最小的自然数是1还是0

最小的自然数是1还是0

国际上都是以零位自然数的起点，但中国的华罗庚是数学泰斗，他是研究数论的，数论里面和多课题研究零都很少，以华老的影响力，中国的习惯就不包括零了。1993年后，为了和国际接轨，中国的自然树叶从零开始了。

自然数，即: 0注1、1、2、3、4……

自然数，就是人们数数时产生的数（如“有3个苹果”），所以用来表示物体个数的数叫做自然数。一个物体也没有，当然可以用“0”来表示，所以“0”也是自然数。

自然数除去“0”后，也可用于排序（如“排名第4”）。

自然数更深层的特性，例如素数的分布，属于数论研究范围的课题。

数学家一般以代表以自然数组成的集合。此集合无上界而可数。

自然数由数数目而起。古希腊人最早研究其抽象特性，当中毕达哥拉斯学派更视之为宇宙之基本。其它古文明也对其研究作出极大贡献，尤其以印度对0的接受，为人称道。

零早于公元前400年被巴比伦人用作数码使用。玛雅人于公元200年将零视为数字，但未与其它文明有所交流。现代的观念由印度学者Brahmagupta于公元628年提出，经阿拉伯人传至欧洲。欧洲人开始时仍对零作为数字感到抗拒，认为零不是一个“自然”数。

19世纪末，集合论者给自然数一个较严谨的定义。据此定义，把零（对应于空集）包括于自然数内更为方便。

最小的自然数是

、最小的自然数是（）。 2、在6，0.27，-8，3，，-17，100这八个数中，（）是自然数，（）是整数。 3、，38是2和19的（），（）是（）的因数。 4、（）。 5、有因数3的最大两位数是（）。 6、即是偶数又是质数的数是（）。 7、奇数+奇数=（），偶数+偶数=（），奇数+偶数=（），偶数-奇数=（）。 8、12所有的因数有（）。 9、三个连续偶数的和是24，这三个数是（）（）（）。 10、1既不是（）数，也不是（）数。 11、最小的质数是（），最小的合数是（）。 12、个位上是（）的数，都是5的倍数。 得分二、判断（20分） 1、因为，所以我们说54是倍数，9是因数。 （） 2、自然数1是奇数，但不是质数。（） 3、24的所有因数是：2 3 4 6 12。（） 4、同时有因数2和5的数，一定是偶数。（） 5、一个数的因数个数总比这个数的倍数的个数少。（） 6、凡是质数一定是奇数。（） 7、所有的合数都是偶数。（） 8、9既是奇数又是合数。（） 9、所有9的倍数一定是3的倍数。（） 10、0和1是任何自然数的因数。（） 得分三、选择填空（24分） 1、30有（）个因数。 ① 4 ② 8 ③ 无数 2、2 3 5都是（）。 ① 因数② 奇数③ 质数 3、1 2 5 7都是70的（）。 ① 因数② 质数③ 倍数 4、两个质数相加，和是（） ① 奇数② 偶数③ 不能确定 5、既是奇数又是合数的是（）

① 4 ② 5 ③ 9 6、（）既是48的因数，又是48的倍数。 ① 24 ② 48 ③ 92 7、能同时有因数2 3 5的最小三位数是（）。 ① 30 ② 105 ③ 120 8、要使三位数16□ 能同时是2和3的倍数，□ 里应填（）。 ① 0 ② 2 ③ 4 得分四、回答问题（10分） 一天夜晚，明明一家坐在电灯下吃完饭，忽然停电了，妈妈去开关前把电灯开关连续拉了13下，请问，这时开关是开还是关？如果拉20下呢？

