中考必会几何模型：8字模型与飞镖模型

8字模型与飞镖模型模型1：角的8字模型

如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ． 结论：∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ．

O

D

C B

A

模型分析 证法一：

∵∠AOB 是△AOD 的外角，∴∠A ＋∠D ＝∠AOB ．∵∠AOB 是△BOC 的外角， ∴∠B ＋∠C ＝∠AOB ．∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． 证法二：

∵∠A ＋∠D ＋∠AOD ＝180°，∴∠A ＋∠D ＝180°－∠AOD ．∵∠B ＋∠C ＋∠BOC ＝180°， ∴∠B ＋∠C ＝180°－∠BOC ．又∵∠AOD ＝∠BOC ，∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． （1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型． （2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到．

模型实例

观察下列图形，计算角度：

（1）如图①，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝________；

图图①

F

D C B

A

E E

B

C

D

A

图③

2

1O A

B

图④

G F 12

A

B E

解法一：利用角的8字模型．如图③，连接CD ．∵∠BOC 是△BOE 的外角， ∴∠B ＋∠E ＝∠BOC ．∵∠BOC 是△COD 的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC ． ∴∠B ＋∠E ＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A ＋∠B ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠E

＝∠A ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠1＋∠2＝∠A ＋∠ACD ＋∠ADC ＝180°．

解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1是△FCE 的外角，∴∠1＝∠C ＋∠E ．

∵∠2是△GBD 的外角，∴∠2＝∠B ＋∠D ．

∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝∠A ＋∠

1＋∠2＝180°．

（2）如图②，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝________．

图②

F

D

C

B

A

E

312图⑤

P O Q

A B

F

C D

图⑥

2

1

E

D

C

F

O

B

A

（2）解法一： 如图⑤，利用角的8字模型．∵∠AOP 是△AOB 的外角，∴∠A ＋∠B ＝∠AOP ． ∵∠AOP 是△OPQ 的外角，∴∠1＋∠3＝∠AOP ．∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠3．①（角的8字模型），同理可证：∠C ＋∠D ＝∠1＋∠2．② ，∠E ＋∠F ＝∠2＋∠3．③

由①＋②＋③得：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝360°．

解法二：利用角的8字模型．如图⑥，连接DE ．∵∠AOE 是△AOB 的外角， ∴∠A ＋∠B ＝∠AOE ．∵∠AOE 是△OED 的外角，∴∠1＋∠2＝∠AOE ． ∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠2．（角的8字模型）

∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F ＝∠1＋∠2＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F

＝360°．（四边形内角和为360°） 练习：

1．（1）如图①，求：∠CAD ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝ ；

图

图①

O

O

E

E

D

D

C

C

B

B

A

A

解：如图，∵∠1=∠B+∠D ，∠2=∠C+∠CAD ，

∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°． 故答案为：180° 解法二：

（2）如图②，求：∠CAD ＋∠B ＋∠ACE ＋∠D ＋∠E ＝

．

图②

O

E

D

C

B

A

解：由三角形的外角性质，知∠BAC=∠E+∠ACE，∠EAD=∠B+∠D，

又∵∠BAC+∠CAD+∠EAD=180°，∴∠CAD ＋∠B ＋∠ACE ＋∠D ＋∠E

＝180° 解法二：

2．如图，求：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＝ ．

H

G

F

E

D

C

B

A

解：∵∠G+∠D=∠3，∠F+∠C=∠4，∠E+∠H=∠2，∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2，

∵∠B+∠2+∠1=180°，∠3+∠5+∠A=180°，∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°

解法二：

模型2：角的飞镖模型

如图所示，有结论：∠D ＝∠A ＋∠B ＋∠C ．

C

图①

图②

模型分析

解法一：如图①，作射线AD ．

∵∠3是△ABD 的外角，∴∠3＝∠B ＋∠1，∵∠4是△ACD 的外角，∴∠4＝∠C ＋∠2

∴∠BDC ＝∠3＋∠4，∴∠BDC ＝∠B ＋∠1＋∠2＋∠C ，∴∠BDC ＝∠BAC ＋∠B ＋∠C

解法二：如图②，连接BC ．

∵∠2＋∠4＋∠D ＝180°，∴∠D ＝180°－（∠2＋∠4）

∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A ＝180°，∴∠A ＋∠1＋∠3＝180°－（∠2＋∠4） ∴∠D ＝∠A ＋∠1＋∠3.

