数列1

2015-2016学年度???学校4月月考卷

试卷副标题

第I 卷（选择题）

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一、选择题（题型注释）

1．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足()

22n n n 2S 3n 4S ---﹣2（3n 2

﹣n ）=0，n ∈N *

．则数列{a n }的通项公式是（ ）

A ．a n =3n ﹣2

B ．a n =4n ﹣3

C ．a n =2n ﹣1

D ．a n =2n+1

2．在等比数列{a n }a 6a 7a 8a 9a 10a 11a 12a 13=（ ） A ．4 B ．

C ．2

D ．

3．若a ，b ，c 成等比数列，m 是a ，b 的等差中项，n 是b ，c 的等差中项，则=（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

4．在等比数列{a n }中，已知a 1=9，q=﹣，a n =，则n=（ ）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

5．已知等差数列{a n }中，a n =4n ﹣3，则首项a 1和公差d 的值分别为（ ） A ．1，3 B ．﹣3，4 C ．1，4 D ．1，2

6．已知正项等比数列{}n a 满足54328a a a a +--=，则67a a +的最小值为（ ） A ．4 B ．16 C ．24 D ．32

7．等差数列{a n }中，a 4+a 8=10，a 10=6，则公差d 等于（ ） A ． B ． C ．2 D ．﹣ 8．已知}{n a 是公差为的等差数列，n S 为}{n a 的前n 项和.若1462,,a a a 成等比数列，则=5S （ ）

A ．35 C ．25

9．已知{}n a 是等差数列，若7916a a +=，41a =，则12a = （ ） A ． 15 B ．30 C ．31 D ．64

10．已知数列{}n a 是递增数列，且对任意*

n N ∈都有2n a n bn =+成立，则实数b 的

取值范围是（ ）

A ．(0,)+∞ C ．(2,)-+∞ D ．(3,)-+∞ 11．已知等差数列{}n a 中，512716,1a a a +==，则10a 的值是（ ）

A ．15

B ．30

C ．31

D ．64

12 ）

A C 13．已知数列{}n a 是递增数列，且对任意*n N ∈都有2n a n bn =+成立，则实数b 的取值范围是（ ）

A ．(0,)+∞ C ．(2,)-+∞ D ．(3,)-+∞ 14．已知等差数列{}n a 中，512716,1a a a +==，则10a 的值是（ ） A ．15

B ．30

C ．31

D ．64

15A C 1617．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，511a =，12186,S = 则8a =（ ） （A ）18 （B ）20 （C ）21 （D ）22

18．已知数列{}n a 的通项公式5n a n =-，其前n 项和为n S ，将数列{}n a 的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前3项，记{}n b 的前n 项和为n T ，若存在*

m N ∈，使对任意*

n N ∈，总有n n S T λ<+恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）

A ．2λ≥

B ．3λ>

C ．3λ≥

D ．2λ>

19．已知正项等比数列{}n a ，满足54329a a a a +--=，则67a a +的最小值为（ ） A ．9 B ．18 C ．27 D ．36

20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足515S =-，，则当n S 取得最小值时n 的值为（ ）

A ．7

B ．8

C ．9

D 21．数列{}n a 的通项公式为其前n 项和为n S ，则2016S =（ ） A ．1008 B ．-1008 C ．-1 D ．0

22．等差数列{}n a 中，35a =，4822a a +=，则9a 的值为（ ） A ．14 B ．17 C ．19 D ．21

23．在等差数列{}n a 中，235a a +=，14a =，则公差d 等于（ ）

A ．-1

B ．0

C

D ．1 24．已知n S 为数列}{n a 的前n 项和，若)cos 2()cos 4(ππn n n a n -=+，则=20S （ ） A ．31 B ．122 C ．324 D ．484 25．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4猜想a n 等于（ ）

A.

B.

