高数论文 微积分
目录 高等数学——微积分------------------------------------------------------------- - 1 - 什么是微积分 ---------------------------------------------------------------------- - 2 - 微积分的历史 ---------------------------------------------------------------------- - 2 - 微积分的创立 ----------------------------------------------------------------- - 2 - 中国古代微积分 -------------------------------------------------------------- - 3 - 微积分的与公式 ------------------------------------------------------------------- - 3 - 微分公式------------------------------------------------------------------------ - 3 - 积分公式------------------------------------------------------------------------ - 4 - 微积分的运算法则---------------------------------------------------------------- - 5 - 微分的运算法则 -------------------------------------------------------------- - 5 - 积分的运算法则------------------------------------------------------------- - 6 - 例题与解题方法 ------------------------------------------------------------------- - 6 - 微分的计算方法 -------------------------------------------------------------- - 6 - 定积分的计算方法 ----------------------------------------------------------- - 7 - 微积分的意义与应用------------------------------------------------------------- - 7 - 微积分的意义 ----------------------------------------------------------------- - 7 - 微积分的应用 ----------------------------------------------------------------- - 7 - 高等数学——微积分 周露
一节课微积分入门
一节课微积分入门 “一节课微积分入门”原本是笔者制作的一个教学视频，在酷6网上点击率一 度突破12万（可惜现在删了，但土豆网上还有），而大学教授的同类视频，点击率最高才2千多。笔者身边好几个学不懂微积分的人都在里面受益。 这是笔者独创的一套最简捷，清晰，易懂的教学方法，从零开始，在短短的 40分钟内，让大家理解：微积分最基本的原理，牛莱公式的本质含义和基本求导方法。希望能在微积分教学的历史长河中留下一朵小小的浪花。 考虑到很多朋友不喜欢看教学视频，而更喜欢阅读文档，笔者把最基本的教 学思路整理下来，供大家学习和参考，（看不懂的可以网上搜视频做为辅助学习） 目录： 1巧妙的叠加方法 2问题的提出：求y=x2曲线围成的面积 3切割法求出近似面积 4寻找“远房表叔”来帮忙 5对“远房表叔”进行切割和叠加 6“表叔”和“表侄”的一一对应。 7一一对应关系式的提出 8一一对应关系式的进一步表达：牛莱公式 9一一对应关系式的变形：导函数的定义 10求导的2个例题 11导函数的意义
1巧妙的叠加方法 方法一非常麻烦，要测1千次，再加1千次，方法二就简单多了，因为反正不需要知道每个小棍子的长度，只测一次就够了。这就是“叠加法”，在后面的微积分学习中，我们会非常巧妙的用到“叠加法”。 2 问题的提出：求y=x2曲线围成的面积
这种曲线围成的面积，显然用初等数学无法解决，这就需要我们巧妙构思，另辟蹊径了。 3 切割法求出近似面积 我们把横坐标切成1000份，然后切割出999个小长方形，每个小长方形的宽都是1/1000，小长方形的长则是该点对应的函数值，这样每个小长方形的面积都可以求出来了。
微积分发展史