（1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型． （2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用． 模型实例

如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M ，探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系．

解答：利用角的飞镖模型

如图所示，连接DM 并延长．∵∠3是△AMD 的外角，∴∠3＝∠1＋∠ADM ， ∵∠4是△CMD 的外角，∴∠4＝∠2＋∠CDM ，∵∠AMC ＝∠3＋∠4 ∴∠AMC ＝∠1＋∠ADM ＋∠CDM ＋∠2，∴∠AMC ＝∠1＋∠2＋∠ADC ．（角的飞镖模型）

∵AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，∴12BAD ∠∠=

，22BCD

∠∠=， ∴22

BAD BCD

AMC ADC ∠∠∠=++∠，

∴()3602B ADC AMC ADC ?-∠+∠∠=+∠（四边形内角和360°），∴3602

B ADC

AMC ?-∠+∠∠=，∴2∠AMC ＋∠B －∠ADC ＝360°.

练习：

1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .

D

E

【答案】230°

提示：∠C+∠E+∠D=∠EOC=115o.（飞镖模型），∠A+∠B+∠F=∠BOF=115o.

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=115o+115o=230o 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D= .

A

A

【答案】220°

提示：如图所示，连接BD.

∠AED=∠A+∠3+∠1，∠BFC=∠2+∠4+∠C ，

∠A+∠ABF+∠C+∠CDE=∠A+∠3+∠1+∠2+∠4+∠C=∠AED+∠BFC=220o

模型3 边的“8”字模型

如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ．结论AC+BD>AD+BC ．

B

C

A

模型分析

∵OA+OD>AD ①， OB+OC>BC ②， 由①+②得： OA+OD+OB+OC>BC+AD 即：AC+BD>AD+BC.

模型实例

如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 。 求证：(1) AB+BC+CD+AD>AC+BD ；

(2) AB+BC+CD+AD <2AC+2BD.

B

证明：(1)∵AB+BC>AC ①， CD+AD>AC ②， AB+AD>BD ③， BC+CD> BD ④

由①+②+③+④得： 2 (AB+BC+CD+AD)>2(AC+BD). 即AB+BC+CD+AD >AC+BD.

(2) ∵AD

∴AD+BC

模型4 边的飞镖模型

如图所示有结论：

AB+AC> BD+CD.

A

B

A

模型分析

如图，延长BD交AC于点E。

∵AB+AC=AB+AE+EC，AB+AE>BE，∴AB+A C>BE+EC.①，∵BE+EC=BD+DE+EC， DE+EC> CD，∴BE+EC>BD+CD. ②，由①②可得：AB+AC>BD+CD.

模型实例

如图，点O为三角形内部一点．

求证：(1) 2 (AO+BO+CO)>AB+BC+AC；

(2) AB+BC+AC>AO+BO+CO.

B

B

证明：(1)∵OA+OB>AB①， OB+OC>BC②， OC+OA>AC③

由①+②+③得： 2 (AO+BO+CO)>AB+BC+AC

(2)如图，延长BO交AC于点E，

∵AB+AC=AB+AE+EC， AB+AE>BE，∴AB+AC>BE+EC. ①

∵BE+EC=BO+OE+EC， OE+EC>CO，∴BE+EC>BO+CO，②

由①②可得： AB+AC>BO+CO.③（边的飞镖模型）

同理可得： AB+BC>OA+OC.④，BC+AC>OA+OB.⑤

由③+④+⑤得： 2 (AB+BC+AC)>2 (AO+BO+CO). 即

AB+BC+AC>AO+BO+CO.

1．如图，在△ABC中，D、E在BC边上，且BD=CE。求证：AB+AC>AD+AE.

B

【答案】

证法一：如图①，将AC平移至BF，AD延长线与BF相交于点G，连接DF。由平移可得AC=BF ，∵AC∥BF ，∴∠ACE=∠BFD ，∵BD=CE

∴△AEC≌△FDB ，∴DF=AE

如图，延长AD交BF于点G，∵AB+BF=AB+BG+GF. ∵AB+BG>AG，

∴AB+BF>AG+GF①，∵AG+GF=AD+DG+GF，∵DG+GF>DF，

∴AG+GF>AD+DF②，由①②可得：AB+BF>AD+DF.（飞镖模型）

∴AB+AC=AB+BF>AD+DF=AD+AE. ∴AB+AC>AD+AE.

