C)2 (D) 12、已知和点M满足、若存在实数m使得成立,则m= A、2 B、3 C、4 D、 53、设、都是非零向量,下列四个条件中,能使成立的条件是() A、 B、 C、 D、且 4、已知点____________ 5、平面向量,,(),且与的夹角等于与的夹角,则() A、 B、 C、 D、6、中,P是BN上一点若则m=__________ 7、o为平面内一点,若则o是____心 8、(xx课标I理)已知向量的夹角为,则、 (二)利用投影定义

9、如图,在ΔABC中,,,,则= (A)(B)(C)(D 10、已知点、、、,则向量在方向上的投影为 A、 B、 C、 D、11设是边上一定点,满足,且对于边上任一点,恒有则 A、 B、 C、 D、 (二)利用坐标法 12、已知直角梯形中,//,,,是腰上的动点,则的最小值为____________、 13、(xx课标II理)已知是边长为的等边三角形,为平面内一点,的最小值是() (三)向量问题基底化 14、在边长为1的正三角形ABC中, 设则____________、 15、(xx天津理)在中,,,、若,,且,则的值为 ___________、 16、见上第11题 (四)数形结合代数问题几何化,几何问题代数化例题 1、中,P是BN上一点若则m=__________

高中物理圆周运动典型例题解析1

圆周运动的实例分析典型例题解析 【例1】用细绳拴着质量为m 的小球,使小球在竖直平面内作圆周运动,则下列说法中,正确的是[ ] A .小球过最高点时,绳子中张力可以为零 B .小球过最高点时的最小速度为零 C .小球刚好能过最高点时的速度是Rg D .小球过最高点时,绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相 反 解析:像该题中的小球、沿竖直圆环内侧作圆周运动的物体等没有支承物的物体作圆周运动,通过最高点时有下列几种情况: (1)m g m v /R v 2当=,即=时,物体的重力恰好提供向心力,向心Rg 加速度恰好等于重力加速度,物体恰能过最高点继续沿圆周运动.这是能通过最高点的临界条件; (2)m g m v /R v 2当>,即<时,物体不能通过最高点而偏离圆周Rg 轨道,作抛体运动; (3)m g m v /R v m g 2当<,即>时,物体能通过最高点,这时有Rg +F =mv 2/R ,其中F 为绳子的拉力或环对物体的压力.而值得一提的是:细绳对由它拴住的、作匀速圆周运动的物体只可能产生拉力,而不可能产生支撑力,因而小球过最高点时,细绳对小球的作用力不会与重力方向相反. 所以,正确选项为A 、C . 点拨:这是一道竖直平面内的变速率圆周运动问题.当小球经越圆周最高点或最低点时,其重力和绳子拉力的合力提供向心力;当小球经越圆周的其它位置时,其重力和绳子拉力的沿半径方向的分力(法向分力)提供向心力. 【问题讨论】该题中,把拴小球的绳子换成细杆,则问题讨论的结果就大相径庭了.有支承物的小球在竖直平面内作圆周运动,过最高点时:

(1)v (2)v (3)v 当=时,支承物对小球既没有拉力,也没有支撑力; 当>时,支承物对小球有指向圆心的拉力作用; 当<时,支撑物对小球有背离圆心的支撑力作用; Rg Rg Rg (4)当v =0时,支承物对小球的支撑力等于小球的重力mg ,这是有支承物的物体在竖直平面内作圆周运动,能经越最高点的临界条件. 【例2】如图38-1所示的水平转盘可绕竖直轴OO ′旋转,盘上的水平杆上穿着两个质量相等的小球A 和B .现将A 和B 分别置于距轴r 和2r 处,并用不可伸长的轻绳相连.已知两球与杆之间的最大静摩擦力都是f m .试分析角速度ω从零逐渐增大,两球对轴保持相对静止过程中,A 、B 两球的受力情况如何变化? 解析:由于ω从零开始逐渐增大,当ω较小时,A 和B 均只靠自身静摩擦力提供向心力. A 球:m ω2r =f A ; B 球:m ω22r =f B . 随ω增大,静摩擦力不断增大,直至ω=ω1时将有f B =f m ,即m ω=,ω=.即从ω开始ω继续增加,绳上张力将出现.12m 112r f T f m r m /2 A 球:m ω2r =f A +T ;B 球:m ω22r =f m +T . 由B 球可知:当角速度ω增至ω′时,绳上张力将增加△T ,△T =m ·2r(ω′2-ω2).对于A 球应有m ·r(ω′2-ω2)=△f A +△T =△f A +m ·2r(ω′2-ω2). 可见△f A <0,即随ω的增大,A 球所受摩擦力将不断减小,直至f A =0

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