26．设a n S n =a 1+a 2+…+a n .在S 1,S 2,…,S 100中，正数的个数是（ ） A.25 B.50 C.75 D.100

27．数列1,

23, 35,47,5

9,…的一个通项公式a n 是（ ） A. 21n n + B.23n n - C.21

n n - D. 23n n +

28．已知数列2008，2009，1，－2008，…若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2014项之和2014S 等于（ ） A ．2015 B ．2014 C ．2010 D ．2016 29．已知数列{}n b 是等比数列，9b 是1和3的等差中项，则216b b =（ ） A ．16 B ．8 C ．2 D ．4 30．等差数列}{n a 中，20,873==a a ，若数列的前n 项和为则n 的值为（ ）

A 、18

B 、16

C 、15

D 、14 31．正项等比数列{}n a 中的 1a ，4031a 是函数

）

A ．1-

B ．1

C ．2 32．在等比数列{a n }中，a 1=8，a 4=a 3a 5，则a 7=（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

33．已知等比数列{a n }的公比为3，且a 1+a 3=10，则a 2a 3a 4的值为（ ） A ．27 B ．81 C ．243 D ．729

34．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A 、B 、C 的对边，已知sinA ，sinB ，sinC 成等比数列，

且a 2

=c （a+c ﹣b ），则角A 为（ ）

A． B． C． D．

35．已知等差数列{a n}中，a1+a3=16，则a2=（）

A．7 B．8 C．9 D．10

36．在△ABC中，a，b，c分别是A、B、C的对边，已知sinA，sinB，sinC成等比数列，且a2=c（a+c﹣b），则角A为（）

A． B． C． D．

37．设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0，则等于（）

A．11 B．5 C．﹣8 D．﹣11

38．下列四个命题：

①一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真；

②等差数列{a n}中，a1=2，a1，a3，a4成等比数列，则公差为﹣；

③已知a＞0，b＞0，a+b=1，则+的最小值为5+2；

④在△ABC中，若sin2A＜sin2B+sin2C，则△ABC为锐角三角形．

其中正确命题的序号是．（把你认为正确命题的序号都填上）

39．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣40，a6+a10=﹣10，则当S n取最小值时，n 的值为（）

A．8或9 B．9 C．8 D．7

40．在等比数列{a n}中，a1=4，a4=﹣，则{a n}的前10项和等于（）

A．3（1﹣3﹣10） B．（1﹣3﹣10） C．﹣6（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10）41．已知各项均为正数的等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a5﹣=0，则S7=（）

A．8 B．13 C．14 D．20

42．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，且a1＞0．若S2＞2a3，则q的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

43．数列a n=，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线（n+1）x+y+n=0

在y轴上的截距为（）

A．﹣10 B．﹣9 C．10 D．9

44．已知等差数列{a n}中，a7+a9=4，则a8的值是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

45．已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3a7=4a42，a2=2，则a1=（）

A． B．1 C．2 D．

46．已知数列{a n}满足a1=1，，则254是该数列的（）

A．第14项 B．第12项 C．第10项 D．第8项

47．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=6，a1=4，则S5等于（）

A．﹣2 B．0 C．5 D．10

48．已知函数f（x）=（a＞0，a≠1），把函数g（x）=f（x）

﹣x的零点按照从小到大的顺序排成一个数列{a n}，则a2016的值为（）

A．008 B．2015 C．2016 D．4032

49．已知数列{a n}满足a n+1=若a1=，则a2012的值为（）A． B． C． D．

第II 卷（非选择题）

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二、填空题（题型注释）

50．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵（同垛）之．问底子（每层三角形边茭草束数，等价于层数）几何？”中探讨了“垛枳术”中的落一形垛（“落一形”即是指顶上1束，下一层3束，再下一层6束，…，成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层茭草束数），则本问题中三角垛底层茭草总束数为 ．

51．在等差数列{a n }中，a 1，a 2，a 4这三项构成等比数列，则公比q= ．

52．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如下图中的实心点个数1，5，12，22，…， 被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作