B

证法二：如图②，将AC 平移至DF ，连接BF ，则AC=DF ，∵AC ∥DF ，∴∠ACE=∠FDB.

∵BD=CE ，∴△AEC ≌△FBD. ∴BF=AE. ∵OA+OD>AD ①， OB+OF>BF ② 由①+②得：OA+OD+OB+OF>BF+AD. ∴AB+DF>BF+AD.（8字模型） ∴AB+AC=AB+DF>BF+AD=AE+AD. ∴AB+AC>AD+AE.

F

2．观察图形并探究下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由． (1)如图①，△ABC 中，P 为边BC 一点，请比较BP+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由．

(2)如图②，将(1)中的点P 移至△ABC 内，请比较△BPC 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由．

(3)图③将(2)中的点P 变为两个点1P 、2P ，请比较四边形12BPP C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由.

B

B B

【答案】

（1）如图①，BP+PC

理由：三角形两边之和大于第三边。（或两点之间线段最短） （2）△BPC 的周长小于△ABC 的周长。

证明：如图②，延长BP 交AC 于M 。在△ABM 中，BP+PM

在△PMC 中，PC

B

（3）四边形12BPP C 的周长小于△ABC 的周长。

证法一：如图③，分别延长1BP 、2CP 交于M ，由（2）知，BM+CM

又∵12P P <1

2PM P M ，∴1BP +12P P +2P C

B

B

证法二：如图④，做直线12P P 分别交AB 、AC 于M 、N 。在△BM 1P 中，1BP

在△AMN 中，1MP +12P P +2P N

中考必会几何模型：8字模型与飞镖模型

8字模型与飞镖模型模型1：角的8字模型 如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ． 结论：∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． O D C B A 模型分析 证法一： ∵∠AOB 是△AOD 的外角，∴∠A ＋∠D ＝∠AOB ．∵∠AOB 是△BOC 的外角， ∴∠B ＋∠C ＝∠AOB ．∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． 证法二： ∵∠A ＋∠D ＋∠AOD ＝180°，∴∠A ＋∠D ＝180°－∠AOD ．∵∠B ＋∠C ＋∠BOC ＝180°， ∴∠B ＋∠C ＝180°－∠BOC ．又∵∠AOD ＝∠BOC ，∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． （1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型． （2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到． 模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝________； 图图① F D C B A E E B C D A 图③ 2 1O A B 图④ G F 12 A B E 解法一：利用角的8字模型．如图③，连接CD ．∵∠BOC 是△BOE 的外角， ∴∠B ＋∠E ＝∠BOC ．∵∠BOC 是△COD 的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC ． ∴∠B ＋∠E ＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A ＋∠B ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠E ＝∠A ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠1＋∠2＝∠A ＋∠ACD ＋∠ADC ＝180°． 解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1是△FCE 的外角，∴∠1＝∠C ＋∠E ．

∵∠2是△GBD 的外角，∴∠2＝∠B ＋∠D ． ∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝∠A ＋∠1＋∠2＝180°． （2）如图②，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝________． 图② F D C B A E 312图⑤ P O Q A B F C D 图⑥ 2 1 E D C F O B A （2）解法一： 如图⑤，利用角的8字模型．∵∠AOP 是△AOB 的外角，∴∠A ＋∠B ＝∠AOP ． ∵∠AOP 是△OPQ 的外角，∴∠1＋∠3＝∠AOP ．∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠3．①（角的8字模型），同理可证：∠C ＋∠D ＝∠1＋∠2．② ，∠E ＋∠F ＝∠2＋∠3．③ 由①＋②＋③得：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝360°． 解法二：利用角的8字模型．如图⑥，连接DE ．∵∠AOE 是△AOB 的外角， ∴∠A ＋∠B ＝∠AOE ．∵∠AOE 是△OED 的外角，∴∠1＋∠2＝∠AOE ． ∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠2．（角的8字模型） ∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F ＝∠1＋∠2＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F ＝360°．（四边形内角和为360°） 练习： 1．（1）如图①，求：∠CAD ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝ ； 图 图① O O E E D D C C B B A A 解：如图，∵∠1=∠B+∠D ，∠2=∠C+∠CAD ， ∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°． 故答案为：180° 解法二：

