2020年考研数学一真题及答案解析(完整版)
2020年考研数学一真题及答案解析（完整版）
一、选择题：1~8小题，第小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.
1.0x +→时，下列无穷小量中最高阶是（ ）
A.()2
01x t e dt -?
B.0ln(1)x ?
C.sin 20sin x
t dt ?
D.1cos 0-?
2.设函数()f x 在区间（-1，1）内有定义，且0lim ()0,x f x →=则（ ）
A.当
00,()0x f x x →==在处可导.
B.当
00,()0x f x x →==在处可导.
C.当
0()00.x f x x →==在处可导时,
D.当
0()00.x f x x →==在处可导时,
3.设函数()f x 在点（0，0）处可微，(0,0)
(0,0)0,,,1f
f
f n x y ????==- ?????非零向量d 与n 重直，则（
）
A.
(,)lim 0x y →=存在 B.
(,)lim 0x y →=存在
C.(,)lim 0x y →=存在
D.(,)lim 0x y →=
4.设R 为幂级数1n n
n a x ∞=∑的收敛半径，r 是实数，则（ ）
A.1n n
n a x ∞=∑发散时，||r R ≥
B.1n n
n a x ∞=∑发散时，||r R ≤
C.||r R ≥时，1n n
n a x ∞=∑发散
D.||r R ≤时，1n n
n a x ∞=∑发散
5.若矩阵A 经初等变换化成B ，则（ ）
A.存在矩阵P ，使得P A =B
B.存在矩阵P ，使得BP =A
C.存在矩阵P ，使得PB =A
D.方程组Ax =0与Bx =0同解
6.已知直线22211112:x a y b c L a b c ---== 与直线33322222:x a y b c L a b c ---==相交于一点，法向量,1,2,3.i i i i a a b i c ????==??????则 A.1a 可由23,a a 线性表示
B.2a 可由13,a a 线性表示
C.3a 可由12,a a 线性表示
D.123,,a a a 线性无关
7.设A,B,C 为三个随机事件，且11()()(),()0()()412
P A P B P C P AB P AC P BC ======，则
A,B,C 中恰有一个事件发生的概率为 A.
34 B.23 C.12 D.512
8.设12(),,,n x x x …为来自总体X 的简单随机样本，其中1(0)(1),()2
P X P X x ====
Φ表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得100155i i P X =??≤ ???
∑的近似值为 A.1(1)-Φ
B.(1)Φ
C.1(0,2)-Φ
D.(0,2)Φ 二、填空题：9—14小题，每小题2分，共24分。请将解答写在答题纸指定位置上. 9.011lim 1
)x x
e →??-=?
?-?? 10.设ln(x y t ?=??=??，则212|t d y dx ==
11.若函数()f x 满足()()()0(0),(0),(0)f x af x f x a f m f n ''''++=>==且，则
0()d f x x +∞=? 12.设函数20(,)e d xy xt f x y t =
?，则2(1,11)f x y ?=??
13.行列式
011011110110a a a a --=--
14. 设x 顺从区间,22ππ??-
???
上的均匀分布，sin Y X =，则(,Cov X Y = 三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本题满分10分）
求函数33(,)8f x y x y xy =+-的最大值
16.（本题满分10分） 计算曲线积分222444L x y x y I dx dy x y x y -+=+++?其中
L 是22x y +=，方向为逆时针方向 17.（本题满分10分）
设数列{}n a 满足111(1)12n n a x a n a ??=++=+ ???，证明：当||1x <时幂纹数1n n n a x =∑收敛，并求其和函数.
18.（本题满分10分）
设∑
为由面)224Z x y +≤的下侧，()f x 是连续函数，计算[()2][()2][2()2]I xf xy y dydz yf xy y x dzdx f xy dxdy ∑
=+-+++++??
19.设函数()f x 在区间[0,2]上具有连续导数，(0,2)
(0)(2)0,max{|()|},x f f M f x ∈===证明（1），存在号(0,2)ξ∈，使得|()|f M ξ'≥（2）若对任意的(0,2),|()|x f x M '∈≤，则0M =. 20.设二次型2
2121122(,)44f x x x x x x =++经正交变换1122x y Q x y ????= ? ?????
化为二次型22121122(,)4g y y ay y y by =++，其中a b ≥.
（1）求,a b 的值.
（2）求正交矩阵Q .
21.设A 为2阶矩阵，(,)P A αα=，其中α是非零向量且不是A 的特征向量. （1）证明P 为可逆矩阵
（2）若260A A ααα+-=，求1P AP -，并判断A 是否相似于对角矩阵. 22.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1与X 2均服从标准正态分布，X 3的概率分布为
3331321{0}{1},(1)2
P X P X Y X X X X =====+-. （1）求二维随机变量（X 1，Y ）的分布函数，结果用标准正态分布函数()x Φ表示. （2）证明随机变量Y 服从标准正态分布.
23.设某种元件的使用寿命T 的分布函数为
1e ,0,()0,.m
t t F t θ??- ?????-≥=???其他 其中m θ,为参数且大于零.
（1）求概率{}P T t >与{|}P T S t T S >+>，其中0,0S t >>. （2）任取n 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为12,,n t t t …，若m 已知，求θ的最大似然估计值?θ
.