422a =，……，若按此规律继续下去，

(1) 5a =_________；

(2) 若117n a =，则n ．

53．数列{}n a 满足：*112(1,)n n n a a a n n N -++>>∈，给出下述命题： ①若数列{}n a 满足：21a a >，则*1(1,)n n a a n n N ->>∈成立； ②存在常数c ，使得*()n a c n N >∈成立；

③若p q m n +>+（其中*,,,p q m n N ∈），则p q m n a a a a +>+；

④存在常数d ，使得*1(1)()m a a n d n N >+-∈都成立． 上述命题正确的是________．（写出所有正确结论的序号）

54．在等差数列}{n a 中，首项31=a ，公差2=d ，若某学生对其连续10项求和，在

遗漏一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为 . 55．数列{}n a 满足()1121n

n n a a n ++-=-，{}n a 的80项和

为 .

56．已知等比数列{}n a 为递增数列，其前n 项和为n S ，若?+==2

33)34(,8dx x S a ，

则公比=q _____.

57．记等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1OB a ＝200OA a OC

＋，且A 、B 、C 三点共

线（该直线不过原点O ），则S 200＝_________.

58．若正项等比数列{}n a 满足243a a +=，351a a =，则公比 59．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若61012+8a a a -=，1484a a -=，则

60．已知数列{a n }，{b n }满足a 1=，a n +b n =1，b n+1=

（n ∈N *

），则b 2015= ．

61．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知数列{S n }是首项和公比都是3的等比数列，则{a n }的通项公式a n = ． 62．数列1，

，

，…，

的前n 项和为 ．

63．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则{a n }的公比为 ． 64．在等差数列{a n }中，已知a 2+a 8=11，则3a 3+a 11的值为 ． 65．设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n =8a n ﹣1，则

= ．

66．等比数列{a n }的前4项和为4，前12项和为28，则它的前8项和是（ ） A ．﹣8 B ．12 C ．﹣8或12 D ．8

三、解答题（题型注释）

67．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3=6，a 5+a 7=24． （Ⅰ）求等差数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）求数列

的前P 项和T n ．

68．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n =3S n ﹣2（n ∈N *

）． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{na n }的前n 项和T n ． 69．在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知a 6=S 6=﹣3；数列{b n }满足：b n+1=2b n ，b 2+b 4=20． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）设

，求数列{c n }前n 项和T n ．

70．已知等差数列{a n }的首项为a ，公差为b ，且不等式log 2（ax 2

﹣3x+6）＞2的解集为{x|x ＜1或x ＞b}．

（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n 公式；

（Ⅱ）求数列

的前n 项和T n ．

71．在等比数列{a n }中，a 1?a 2?a 3=27，a 2+a 4=30试求： （1）a 1和公比q ； （2）前6项的和S 6．

72．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：530S =，10110S =，数列{}n b 的前n 项和n T 满足：11b =，121n n b T +-=. （Ⅰ）求n S 与n b ；

（Ⅱ）比较n n S b 与2n n T a 的大小，并说明理由. 73．已知点（x ，y ）是区域

，（n ∈N *

）内的点，目标函数z=x+y ，z 的最大

值记作z n ．若数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，且点（S n ，a n ）在直线z n =x+y 上．

（Ⅰ）证明：数列{a n ﹣2}为等比数列； （Ⅱ）求数列{S n }的前n 项和T n ．

74．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，满足25225=-a S ，且1341,,a a a 恰为等比数列{}n b 的前三项. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；

（2）设n T 是数列的前n 项和，

是否存在*

∈N k ，

若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.

75．已知各项均为正数的等比数列}{n a 的前三项为a a 2,4,2-，记前n 项和为n S . （Ⅰ）设62=k S ，求a 和k 的值；

（Ⅱ）令n n a n b )12(-=，求数列}{n b 的前n 项和n T .