1第一章 8字模型与飞镖模型(1)

O D C B A 图12图E A B C D E F D C B A O O 图12图E A B C D E D C B A H G E F D C B A 第一章 8字模型与飞镖模型 模型1 角的“8”字模型 如图所示，AB 、CD 相交于点O ， 连接AD 、BC 。 结论：∠A+∠D=∠B+∠C 。 模型分析 8字模型往往在几何综合 题目中推导角度时用到。 模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 。 热搜精练 1．（1）如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E= 。 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H= 。

D C B A M D C B A O 135E F D C B A 105O O 120 D C B A 模型2 角的飞镖模型 如图所示，有结论： ∠D=∠A+∠B+∠C 。 模型分析 飞镖模型往往在几何综合 题目中推导角度时用到。 模型实例 如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M 。探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系。 热搜精练 1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ； 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D = 。

O D C B A O D C B A O C B A 模型3 边的“8”字模型 如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 。 结论：AC+BD>AD+BC 。 模型实例 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 。 求证：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD ； （2）AB+BC+CD+AD<2AC+2BD. 模型4 边的飞镖模型 如图所示有结论： AB+AC>BD+CD 。

初中数学优质专题：8字模型与飞镖模型

1 O D C B A 图1 2图E A B C D E F D C B A O O 图12图E A B C D E D C B A 第一章 8字模型与飞镖模型 模型1 角的“8”字模型 如图所示，AB 、CD 相交于点O ， 连接AD 、BC 。 结论：∠A+∠D=∠B+∠C 。 模型分析 8字模型往往在几何综合 题目中推导角度时用到。 模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 。 热搜精练 1．（1）如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E= 。

2 H G E F D C B A D C B A M D C B A O 135 E F D C B A 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H= 。 模型2 角的飞镖模型 如图所示，有结论： ∠D=∠A+∠B+∠C 。 模型分析 飞镖模型往往在几何综合 题目中推导角度时用到。 模型实例 如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和 ∠DCB ，AM 与CM 交于M 。探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系。

3 105O O 120 D C B A O D C B A 热搜精练 1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ； 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D = 。 模型3 边的“8”字模型 如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 。 结论：AC+BD>AD+BC 。

2021中考数学易错题飞镖模型8字模型探究试题

2021中考数学易错题飞镖模型8字模型探究试题模型一：角的飞镖模型基础 结论：C + ∠ ∠ = ∠ B + A BDC∠ 解答： ①方法一：延长BD交AC于点E得证 ②方法二：延长CD交AB于点F得证 ③方法三：延长AD到在其延长方向上任取一点为点G得证 总结： ①利用三角形外角的性质证明

模型二：角的8字模型基础结论：D ∠ ∠ = + + C B A∠ ∠

解答： ①方法一：三角形内角和得证 ②方法二：三角形外角【BOD 】的性质得证总结： ①利用三角形内角和等于 180证明 推出 ②利用三角形外角的性质证明

角的飞镖模型和8字模型进阶 【例1】如图，则= ∠E D B A + C + + ∠ ∠ ∠ + ∠ 解答： ①方法一：飞镖ACD得证 ∠E + D C A B ∠ ∠ = 180 ∠ + + ∠ +

②方法二：8字BECD得证 + ∠ ∠E B A + C D ∠ = + 180 + ∠ ∠ 【例2】如图，则= E ∠F + D C A B ∠ ∠ ∠ + + ∠ ∠ + + 解答：飞镖ABF+飞镖DEC得证 ∠F + ∠ E D B + A C ∠ = ∠ + 210 ∠ ∠ + + 【例3】如图，求= E D ∠F B A + C ∠ + ∠ + ∠ ∠ + ∠ + 解答：8字模型得证 ∠F + ∠ E D A B C + 360 + = ∠ ∠ ∠ + ∠ + 【例4】如图，求= ∠D C A + B ∠ + ∠ + ∠

解答：连接BD得飞镖BAD+飞镖DBC得证 + ∠D A ∠ C B = + ∠ 220 + ∠ 【例5】如图，求= ∠H G ∠ F + D A C + E B + ∠ + ∠ ∠ + + ∠ + ∠ ∠ 解答：飞镖EHB+飞镖FAC得证 ∠H ∠ + + ∠ G F A B C D E ∠ + + = 360 ∠ ∠ ∠ + + ∠ + 模型三：边的飞镖模型基础 结论：CD + > AC BD AB+

