赛程安排优化模型
张智勇 梁星 赖新峰
摘 要
体育竞赛在日趋紧张的现代生活中已被人们提到了越来越重要的位置。中国申办2008年奥运会的成功更加提升了体育在人们生活中的份量。在对抗性强的单循环比赛中，赛程安排的不同，对公平性影响很大。故本文集中精力讨论的问题是如何编制出最优的赛程安排方案，尽量使得对每支球队来说都是公平合理的。
对于第一问，我们用计算机编程，发现在满足限制条件“每两场比赛中间相隔场次数至少为1”的情形下，总的编排方案共有240种，并且得出如下结论：
定理1：当参赛队数5=n 时满足限制条件“每两场比赛中间都至少相隔一场”的每种赛程安排都具有相同的公平性。
第二问，当参赛队为偶数时，我们可以用轮转法Ⅰ来编排赛程方案。并且得到如下两个定理。
定理2：当参赛队为)2(2≥=k k n 时，各队每两场比赛中间至少间隔2
4
2?k 场比赛的排法是存在的。
定理3：当参赛队为)2(2≥=k k n 时，各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限是
2
4
2?k 。 当参赛队为奇数时，本文给出了三种编排方法：蛇形法，轮转法Ⅱ，轮转法Ⅲ。这三种方法中，蛇形法的操作最简单，但是它的推广性较差，只适用于当5=n 的情形，还没有找到当参赛队n 多于5的赛程最优编排方法。轮转法Ⅱ的操作简便、规律性强，对于任意参赛队数都可很方便地编出赛程方案，但是这种方法编排出的方案对于奇数支球队来说不是最优方案，不过，它仅仅只比上限少1。对于参赛球队较多时，这也是一种很好的编排方法。轮转法Ⅲ操作性比前两种方案稍显复杂，但是对于有任意奇数支参赛队的比赛，它都能编出一种最优的方案。对于奇数情形，本文得到如下结论：
定理5：当参赛队为)1(12≥+=k k n 时，每个队相邻两场比赛的最小间隔不可能超过
1?k 。
定理6：当参赛队为)1(12≥+=k k n 时，各队每两场比赛中间至少间隔1?k 场比赛的排法是存在的。
除了题中给出的用“每两场比赛中间得到休整时间是否均等”这一指标来衡量比赛的公平性外，本模型还采用了：“各队的相邻两场比赛的场次数的和”和“方差”两个指标来衡量赛程安排的优劣。
正文
一、 问题的提出
体育运动日益成为国家、地区社会生活中的重要组成部分，体育运动赛事越来越频繁。每项体育比赛都需要编制赛程安排，大型比赛的赛程安排是一项繁琐的工作。赛程安排的优劣对各参赛队水平的发挥影响重大，为了使比赛公正、公平，我们在编制赛程安排时应使得对每个参赛队尽可能平等。比赛的公平性表现在很多方面，针对赛程安排方面，比如，比赛的先后次序以及比赛期间每两场比赛间休整时间的长短对比赛影响重大。对于对抗性强、体力消耗大比赛，比赛期间的休整对一个参赛队状态的调整至关重要。因此，充分、公正、公平的反映各参赛队的实力，尽管我们无法做到赛程安排对每个队完全平等，然而我们应该尽量使竞赛公平。在此背景下出现下面的问题：
现有五支球队在同一块场地上进行单循环赛，共要进行10场比赛。如何安排赛程使对各队来说都尽量公平呢？下面是随便安排的一个赛程：记5支球队为A，B，C，D，E，在下表左半部分的右上三角的10个空格中，随手填上1，2，…10，就得到一个赛程，即第1场A对B，第2场B对C，…，第10场C对E。为方便起见将这些数字沿对角线对称地填入左下三角。
这个赛程的公平性如何呢，不妨只看看各队每两场比赛中间得到的休整时间是否均等。表的右半部分是各队每两场比赛间相隔的场次数，显然这个赛程对A，E有利，对D则不公平。
A B C D E每两场比赛间相隔场次数
2
2,
A X 1 9 361,
B 1 X 2 580, 2, 2
C 9 2 X7104, 1, 0
D 3 5 7 X40, 0, 1
E 6 8 104X1, 1, 1
从上面的例子出发讨论以下问题：
（1） 对于5支球队的比赛，给出一个各队每两场比赛中间都至少相隔一场的赛程。
（2） n支球队比赛时，各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限是多少。
（3） 在达到（2）的上限的条件下，给出n=8，n=9的赛程，并说明它们的编制过程。
（4） 除了每两场比赛间相隔场次数这一指标外，你还能给出哪些指标来衡量一个赛程的优劣，并说明（3）中给出的赛程达到这些指标的程度。
二、 问题分析
本题所要考虑的就是如何安排赛程，使得对参赛的各队都尽可能的公平、公正。对于第一问，我们要解决的问题是：（1）符合限制条件“每两场比赛中间都至少相隔一场的赛程”的编排方案总共有多少种？（2）给出一种最优的并且容易编排的赛程方案。
赛程要求每两场比赛中间都至少相隔一场的赛程，且公平性仅依据各队每两场比赛中间得到的休整时间是否均等来衡量。
第二问，当参赛球队是2、3、4支时，每两场比赛中间相隔场次数的上限显然是0，即一定存在某个队连续比赛的情况出现。当参赛球队数n 增加时，上限数会逐渐按某种关系随之增加，这种关系是这个题目的关键。这种关系一旦找到，第三问就迎刃而解。
第四问，仅用各队每两场比赛中间得到的休整时间是否均等这一个指标不能全面反映比赛公平性，还需要其他的指标来更全面的度量。
三、 模型的假设
1． 假设任意一场比赛都是在条件完全相同的球场上进行比赛，不会因场地的条件的不
同而造成不公平的情形发生；并且每支球队对场地的适应性均是一样的。 2． 假设相邻两场比赛间隔的时间是相同的。 3． 假设比赛不会因为天气等原因而取消。
4． 假设循环赛开赛到每支球队首次出场之间的时间间隔的长短不影响比赛的公平性，
每支球队的最后一场比赛到赛程结束之间的时间间隔长短也不影响比赛的公平性。 5． 假设每场比赛中队员的体力消耗均等。
四、 模型的建立与求解
第一问：
n 支球队进行单循环比赛，比赛的总场次数为2
)
1(2
?=
n n C n ；那么显然5支球队进行单循环比赛，比赛的总场次数为102
)
15(52
5=??=
C 。 E
D C B A ,,,,五支球队进行比赛，无论哪两支球队先进行比赛，都是等价的。不失一般
性，假设B A ,两支球队先行比赛，由于每两场比赛中间都至少相隔一场比赛，因此第二场比赛中的球队只能是E D C ,,三支球队中的两支；同样地，不妨假设是D C ,两支球队进行比赛，第三场比赛中的球队只能是E D A ,,三支中的两支，依此类推。运用MATLAB 软件编程求解出符合条件总的比赛场数为240（程序见附录1）
，从中挑选一种方案即可。
根据上述分析，第一场A ，B 先行比赛，第二场由剩下的E D C ,,三支球队中的任意两支比赛，共有三种选择：CE DE CD 、、。对于选择CD ，第一场比赛只能由A ，B ，E 中的任意两支球队（除AB 外）。根据这种思路，我们用计算机穷举，发现只有两种基本的方案（如下表）：
方案一
方案二
对于每种基本的方案，E D C B A 、、、、 五支球队可任取五种不同间隔场数中的一种，共有5！种，故总的比赛场数为240种，与计算机枚举结果相同。
我们可以发现，两种基本方案的每两场比赛间相隔场数，总有一个队的每两场比赛间相隔场数都为2；有两个队的每两场比赛间相隔场数为两个1和一个2；有一个队的每两场比赛间相隔场数为两个2和一个1；有一个队的每两场比赛间相隔场数都为1。由此可得如下结论：
定理1：当参赛队数n=5时满足限制条件“每两场比赛中间都至少相隔一场”的每种赛程安排具有相同的公平性。
如果采用编程枚举的方法来得出其中的一种方案，这种方法的实际操作性不强，不容易实现。下面针对n=5给出一种操作性强的“蛇行编排法”，具体程序见附录2。
首先，5个参赛队抽签，再按如下方式排序列
12345，12345，13524，13524
最后顺序将每两个相邻的球队进行比赛就得出一个满足要求的赛程安排。如下表：
A B C D E 每两场比赛间相隔场次数 A X 1 6 9 3 1，2，2 B 1 X 4 7 10 2，2，2 C 6 4 X 2 8 1，1，1 D 9 7 2 X 5 2，1，1 E 3 10 8 5 X 1，2，1
A B C D E 每两场比赛间相隔场次数 A X
1
7 10 4
2，2，2 B 1 X 3 8 6 1，2，1 C 7 7 X 5 9 1，1，1 D 10
8
5
X
2
2，2，1 E 4 6 9 2 X
1，1，2
五支球队赛程安排
第二问
对于参赛队为n 的一般情形，讨论各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限。我们对n 为奇数和偶数两种情形分开讨论。 1、n 为偶数的情形
我们给出一种赛程安排的方法——轮转法Ⅰ，其编排思路如下：
先将“1”号固定在左上角，其他各号按大小顺序沿逆时针方向依次捉对排列，这样排出第一轮的对阵情况；然后，“1”号固定左上角不动，其他各号每轮按逆时针方向转动一个号位，从而排出以后各轮的全部对阵情况。以6支参赛球队为例，其竞赛次序及编排方法如下表：
6支参赛球队的竞赛次序及编排方法
第一轮
第二轮
第三轮
第四轮
第五轮
61? 51? 41?