0是不是最小一位数

最小一位数是“0”还是“1” 思考之一：为什么要把0划归自然数。 从历史上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点：一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然数。建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。目前，国外的数学界大部分都规定0是自然数。为了方便于国际交流，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB 3100-3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。即一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 思考之二：最小的一位数是“1”还是“0”？ 0是最小的自然数，那么最小的一位数是“1”还是“0”？在0没有归入自然数以前大家都很清楚，最小的一位数是1。那么，现在0也成为自然数了，最小的一位数还是1吗？要回答这个问题须从“位数”和“数位”说起。位数是指一个整数所占有数位的个数。把占有一个数位的数叫一位数，占有两个数位的数叫两位数……例如，48076是五位数，因为它占有五个数位，这里“0”占有数位。 因为，0表示一个物体也没有，在记数法中是表示空位的一个符号，如3005里“0”就分别表示这个数的十位、百位、都是空位。这次调整虽然将“0”划归自然数，然而对几位数的概念并没改变。关于“几位数”是这样定义的“只用一个有效数字表示的数，叫做一位数，只用两个有效数字，其中左边第一个数字是有效数字来表示的数就叫做两位数……”假设0也算作一位数的话，那么最小的两位数是“10”还是“00”呢？那么最小的三位数、四位数……又是多少呢？ 《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98页“关于几位数”是这样叙述的：“通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。例如，2，含有一个数位的数，叫做一位数；30含有两个数位的数，叫做两位数；405含有三个数位的数，叫做三位数……但是要注意：一般不说0是几位数。 记数法里有个规定：一个数的最高位不能是0。为什么要这样规定呢？因为若没有这样的规定，0就是一位数，由此可以得出最小的两位数是00，最小的三位数是000，这样的结论显然是不对的。不仅这样，若没有这样的规定，对一个数也就无法确定它是几位数了。例如，15是两位数，“015”就变成了三位数，“0015”就变成了四位数。这样，同一个数我们可以随意称它为几位数，“位数”这一概念的存在也就没有必要了。因此，一个数的最高位不能“0”。也就是说，最小的一位数是1，而不是0。 至于日常生活中、生产工作中遇到的数，如004785、043等，它是在特定条件下用来表示特定意义的。例如，电话号码0074816，它表示当地的电话容量不足一千万，最大号码是七个数字组成的，但不能说0074816是一个七位数。 所谓最大的几位数，最小的几位数，通常也是在非零自然数有范围来说。所以，最大一位数是9，最小一位数是1；最大两位数是99，最小两位数是10；最大三位数是999，最小三位数是100……”

最小的余数是1还是0

最小的余数是1还是0？ 最小的余数是1还是0？这个问题你选择哪个答案？当除数是6，余数可以是几？你是填0——5，还是1——5？这都涉及余数可不可以是0的问题。教材中余数是0被认为是没有余数，1被认为是最小的余数。但实验教材有不同的理解。下面的文章我觉得在所有的参考资料中说得是比较清楚明白的，推荐给同仁们参考。 【转】浅谈在整数除法中余数可以为零 一、困扰教师的问题 不少小学数学教师问过我这样一个问题:“在整数除法中,余数可不可以为0?”这个问题早有定论,于是我不假思索地肯定作答:“余数当然可以为0。”不料对于这一答案,他们并不同意,其理由如下: 第一,人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》,从一年级上册到六年级下册,里面均无“余数可以为0”的表述。 第二,《现代汉语词典》(修订本)(商务印书馆, 1996 年)第1553页对“余数”一词的解释为:“整数除法中,被除数未被除数整除所剩的大于0而小于除数的部分。如27÷6=4…3。即不完全商是4,余数是3。”这就表明余数不能为0。 在数学课本中找不到“余数可以为0”的论述,而在词典中却找到了“余数不能为0”的证据,难怪让他们对我的答案持怀疑态度。面对这样一个困扰小学数学界同仁的问题,该怎样来正本清源呢? 我仔细地查阅了人教版全套小学数学课本,确实没找到“余数可以为0”的表述,只在三年级下册第26页练习六第3题的指令性语言