初中数学常见模型之8字模型与飞镖模型

O D C B A 图12图E A B C D E F D C B A O O 图12图E A B C D E D C B A H G E F D C B A 8字模型与飞镖模型 模型1 角的“8”字模型 如图所示，AB 、CD 相交于点O ， 连接AD 、BC 。 结论：∠A+∠D=∠B+∠C 。 模型分析 8字模型往往在几何综合 题目中推导角度时用到。 模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 。 热搜精练 1．（1）如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E= 。 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H= 。

D C B A M D C B A O 135E F D C B A 105O O 120 D C B A 模型2 角的飞镖模型 如图所示，有结论： ∠D=∠A+∠B+∠C 。 模型分析 飞镖模型往往在几何综合 题目中推导角度时用到。 模型实例 如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M 。探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系。 热搜精练 1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ； 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D = 。

O D C B A O D C B A O C B A 模型3 边的“8”字模型 如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 。 结论：AC+BD>AD+BC 。 模型实例 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 。 求证：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD ； （2）AB+BC+CD+AD<2AC+2BD. 模型4 边的飞镖模型 如图所示有结论： AB+AC>BD+CD 。

中考数学必会几何模型：8字模型与飞镖模型

8字模型与飞镖模型 模型1：角的8字模型 如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ． 结论：∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． O D C B A 模型分析 证法一： ∵∠AOB 是△AOD 的外角，∴∠A ＋∠D ＝∠AOB ．∵∠AOB 是△BOC 的外角， ∴∠B ＋∠C ＝∠AOB ．∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． 证法二： ∵∠A ＋∠D ＋∠AOD ＝180°，∴∠A ＋∠D ＝180°－∠AOD ．∵∠B ＋∠C ＋∠BOC ＝180°， ∴∠B ＋∠C ＝180°－∠BOC ．又∵∠AOD ＝∠BOC ，∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． （1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型． （2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到． 模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝________； 图图① F D C B A E E B C D A 图③ 2 1O A B 图④ G F 12 A B E 解法一：利用角的8字模型．如图③，连接CD ．∵∠BOC 是△BOE 的外角， ∴∠B ＋∠E ＝∠BOC ．∵∠BOC 是△COD 的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC ． ∴∠B ＋∠E ＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A ＋∠B ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠E ＝∠A ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠1＋∠2＝∠A ＋∠ACD ＋∠ADC ＝180°． 解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1是△FCE 的外角，∴∠1＝∠C ＋∠E ． ∵∠2是△GBD 的外角，∴∠2＝∠B ＋∠D ． ∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝∠A ＋∠1＋∠2＝180°． （2）如图②，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝________．

中考必会几何模型：8字模型与飞镖模型

8字模型与飞镖模型模型1：角的8字模型 ∠C ． O D C B A 模型分析 ∵∠AOB 是△AOD 的外角，∴∠A ＋∠D ＝∠AOB ．∵∠AOB 是△BOC 的外角， ∴∠B ＋∠C ＝∠AOB ．∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． ∵∠A ＋∠D ＋∠AOD ＝180°，∴∠A ＋∠D ＝180°－∠AOD ．∵∠B ＋∠C ＋∠BOC ＝180°， ∴∠B ＋∠C ＝180°－∠BOC ．又∵∠AOD ＝∠BOC ，∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． （1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型． （2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到． 模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝________； 图图① F D C B A E E B C D A 图③ 2 1O A B 图④ G F 12 A B E 解法一：利用角的8字模型．如图③，连接CD ．∵∠BOC 是△BOE 的外角， ∴∠B ＋∠E ＝∠BOC ．∵∠BOC 是△COD 的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC ． ∴∠B ＋∠E ＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A ＋∠B ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠E ＝∠A ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠1＋∠2＝∠A ＋∠ACD ＋∠ADC ＝180°． 解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1是△FCE 的外角，∴∠1＝∠C ＋∠E ． ∵∠2是△GBD 的外角，∴∠2＝∠B ＋∠D ． ∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝∠A ＋∠1＋∠2＝180°．