微积分发展史 摘要：本文将介绍微积分的由来以及发展过程以及他对于人类发展的重大意义。并且在文章中也会对微积分的一些基本内容和理论等进行说明和归纳 关键词：微积分，微分，积分，建立 一、微积分学的建立 微积分在如今的数学领域中占到了非常重要的地位，并且作为 一门学科，微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应 用的数学分支。它的起源可以追溯到其诞生的2000多年前， 比如，古代的人用方砌圆，我国庄子的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，魏晋时刘徽的“割圆术”等等，都涉及到了以“直”代“曲” 的极限观念，属于微积分的朴素思想，阿基米德更可称为时微 积分学的先驱，他不仅成功地将“穷竭法”应用于求像抛物线弓 形那样复杂地曲边形地面积中，而且在求积时应用了各种微积 分学地思想。但微积分思想真正形成是在十七世纪，由牛顿总 结和发展了前人的工作，几乎同时建立了微积分的方法和理论 微积分的起源。牛顿是从物理角度建立了微积分的思想，而德 国数学家莱布尼兹从几何角度出发，独立地创立了微积分 （1675-1676）。这两位数学家总结出处理各种有关问题地一般 方法，并揭示出微分学和积分学之间的本质联系。两人各自建
立了微积分学基本定理，并给出微积分的概念、法则、公式及 其符号。这位日后的微积分学的进一步发展奠定了坚实而重要 的基础。微积分的创立，极大地推动了数学地发展，过去很多 初等数学束手无策地问题，通过运用微积分，往往引刃而解。 使得微积分学地创立成为数学发展地一个里程碑式的事件。二、微积分建立的重要意义 恩格斯曾经说过：“在一切理论成就中，未必再有什么像十七世 纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如 果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和惟一的功绩，那就 正是在这里。”在微积分建立之前，人类基本还处于农耕文明时 期。但在微积分建立之后它为创立许多新的学科提供了源泉。 可以说微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一，是人类智 慧的结晶，它极大地推动了科学地进步，并且对社会也有深远 的影响。有了微积分，就有了工业革命，它是世界近代科学的 开端，同时也摧毁了笼罩在天体上的神秘主义、迷信和神学， 对社会产生了极大的影响，使人们进入了现代化的社会。这一 切都表面了微积分学的产生是人类历史上的一次空前飞跃。三、微积分理论的基本介绍和归纳 微积分学是微分学和积分学的总称。微积分学基本定理指出， 求不定积分与求导函数是互为逆运算的过程，而把上下限代入 不定积分即得到积分值，微分则是倒数值与自变量增量的乘积。 作为一种数学的思想微分就是“无限细分”，而积分就是“无限求
微积分小论文
微积分小论文 一、微积分学的创立 微积分作为一门学科，是在十七世纪产生的。它的主要内容包括两部分：微分学和积分学。然而早在古代微分和积分的思想就已经产生了。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、旋转双曲体的体积等问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代就有了比较清楚的论述。如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。这些都是朴素的极限概念.到了十七世纪，人们因面临着有许多科学问题需要解决，如研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题；求曲线的切线的问题等，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。十七世纪的许多著名的数学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。在创立微积分方面，莱布尼茨与牛顿功绩相当。这两位数学家在微积分学领域中的卓越贡献概括起来就是：他们总结出处理各种有关问题的一般方法认识到求积问题与切线问题互逆的特征，并揭示出微分学与积分学之间的本质联系。两人各自建立了微积分学基本定理，并给出微积分的概念、法则、公式及其符号。有了这些理论知识作为前提为以后的微积分学的进一步发展奠定了坚实而重要的基础。微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。可以说微积分学的诞生是数学发展的一个里程碑式的事件。二、微积分诞生的重要意义 二、微积分诞生的重要意义 微积分诞生之前，人类基本上还处在农耕文明时期。微积分学是继解析几何产生后的又一个伟大的数学创造。微积分为创立许多新的学科提供了源泉。微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一，是人类理性思维的结晶。它给出一整套的科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强与加深了数学的作用。微积分的产生不仅具有伟大的科学意义，而且具有深远的社会影响。