中,发现了三处“余数为0”的表述。我知道,这样的表述既不是出现在正文中,又没有说明道理,不足以成为论据。课本中没有,看来只有通过合理思辨和相关考证来达到为小学同仁解惑之目的了。 二、解惑所需的思辨 1、要用对立统一的观点看待0 众所周知,当盘子中连一个桃子都没有时,我们就说这盘中桃子的个数为0。从这个意义上讲,0是空集的基数,0表示“没有”。然而,0又是一个确定的数,它是自然数列的起始数,它既不是正数,也不是负数,它是唯一的中性数。从这个意义上讲,0又表示“有”。这一点不难理解。比方说,小明在黑板上写了一个“0”,你总不能说他什么都没写吧!再比方说,某地某时的气温为0摄氏度,你总不能说该地该时没有温度吧!所以,我们应该用对立统一的辩证观点看待0,懂得0既可表示“无”,又可表示“有”。用这一观点考察整数除法,我们不难发现,当15÷5时,得到整数商3,既可以说“没有余数”,也可以说“余数为0”,这两种说法是完全等价的,因而都是正确的。 2、要用发展变化的观点看待概念间的关系 人们对数学概念的认识并非一成不变的,而是处于不断发展变化之中的。例如,“整数”与“分数”最初是两个并列的概念,它们相互排斥,泾渭分明,不容混淆。然而,出于数学自身发展的需要,后来,人们又把整数看做是分母为1,分子为该整数的假分数,如3=3/1,65=65/1。这样一来,“分数”的外延就扩大了,“整数”与“分数”的关系也由并列关系转变为包含关系。“整数”成了“分数”的

最小的一位数是1还是0

最小的一位数是1还是0？ 要回答这个问题须从“位数”和“数位”说起。位数是指一个整数所占有数位的个数。把占有一个数位的数叫一位数，占有两个数位的数叫两位数……例如，48076是五位数，因为它占有五个数位，这里“0”占有数位。 0能不能称为一位数呢？不能。因为记数法里有个规定：一个数的最高位不能是0。为什么要这样规定呢？因为若没有这样的规定，0就是一位数，由此可以得出最小的两位数是00，最小的三位数是000，这样的结论显然是不对的。不仅这样，若没有这样的规定，对一个数也就无法确定它是几位数了。例如，15是两位数，“015”就变成了三位数，“0015”就变成了四位数。这样，同一个数我们可以随意称它为几位数，“位数”这一概念的存在也就没有必要了。因此，一个数的最高位不能“0”。也就是说，最小的一位数是1，而不是0。 至于日常生活中、生产工作中遇到的数，如004785、043等，它是在特定条件下用来表示特定意义的。例如，电话号码0074816，它表示当地的电话容量不足一千万，最大号码是七个数字组成的，但不能说0074816是一个七位数。 0是最小的自然数，那么最小的一位数是“1”还是“0”？在0没有归入自然数以前大家都很清楚，最小的一位数是1。那么，现在0也成为自然数了，最小的一位数还是1吗？这是许多教师提出的疑问，笔者认为最小的一位数还是1。 因为，0表示一个物体也没有，在记数法中是表示空位的一个符号，如3005里“0”就分别表示这个数的十位、百位、都是空位。这次调整虽然将“0”划归自然数，然而对几位数的概念并没改变。关于“几位数”是这样定义的“只用一个有效数字表示的数，叫做一位数，只用两个有效数字，其中左边第一个数字是有效数字来表示的数就叫做两位数……”假设0也算作一位数的话，那么最小的两位数是“10”还是“00”呢？那么最小的 三位数、四位数……又是多少呢？ <九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98页“关于几位数”是这样叙述的：“通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。例如，2，含有一个数位的数，叫做一位数；30含有两个数位的数，叫做两位数；405含有三个数位的数，叫做三位数……但是要注意：一般不说0是几位数。 所谓最大的几位数，最小的几位数，通常也是在非零自然数有范围来说。所以，最大一位数是9，最小一位数是1；最大两位数是99，最小两位数是10；最大三位数是999，最小三位数是100……” 四年级上册的教师用书中关于数的一些内容也能解决这个问题。1．自然数.在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3，4，5，…是自然数。一个物体也没有，用0表示，0也是自然数。0是自然数中最小的一个。任何其他的自然数都是由若干个1合并而成的。因此，1是自然数的单位。0加1得1，1加1得2，2加1得3，3加1得4……这样继续下去，可以得到任意一个自然数。自然数O，1，2，3，4，5，…依照后面一个自然数比前面一个多1的顺序排列起来，这样由全体自然数依次排列成的一列数，叫做自然数列。在自然数列里，最前面的一个自然数是“0”，没有最后一个自然数。 2．关于数的进位制 一般地说，进率是几，就叫做几进位制。例如有二进位制、八进位制、十进位制、十二进位制、六十进位制等。我们通常是用“十进位制计数法”，它的特点是相邻两个单位之间的进率都是“十”（即满十进一），用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，0和位值原则结合起来记数。如一百三十五记作135。 电子计算机一般是用“二进位制”表示数。进率是“2”（即满二进一），只用两个数字0和