31? 21?
52? 46? 35? 24?
63? 43?
32?
26?
65?
54?
其中每个参赛队比赛期间的间隔分布如下： 参赛队 1 2 3 4 5 6 间隔分布 2,2,2,2 3,1,1,3 2,1,1,3 1,1,3,3 1,3,3,2 3,3,2,1
我们利用MATLAB 软件编程实现轮转法Ⅰ（程序见附录3）。从程序运行结果发现这种编排方法的上限m 与参赛队数存在如下关系：
参赛队数n 4 6 8 10 … 50 … 100 上限m 0 1 2 3 …
23
…
48
由此我们猜想有下面的结论：
A B C D E 每两场比赛间相隔场次数A X 1 6 8 ３ 1，2，1 B 1 X 4 10 7 2，2，2 C 6
4
X ２ 9 1，1，2 D 8 10 2 X 5 2，2，1 E 3
7
9
5
X
1，1，1
定理2：当)2(2≥=k k n 时，各队每两场比赛中间至少间隔
2
4
2?k 场比赛的排法是存在的。 证明：利用轮转法Ⅰ，当k n 2=时，每轮比赛k 场，共进行12?k 轮比赛。我们要考
虑各队每相邻两场比赛中间间隔的次数x ，显然相邻两轮之间比赛的间隔次数小于不相邻两轮之间的间隔次数，故我们只考虑相邻两轮之间的情况，即第j )221(?≤≤k j 轮和第
1+j )1211(?≤+≤k j 轮。对于第j 轮第一列的第i )1(k i ≤≤行元素，当1=i 时，显然
间隔数1?=k x （因为1固定在左上角），当1 k i =时，轮转后在第1+j 轮中出现在第二列第i 行的位置上，中间的相隔场次数1?=k x 。 再考虑第j 轮第二列第)1(k i i ≤≤行元素。当1=i 时，轮转后出现在第1+j 轮第一列第2行的位置上，中间的间隔场次数为1?k 。当k i ≤<1时，则出现在第1+j 轮第二列的第1?i 行上，中间的相隔次数为2)2(?=?+?k i i k 。 综上所述，每个队的任意相邻两场比赛的间隔至少为2?k ，命题得证。 定理3：当)2(2≥=k k n 时，各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限是2 4 2?k 。 证明： 采用反证法。假设存在相隔场次数大于2?k 的赛程安排，不妨设为1?k ，对 于比1?k 更大情况类似。 我们首先将这k 2个参赛队两两相配，第一轮有k 场比赛。考虑到相隔的场次数至少为 1?k ，因此在第一轮比赛中k 2个参赛队应全部出场，不妨设第一轮安排为1—2，3—4，…， 12?k —k 2，在下一轮比赛中，第一场比赛只能安排1—2，否则就会出现间隔小于1?k 情 况，而安排1—2比赛又与单循环比赛相矛盾。故命题成立。 2、n 为奇数的情形 当参赛方为奇数时,在末尾补“0”,使号码位置成为偶数。凡每轮与“0”号捉对的参赛者,即该轮比赛“轮空”。利用上述轮转法就可以得到奇数队比赛的赛程安排，这种轮转法我们称为轮转法Ⅱ。以7个参赛队为例,其竞赛次序及编排方法如下： 7个参赛队的竞赛次序及编排方法 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 第七轮 01? 71? 61? 51? 41? 31? 21? 72? 60? 57? 46? 35? 24? 03? 63? 52? 40? 37? 26? 05? 74? 54? 43? 32? 20? 07? 76? 65? 划去轮空的比赛场次，结合定理2可以得到如下结论： 定理4：若参加比赛的球队是奇数n=2k+1(k=1,2,…)，则轮转法Ⅱ安排的赛程中的间隔数为k-2。 显然，这个方案不是最优方案。因为当n=5时，用这种方法得到的间隔数为0，及会出现连续比赛的情况，而在第一问中我们已经得到间隔为1的排法。由此我们还要寻找更好的编排方法。 下面给出另一种编排方法，我们称为“1”规律变化的轮转法，简称为轮转法Ⅲ。 对于n 支球队，共可分为n 轮进行比赛。每轮进行2 1 ?n 场比赛。为方便叙述，把编排出的次序填在n 列 2 1 +n 行的表格中。除最后一行外，表格中的每个格子要填入2个球队号数，表示这两个球队进行比赛。而最后一行的格子只填一个数字，表示该轮轮空的球队。其编排方法如下： 1． 首先确定“1”的位置。对于2,1列, “1”填入第一行的格子,对于4,3列, “1”填入第二行 的格子中,依次类推直至“1”被填入最后一行。最后一列“1”号球队轮空。 2． 把2填入第 2 1 ?n 行，从第一列开始每列填入一个2，当遇到一个格子中已有一个参赛队在此,则将2填入该格子，此后填入2的格子均位于上一个格子的右下方，直 到2已被填入最后一行，下一个要填入的格子位于下一列的首行。接着再往右下方 的格子中填入2。若右下方的格子中已经填满,则在同行下一个格子中填入2，直至最后一列结束。 3． 将3，4，…，2 1 +n 依次按照上一步方法从下向上填写。 4． 将 2 3 +n , …，n 依次按照第二步方法从上往下填写。 以7个参赛队为例,其竞赛次序及编排方法如下： 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 第七轮 41? 71? 76? 75? 74? 73? 72? 53? 43? 31? 61? 65? 64? 63? 62? 52? 42? 32? 21? 51? 54? 7 6 5 4 3 2 1 我们利用MATLAB 软件编程实现轮转法Ⅲ（程序见附录4）。从程序运行结果发现这种编排方法的上限m 与参赛队数存在如下关系： 参赛队数n 3 5 7 9 … 49 … 99 上限m 0 1 2 3 … 23 … 48 由此我们猜想有下面的结论： 定理5：当参赛队为12+k 时，每个队相邻两场比赛的最小间隔不可能超过1?k 。 证明： 12+k 个参赛球队，共分12+k 轮，每轮要进行k 场比赛。每轮中每个球队只出场一次，共有k 2个球队出场，必有一个参赛球队轮空。那么，在下一轮的第一场比赛中，上一场轮空的球队必定要于上一轮k 2个参赛球队中的一支球队比赛。此时，休整时间最长的队为上一轮中第一场比赛的两支球队。不管和这两支球队中的哪一支球队进行比赛，这两支队的休整时间都为1?k ，即不存在相邻的两场比赛的间隔时间超过或等于k 的情况。 定理6：当)1(12≥+=k k n 时，各队每两场比赛中间至少间隔12 3 ?=?k n 场比赛的排法是存在的。 证明：从轮转法Ⅲ的编排方法中我们可以发现，对于每一个要填入表格中的数字，它即将要填入的格子要么与刚填入的格子位于同一行，要么位于其下一行，即每支球队的相邻两场比赛的间隔场次数为1?k 或为k 。命题得证。 第三问 对于8=n ，在满足上限为2的条件下，采用轮转法Ⅰ编排，其赛程安排如下表： 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 第七轮 81? 71? 61? 51? 41? 31? 21? 72? 68? 57? 46? 35? 24? 83? 63? 52? 48? 37? 26? 85? 74? 54? 43? 32? 28? 87? 76? 65? 当9=n 时，在满足上限为3的条件下,采用轮转法Ⅲ编排，其赛程安排如下表： 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 第七轮 第八轮 第九轮 第十轮 51? 91? 98? 97? 96? 95? 94? 93? 92? 64? 54? 41? 81? 87? 86? 85? 84? 83? 73? 63? 53? 43? 31? 71? 76? 75? 74? 82? 72? 62? 52? 42? 32? 21? 61? 65? 9 8 7 6 5 4 3 2 1 第四问 前面三问都是在只考虑每两场比赛间相隔场次数这一指标下讨论赛程的公平性，即赛程安排都是以各队休整时间是否均等作为最优目标。在这种情况下，只能做到尽可能的均衡，而不可能使各队的总的间隔时间场次数完全相等。