有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代化的社会。在微积分的帮助下，万有引力定律发现了。微积分学强有力地证明了宇宙的数学设计，摧毁了笼罩在天体上的神秘主义、迷信和神学。这切都表明微积分学的产生是人类认识史上的一次空前的飞跃。 三、微积分理论的基本介绍 微积分学是微分学和积分学的总称。微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数是互为逆运算的过程，而把上下限代入不定积分即得到积分值，微分则是导数值与自变量 增量的乘积。作为一种数学的思想微分就是“无限细分”，而积分就是“无限求和”。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，但是理论基础是不牢固的。因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算，所以，直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以，必须要利用代数处理代表无 限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以
微积分练习题及解析
练习题 1、质量为2kg 的某物体在平面直角坐标系中运动，已知其x 轴上的坐标为x=3+5cos2t ，y 轴上的坐标为y=-4+5sin2t ，t 为时间物理量，问： ⑴物体的速度是多少？ ()'10sin(2)x dx V x t t dt = ==- ()'10cos(2)y dy V y t t dt === 2210x y V V V =+= ⑵物体所受的合外力是多少? 222(3)(4)5x y -+-= 运动轨迹是圆，半径为5，所以是做匀速圆周运动 22*100405 mv F N r === ⑶该物体做什么样的运动？ 匀速圆周运动 ⑷能否找出该物体运动的特征物理量吗？ 圆心（3,4），半径5 2、一质点在某水平力F 的作用下做直线运动，该力做功W 与位移x 的关系为W=3x-2x 2,试问当位移x 为多少时F 变 为零。 34dW F x dx = =-，所以当x=3/4时，F=0 3、已知在距离点电荷Q 为r 处Ａ点的场强大小为E= KQ r 2, 请验证Ａ点处的电势公式为：U = KQ r 。 规定无穷远处电势为零，A 处的电势即为把单位正电荷缓慢的从无穷远处移到A 点所做的功 我们认为在r 变化dr 时，库仑力F 是不变的， 则2 kQq dW F dr dr r =-?=- ? 所以2 0W r kQq dW dr r ∞=-?? 即21r q kQq dr r ?∞=? 所以1|r kQ kQ r r ?∞=-=
4、某复合材料制成的一细杆OP 长为L ，其质量分布不均匀。在杆上距离O 端点为x 处取点A ，令M 为细杆上OA 段 的质量。已知M 为x 的函数，函数关系为M=kx 2，现定义线密度ρ=dM dx ,问当x=L 2 处B 点的线密度为何？ 2dM kx dx ρ= = ,2L x kL ρ∴== 5、某弹簧振子的总能量为2×10-5J ，当振动物体离开平衡位置12 振幅处，其势能E P =，动能E k =。 首先推导弹簧的弹性势能公式，设弹簧劲度系数为k ，伸长量为x 时的势能为E （x ） 弹簧所具有的弹性势能即为将弹簧从原长拉长x 时所做的功 dW F dx kx dx =?=? 00W x dW kx dx ∴=??? 2 ()2 kx E x ∴= 所以在距平衡位置12振幅处的弹性势能为总能量的14 ，即655*10, 1.5*10p k E J E J --== 6、取无穷远处电势为零。若将对电容器充电等效成把电荷从无穷远处移到电容器极板上，试问，用电压U 对电容为C 的电容器充电，电容器存储的电能为何？开始时电容器存放的电荷量为零。 0022 1122q q E Q q q dE dQ U Q dE dQ C Q E CU C =?∴=∴==?? 7、在光滑的平行导轨的右端连接一阻值为R 的电阻，导轨宽度为L ，整个导轨水平放置在方向竖直向下的磁场中，磁场的磁感应强度为B 。有一导体棒ab 垂直轨杆并停放在导轨上，导体棒与导轨有良好的接触。在t=0时刻，给导
大一微积分论文
我的微积分之旅 微积分知识总结及学习体会 微积分是很多专业的一门基础学科，它在现代自然科学中占有十分重要的地位，是学生学习技术知识的基础。微积分作为一门挂科率较高的学科，具有严密的逻辑性和高度的抽象性，而老师在一堂课中所传授的知识，常常是穷尽一个科学家或几个科学家一代或几代的研究成果，其知识容量之大可想而知。那么怎样在短短的四十五分钟内尽可能多的掌握这些知识呢？我将浅谈一下自己的看法。 通过一年的高数学习，我们知道在大学好微积分是必要的，也是必须的。学习是一个长期的过程，不要总是想着考试前几天突击下就可以，我们中的人多数还都是普通人，没有能力达到一看就会的程度。所以一定要听好每节课，做好每一次作业，打好基础才能在复习中查缺补漏。 