0是最小的一位数吗

"0"是最小的一位数吗？ 无论现行教材，还是资深教师，对于“0”是不是一位数的问题都很模糊。持一位数观点的人认为：根据位数的概念，一个自然数含有几个数位即由几个数字记出，就是几位数。“0”是自然数，由一个数字记出，当然就是一位数。持反对观点的人认为，甚至知名教学参考书都认为：0不是一位数。他们的理由是，“0”要是一位数，那“00”就是两位数，“000”就是三位数......这与“位数越多，这个自然数就越大”的自然数大小判定方法相矛盾。所以，他们认为，“0”不是一位数，更不是最小的一位数，最小的一位数是1。 本人认为，“0”是一位数，而且是自然数中最小的一位数。 现行教材规定，0也是自然数。0既然是自然数，就不能没有位数，因为位数代表的是一个自然数包含的数字个数，或者说含有几个数位。说“0”是一个没有位数的自然数，就等于说“0”不包含任何数字，我觉得交代不了学生。根据位数的定义，0这个自然数由一个数字组成，理应为一位数。上文提到反对派给出的理由：“0”要是一位数，那“00”就是两位数，“000”就是三位数......不难看出，这种推理是错误的，错在这个推理没有建立在正确的依据之上。我们研究一个数是一位数还是几位数，是对整数而言，小学范围内，是对非负整数即自然数而言，“00”、“000”就不是一个数，更不是一个自然数，在自然数集合中是找不到它们这些东东的，所以，它们只能被看作一个号码，对于一个不是自然数的号码，位数这一概念是不能赋予它的。也就不能因为“0”是一位数而推理“00”、“000”是两位数、三位数。 诸如：02、003、034这样的号码，也不能因为“0”是一位数而赋予它们位数的概念，因为它们只是个号码，不是自然数，在自然数里同样找不到。 对于上述观点，有人可能会又出难题： 345—345用竖式计算时，位数对齐，个位减个位，十位减十位，百位减百位，得数位置上是000，这个“000”不是计算得到的一个数吗？还有：243——233用竖式计算时，百位相减为“0”，得数位置上是010，这个010不也是计算得到的一个数吗？如果0是一位数，这两个得数就是三位数。对于这样的问题，我们教材中有规定：一位以上的整数最左端数字不能是0，自然数中也就没有一个多位数最左端的数字是0。如果不用竖式计算，一眼就看出，上面两个式字计算结果就是0和10，谁也不会在前面给它们添0。竖式计算是计算的一种方法和过程，用竖式计算时，在对应的位置把0写出来是为了清晰、规范，但是在横式里填写最后结果的时候，最左端的0已经没有了意义，不能写出来，写出来就不是一个“数”了。 综上所说，大可不必因“0”是一位数，而担心把“00”、“000”...... 看成两位数、三位数。所以，不能因为一个错误的推理把“0”是一位数的名分给抹掉，让一个内涵丰富多彩的数成了自然数里唯一一个没有位数的怪物。

小学数学课本改版 0成为自然数教授自叹水平低

小学数学课本改版0成为自然数教授自叹 水平低 1：“以前我是最小的自然数，孩子们都记得我，后来我的名号被你夺走了，我也渐渐地被淡忘了。” 0：“你以为我想啊，他们说改就改，有没有考虑过我的感受？”以上对话缘于一个有争议的小学生数学题。“最小的自然数是几？如您知道请务必回答，因我家里4年级同学回答‘1’被老师严厉批评遭罚。”2月24日，一名家长在微博上向数学教授蔡天新发问引发热议。 【疑问】数学课本怎么改了 “小时候，老师告诉我，0不是自然数，最小的自然数是1；长大后，有人告诉我，冥王星不再是九大行星之一，而0是最小的自然数了……”困惑的不仅仅是在微博上发问的70后家长，还有亲历教材更迭的80后。 “有一次辅导儿子作业，我记得最小的自然数是1，可儿子说是0。咨询了一名当数学老师的同学，说1改0改了10年了，这是为什么？”家长李胜感慨，教材也可以随便改？ 湖南师范大学数计学院10级辅导员李老师告诉记者，有一回学生们去长郡中学实习，同样的问题也引发了争议，高中生坚持是0，大学生坚持是1，数计院老师也说，大学生教错了。 唐福全是一名80后，他清楚地记得小学课本说1是最小的