（2）如图②，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝________． 图② F D C B A E 312图⑤ P O Q A B F C D 图⑥ 2 1 E D C F O B A （2）解法一： 如图⑤，利用角的8字模型．∵∠AOP 是△AOB 的外角，∴∠A ＋∠B ＝∠AOP ． ∵∠AOP 是△OPQ 的外角，∴∠1＋∠3＝∠AOP ．∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠3．①（角的8字模型），同理可证：∠C ＋∠D ＝∠1＋∠2．② ，∠E ＋∠F ＝∠2＋∠3．③ 由①＋②＋③得：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝360°． 解法二：利用角的8字模型．如图⑥，连接DE ．∵∠AOE 是△AOB 的外角， ∴∠A ＋∠B ＝∠AOE ．∵∠AOE 是△OED 的外角，∴∠1＋∠2＝∠AOE ． ∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠2．（角的8字模型） ∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F ＝∠1＋∠2＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F ＝360°．（四边形内角和为360°） 练习： 1．（1）如图①，求：∠CAD ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝ ； 图 图① O O E E D D C C B B A A 解：如图，∵∠1=∠B+∠D ，∠2=∠C+∠CAD ， ∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°． 故答案为：180° 解法二： （2）如图②，求：∠CAD ＋∠B ＋∠ACE ＋∠D ＋∠E ＝ ．

2021年中考复习 第02讲—飞镖模型和8字模型

模型一：角的飞镖模型基础 结论：C B A BDC ∠+∠+∠=∠ 解答： ①方法一：延长BD 交AC 于点E 得证 ②方法二：延长CD 交AB 于点F 得证 ③方法三：延长AD 到在其延长方向上任取一点为点G 得证 总结： ①利用三角形外角的性质证明

模型二：角的8字模型基础 结论：D C B A ∠+∠=∠+∠

解答： ①方法一：三角形内角和得证 】的性质得证②方法二：三角形外角【BOD 总结： 180证明 ①利用三角形内角和等于 推出 ②利用三角形外角的性质证明

角的飞镖模型和8字模型进阶 【例1】如图，则=∠+∠+∠+∠+∠E D C B A 解答： ①方法一：飞镖ACD 得证 180=∠+∠+∠+∠+∠E D C B A ②方法二：8字BECD 得证 180=∠+∠+∠+∠+∠E D C B A 【例2】如图，则=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A

解答：飞镖ABF+飞镖DEC 得证 210=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A 【例3】如图，求=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A 解答：8字模型得证 360=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A 【例4】如图，求=∠+∠+∠+∠D C B A

解答：连接BD 得飞镖BAD+飞镖DBC 得证 220=∠+∠+∠+∠D C B A 【例5】如图，求=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠H G F E D C B A 解答：飞镖EHB+飞镖FAC 得证 360=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠H G F E D C B A 模型三：边的飞镖模型基础 结论：CD BD AC AB +>+

(完整word版)第一章8字模型与飞镖模型(无答案)

O D C B A 图12图E A B C D E F D C B A O O 图12图E A B C D E D C B A H G E F D C B A 第一章 8字模型与飞镖模型 模型1 角的“8”字模型 如图所示，AB 、CD 相交于点O ， 连接AD 、BC 。 结论：∠A+∠D=∠B+∠C 。 模型分析 8字模型往往在几何综合 题目中推导角度时用到。 模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 。 热搜精练 1．（1）如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E= 。 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H= 。

D C B A M D C B A O 135E F D C B A 105O O 120 D C B A 模型2 角的飞镖模型 如图所示，有结论： ∠D=∠A+∠B+∠C 。 模型分析 飞镖模型往往在几何综合 题目中推导角度时用到。 模型实例 如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M 。探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系。 热搜精练 1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ； 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D = 。

O D C B A O D C B A O C B A 模型3 边的“8”字模型 如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 。 结论：AC+BD>AD+BC 。 模型实例 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 。 求证：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD ； （2）AB+BC+CD+AD<2AC+2BD. 模型4 边的飞镖模型 如图所示有结论： AB+AC>BD+CD 。