1、预习是必要的，在讲多元复合函数求导的那节课前，我因为准备其他考试而没预习，导致两节课像坐在飞机一样云里雾里，于是只能课下去看老师发的视频和课件。发现了重点是“串并联法则”，弄懂这个一切难题就迎刃而解，如果当初预习一下，听课效率就会高很多。 2、一定要保质保量的完成作业，不要以为作业很无所谓，可能有的题目是很难，但我们一定要自己做出来。如果实在做不出来的话，看看老师发的答案也是可以的，前提是自己之前思考过。公式定理一定要背，这些是学习微积分的基本工具，只有弄懂练熟公式与定理的使用，我们才能更好的应用到题目中去。 3、大学里的学习课后巩固很重要,光靠一周两次课的学习,远远不够。并且, 课上老师可能会因为进度问题而讲得很快, 很多时候我们会跟不上老师的速度, 这时, 如果课后不再看例题, 课上的疑问会永远得不到解答。在此情况下谈想进步是不可能的。 那么我们具体该怎么学习微积分呢？在第一章的函数，我了解了什么是函数，如何求函数的定义域、奇偶性、周期性和数值，函数复合的计算。重点是充分理解复合函数、反函数和初等函数这些特殊的函数，熟悉它们的表达式、图像和计算方法。弄懂前面的基础，就到了函数在经济学中的应用，供给、需求、总成本、总收益、总利润函数，它们的计算和之间的关系。 第二章是极限与联系。内容有证明极限，证明连续，证明间断点，无穷大与无穷小等。我觉得最主要的是求函数的极限，方法有很多(1)消去零因子法；(2)同除最高次幂；(3)分子或分母有理化；(4)利用无穷小运算性质(有限个无穷小之和仍为无穷小，无穷小与有界函数的积仍为无穷小）；(5)复合函数求极限法则； (6)利用左、右极限求分段函数极限；(7)利用两类重要极限；(8) 利用等价无穷小代换；(9) 利用连续函数的性质(代入法)；(10) 利用洛必达法则。具体运用哪一种方法，还需要我们通过多做题来知晓。 第三章是导数与微分。最基础的就是背好公式，然后再多加练习。反函数、复合函数、隐函数、高阶导数是比较重要的，关键还是要牢记公式定理。在这一 章我们还学习到了经济应用“边际与弹性”，边际函数 平均函数 第四章中值定理与导数有点难度，首先是三个中值定理“罗尔定理”、“拉格朗日中值定理”、“柯西中值定理”，这三个定理分别满足的条件是必须背下来的。洛必达法则是求0/0型、∞/∞型、0*∞型等未定式的极限的一个重要方法。导
微积分中10大经典问题
微积分中10大经典问题 最初的想法来自大一，当时想效仿100个初等数学问题，整理出100个经典的 高等数学问题（这里高等数学按广义理解）。可惜的是3年多过去了，整理出 的问题不足半百。再用经典这把尺子一量，又扣去了一半。 这里入选原则是必须配得起“经典”二字。知识范围要求不超过大二数学系水平， 尽量限制在实数范围内，避免与课本内容重复。排名不分先后。 1）开普勒定律与万有引力定律互推。绝对经典的问题，是数学在实际应用中的光辉 典范，其对奠定数学科学女皇的地位起着重要作用。大家不妨试试，用不着太多的专业知识，不过很有挑战性。重温下牛顿当年曾经做过的事，找找当牛人的感觉吧，这个问题是锻炼数学能力的好题！ 2）最速降线问题。该问题是变分法中的经典问题，不少科普书上也有该问题。答案 是摆线（又称悬轮线），关于摆线还有不少奇妙的性质，如等时性。其解答一般变分书上均有。本问题的数学模型不难建立，即寻找某个函数，它使得某个积分取最小值。这个问题往深层次发展将进入泛函领域，什么是泛函呢？不好说，一个通俗的解释是“函数的函数”，即“定义域”不是区间，而是“一堆”函数。最速降线问题通过引 入光的折射定律可以直接化为常微分方程，大大简化了求解过程。不过变分法是对这类问题的一般方法，尤其在力学中应用甚广。 3）曲线长度和曲面面积问题。一条封闭曲线，所围面积是有限的，但其周长却可以 是无限的，比如02年高中数学联赛第14题就是这样一条著名曲线-----雪花曲线。 如果限制曲线是可微的，通过引入内折线并定义其上确界为曲线长度。但把这个方法搬到曲面上却出了问题，即不能用曲面的内折面的上确界来定义曲面面积。德国数学家H.A.Schwarz举出一个反例，说明即使像直圆柱面这样的简单的曲面，也可以具有面积任意大的内接折面。 4）处处连续处处不可导的函数。长久以来，人们一直以为连续函数除了有限个或可数无穷个点外是可导的。但是，魏尔斯特拉斯给出了一个函数表达式，该函数处处连续却处处不可导。这个例子是用函数级数形式给出的，后来不少人仿照这种构造方式给出了许多连续不可导的函数。现在教材中举的一般是范德瓦尔登构造的比较简单的例子。至于魏尔斯特拉斯那个例子，可以在齐民友的《重温微积分》中找到证明。其实上面那个雪花曲线也是一条处处连续处处不可导的曲线。
高等教育数学微积分发展史论文