自然数，0是最小整数，后来老师说新教材规定，0是最小的自然数。“那一年是2019年，国家新课程改革，我正好读初一。” 【原因】2019年新教材将1改为0 长沙市博才咸嘉小学教研室莫主任是一名资深小学数学老师，她说，2019年前，长沙小学生用的教材有北师大版的、人教版的、湘教版的，都规定1是最小的自然数。新版认为，没有也是一种客观存在，所以0才是最小的自然数。 据了解，新中国成立以后，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》(GB3100—3102—93)《量和单位》(11—2.9)第311页，规定自然数包括0。所以，1993年后的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改，0成了最小的自然数。 【争议】数学教授自叹水平低 “全世界数学家公认0不是自然数，《现代汉语词典》和《大英百科全书》也这么定义的，只有人教版《数学》教材例外。”对于微博上家长的提问，数学教授蔡天新如是回答，“研究者可按需定义，但对中小学生来说，自然数从1开始为好。”与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小

0为什么是最小的自然数

0为什么是最小的自然数 0是自然数最小的一位数是1. 随着九年义务教育小学数学教材（试用修订版），把0划归自然数后，一些数的概念是否发生变化，引起小学了数学教师的关注。无论是在日常的教研活动，还是教师私下交流，或是因特网上的教育论坛，都有许多教师提出疑问，引发了大家的思考。 思考之一：为什么要把0划归自然数从历史上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点：一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然数。建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。目前，国外的数学界大部分都规定0是自然数。为了方便于国际交流，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB 3100-3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。即一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 思考之二：最小的一位数是“1”还是“0”？ 0是最小的自然数，那么最小的一位数是“1”还是“0”？在0没有归入自然数以前大家都很清楚，

最小的一位数是1。那么，现在0也成为自然数了，最小的一位数还是1吗？这是许多教师提出的疑问，笔者认为最小的一位数还是1。 因为，0表示一个物体也没有，在记数法中是表示空位的一个符号，如3005里“0”就分别表示这个数的十位、百位、都是空位。这次调整虽然将“0”划归自然数，然而对几位数的概念并没改变。关于“几位数”是这样定义的“只用一个有效数字表示的数，叫做一位数，只用两个有效数字，其中左边第一个数字是有效数字来表示的数就叫做两位数……”假设0也算作一位数的话，那么最小的两位数是“10”还是“00”呢？那么最小的三位数、四位数……又是多少呢？ 《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98页“关于几位数”是这样叙述的：“通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。例如，2，含有一个数位的数，叫做一位数；30含有两个数位的数，叫做两位数；405含有三个数位的数，叫做三位数……但是要注意：一般不说0是几位数。 所谓最大的几位数，最小的几位数，通常也是在非零自然数有范围来说。所以，最大一位数是9，最小一位数是1；最大两位数是99，最小两位数是10；