中考数学模型：飞镖模型与8字型模型

8字模型与飞镖模型 8字型与飞镖型是中考几何模型中常见的两种结构，熟悉这两种结构对于我们快速解题有着极其重要的帮助。 模型1：角的8字模型 如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ． 结论：∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． O D C B A 模型分析 证法一： ∵∠AOB 是△AOD 的外角，∴∠A ＋∠D ＝∠AOB ．∵∠AOB 是△BOC 的外角， ∴∠B ＋∠C ＝∠AOB ．∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． 证法二： ∵∠A ＋∠D ＋∠AOD ＝180°，∴∠A ＋∠D ＝180°－∠AOD ．∵∠B ＋∠C ＋∠BOC ＝180°， ∴∠B ＋∠C ＝180°－∠BOC ．又∵∠AOD ＝∠BOC ，∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． （1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型． （2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到． 模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝________； 图图① F D C B A E E B C D A 图③ 2 1O A B 图④ G F 12 A B E 解法一：利用角的8字模型．如图③，连接CD ．∵∠BOC 是△BOE 的外角， ∴∠B ＋∠E ＝∠BOC ．∵∠BOC 是△COD 的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC ． ∴∠B ＋∠E ＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A ＋∠B ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠E

＝∠A ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠1＋∠2＝∠A ＋∠ACD ＋∠ADC ＝180°． 解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1是△FCE 的外角，∴∠1＝∠C ＋∠E ． ∵∠2是△GBD 的外角，∴∠2＝∠B ＋∠D ． ∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝∠A ＋∠1＋∠2＝180°． （2）如图②，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝________． 图② F D C B A E 312图⑤ P O Q A B F C D 图⑥ 2 1 E D C F O B A （2）解法一： 如图⑤，利用角的8字模型．∵∠AOP 是△AOB 的外角，∴∠A ＋∠B ＝∠AOP ． ∵∠AOP 是△OPQ 的外角，∴∠1＋∠3＝∠AOP ．∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠3．①（角的8字模型），同理可证：∠C ＋∠D ＝∠1＋∠2．② ，∠E ＋∠F ＝∠2＋∠3．③ 由①＋②＋③得：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝360°． 解法二：利用角的8字模型．如图⑥，连接DE ．∵∠AOE 是△AOB 的外角， ∴∠A ＋∠B ＝∠AOE ．∵∠AOE 是△OED 的外角，∴∠1＋∠2＝∠AOE ． ∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠2．（角的8字模型） ∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F ＝∠1＋∠2＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F ＝360°．（四边形内角和为360°） 练习： 1．（1）如图①，求：∠CAD ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝ ； 图 图① O O E E D D C C B B A A 解：如图，∵∠1=∠B+∠D ，∠2=∠C+∠CAD ， ∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°． 故答案为：180° 解法二：

8字模型与飞镖模型

8字模型与飞镖模型 模型1：角的8字模型 如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ． 结论：∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． O D C B A 模型分析 证法一： ∵∠AOB 是△AOD 的外角，∴∠A ＋∠D ＝∠AOB ．∵∠AOB 是△BOC 的外角， ∴∠B ＋∠C ＝∠AOB ．∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． 证法二： ∵∠A ＋∠D ＋∠AOD ＝180°，∴∠A ＋∠D ＝180°－∠AOD ．∵∠B ＋∠C ＋∠BOC ＝180°， ∴∠B ＋∠C ＝180°－∠BOC ．又∵∠AOD ＝∠BOC ，∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． （1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型． （2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到． 模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝________； 图图① F D C B A E E B C D A 图③ 2 1O A B 图④ G F 12 A B E 解法一：利用角的8字模型．如图③，连接CD ．∵∠BOC 是△BOE 的外角， ∴∠B ＋∠E ＝∠BOC ．∵∠BOC 是△COD 的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC ． ∴∠B ＋∠E ＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A ＋∠B ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠E ＝∠A ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠1＋∠2＝∠A ＋∠ACD ＋∠ADC ＝180°． 解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1是△FCE 的外角，∴∠1＝∠C ＋∠E ． ∵∠2是△GBD 的外角，∴∠2＝∠B ＋∠D ． ∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝∠A ＋∠1＋∠2＝180°．

初中数学 中考复习 第02讲—飞镖模型和8字模型

模型一：角的飞镖模型基础 结论：C B A BDC ∠+∠+∠=∠ 解答： ①方法一：延长BD 交AC 于点E 得证 ②方法二：延长CD 交AB 于点F 得证 ③方法三：延长AD 到在其延长方向上任取一点为点G 得证 总结： ①利用三角形外角的性质证明