由此，我们想到可以用每个队的每两场比赛中间间隔的场次数之和Sum 来衡量赛程的公平性。很显然，对于Sum 越大的队，它们休整的时间比其他队越长，对其他队就越不公平，对整个赛程的公平性的影响就越大。例如，当8=n 时，各队休整的间隔场次数为： 1) 333333 2) 443222 3) 432224 4) 322244 5) 222444 6) 224443 7) 244432 8) 444322 各队间隔场次数之和Sum 分别是19,19,19,18,17,17,17,18。各队Sum 的差别不是很大，比较均匀。 当9=n 时，各队休整的间隔场次数为： 1) 3434343 2) 3333334 3) 3333444 4) 3344444 5) 4444444 6) 4444443 7) 4444333 8) 4433333 9) 3333333 各队的间隔场次数之和Sum 分别是：21,23,25,27,28,26,24,22,24。从结果来看，当 9=n 时，该编制方法满足指标Sum 的程度不如当8=n 时的好。 当两个队的Sum 相等时，Sum 这个指标就不能区分赛程的好坏。比方说：间隔场次数 为3,3的效果和间隔场次数为4,2的效果是不是一样的呢？从体育生理学的角度看，经验告诉我们，人的体能恢复呈递减趋势，如下曲线： 由此可以看出3,3的效果要优于4,2的效果。为此我们引进另一个指标——方差来衡量赛程的优劣。在休整时间相同的两个参赛队比较，方差越大的参赛队越吃亏。 综合以上述，我们可以利用Sum 和方差这两个指标来衡量赛程安排的公平性。当各队的Sum 不相同时，Sum 大的队得到的优惠较多，当两队的Sum 相同时，方差越小的球队得到的优惠越多。 五、 模型的分析与评价 对于参赛队为奇数的情形，我们给出的轮转法Ⅰ操作简便，规律性强，易于掌握。从竞赛的角度来看，所编排出的竞赛次序保证了各个参赛球队比赛进度一致，竞赛逐轮进行。当竞赛次序按实力强弱相应确定各参赛方的号位顺序时，其特点更为突出：各轮比赛的实力搭配均匀；体现了对“种子”，尤其是“1”号位的适当照顾；并且将最有可能成为冠亚军参赛 队之间的比赛安排在最后进行，这样使整个竞赛在结束阶段达到高潮。 轮转法Ⅰ的优点固然十分突出，但也并非毫无弊病。采用这种轮转法编排出的竞赛次序，存在着一个明显的缺陷：当参赛球队为奇数时，号码“n-1”上的参赛球队从第四轮起，始终是每轮比赛都与上一轮刚刚“轮空”的参赛球队交锋。 当参赛队为奇数时，给出了三种编排方法：蛇形法，轮转法Ⅱ和轮转法Ⅲ。这三种方法中，蛇形法的操作最简单，但是它的推广性较差，只适用于当5=n 的情形，还没有找到参赛队n 多于5赛程最优编排方法。轮转法Ⅱ的操作简便、规律性强，对于任意参赛队数都可很方便地编出赛程方案，但是这种方法编排出的方案对于奇数支球队来说不是最优方案，不过，它仅仅只比上限少1。对于参赛球队较多时，这也是一种很好的编排方法。轮转法Ⅲ操作性比前两种方案稍显复杂，但是对于有任意奇数支参赛队的比赛，它都能编出一种最优的方案。 从我们编写的程序中可以直接得出每个队每相邻两场比赛中间相隔的场次数。当9=n 时间隔分布为： 1) 3434343 2) 3333334 3) 3333444 4) 3344444 5) 4444444 6) 4444443 7) 4444333 8) 4433333 9) 3333333 从中可以发现一个规律，编号为 2 1 +n 的球队，及排在最中间的球队，每两场比赛之间的休整时间的总和是最大的并且也是最均匀的。而且就编排方法而言，表面上看不出任何对编号为2 1 +n 的球队的照顾，但这支球队确实是休整得最好的一支球队。 【参考文献】 [1] 姜启源.数学模型.北京：清华大学出版社，2000 [2] 叶其孝.大学生数学建模辅导教材（三）.长沙：湖南教育出版社，1998 [3] 李火林等.数学模型及方法.南昌：江西高校出版社，1997 [4] 卢开澄.组合数学算法与分析. 北京：清华大学出版社，1983 [5] 王沫然.MATLAB 5.X 与科学计算.北京：清华大学出版社，2000 [6] 王蒲.运动竞赛方法研究.北京：人民体育出版社，2001 [7] 斯力格.足球竞赛裁判手册.北京：人民体育出版社，1999 [8] 恩·恩·雅科莆列夫著.杨奎生，刘铁林译.运动生物化学.苏联：人民体育出版社，1982 浅谈粒度计算 摘要：粒度计算是新近兴起的人工智能研究领域的一个方向，本文简单介绍粒度计算的主要三个方法，以及之间的关系。关键词：粒度计算、模糊逻辑、商空间理论、粗糙集理论。;一．引言人们在思考问题时，或者是先从总体进行观察，然后再逐步深入地研究各个部分的情况；或先从各个方面对同一问题进行不同侧面的了解，然后对它们进行综合；或是上面两种方法的组合，即时而从各侧面对事物进行了解，然后进行综合观察，时而综合观察后，对不甚了解的部分再进行观察……总之，根据需要从不同侧面、不同角度反复对事物进行了解、分析、综合、推理.最后得出事物本质的性质和结论. ; 人工智能研究者对人类这种能力进行了深入地研究，并建立了各种形式化的模型.本文要介绍的粒度计算,就是对上述问题的研究的一个方面. ; 人工智能最主要的目的是，为人类的某些智能行为建立适当的形式化模型，以便利用计算机能再显人的智能的部分功能。什么是人类的最主要的智能，或者说智能的最重要表现形式是什么。各家有不同的看法，如Simon等认为人的智能表现为，对问题求解目标的搜索（Search）能力。比如学生在证明一道平面几何题目时，进行思考，“聪明的小孩”能很快地找到证明该结论的有关的定理性质，并很快地应用上去，从而就得到证明。“数学能力差的学笨赡芏椅餮埃 也坏胶鲜实亩ɡ砗托灾剩评慈迫ィ艿貌坏街っ鞯囊欤籔awlak[P1]则认为人的智能表现为对事物（事件、行为、感知等）的分类（Classification）能力。如平时我们说某医生本事大，就是这位医 生能从病人的症状中，正确地诊断出病人是患什么病（分类能力！分出患什么病来）等等。我们认为“人类智能的公认特点，就是人们能从极不相同的粒度(Granularity)上观察和分析同一问题。人们不仅能在不同粒度的世界上进行问题求解，而且能够很快地从一个粒度世界跳到另一个粒度的世界，往返自如，毫无困难。这种处理不同世界的能力，正是人类问题求解的强有力的表现”[ZH1]。还有很多不同的理解，人们正是从这些不同的理解分别建立各自的模型和相关的理论和方法。粒度计算目前国际上有三个主要的模型和方法，下面简单进行介绍。;二. 三种不同的模型; 下面简单介绍有关“粒度计算”的三个不同的模型和方法。什么是粒度，顾名思义，就是取不同大小的对象。也就是说，将原来“粗粒度”的大对象分割为若干“细粒度”的小对象，或者把若干小对象合并成一个大的粗粒度对象，进行研究。; 最近Zadeh在[ZA1]-[ZA3]中,讨论模糊信息粒度理论时，提出人类认知的三个主要概念，即粒度(granulation)、组织(organization)、因果(causation)(粒度包括将全体分解为部分，组织包括从部分集成为全体，因果包括因果的关联）。并进一步提出粒度计算。他认为，粒度计算是一把大伞它覆盖了所有有关粒度的理论、方法论、技术和工具的研究。指出：“粗略地说，粒度计算是模糊信息粒度理论的超集，而粗糙集理论和区间计算是粒度数学的子集”。Zadeh 的工作激起了学术界对粒度计算研究的兴趣，Y.Y.Yao和他的合作者对粒度计算进行了一系列的研究[Y1]-[Y3]并将它应用于数据挖掘等领域，其工作的要点是用决策逻辑语言(DL-语言)来描述集合的粒度(用满足公式f元素 第八章 约束优化最优性条件 §8.1 约束优化问题 一、 问题基本形式 min ()f x 1()0 1,,.. ()0 ,,i e i e c x i m s t c x i m m +==?? ≥=?L L （8.1） 特别地，当()f x 为二次函数，而约束是线性约束时，称为二次规划。 记 {} 1()0 (1,,);()0 ,,i e i e X x c x i m c x i m m +===≥=L L ，称之为可行域（约束域）。 {}1,,e E m =L ，{}1,,e I m m +=L ，{}()()0 i I x i c x i I ==∈ 称()E I x U 是在x X ∈处的积极约束的指标集。积极约束也称有效约束，起作用约束或紧约束（active constraints or binding constraints ）。 应该指出的是，如果x * 是（1）的局部最优解，且有某个0i I ∈，使得 0()0i c x *> 则将此约束去掉，x * 仍是余下问题的局部最优解。 事实上，若x *不是去掉此约束后所得问题的局部极小点，则意味着0δ?>，存在x δ，使得 x x δδ*-<，且()()f x f x δ*<，这里x δ满足新问题的全部约束。注意到当δ充分小时，由0() i c x 的连续性，必有0()0i c x δ≥，由此知x δ是原问题的可行解，但()()f x f x δ*<，这与x * 是局部极小 点矛盾。 因此如果有某种方式，可以知道在最优解x * 处的积极约束指标集()()A x E I x * *=U ，则问题 可转化为等式的约束问题： min ()f x .. ()0i s t c x = ()i A x *∈ （8.2） 一般地，这个问题较原问题（8.1）要简单，但遗憾的是，我们无法预先知道()A x * 。 fgoalattain Solve multiobjective goal attainment problems Equation Finds the minimum of a problem specified by x, weight, goal, b, beq, lb, and ub are vectors, A and Aeq are matrices, and c(x), ceq(x), and F(x) are functions that return vectors. F(x), c(x), and ceq(x) can be nonlinear functions. Syntax x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight) x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b) x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq) x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,... options) x = fgoalattain(problem) [x,fval] = fgoalattain(...) [x,fval,attainfactor] = fgoalattain(...) [x,fval,attainfactor,exitflag] = fgoalattain(...) [x,fval,attainfactor,exitflag,output] = fgoalattain(...) [x,fval,attainfactor,exitflag,output,lambda] = fgoalattain(...) Description fgoalattain solves the goal attainment problem, which is one formulation for minimizing a multiobjective optimization problem. 第6章从云模型理解模糊集合的争论与发展 第1章基于云模型的粒计算方法应用 云模型是一个定性定量转换的双向认知模型，正向高斯云和逆向高斯云算法实现了一个基本概念与数据集合之间的转换关系；本文基于云模型和高斯变换提出的高斯云变换方法给出了一个通用的认知工具，不仅将数据集合转换为不同粒度的概念，而且可以实现不同粒度概念之间的柔性切换，构建泛概念树，解决了粒计算中的变粒度问题，有着广阔的应用前景。 视觉是人类最重要的感觉，人类所感知的外界信息至少有80%以上都来自于视觉[130]。图像分割[131]是一种最基本的计算机视觉技术，是图像分析与理解的基础，一直以来都受到人们的广泛关注。目前图像的分割算法有很多，包括大大小小的改进算法在内不下千种，但大致可以归纳为两类[132]。第一类是采用自顶向下的方式，从数学模型的选择入手，依靠先验知识假定图像中的部分属性特征符合某一模型，例如马尔科夫随机场、引力场等，利用模型描述图像的邻域相关关系，将图像低层的原始属性转换到高层的模型特征空间，进而建模优化求解所采用模型的参数，通常是一个复杂度非常高的非线性能量优化问题。在特征空间对图像建模，其描述具有结构性、分割结果也一般具有语义特征，但是由于对数据的未知性、缺乏足够先验知识的指导，导致模型的参数选择存在一定的困难。第二类是采用自底向上的方式，从底层原始数据入手，针对图像灰度、颜色等属性采用数据聚类的方法进行图像分割，聚类所采用的理论方法通常包括高斯变换、模糊集、粗糙集等；或者预先假设图像的统计特性符合一定的分类准则，通过优化准则产生分割结果，例如Otsu方法的最大方差准则[133][134]、Kapur方法的最大熵准则[135][136]等。这类方法虽然缺乏语义信息表达，但是直接在数据空间建模，方法更具普适性和鲁棒性。 随着计算机视觉研究的深入，简单的图像分割已经不能满足个性化的需求，有时候人们恰恰兴趣的是图像中亦此亦彼的那些不确定性区域，基于云模型的粒计算方法是一种不确定性计算方法，发现图像中存在的不确定性区域是它的一个重要能力。如何模拟人类自然视觉中的认知能力进行图像分割一直以来都是一个难点问题，而基于高斯云变换的可变粒计算正是用来模拟人类认知中的可变粒计算过程，因此可以利用高斯云变换对自然视觉认知能力中选择性注意能力进行形式化。武汉大学秦昆教授等曾基于云综合、云分解等云运算实现图像分割，正如第5章中的分析结果，基于内涵的概念计算方法随着层次的提升，概念脱离原始数据会增加误分率，甚至失效，而且无法实现自适应地概念数量和粒度优化。 第1章粒计算的艺术 姚一豫 (Yiyu Yao) Department of Computer Science, University of Regina Regina, Saskatchewan, Canada, S4S 0A2 E-mail: yyao@cs.uregina.ca http://www2.cs.uregina.ca/~yyao/ 1.1引言 粒计算（Granular Computing）是一门飞速发展的新学科。它融合了粗糙集、模糊集以及人工智能等多种理论的研究成果。在短短十年的发展中，我们已经见证了它对科学及计算机科学的作用和影响。诸多学者就粒计算的基本理论和方法做了大量工作（见本章参考文献），但为粒计算下一个正式的、精确的、并且能够广为接受的定义仍然是一件困难的事情。虽然如此，我们仍然可以从问题求解及实践中提取出一些通用的理论和基本要素[1]。我们对粒计算的描述是建立在对它的直觉认识上的：粒计算是研究基于多层次粒结构的思维方式、问题求解方法、信息处理模式，及其相关理论、技术和工具的学科。 在中国，粒计算的研究已引起众多学者的关注与兴趣。本书的附录比较全面地收录了近年在国内期刊发表的粒计算方面的文章。包括，基于商空间理论的粒计算模型[2]，模糊商空间及粒计算的商闭包空间模型(张钹和张铃等) [3,4,5,6]；粒计算的覆盖模型，粗糙集与粒计算的交叉问题的研究(张文修等)[7,8]；粒、规则与例外的关系(王珏等) [9,10,11,12]；粒计算的理论、模型与方法的探讨(苗夺谦等) [13,14,15,16,17,18]；基于Dempster-Shafer理论和粗糙集的近似和知识约简(吴伟志等) [19, 20,21,22]；几种基于覆盖粗糙集的粒计算模型(祝峰和王飞跃)[23,24,25]；粒逻辑及其归结原理(刘清等) [26,27,28,29,30]；基于关系的粒计算模型，粒化思想在图像的纹理识别上的应用(史忠植等) [31,32,33,34]；基于相容关系的粒计算模型，粒计算在进化计算、机器学习中的应用(王国胤等) [35,36,37,38,39]；使用粒计算进行知识获取的方法(梁吉业和李德玉) [40]；基于泛系理论的粒计算模型(李永礼和林和等) [41,42,43]；使用粒分析来描述、刻画粒计算的思考(李凡长)；等等。 