人教版-数学-一年级上册-“0”是自然数的问题

小学-数学-上册-打印版 “0”是自然数的问题 从历史上看，国内和国外对于0是不是自然数历来有两种规定：一种规定0是自然数，另一种规定0不是自然数。建国以来，我们国家的中小学教材一直规定自然数集合不包括0。现在，国外的数学界，大部分都是规定0是自然数，为了国际交流的方便，《国家标准》中规定，自然数集包括0。因此，在我们新出版的教材中，按照《国家标准》进行了这样的处理，原来的自然数集合现在称为正整数集。同时，我们也按照国家标准的规定规范使用了一些数学符号的表示方法。 从使用上看，规定自然数集合是否包括0并无太大影响。作为序数，从0开始和从1开始是一样的；以前我们所说的n∈N，现在只要说n是正整数就可以了 除以的问题 0不能做除数（分母、后项）的原因 （1）0不能做除数（分母、后项）的数学原因： *1如果除数（分母、后项）是0，被除数是非零自然数时，商不存在。这是由于任何数乘0都不会得出非零自然数。 *2如果被除数除数（分母、后项）都等于0，在这种情况下，商不唯一，可以是任何数。这是由于任何数乘0都等于0。 （2）0不能做除数的物理原因： 一个正整数x (被除数）除以另一个正整数n（除数）意味着将被除数等分n份后每一份的大小。 除以0的物理意义就是要把一个物体等分成0份，也就是将一个存在的物体完全消灭，使它在宇宙中消失。但是，在一般的物理电学计算中，把0一般当作无限小。 爱因斯坦相对论向我们揭示了物质和能量的关系，这个理论说明整个宇宙中的物质和能量是守恒的，根本不可能将一个物体完全毁灭，有时候一个物体看起来消失了，其实是转化成了能量。 除以0从物理意义看违背质能量守恒定理。 2. 假设除以0有意义的推断 1/0的大小的推断 若除以0是有意义的，那么是多大呢？ 如果1除以一个越来越小的正数，得到的是一个越来越大的正数。 1/0.1=10 1/0.01=100 1/0.001=1000 …... 也就是说若1/n=y n>0 y>0 当n 越趋近于0，y越来越大。 同理，如果1除以一个越来越大的负数，得到的是一个越来越小的负数。 1/-0.1=-10 1/-0.01=-100 1/-0.001=-1000 …... 也就是说若1/n=y n<0 y<0 当n越趋近于0, y越来越小。 不过当n=0 时，y并不等于正无穷或负无穷(从正负两个不同角度推得) 1/0这个数大于无限大，1/0小于无限小，1/0是一个极限数。这个极限数1/0 是极限大也是极限小，是所有实数中最大的数也是最小的，极限大和极限小统一于1/0。 小学-数学-上册-打印版

0是自然数 最小的一位数是1

0是自然数最小的一位数是1 随着九年义务教育小学数学教材（试用修订版），把0划归自然数后，一些数的概念是否发生变化，引起小学了数学教师的关注。无论是在日常的教研活动，还是教师私下交流，或是因特网上的教育论坛，都有许多教师提出疑问，引发了大家的思考。 思考之一：为什么要把0划归自然数 从历史上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点：一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然数。建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。目前，国外的数学界大部分都规定0是自然数。为了方便于国际交流，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB3100-3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。即一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 思考之二：最小的一位数是“1”还是“0”？ 0是最小的自然数，那么最小的一位数是“1”还是“0”？在0没有归入自然数以前大家都很清楚，最小的一位数是1。那么，现在0也成为自然数了，最小的一位数还是1吗？这是许多教师提出的疑问，笔者认为最小的一位数还是1。 因为，0表示一个物体也没有，在记数法中是表示空位的一个符号，如3005里“0”就分别表示这个数的十位、百位、都是空位。这次调整虽然将“0”划归自然数，然而对几位数的概念并没改变。关于“几位数”是这样定义的“只用一个有效数字表示的数，叫做一位数，只用两个有效数字，其中左边第一个数字是有效数字来表示的数就叫做两位数……”假设0也算作一位数的话，那么最小的两位数是“10”还是“00”呢？那么最小的三位数、四位数……又是多少呢？ 《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98页“关于几位数”是这样叙述的：“通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。例如，2，含有一个数位的数，叫做一位数；30含有两个数位的数，叫做两位数；405含有三个数位的数，叫做三位数……但是要注意：一般不说0是几位数。 所谓最大的几位数，最小的几位数，通常也是在非零自然数有范围来说。所以，最大一位数是9，最小一位数是1；最大两位数是99，最小两位数是10；最大三位数是999，最小三位数是100……” 综上所述，“0”虽然是最小的自然数，但仍然不能称为“一位数”，更不能称为最小的一位数。 思考之三：自然数的计数单位还是“1”吗？ 大家都知道，0是自然数中最小的一个。0加1得1，1加1得2 ，2加1得3，……这样继续下去可以得到任意一个自然数。而从自然数的排列顺序可知，后面一个自然数比前面一个自然数多1。因此，任何一个自然数都是由若干个1合并而成，所以1是自然数的单位。0可以看成是由0个1组成的自然数。 思考之四：0是其它非零自然数的倍数吗？ 《九年义务教育六年制小学数学》第十册中，关于“数的整除”及“约数和倍数”的定义并未做任何改变，教材第54页就有这样的叙述：“因为0也能被2整除，所以0也是偶数”。以此类推，0能被所有非零自然数整除，根据约数倍数的定义，0是任何非零自然数的倍数，任何非零自然数都是0的约数。但考虑到研究