微积分发展应用史 学院：数学与计算机科学学院 专业：数学与应用数学（1）班 【摘要】：由于函数概念的产生和运用的加深,也由于科学技术发展的需要,一门新的数学分支就继解析几何之后产生了,这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十 分重要的,可以说它是继欧氏几何后,全部数学中的最大的一个创造。整个17世纪有数十位 科学家为微积分的创立做了开创性的研究,但使微积分成为数学的一个重要分支还是牛顿和 莱布尼茨。 【关键词】：解析几何建立牛顿莱布尼兹发展史 【正文】 如果将整个数学比作一棵大树,那么初等数学是树的根,名目繁多的数学分支是树枝,而 树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。从17世纪开始, 随着社会的进步和生产力的发展,自文艺复新以来在资本主义生产力刺激下蓬勃发展的自然 科学开始迈入综合与突破阶段，而这种综合与突破所面临的数学困难，是的微积分学的基本问题空前的成为人们关注的焦点：确定非匀速运动物体的速度与加速度使瞬时变化率问题成为研究;望远镜的光程设计需要确定透镜曲面上任意一点的法线这就是人以曲线的切线问题 变得不可回避；确定炮弹的最大射程及寻求行星轨道的近日点与远日点等涉及的函数极大值、极小值问题也亟待解决与此同时，行星眼轨道运行的路程，行星矢径扫过的面积及物体的重心和引力的计算有使微积分学的基本问题——面积、体积、曲线长、重心和引力的计算的兴趣被重新激发起来。在十七世纪中叶几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些难题的新的数学工具，在这种特殊的背景下微积分学即将应运而生。
任何新事物的产生都有一个准备的过程，微积分的诞生也不会例外，德国天文学家数 学家开普勒(Johannes Kepler,1571-1630)，意大利数学家卡瓦列里(Bonaventura Cavalier i,1598-1647)都为此做出不可磨灭的贡献，但他们主要采用几何方法并集中于积分问题，解析几何的诞生改变了这一状况，其创始人笛卡尔和费马将坐标方法引进微分学问题研究的先锋，笛卡尔在《几何学》中提出了切线的所谓“圆法”，其本质作为一种代数方法，在推动微积分的早期发展中有着很大影响，牛顿就是以笛卡尔原发为起点高踏上了研究微积分的道路。牛顿通过对反复阅读笛卡尔《几何学》，对笛卡尔求切线的“圆法”产生浓厚的兴趣，并试图寻找解决该问题的最优方法，在1665年夏至1667年春终于功夫不负有心人，在探讨微积分方向取得突破性进展，并将研究成果整理成一篇总结性论文，此文献现在称为《流数简论》(Traction Fluxions)（因为牛顿当时并没有发表，只是在研究同人中间传阅），成为历史上最早系统的微积分文献，标志作为积分的诞生。 《流数简论》充分反映了牛顿微积分学的的运动背景，该文事实上以速度形式引进了“流数”（即微商）的概念，虽然没有使用流数这一术语，但却在其中提出了微积分的基本问题，虽然《简论》对微积分的基本定理的论述不能算是现代意义上的严格证明，但是牛顿再后来的著作中队高问题做了不依赖于运动清楚证明。不过此时的微积分在很多方面还不成熟，牛顿对自己的成果并未做宣扬，而是用1667-1693这段时间的大约四分之一来不断该今晚 自己的微积分学说，最终将研究成果议论文的形式总结出来，这些论文有：《运用无限多项的分析》（De Analysi per Aequationes Numero Terminnrum Infinitas）、《流数法与无穷级数》（Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum）,《曲线求积数》（Tractatus de Quadratura Curvarum）。最后一篇作为牛顿最成熟的微积分著述，在其中对以前的 不足之处做了大量的改进，重新重视无限小瞬0的作用，并强调在数学中，最小的误差也 不能被忽略……就是这种严谨的科学态度，最终成为了那个时代的历史巨人。
微积分基本定理导学案
微积分基本定理导学案 【学习要求】 1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的积分． 【学法指导】 微积分基本定理不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，而且还提供了计算定积分的一种有效方法. 【知识要点】 1．微积分基本定理：如果f(x)在区间[a，b]上可积，并且_________，那么?b a f(x)d x ＝． 2．定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则 （1）当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则?b a f(x)d x＝． （2）当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则?b a f(x)d x＝_______． （3）当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则?b a f(x)d x＝，若S上＝S下，则?b a f(x)d x＝. 【问题探究】 探究点一微积分基本定理 问题1如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段[a，b]内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？ 问题2对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使F′(x)＝f(x)? 例1计算下列定积分：