粒计算的基本思想、原理和策略出现在不同的学科和领域里[44,45,46]。本书的其他章节对粒计算的模型和方法有非常精彩和深刻的讨论。因此，我们在本章将不讨论具体某一个理论、方法、工具或应用，而更侧重于把粒计算作为一个独立的学科进行研究。这要求我们回答下面一些基本问题： 1.为什么要研究粒计算？ 2.粒计算的独特性在哪里？ 龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/ca4112829.html, 粒计算研究现状及展望 作者：谢刚刘静 来源：《软件》2011年第03期 摘要：在信息处理中，粒计算是一种新的概念和计算范式,其本质是透过合适粒度的层次 来对问题进行求解,并且在此过程中去除繁冗，降低实现的复杂度。本文主要对粒计算提出的 背景、概念、研究现状及发展趋势进行论述，同时也给出了作者自己的评论，最后探讨了粒计算的进一步发展方向。 关键词：粒计算; 粗糙集; 模糊集; 商空间 中图分类号：TP18, TP206文献标识码Adoi: 10.3969/j.issn.1003-6970.2011.03.002 A Review of the Present Studying State and Prospect of Granular Computing XIE Gang, LIU Jing (College of Information Engineering, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China) 【Abstract 】 Granular computing (GrC) is an emerging conceptual and computing paradigm of information processing, which it sought essentially problems of a better and approximate solution to reduce the complexity of problem solving by the right choice of granularity. In this paper, the proposed background, the present studying state and its developing direction of granular computing are summarized. 【Key words】granular computing; rough set;fuzzy set; quotient space 0引言 “概念必须有明确的边界。没有明确边界的概念，将对应于一个在周围没有明确界线的区域。”这是谓词逻辑的创始人Frege曾经说过的话，在此基础上他提出了概念的“含糊性”和“边界”问题[1]。由此1965年L.A.Zadeh创立了模糊集理论，突破了经典集合简单的“是”与“否”的“明确边界”，为模拟人类思维、处理模糊信息提供了新的工具。20世纪70年代到80年代初, 人们将物理学中把大型物质划分为颗粒、分子、原子的思想引入到信息领域，用于处理现实世界中的不精确、不完整的海量信息以实现智能系统或智能控制。1979年Zadeh发表的论文“模糊集与信息粒度”，成为世界上第一篇专门论述“信息粒度”的论文[2]。粗糙集的创始人Zdzislaw Pawlak于1982年也提出了信息的“粒度性”概念[3]。在1985年的国际人工智能联合会上，Hobss直接用粒度(Granularity)这个词作为论文题目发表论文[4]，并进一步探讨了不同层次的粒度和不同大小颗粒，粒度的分解与合并等问题。1988年T. Y .Lin教授提出邻域系统并研 多目标优化模型 中国水资源具有显著地区域特征，我们对区域水资源多目标优化配置,以多目标和大系统优化为手段,在一定时间内可供水量和需水量确定的条件下,建立区域有限的水资源量在各流域的优化配置模型,求解模型得到水量优化配置方案. 目标函数的建立： 水资源配置主要考虑3 个目标函数,即用水效益函数、用水费用函数和区域均衡性函数。对于优质水资源而言,用水效益重点考虑工业和第三产业所产生的效益,将农业用水排除在外,旨在优先考虑经济效益好的区域用水需求。用水费用主要指输水费用,包括管道铺设和渠道建设费用,优质水资源还需要着重考虑饮用水的制水成本. 区域均衡性函数则为了避免供水一味向经济发达区域倾斜,使各区域供水与需水之差满足某种准则,以体现社会和谐精神.具体目标如下: （1) 用水收益最大;（2) 运营成本最低;（3）区域水资源供需尽量均衡. 设i g 为第i 个流域使用每立方米水资源所产生的效益参数, c ij 为第i 个用户由第j 个供水源输送每立方米水所需的费用, x ij 为由第j 个水源供给第i 个流域的水量,各区域的用水量x M x i j ij =∑=, D i 为第i 个区域的需水总量,则水资源配置的目标函数可以综合表示成如下形式: 2 111max (c )/(1/)n n n i i ij j i i i j i Z opt g x x x D ===??=--???? ∑∑∑ 式中:右边分子第一项表示水资源利用所产生的经济效益,包括环境效益,对 于优质水资源则取非农业经济效益;右边分子第二项为运营成本,主要涉及制水成本和水库至流域的输水成本;分母反映区域水资源供需之间的均衡程度,表示各区域的用水保证率尽可能最大，N 为供水区域数. 1. 2 参数及约束条件设置 中国各流域的水资源需要进行合理分配，以达到水资源的平衡，需要适当设置参数和约束条件. 首先按照2 种方式划分区域:其一以流域为单元,便于在模型中计算经济效益;其二以供水源为单元,以利于分析区域水资源的供需平衡关系. 各流域从水库获得的水量受水库供水量的限制,而水库供水量又受水源的水来源的可供水量约束. 根据中国历年的降雨量资料计算出各水库在不同频率下的可供水量,结合中国供水状况获得在若干种供水保证率下各水库的可供水量,各流域可取得的水量不得超过水源地水库的可供水量与水厂供水量中的较小者 j Q ,以此作为各变量的约束条件1)。设水库数为1R ,供水源为2 R ,供水单元数 为M ,当出现若干水库是同一水源的情形时取2M R = ,而当一个水厂以多个水库为水源地时取1M R = . 在这两种情形下,除满足约束条件1)外,尚需满足这些水库的供水量之和不大于水源地的可供水量或水库的供水量小于水源地的 第2卷第6期 智 能 系 统 学 报 V ol.2 .62007年12月 CAAI T ransactions on Intelligent Systems D ec.2007 粒计算研究综述 王国胤1,2,张清华1,2,胡 军1,3 (1.重庆邮电大学计算机科学与技术研究所,重庆400065; 2.西南交通大学信息科学与技术学院,四川成都610031;3.西安电子科技大学电子工程学院,陕西西安710071) 摘 要:粒计算(gr anular computing)是当前计算智能研究领域中模拟人类思维和解决复杂问题的新方法.它覆盖了所有有关粒度的理论、方法和技术,是复杂问题求解、海量数据挖掘、模糊信息处理的有效工具.首先回顾了粒计算研究和发展状况,介绍了粒计算的基本组成和问题,综述了粒计算的基本模型和方法,并讨论了它们之间的相互关系,最后探讨了构建统一的粒计算模型、复杂问题空间的粒化、粒层之间的转换、高效的粒计算方法、新的粒计算模型、动态粒计算模型、自主粒计算模型、粒计算方法的模糊化以及粒计算模型的应用和推广等几个方面的关键问题.