模型二：角的8字模型基础 结论：D C B A ∠+∠=∠+∠

解答： ①方法一：三角形内角和得证 】的性质得证②方法二：三角形外角【BOD 总结： 180证明 ①利用三角形内角和等于 推出 ②利用三角形外角的性质证明

角的飞镖模型和8字模型进阶 【例1】如图，则=∠+∠+∠+∠+∠E D C B A 解答： ①方法一：飞镖ACD 得证 180=∠+∠+∠+∠+∠E D C B A ②方法二：8字BECD 得证 180=∠+∠+∠+∠+∠E D C B A 【例2】如图，则=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A

解答：飞镖ABF+飞镖DEC 得证 210=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A 【例3】如图，求=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A 解答：8字模型得证 360=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A 【例4】如图，求=∠+∠+∠+∠D C B A

解答：连接BD 得飞镖BAD+飞镖DBC 得证 220=∠+∠+∠+∠D C B A 【例5】如图，求=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠H G F E D C B A 解答：飞镖EHB+飞镖FAC 得证 360=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠H G F E D C B A 模型三：边的飞镖模型基础 结论：CD BD AC AB +>+

几何必会模型 8字模型与飞镖模型

O D C B A 图12图E A B C D E F D C B A O O 图12图E A B C D E D C B A H G E F D C B 几何必会模型 第一章 8字模型与飞镖模型 模型1 角的“8”字模型 如图所示，AB 、CD 相交于点O ， 连接AD 、BC 。 结论：∠A+∠D=∠B+∠C 。 模型分析 8字模型往往在几何综合 题目中推导角度时用到。 模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 。 热搜精练 1．（1）如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E= 。 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H= 。

D C B A M D C B A O 135E F D C B A 105O O 120 D C B A 模型2 角的飞镖模型 如图所示，有结论： ∠D=∠A+∠B+∠C 。 模型分析 飞镖模型往往在几何综合 题目中推导角度时用到。 模型实例 如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M 。探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系。 热搜精练 1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ； 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D = 。

O D C B A O D C B A O C B A 模型3 边的“8”字模型 如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 。 结论：AC+BD>AD+BC 。 模型实例 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 。 求证：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD ； （2）AB+BC+CD+AD<2AC+2BD. 模型4 边的飞镖模型 如图所示有结论： AB+AC>BD+CD 。

三角形两大模型飞镖模型与8字模型

三角形两大模型 “飞镖”模型 BDC A B C ∠=∠+∠+∠ “8”字模型 A B C D ∠+∠=∠+∠ 思路导航 知识互联网 题型一：三角形的两大模型之角度关系 D C B A A B D C O

【引例】 如图，45B ∠=°，30A ∠=°，25C ∠=°，试求ADC ∠的角度． （二分期中） 【例1】 ⑴如图1，则A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠= . ⑵如图2，则A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠= ． 图1 图2 【例2】 ⑴如图1，求A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠= . ⑵如图2，求A B C D ∠+∠+∠+∠= ． 图1 图2 【例3】 已知：如图34B ∠=°,40D ∠=°，AM ，CM 分别平分BAD ∠和BCD ∠． E F D C B A 典题精练 例题精讲 E D C B A 105°F E D C B A 120?100? D C B A D C B A

⑴ 求M ∠的大小； ⑵ 当B ∠,D ∠为任意角时，探索M ∠与B ∠,D ∠间的数量关系， 并对你的结论加以证明． 【例4】 如图，ADE △和ABC △中，45EAD AED BAC BCA ∠=∠=∠=∠=°， 又有BAD BCF ∠=∠． ⑴求ECF DAC ECA ∠+∠+∠的度数； ⑵判断ED 与FC 的位置关系，并对你的结论加以证明． （四中期中考试） 213 456B C D E G F M F D C E A B

“飞镖”模型 AB AC BD CD +>+ “8”字模型 AB CD AD BC +<+ 【例5】 如图，求证： AB AE BC CD DE +>++. 【例6】 如图，AC 、BD 是四边形ABCD 的对角线，且AC 、BD 相交于点O ．求证： 典题精练 思路导航 题型二：三角形的两大模型之边的关系 D C B A A B D C O O D C B A E D C B A