（1）?211x d x ； （2）?31(2x －1x 2)d x ； （3）?0－π(cos x －e x )d x . 跟踪训练1 计算下列定积分： （1）?1025x 4d x ； （2）?31(x ＋1x )26x d x . 探究点二 分段函数的定积分 例2 已知函数f (x )＝????? sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4. 先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分． 跟踪训练2 （1）设f (x )＝????? x 2， x ≤0，cos x －1， x >0， 求?1－1f (x )d x ； （2）求?a －a x 2d x (a >0)． 探究点三 定积分的应用 例3 计算下列定积分：?π0sin x d x ，?2ππsin x d x ，?2π0 sin x d x .由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论． 跟踪训练3 求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54 π，y ＝0所围图形的面积(如图所示)． 【当堂检测】 1． (1＋cos x )d x 等于 ( ) A ．π B ．2 C ．π－2 D ．π＋2 2．若?a 1(2x ＋1x )d x ＝3＋ln 2，则a 的值是 ( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 3．?20(x 2－23x )d x ＝_______ 4．已知f (x )＝??? 4x －2π，0≤x ≤π2， cos x ，π2 微积分论文
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微积分中的导数思想与应用 蔡淑铭 摘要：微积分在天文、力学、数学、化学、生物学、物理学、工程学和社会科学等领域都有什么样重要的作用,微积分的基本原理和思想在我们的日常生活中、学习、工作中也经常用到。一、导数在经济学中的应用导数反映函数的自变量在变化过程中,相应的函数值变化的快慢程度——变化率。如果在函数y- f(x)在某一点x_0处可导的前提下,若函数y-f(x)在某区间内每一点处都可导,则称y=f(x)在该区间内可导,记y=f'(x)为y=f(x) 在该区间内的可导函数(简称导数)。 关键词：流数术、可导、变化 1.导数的概念 导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量X 在一点x 上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的 比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x 0处的导数，记作f'(x )或 df/dx(x )。 导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。 不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。 对于可导的函数f(x)，x?f'(x)也是一个函数，称作f的导函数。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。 2.导数的历史沿革 2.1起源
微积分心得体会范文
微积分心得体会范文 学好微积分的意义有如下几点： 1 重要性 西方分析权威 R. 柯朗说 :" 微积分 , 或者数学分析 , 是人类思维的伟大成果之一 . 它处于自然科学与人文科学之间的地位 , 使它成为高等教育的一种特别有效的工具 . 微积分是人类智力的伟大结晶 . 它给出一整套的科学方法 , 开创了科学的 __ , 并因此加强与加深了数学的作用 . 恩格斯说 :" 在一切理论成就中 , 未必再有什么像 17 世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了 . 微积分已成为现代人的基本素养之一 , 微积分将教会你在运动和变化中把握世界 , 它具有将复杂问题化归为简单规律和算法的能力 . 没有微积分很难理解现代社会正在发生的变化 , 很难跟上时代的脚步 . 2 牛顿革命 牛顿把他的书定名为《自然哲学的数学原理》 , 目的在于向世人昭示他将原理数学化的过程 , 即他构造了一种自然哲学 , 而不是一般的哲学 . 牛顿的《自然哲学的数学原理》 , 不仅在原理的发展上 , 在命题的证明和应用上是数学的。在哲学上引出了 " 决定论