76．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1413,,a a a 成等比数列.

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2

1公比为2 的等比数列，求数列{}n b 前n 项和n T . 77．设数列{}n a 满足：1113n n a a a +==，，*

n N ∈．设n S 为数列{}n b 的前n 项和，已知10b ≠，112n n b b S S -=，*

n N ∈．

（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；

（2）设3log n n n c b a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 78．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且248,4a a ==． （1）求9a ；

（2）求n S 的最大值．

79．若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为*()m b m N ∈，则称为数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是数列{}n a 生成{}m b 的控制函数． （1）已知2n a n =，且2

()f m m =，写出123b b b 、、； （2）已知2n a n =，且()f m m =，求{}m b 的前m 项和m S ；

（3）已知2n n a =，且3*()()f m Am A N =∈，若数列{}m b 中，125,,b b b 是公差为

(0)d d ≠的等差数列，且310b =，求d 的值及A 的值．

80．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且248,4a a ==． （1）求9a ；

（2）求n S 的最大值．

81．数列{}n a 满足21=a ，)1(--=n n na S n n （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2，求数列{}n b 的前n 项和n T .

82．已知数列{}

2n

n a -为等差数列，且1

38,26a a ==．

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．

83．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，常数0λ>，且11n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设10,100a λ>=，当n 为何值时，数列的前n 项和最大？

84．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==，

2322b b a +=，3232a b -=.

（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；

（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n S 和n T 的值. 85．已知数列{}n a 的前n 项和为

（1）计算1234,,,S S S S ；

（2）猜想n S 的表达式，并证明你的结论.

86．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且53=a ，

1242,,a a a 成等比数列.数列{}n b 的每一项均为正实数，其前n 项和为n S ，且满足)(3242

*∈-+=N n b b S n n n .

（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对*∈?N n 恒

成立，求正整数n 的最大值.

87．已知数列}{}{n n y x 、满足121==x x ，221==y y ，并且

1

1-+=n n n n x x

x x λ，1

1-+≥n n n n y y

y y λ（λ为非零参数，=n 2，3，4，…）. （1）若531x x x 、、成等比数列，求参数λ的值； （2）当0>λ时，证明

n

n n n y x y x ≤++11（*

N n ∈）； （3）当1>λ时，证明

11222233111

n n n n x y x y x y x y x y x y λλ-----+++<

----L （*

N n ∈）. 88．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令1

1

4(1)n n n n n

b a a -+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 89．数列{}n a 满足11a =,132n n n a a +=+．

（1）求证数列{}2n

n

a+是等比数列；

（2）证明：对一切正整数n ，有

90．已知正项数列{a n}，其前n项和S n 满足，且a2是a1和a7的等比中项．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）符号[x]表示不超过实数x的最大整数，

记

，求

．

91．已知{a n}为等比数列，a1=1，a6=243．S n为等差数列{b n}的前n项和，b1=3，S5=35．（1）求{a n}和{B n}的通项公式；

（2）设T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，求T n．

92．已知等差数列{a n}的前n项和记为S n，公差为2，且a1，a2，a4依次构成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式与S n

（2）数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项和T n．

93．已知等差数列{a n}的前n项和记为S n，公差为2，且a1，a2，a4依次构成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式与S n

（2）数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项和T n．

94．已知数列{a n}满足a1=1，且点（a n，a n+1）（n∈N*）在直线y=x+1上；数列{b n}的前n 项和S n=3n﹣1．

（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；

（2）若数列{a n×b n}的前n项和为T n，求使T n＜8S n+成立的最大数n的值．

95．已知数列{a n}的各项均为正数，S n为其前n项和，对于任意的n∈N*，满足关系式2S n=3a n﹣3．

（

I）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{b n}的通项公式是b n n项和为T n，求证：对于任意