关键词:粒计算;数据挖掘;智能信息处理;粗糙集;模糊集;商空间 中图分类号:T P18 文献标识码:A 文章编号:1673 4785(2007)06 0008 19 An overview of granular computing WAN G Guo yin 1,2,ZHANG Qing hua 1,2,HU Jun 1,3 (1.Institute of Comput er Science &T echno lo gy ,Cho ng qing U niversit y of Po st s and T eleco mmunications,Chong qing 400065,China;2.Scho ol of Infor matio n Science &T echnolog y,Southwest Jiao tong U niv ersit y,Chengdu 610031,China; 3.School of Electro nic Engineer ing,Xidian U niver sity,Xi an 710071,China) Abstract:In the field of com putational intelligence,granular computing (GrC)is a new w ay to simulate hu m an thinking to help solve co mplicated problems.Gr C involv es all the theories,methodo logies and tech niques o f granularity,pr oviding a pow erful to ol for the so lution of complex problems,m assiv e data min ing,and fuzzy information pr ocessing.In this paper,first the current situation and the developm ent pros pects of GrC are introduced,then the fundamental and ex isting problem s r elated to GrC ar e presented and its basic models and metho ds summ arized.Finally,som e future research topics abo ut GrC are presented,such as,uniform granular co mputing mo del,granulation of complex pro blem space,transform ation be tw een granule spaces,efficient g ranular co mputing algor ithm,nov el g ranular co mputing model,dy namic granular co mputing m odel,data driven g ranular co mputing m odel,fuzzy gr anular co mputing method,and the applications of gr anular computing models,etc. Keywords:g ranular computing;data m ining;intelligent inform ation processing;roug h sets;fuzzy sets;quotient space 收稿日期:2007 04 02. 基金项目:国家自然科学基金资助项目(60573068);新世纪优秀人才 支持计划;重庆市教委科学技术研究资助项目(KJ060517). 自Zadeh 1979年发表论文!Fuzzy sets and in form ation granularity ?以来[1],研究人员对信息粒度化的思想产生了浓厚的兴趣.Zadeh 认为很多领域都存在信息粒的概念,只是在不同领域中的表现形式不同.自动机与系统论中的!分解与划分?、最优 控制中的!不确定性?、区间分析里的!区间数运算?、以及D S 证据理论中的!证据?都与信息粒密切相关.H obss 在1985年直接用!粒度(granularity)?作为论文题目发表论文[2],讨论了粒的分解和合并,以及如何得到不同大小的粒,并提出了产生不同大小粒的模型.Lin 在1988年提出邻域系统并研究了邻域系统与关系数据库之间的关系 [3] .1996年,他在 U C Berkeley 大学访问时,向Zadeh 提出作!granu function [a,b,n,x]=fibonacci(fname,a,b,d,L) % fname函数句柄，d辨别常数，L最终区间长度a(1)=a; b(1)=b; F=zeros(1,10); %选择fibonacci数列k值为10，可任意更改 F(1)=1; F(2)=2; for k=2:10 %k取到10，生成fibonacci数列 F(k+1)=F(k)+F(k-1); F(k); end Fn=(b(1)-a(1))/L; Fk=[F Fn]; N=sort(Fk); n=find(Fn==N); %查找计算函数值的次数n t(1)=a(1)+F(n-2)*(b(1)-a(1))/F(n); %计算试探点t(1),u(1) u(1)=a(1)+F(n-1)*(b(1)-a(1))/F(n); for k=1:n-2 ft=feval(fname,t(k)); fu=feval(fname,u(k)); if ft>fu a(k+1)=t(k); b(k+1)=b(k); t(k+1)=u(k); u(k+1)=a(k+1)+F(n-k-1)*(b(k+1)-a(k+1))/F(n-k); while k==n-2 t(n)=t(n-1); u(n)=t(n-1)+d; ft=feval(fname,t(n)); fu=feval(fname,u(n)); if ft>fu a(n)=t(n); b(n)=b(n-1); else a(n)=a(n-1); b(n)=t(n); end end else a(k+1)=a(k); b(k+1)=u(k); u(k+1)=t(k); if k~=n-2 t(k+1)=a(k+1)+F(n-k-2)*(b(k+1)-a(k+1))/F(n-k); ft=feval(fname,t(k)); 配煤炼焦技术 【摘要】系统介绍了近几十年来配煤炼焦技术的发展及其应用情况,也介绍了焦炭质量预测的几种方法,重点介绍了专家配煤系统,并探讨了当前配煤的研究方向。 【关键词】配煤炼焦灰分硫分原理质量预测建议应用 配煤是炼焦煤准备的工序之一。炼焦或碳化前煤料的一个重要准备过程。即为了生产符合质量要求的焦炭，把不同煤牌号的炼焦用煤按适当的比例配合起来。 从前，炼焦只用单种焦煤，由于炼焦工业的发展，焦煤的储量开始感到不足。而且还存在着煤炼的焦饼收缩小，推焦困难；焦煤膨胀压力很大，容易胀坏炉体；焦煤挥发分少，炼焦化学产品产率小等缺点。为了克服这些缺点，采用了多种煤的配煤炼焦。配煤炼焦扩大了炼焦煤资源，把不能单独炼成合格冶金焦的煤，经过几种煤配合可炼出优质焦炭，还可以降低煤料的膨胀压力，增加收缩，利于推焦，并可提高化学产品产率。配煤炼焦可以少用好焦煤，多用结焦性差的煤，使国家资源不但利用合理，而且还能获得优质产品。 炼焦用煤品种较多，应用配煤技术，不仅能保证焦炭质量，还能合理地利用煤炭资源，节约优质炼焦煤，扩大炼焦煤资源。配煤技术涉及煤的多项工艺性质、结焦特性和灰分、硫分、挥发分的配合性质和煤的成焦机理等。长期以来，配煤试验一直是选定配煤方案、验证焦炭质量的不可缺少的配煤技术程序。配煤方法有配煤槽配煤和露天配煤厂配煤两种。 当前世界各国炼焦煤资源稀缺，高炉的大型化对焦炭质量及其稳定性的要求越来越高，而炼焦煤资源中强粘结性煤却越来越少，这一矛盾在我国尤为突出。考虑到经济效益及现实情况，国内外各焦化厂都在致力于配煤方案的研究。