" 的世界观 . 那就是 , 大自然有规律 , 我们能够发现它们 . 对这一世界观表达最清楚的是数学家拉普拉斯 . 在他的《概率的哲学导论》中 , 他雄辩地指出 ," 假设有一位智者 , 在任意给定的时刻 , 他都能洞见所有支配自然界的力和组成自然界的存在物的相互位置 , 假使这一智者的智慧巨大到足以使自然界的数据得到分析 , 他就能将宇宙中最大的天体和最小的原子的运动统统纳入单一的公式之中。 " 3 微积分产生的主要因素 当代著名数学家哈尔莫斯说 , 问题是数学的心脏 . 那么促使微积分产生的主要问题是什么呢微积分的创立首先是为了处理下列四类问题 . 1) 已知物体运动的路程与时间的关系 , 求物体在任意时刻的速度和加速度 . 反过来 , 已知物体运动的加速度与速度 , 求物体在任意时刻的速度与路程 . 困难在于 17 世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化 . 计算平均速度可用运动的时间去除运动的距离 . 但对瞬时速度 , 运动的距离和时间都是 0, 这就碰到了 0/0 的问题 . 这是人类第一次碰到这样微妙而费解的问题 .
微积分的起源与发展
微积分的起源与发展 主要内容： 一、微积分为什么会产生 二、中国古代数学对微积分创立的贡献 三、对微积分理论有重要影响的重要科学家 四、微积分的现代发展 一、微积分为什么会产生 微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所着的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。 到了十七世纪，哥伦布发现新大陆，哥白尼创立日心说，伽利略出版《力学对话》，开普勒发现行星运动规律－－航海的需要，矿山的开发，火松制造提出了一系列的力学和数学的问题，这些问题也就成了促使微积分产生的因素，微积分在这样的条件下诞生是必然的。归结起来，大约有四种主要类型的问题： 第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。 已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。 困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是0，而0 / 0 是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。 第二类问题是求曲线的切线的问题。 这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。 困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个没有解决的问题。 古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。 第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。 十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以45°角发射炮弹时，射程最大。研究行星运动也涉及最大最小值问题。 困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。
微积分基本定理教案
1.6微积分基本定理 一：教学目标 知识与技能目标 通过实例，直观了解微积分基本定理的内容，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 二：教学重难点 重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理 的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点：了解微积分基本定理的含义 三：教学过程： 1、知识链接： 定积分的概念： 用定义计算的步骤： 2、合作探究： ⑴导数与积分的关系; 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。有没有计算定积分的更直接方法，也是比较一般的方法呢？ 下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例： 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为2 1()T T v t dt ?。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1()T T v t dt ?=12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 说出你的发现 ⑵ 微积分基本定理 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-?？ 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 设()()F x f x '=则在[,]a b 上，⊿y=()()F b F a - 将[,]a b 分成n 等份，在第i 个区间[x i-1,x i ]上，记⊿yi=F(x i )-F(x i-1),则 ⊿y=∑⊿y i 如下图，因为⊿h i =f(x i-1) ⊿x 而⊿y i ≈⊿h i 所以 ⊿y ≈∑⊿h i =∑f(x i-1) ⊿x 故