的n∈N*总有T n＜1．

96．已知数列{a n}的前n项和S n=2n2+n，n∈N*．

（1）求{a n}的通项公式；

（2）若数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N*，求数列{a n×b n}的前n项和T n．

97．已知数列{a n}是等差数列，a2=6，a5=12；数列{b n}的前n项和是S n，且S n+b n=1．（1）求数列{a n

}和{b n}通项公式；

（2）记c n {c n}的前n项和为T n，若T n＜对一切n∈N*都成

立，求最小正整数m．

98．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S3=0．

（1）求{a n}的通项公式；

（2）{b n}为等比数列，且b1=2a1，b2=a6，求{b n}的前n项和B n．99．在等差数列{a n}中，公差d≠0，a1=7，且a2，a5，a10成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式及其前n项和S n；

（2

{b n}的前n项和T n．

100．已知数列{a n}，{b n}（b n≠0，n∈N*）满足b n+1

a1=b1=1．

（1）令c n =，求数列{c n}的通项公式；

（2）若数列{b n}为各项均为正数的等比数列，且b32=9b2b6，求数列{a n}的前n项和．

参考答案

1．A 【解析】

试题分析：由满足()

22n n n 2S 3n 4S ---﹣2（3n 2

﹣n ）=0，n ∈N *

．变形为：

（S n +2）=0．已知数列{a n }的各项均为正数，可得2S n =3n 2

﹣n ，利用

递推关系即可得出． 解：由满足﹣2（3n 2

﹣n ）=0，n ∈N *

． 因式分解可得：

（S n +2）=0，

∵数列{a n }的各项均为正数，

∴2S n =3n 2

﹣n ，

当n=1时，2a 1=3﹣1，解得a 1=1．

当n≥2时，2a n =2S n ﹣2S n ﹣1=3n 2﹣n ﹣2[3（n ﹣1）2

﹣（n ﹣1）]=3n ﹣2， 当n=1时，上式成立． ∴a n =3n ﹣2． 故选：A ．

考点：数列递推式． 2．A 【解析】

试题分析：直接利用等比数列的性质求解即可． 解：在等比数列{a n }中，已知，

则a 6a 7a 8a 9a 10a 11a 12a 13==4．

故选：A ．

考点：等比数列的性质． 3．C 【解析】

试题分析：由题意可知，

，所以

=

=

．

解：由题意可知，，

∴

=

=

=

． 故选C ．

考点：数列的应用． 4．B 【解析】

试题分析：由等比数列的性质可知，，代入可求n

解：由等比数列的性质可知，

∴

∴n=5 故选B

考点：等比数列的通项公式． 5．C 【解析】

试题分析：利用等差数列的通项公式及其首项a 1和公差d 的意义即可得出． 解：∵等差数列{a n }中，a n =4n ﹣3， ∴a 1=4×1﹣3=1，a 2=4×2﹣3=5． ∴公差d=a 2﹣a 1=5﹣1=4．

∴首项a 1和公差d 的值分别为1，4． 故选：C ．

考点：等差数列的通项公式． 6．D 【解析】

试题分析：由54328a a a a +--=得()

()2

2118a q q +-=，因为{}n a 是正项等比数列，所

以由()()2

2118a q q +-=知1q >，所以

,当且仅当

D. 考点：1、等比数列；2、均值不等式. 7．A 【解析】

试题分析：由102684==+a a a ，即56=a ，又610=a ，所以1564=-=d ，故 考点：等差数列通项公式. 8．C 【解析】

的等差数列，n S 为}{n a 的前n 项和，1462,,a a a 成等比数

列，故选C.