0是否是自然数

现在,已经明确地把数"0"作为一个自然数看待.为什么?听了很多的解释,大部分的解释是把这看作一个"规定",就是说可以把"0,1,2,…,ｎ,…"作为自然数,也可以把"1,2,…,ｎ,…"做为自然数.显然,这样的"解释"是不够的.在这儿谈谈我们的理解,供老师和同学参考. 首先,应该从自然数的功能说起,自然数是人类最早用来描述周围世界"数量关系"的概念,几乎从一开始就具有三个基本功能,一个是帮人类来刻画某一类"东西"的多少,用现代的数学语言来说就是描述一个有限集合的基数(性质);另一个就是刻画一类"事物"的顺序,"第一","第二",……,用现代的数学语言来说,描述一个有限集合中元素的"顺序"性质.这就是说,自然数既具有用来描述集合(有限)元素多少的基数性质,又具有描述集合元素顺序的序数性质.或者可以进一步说,自然数既是基数,又是序数."自然数"的第三个基本功能是"运算功能".自然数可以做加法运算和乘法运算.在此基础上,随着对运算的深入研究使得我们一步一步地建立起了有理数实数和它们的运算. 我们知道"空集"是集合中一种最主要也是最基本的集合,也是我们在描述周围现象中经常用到的集合,在数学中更是经常要用的.例如:所有不能表示为两个素数之和的偶数集合是空集吗?这就是哥德巴赫猜想.一般地说,集合常常被分为有限集合和无限集合两类.有限集合是含有有限元素的集合.像学校中人的集合,学校中男人的集合,学校中女人的集合,学校中老师的集合和学生的集合,某个一元二次方程解的集合等等都是有限集合;无限集合是含有的元素不是有限的集合.像自然数集合、有理数集合、实数集合、复数集合等等.把"空集"作为一个有限集是很自然的.并且我们很容易理解应该?0"来描述"空集"中含元素的多少. 有了前面这些说明,我们就容易理解这样一个事实:如果把"0"作为一个自然数,那么"所有自然数"就可以完整地完成刻画"有限集合元素多少"的"任务"了.而没有"0"的"所有自然数"总是有"缺陷",因为没有自然数可以表示"空集"所含元素的多少.这样,我们从"自然数的一种基本功能"方面说明了把"0"作为自然数的好处. 我们还必须说明另一个问题:把"0"作为自然数,是否会影响自然数的"序数功能"和"运算功能"?回答是不会的.不仅不会,还会使"自然数"的这两功能更加"完整".先看原来没有"0"的自然数,我们都知道不同自然数有大小之分,8大于 5,1000大于999,按这样的大小,所有自然数构成了一个"有顺序"的集合.即若自然数ｎ1大于ｎ2,ｎ2大于ｎ3,则自然数ｎ1大于ｎ3,我们称之为"传递性".另外,对于任何两个自然数ｎ1和ｎ2,或者ｎ1大于ｎ2,或者ｎ2大于ｎ1,或者ｎ1等于ｎ2,即"三歧性".一般地说,我们把具有传递性和三歧性的集合称之为线性序集.在这里我们不想用非常规范的集合论语言叙述这些性质,这样会增加中学老师和中学生阅读的困难.希望对这部分内容有进一步了解的读者可以选读任何一本"集合论"的著作.我们很容易理解有理数集,实数集都是线性序集(按照通常的顺序).即若有理数(实数)ｒ1大于有理数(实数)ｒ2,而ｒ2大于有理数(实数)ｒ3,则ｒ1大于ｒ3(传递性);另外,对任意两个有理数(实数)ｒ1和ｒ2,则或ｒ1>ｒ2,或ｒ2>ｒ1, 或ｒ1=ｒ2(三歧性).自然数在"顺序"方面的性质,除了上述性质之外,还有一种它所具有的特殊的性质.在陈述这一基本性质之前,有必要说明一点,如我们前面所说,"自然数"具有三种基本功能,或说三种基本性质,我们在有些时