关于高等数学论文
《高等数学》 期末课程总结 姓名：张桂花 班级： 12级采矿01班 系别：环境与城市建设学院 高等数学论文 摘要： 经过一个学期的学习，对于高数我又有了一个更深的了解，大一上学期主要是了解高数一些最基本的东西，等到了下学期，主要是对上学期所学知识进行一定的延伸和拓展，在原有学习的基础上更深入的了解其精髓，对于我们更深刻的掌握高数这门学科有很大的好处。这一学期里我们重点学习了高数中的导数、微分和积分的扩充，即从对一元函数的求导到对多元函数的求导，求偏导和求全微分，从一重积分扩充到二重积分和三重积分，但是之前的一重积分主要是运算，但是重积分则更加注重在其运用上，积分也从之前的对某一个区域积分延伸到对曲线积分和曲面积分上。另外，这学期也新引入了无穷级数和微分方程。经过一学期的学习，我认识到了数学里一些更加新奇的东西，以前我们都很难计算的无穷数列在无穷级数的学习后得以解决了，而且还可以将一些难以求解的级数通过转化和变形成为我们熟悉的级数形式然后进行求解，这让我想到了我们生活中的很多东西都是这样的，当我们遇到困难不能解决的时候，我们就要习惯产生联想，将这种问题想方法转化为我们熟悉的能解决的东西在进行处理，这些都是我们的高数在不知不觉中一直告诉我们的真谛。数学也训练我们的逻辑思维能力，它在一方面让
我们大胆的去假设，另一方面又需要我们去小心的求证，只有我们证明确实成立的东西我们才能进一步的运用，但是不得不让人佩服的就是数学的逻辑性，同时它也在训练者我们，只有我们在每一个数学环节都严谨的去学习去证明去求解，我们的结果才会正确。 关键词：导数，微分，重积分，级数。 正文： 高等数学下册主要是围绕导数、微分、积分、无穷级数展开的。 首先，第七章主要是函数的微分，上学期我们学习的是一元函数积分，但是实际问题中，往往涉及多个因素之间的关系，反映到数学上就是表现为一个变量依赖于多个变量的情形，从而产生了多元函数的概念，这在高等数学里占据了主要的位置，这一章主要介绍了多元函数的求导、求极值。隐函数的微分方法，还介绍了方向导数、梯度等新概念，还将多元函数的微分应用在几何上，和以前所学的内容很好的结合起来了，为我们提供了更多的解题方法和更灵活的解题思路，对于我们整体的掌握好高数的精华很重要。在这一章节中我们需要重点掌握的有以下几点：1、二重极限的概念，2、可导（导数的定义），3、可微的定义。首先我们要清楚二重极限的概念，需要注意的就是定义里的定点如p0(x0,y0),这里的点p(x,y)是按照任意方式趋近于p0的。还要注意它和二次极限的区别，二次极限 是对一个函数f(x,y)先后分别对x →x0,y →y0求极限A y x f y x y x =→),(lim ) 0,0(),(而二重极限则是对函数f(x,y)当x →x0且y →y0时求极限A y x f y y x x =→→),(lim lim 0 0。求是否存在二重极限时可以用取线路的方法，若取不同的线路求得的二重极限的结果一致则存在，否则就不存在。对于可微，我们要掌握多元函数的全微分的求导，重点注意可微，可导，连续之间的关系。还有就是要知复合函数的微分法，隐函数的微分
高中数学16微积分基本定理(教案)
三、教学过程 1、复习： 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 2 1 ()T T v t dt ? 。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1 ()T T v t dt ? =12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算 ()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明：因为()x Φ= ()x a f t dt ? 与()F x 都是()f x 的原函数，故 ()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤） 其中C 为某一常数。 令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ= ()a a f t dt ? =0 即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a f t dt ? 令x b =，有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求 定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