虽然方案千变万化，而配煤的原理却不外乎胶质层重叠原理、互换性原理、共炭化原理这三种。 一、配煤理论简介： 1 胶质层重叠原理 要求配合煤中各单种煤的胶质体的软化区间和温度间隔能较好地搭 接，这样可使配合煤在炼焦过程中，能在较大的温度范围内处于塑性状态， 浅析配煤炼焦技术 【摘要】系统介绍了近几十年来配煤炼焦技术的发展及其应用情况,也介绍了焦炭质量预测的几种方法,重点介绍了专家配煤系统,并探讨了当前配煤的研究方向。 【关键词】配煤炼焦灰分硫分原理质量预测建议应用 配煤是炼焦煤准备的工序之一。炼焦或碳化前煤料的一个重要准备过程。即为了生产符合质量要求的焦炭，把不同煤牌号的炼焦用煤按适当的比例配合起来。 从前，炼焦只用单种焦煤，由于炼焦工业的发展，焦煤的储量开始感到不足。而且还存在着煤炼的焦饼收缩小，推焦困难；焦煤膨胀压力很大，容易胀坏炉体；焦煤挥发分少，炼焦化学产品产率小等缺点。为了克服这些缺点，采用了多种煤的配煤炼焦。配煤炼焦扩大了炼焦煤资源，把不能单独炼成合格冶金焦的煤，经过几种煤配合可炼出优质焦炭，还可以降低煤料的膨胀压力，增加收缩，利于推焦，并可提高化学产品产率。配煤炼焦可以少用好焦煤，多用结焦性差的煤，使国家资源不但利用合理，而且还能获得优质产品。 炼焦用煤品种较多，应用配煤技术，不仅能保证焦炭质量，还能合理地利用煤炭资源，节约优质炼焦煤，扩大炼焦煤资源。配煤技术涉及煤的多项工艺性质、结焦特性和灰分、硫分、挥发分的配合性质和煤的成焦机理等。长期以来，配煤试验一直是选定配煤方案、验证焦炭质量的不可缺少的配煤技术程序。配煤方法有配煤槽配煤和露天配煤厂配煤两种。 当前世界各国炼焦煤资源稀缺，高炉的大型化对焦炭质量及其稳定性的要求越来越高，而炼焦煤资源中强粘结性煤却越来越少，这一矛盾在我国尤为突出。考虑到经济效益及现实情况，国内外各焦化厂都在致力于配煤方案的研究。虽然方案千变万化，而配煤的原理却不外乎胶质层重叠原理、互换性原理、共炭化原理这三种。 一、配煤理论简介： 1 胶质层重叠原理 要求配合煤中各单种煤的胶质体的软化区间和温度间隔能较好地搭 接，这样可使配合煤在炼焦过程中，能在较大的温度范围内处于塑性状态， §8.1多目标最优化问题的基本原理 一、多目标最优化问题的实例 例1 梁的设计问题 设用直径为1的圆木加工成截面积为矩形的梁，为使强度最大而成本最低， 问应如何设计梁的尺寸？ 解： 设梁的截面积宽和高分别为1x 和2x 强度最大=惯性矩最大 2 216 1x x = 成本最低=截面积最小=21x x 故数学模型为： min 1 x 2 x max 2216 1x x .s t 221 2 1x x += 10x ≥，20x ≥ 例2 买糖问题 已知食品店有1A , 2 A , 3 A 三种糖果单价分别为4元∕公斤，2.8元∕公斤， 2.4元∕公斤，今要筹办一次茶话会，要求用于买买糖的钱不超于20元，糖 的总量不少于6公斤，1A ， 2 A 两种糖的总和不少于3公斤，问应如何确定买糖的最佳方案？ 解：设购买1A , 2 A , 3 A 三种糖公斤数为1x ，2x ，3x 1 A 2 A 3 A 重量 1x 2x 3x 单价 4元∕公斤 2.8元∕公斤 2.4元∕公斤 min 14x +22.8x +3 2.4x （用钱最省） max 1x +2x +3x （糖的总量最多） .st 14x +22.8x +3 2.4x 20≤ (用钱总数的限制) 1x +2x +3x 6≥（用糖总量的要求） 1x +2x 3≥（糖品种的要求） 1x ，2x ，3x 0≥ 是一个线性多目标规划。 二、 多目标最优化的模型 12min ()((),(),.....())T m V F x f x f x f x -= .st ()0g x ≥ ()0h x ≥ 多目标规划最优化问题实际上是一个向量函数的优化问题，当m=1,多目标优化就是前面讲的单目标优化问题 三、解的概念 1.序的概念 12,.....()T m a a a a = 12,.....()T m b b b b = （1）b a =?a i i b = 1,2....i m = （2）a b ≤?a i i b ≤ 1,2....i m = 称a 小于等于b （3）a b < =?a i i b ≤ 且?1≤j ≤m ，使a j j b ≠，则a 小于向量b （4）a 第3章简单的优化模型 1. 生猪的出售时机p63~65 目标函数（生猪出售纯利润，元）： Q(t) = ( 8 – g t )( 80 + rt ) – 4t–640 其中，t≥0为第几天出售，g为每天价格降低值（常数，元/公斤），r为每天生猪体重增加值（常数，公斤）。 求t使Q(t)最大。 1.1（求解）模型求解p63 (1) 图解法 绘制目标函数 Q(t) = ( 8 – g t )( 80 + rt ) – 4t–640 的图形（0 ≤t≤ 20）。其中，g=0.1, r=2。 从图形上可看出曲线Q(t)的最大值。 (2) 代数法 对目标函数 Q(t) = ( 8 – g t )( 80 + rt ) – 4t–640 用MATLAB求t使Q(t)最大。其中，r, g是待定参数。（先对Q(t)进行符号函数求导，对导函数进行符号代数方程求解） 然后将代入g=0.1, r=2，计算最大值时的t和Q(t)。 要求： ①编写程序绘制题(1)图形。 ②编程求解题(2). ③对照教材p63相关内容。 相关的MATLAB函数见提示。 ★要求①的程序和运行结果：程序： 图形： ★要求②的程序和运行结果：程序： 运行结果： 1.2（编程）模型解的的敏感性分析p63~64 对1.1中(2)所求得的符号表达式t(r,g)，分别对g和r进行敏感性分析。 (1) 取g=0.1，对t(r)在r=1.5:0.1:3上求r与t的关系数据，绘制r与t的关系图形（见教材p65）。 (2) 取r=2，对t(g)在g=0.06:0.01:0.15上求g与t的关系数据，绘制g与t 的关系图形（见教材p65）。 要求：分别编写(1)和(2)的程序，调试运行。 ★给出(1)的程序及运行结果： 程序： 第３８卷 第８期 ２０１５年８月计 算 机 学 报ＣＨＩＮＥＳＥＪＯＵＲＮＡＬＯＦＣＯＭＰＵＴＥＲＳＶｏｌ．３８Ｎｏ．８Ａｕｇ．２０１５ 收稿日期：２０１３-０７-２８；最终修改稿收到日期：２０１５-０１-１２．本课题得到国家自然科学基金（６１０７０１３９）、江西省自然科学基金（２０１１４ＢＡＢ２０１０３９）和江西省教育厅科技计划项目（ＧＪＪ１４１３４）资助．刘 清，男，１９３８年生， 教授，主要研究领域为人工智能、数据挖掘、粗糙集、粒计算、逻辑及其推理．Ｅ-ｍａｉｌ：ｑｌｉｕ ｎｃｕ＠ｓｉｎａ．ｃｏｍ．邱桃荣，男，１９６４年生，博士，教授，中国计算机学会（ＣＣＦ） 高级会员，主要研究领域为粗糙集、粒计算、智能信息处理．刘斓，女，１９７３年生，硕士，实验师，主要研究方向为信息管理、软件开发、算法语言程序设计．基于非标准分析的粒计算研究 刘清 邱桃荣 刘斓 （南昌大学计算机科学与技术系 南昌 ３３００３１） 摘 要 该文着力于研究粒计算的基本理论．粒计算作为一种粒数数系被研究，在这种数系中研究粒运算的基本定律、粒与粒之间的不可区分关系；研究这种粒数系中描述型的形式语言等．采用的方法是基于非标准分析中的超实数理论研究实值粒运算应遵循的规则，也研究了伴随二元关系的信息粒的合成、加粗、加细、并和交运算等；在分析前人工作的基础上、基于超实数理论进一步为粒计算研究定义了一种新的不可区分关系，得到了几个相关性质，并且证明了相关结果．随后定义了描述这种粒数数系的描述型形式语言———一种带不可区分关系词的二阶粒逻辑；粒常量、粒变量、粒函数项的相关运算定律也被定义了．最后，以示例演示了这种粒逻辑适应于描述粒数学定理、粒公式化简等． 关键词 粗糙集；模糊集；粒计算；二阶粒逻辑；粒数学；超实数；非标准分析 中图法分类号ＴＰ３０１ DOI 号１０．１１８９７／ＳＰ．Ｊ．１０１６．２０１５．