考点：等差数列的通项公式及求和. 9．A 【解析】

试题分析：因为{}n a 是等差数列，所以79412a a a a +=+，所以1216115a =-=．故选A ．

考点：等差数列的性质． 10．D 【解析】

试题分析：因为*n N ∈，{}n a 递增，所以，3b >-．故选D ． 考点：二次函数的性质，数列的单调性． 11．A 【解析】

试题分析：由等差数列的性质知512710a a a a +=+，所以1016115a =-=．故选A ． 考点：等差数列的性质． 12．D 【解析】

试题分析：A B C D 中11a =，因此首先排除A 、B 、C ，故选D ．

考点：数列的通项公式． 13．D 【解析】

试题分析：因为*n N ∈，{}n a 递增，所以，3b >-．故选D ． 考点：二次函数的性质，数列的单调性． 14．A 【解析】

试题分析：由等差数列的性质知512710a a a a +=+，所以1016115a =-=．故选A ． 考点：等差数列的性质． 15．D 【解析】

试题分析：A B C D 中11a =，因此首先排除A 、B 、C ，故选D ．

考点：数列的通项公式． 16．C 【解析】

所以首项为14a =

考点：等比数列求和 17．B 【解析】

试题分析：由等差数列的前

n 项和公式及等差数列的性质得

又511a =，所以820a =，故选B.

考点：等差数列的前n 项和公式. 18．D 【解析】

试题分析：由题意知1234,2,1b b b === ，设等比数列n b 的公比为q

得48m T ≤<．故m a

x 45()1

0n S S S ===，

若存在*m N ∈，使对任意*

n N ∈，总有n m S T λ<+，则108λ<+，得2λ>，故选D ．

考点：等差、等比数列的前n 项和公式及数列的函数特性. 19．D 【解析】

试题分析：由已知54329a a a a +--= 得()()

22

32119a q a q -+-=，，67a a +的最小值为36.

考点：1、等比数列的通项公式；2、分式函数求最值.

思路点睛：首先利用已知条件把正项等比数列{}n a 的各项用32a a q ，，表示出来，减少变量

的个数，得到；然后再把67a a +也用32a a q ，，表示出来

()46732=a a a a q ++，代入，分离q 得，最后利用均值不等式求得67a a +的最小值为36. 20．C

【解析】

试题分析：，

整理得132a d =--，

故，对称轴

，n Z ∈，故=9n 时取得最小值. 考点：1、等差数列求和公式；2、二次函数求最值. 21．D 【解析】

试题分析：由数列{}n a 的通项公式为可知数列{}n a 是一个周期为4的周期数列，其前四项分别为0,1,0,1-，故()201650401010S =?-++=. 考点：1、特殊角的三角函数；2、周期数列的和. 22．B 【解析】

试题分析：由等差数列的性质可知4839a a a a +=+，解得917a =. 考点：等差数列的性质. 23．A 【解析】

试题分析：等差数列中()11n a a n d =+-，由235a a +=得1125a d a d +++=，解得

1d =-.

考点：等差数列的通项公式. 24．B 【解析】

试题分析：由题意得，因为)cos 2()cos 4(ππn n n a n -=+，所以

,=，所以数列}{n a 的奇数项构成首项为1，公

公差为的等差数列，所以

2013192420()()122S a a a a a a =+++++++= ，故选B.

考点：等差数列的求和公式.

方法点睛：本题主要考查了数列的递推式和等差的前n 项和公式的应用，其中涉及到三角函数的求值，着重考查了归纳、猜想，寻找数列的规律利用等差数列的求和公式求解数列的和和推理、运算能力，属于中档试题，本题的解答中，求解数列123456,,,,,a a a a a a 的值，得

到数列}{n a 的奇数项构成首项为1，公差2的等差数列，列，即可求解20S 的值. 25．B

当2n =时，3n =时，2a ==

所以，可猜想

B ．

考点：归纳推理．

方法点晴：本题主要考查了数列的递推计算及归纳推理的应用，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力，对于归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况法相事物具有某些相同的性质；（2）从已知的相同性中推出一个明确的表达的一般性的命题（猜想），本题的解答中，利用数列的递推关系，求解234,,a a a ，进而推出一般性的结论． 26．D 【解析】 试题分析：1sin 25n n a n π=