０１６１８ The Research of Granular Com p utin g Based on Nonstandard Anal y sis ＬＩＵＱｉｎｇ ＱＩＵＴａｏ-Ｒｏｎｇ ＬＩＵＬａｎ （De p artment o f Com p uter Ｓcience and Technolo gy ，Nanchan g Universit y ，Nanchan g ３３００３１） Abstract Ｉｎｔｈｅａｒｔｉｃｌｅ，ｗｅｆｏｃｕｓｏｎｓｔｕｄｙｉｎｇｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｔｈｅｏｒｙｏｆｇｒａｎｕｌａｒｃｏｍｐｕｔｉｎｇ．Ｇｒａｎｕｌａｒ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇｉｓｓｔｕｄｉｅｄａｓａｇｒａｎｕｌａｒｎｕｍｂｅｒｓｙｓｔｅｍｓ．Ｏｐｅｒａｔｉｏｎｌａｗｓｏｆｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎｓ，ｔｈｅｉｎｄｉｓ -ｃｅｒｎｉｂｉｌｉｔｙｒｅｌａｔｉｏｎｏｆｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎｓｉｎｔｈｅｇｒａｎｕｌａｒｎｕｍｂｅｒｓｙｓｔｅｍｓａｒｅａｌｓｏｓｔｕｄｉｅｄ．Ｔｈｅｆｏｒｍａｌｌａｎｇｕａｇｅｆｏｒｄｅｓｃｒｉｂｉｎｇｔｈｅｇｒａｎｕｌａｒｎｕｍｂｅｒｓｙｓｔｅｍｓｎｅｅｄｓａｌｓｏｔｏｂｅｓｔｕｄｉｅｄ．Ｗｅｓｔｕｄｙｔｈｅｏｐｅｒａｔｉｏｎｒｕｌｅｓｏｆｒｅａｌｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎｓｔｏａｄｏｐｔｔｈｅｔｈｅｏｒｙｏｆｈｙｐｅｒｒｅａｌｎｕｍｂｅｒｓｉｎｎｏｎｓｔａｎｄａｒｄａｎａｌｙｓｉｓ．Ｔｈｅｏｐｅｒａｔｉｏｎｓｏｆｃｏｍｐｏｕｎｄ，ｃｏａｒｓｅｎｉｎｇａｎｄｒｅｆｉｎｉｎｇ，ｕｎｉｏｎａｎｄｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎｏｆｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｇｒａｎｕｌａｒｉｔｙｗｉｔｈｂｉｎａｒｙｒｅｌａｔｉｏｎｓａｒｅａｌｓｏｓｔｕｄｉｅｄｉｎｔｈｅａｒｔｉｃｌｅ．Ｗｅｄｅｆｉｎｅｆｕｒｔｈｅｒａｎｅｗｉｎｄｉｓｃｅｒｎｉｂｉｌｉｔｙｒｅｌａｔｉｏｎｂｙｈｙｐｅｒｒｅａｌｔｈｅｏｒｙａｎｄｇｅｔｓｅｖｅｒａｌｒｅｌａｔｅｄｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｂａｓｅｄｏｎｃｕｒｒｅｎｔｒｅｌａｔｉｖｅｒｅｓｅａｒｃｈｅｓ．Ａｎｄｒｅｌａｔｅｄｒｅｓｕｌｔｓａｒｅｐｒｏｖｅｄ．Ｓｕｂｓｅｑｕｅｎｔｌｙ，ｔｈｅｆｏｒｍａｌｌａｎｇｕａｇｅｆｏｒｄｅｓｃｒｉｂｉｎｇｇｒａｎｕｌａｒｃｏｍｐｕｔｉｎｇ—ａｇｒａｎｕｌａｒｌａｎｇｕａｇｅｗｉｔｈｉｎｄｉｓｃｅｒｎｉｂｉｌｉｔｙｒｅｌａｔｉｏｎｉｓｄｅｆｉｎｅｄ．Ｉｔｉｓｃａｌｌｅｄａｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒｇｒａｎｕｌａｒｌｏｇｉｃｉｎｔｈｅａｒｔｉｃｌｅ．Ｔｈｅｒｅｌａｔｅｄｏｐｅｒａｔｉｏｎｓｏｆｇｒａｎｕｌａｒｃｏｎｓｔａｎｔｓ，ｇｒａｎｕｌａｒｖａｒｉａｂｌｅｓａｎｄｇｒａｎｕｌａｒｆｕｎｃｔｉｏｎｉｔｅｍｓｕｓｅｄｉｎｔｈｅｓｅｃｏｎｄ-ｏｒｄｅｒｇｒａｎｕｌａｒｌｏｇｉｃａｒｅｈａｎｄｌｅｄｎｅｃｅｓｓａｒｉｌｙｉｎｔｈｅａｒｔｉｃｌｅ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅｏｆｄｅｓｃｒｉｂｉｎｇｇｒａｎｕｌａｒｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｔｈｅｏｒｅｍｓｄｅｆｉｎｅｄｉｎｔｈｅｇｒａｎｕｌａｒｎｕｍｂｅｒｓｙｓｔｅｍｓｉｓｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄｗｉｔｈｒｅａｌｅｘａｍｐｌｅｓ． Ke y words Ｒｏｕｇｈｓｅｔｓ；ｆｕｚｚｙｓｅｔｓ；ｇｒａｎｕｌａｒｃｏｍｐｕｔｉｎｇ；ｓｅｃｏｎｄ-ｏｒｄｅｒｇｒａｎｕｌａｒｌｏｇｉｃ；ｇｒａｎｕｌａｒｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ；ｈｙｐｅｒｒｅａｌｎｕｍｂｅｒ；ｎｏｎｓｔａｎｄａｒｄａｎａｌｙｓｉｓ 最优化理论与算法笔记 在老师的指导下，我学习了最优化理论与算法这门课程。最优化理论与算法是一个重要的数学分支，它所研究的问题是讨论在众多方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案。 由于生产和科学研究突飞猛进的发展，特别是计算机的广泛应用，使最优化问题的研究不仅成为了一种迫切的需要，而且有了求解的有力工具，因此迅速发展起来形成一个新的学科。至今已出现了线性规划、整数规划、非线性规划、几何规划、动态规划、随机规划、网络流等许多分支。 整个学习安排如下，首先介绍线性与非线性规划问题，凸集和凸函数等基本知识及线性规划的基本性质；然后再这个基础上学习各种算法，包括单纯形法、两阶段法、大M 法、最速下降法、牛顿法、共轭梯度法等，以及各种算法相关的定理和结论；最后了解各种算法的实际应用。 主要学习的基础知识： 1、一般线性规划问题的标准形式 1min n j j j c x =∑ 1 .., 1,...,, 0, 1,...,. n ij j i j j s t a x b i m x j n ===≥=∑ 学会引入松弛变量将一般问题化为标准问题；同时掌握基本可行解的存在问题，通过学习容易发现线性规划问题的求解，可归结为求最优基本可行解的问题。 2、熟练掌握单纯形法、两阶段法和大M 法的概念及其计算步骤。 单纯形法是一种是用方便、行之有效的重要算法，它已成为线性规划的中心内容。其计算步骤如下： 1）解,B Bx b =求得1B x B b b -==，令0,N x =计算目标函数值B B f c x =； 2)求单纯形乘子ω，解B B c ω= ，得到1B c B ω-=； 3)解k k By p =，若0k y ≤，即k y 的每个分量均非正数，则停止计算，问 题不存在有限最优解，否则，进行步骤（4）； 4)确定下标r ，使min{0}r r rk rk rk b b y y y =>，得到新的基矩阵B ，返回第一 步。 两阶段法：第一阶段是用单纯形法消去人工变量，即把人工变量都变换成非基变量，求出原来问题的一个基本可行解；第二阶段是从得到的基本可行解出发，用单纯形法求线性规划的最优解。 大M 法：在约束中增加人工变量a x ，同时修改目标函数，加上罚项T a Me x ，其中M 是很大的正数，这样，在极小化目标函数的过程中，由于M 的存在，将迫使人工变量离基。 3、掌握最速下降法的概念及其算法，并且能够讨论最速下降算法的收敛性。掌握牛顿法，能够熟练运用牛顿迭代公式：(1) ()2()()()()k k k k x x f x x x +=-?- ，掌 握共轭梯度法及其相关结论，以及其收敛性的讨论，掌握最小二乘法及其基本步骤。 最速下降法：迭代公式为(1) ()()k k k k x x d λ+=-。 计算步骤：1）给定点(1)n x R ∈，允许误差0,ε>臵1k =； 2）计算搜索方向() ()()k k d f x =-?； 3）若() k d ε≤，则停止计算，否则，从()k x 出发，沿()k d 进行一维搜索，求k λ，使()()()() ()min ()k k k k k f x d f x d λλλ≥+=+； 4）令(1) ()()k k k k x x d λ+=-，臵:1k k =+，转步骤（2）。浅谈粒度计算
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