，∴当124n ≤≤时，1sin 025

n n a n π=> ，而当25n =时，1sin 025n n a n π

==，当2649n ≤≤时，()2511sin

sin 02525n n n a n n ππ-==-< ，且()25

251

sin 2525

n n n a a n π--=

=-，当50n =时，500a =，1250,,0S S S > ；同理5152100,,0

S S S > ，所以正数的个数为100，故选D. 考点：三角函数的周期性及数列求和. 【方法点晴】本题主要考查了三角函数周期性的应用，数列求和的应用解题的关键是正弦函

数性质的灵活应用，属于中档题.解答本题注意函数sin

25

n y π

=的周期为50T =，由正弦函数的性质可知，1224,,,a 0,a a > 而262749,,,a 0,a a < 由于1

y n

=单调递减，所以

2612724924,,,a a a a a a <<< 据此即可判断出5152100,,S S S 中正数的个数.

【答案】C 【解析】

试题分析：由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项为21

n n -. 考点：观察归纳法求数列的通项公式. 28．C

试题

分析：由题意可知

1212345,2008,2009,a 1,2008,2009,n n n a a a a a a a ++=+==∴==-=-

67a 1,2008,,a =-= 所以6,n n a a +=即数列{}n a 是以6为周期的数列，又1260,a a a ++= ()()201412612343352010S a a a a a a a =++++++= ，故选C.

考点：数列的递推公式与数列求和.

【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和，属于基础题.解答的本题的关键是根据题意找出数列的递推公式，写出数列的前几项，直到找到周期，求出每个周期内数列各项之和，这样求和只需要确定要求得和中包含多少个周期，余下几项，求和就变得轻而易举了.本题中通过列举发现6,T =而201433564=?+，所以

()()2

1412

6

20112012

2013

201412

335S a a a a a

a a

a a a a =++++++=+++ ， 充分体现了数学解题化繁为简，化未知为已知的规律. 29．D 【解析】

试题分析：由于9b 是1和3的等差中项，所以92b =，由等比数列的性质知221694b b b ==，故选D.

考点：等比中项与等差中项. 30．B 【解析】

试题分析：在等差数列}{n a 中，20,873==a a ，所以 所以3(3)31n a a n d n =+-=-，所以

则，

当

1

4

考点：数列求和. 【方法点睛】（1）观测数列的特点形式，看使用什么方法求和.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的.（2）在做题时注意观察式子特点选择有关公式和性质进行化简，这样给做题带来方便，掌握常见求和方法，如分组转化求和，裂项法，错位相减. 31．B. 【解析】

试题分析：∵2'()86f x x x =-+，∴140316a a ?=，又∵正项等比数列{}n a ，∴

2201614031

6a a a

=?=，

B ．

考点：1.导数的运用；2.等比数列的性质． 32．B 【解析】

试题分析：由等比数列的性质可知，a 4=a 3a 5=可求a 4，然后由2174a a a ?=可求

解：由等比数列的性质可知，a 4=a 3a 5=

∵a 4≠0

∴a 4=12174a a a ?= ∵a 1=8

∴2174a a a ?==1 ∴a 7=

故选B

考点：等比数列的性质． 33．D 【解析】

试题分析：利用等比数列的通项公式及其性质即可得出． 解：∵等比数列{a n }的公比为3，且a 1+a 3=10， ∴

=10，

解得a 1=1．

∴a 3=1×32

=9． 则a 2a 3a 4=

=93

=729，

故选：D ．

考点：等比数列的性质． 34．D 【解析】

试题分析：先根据正弦定理以及sinA ，sinB ，sinC 成等比数列能够得出b 2

=ac ，再由余弦定理cosA=

以及条件即可求出cosA ，进而根据特殊角的三角函数值求出结果．

解：根据正弦定理以及sinA ，sinB ，sinC 成等比数列

可知b 2

=ac ①

(完整版)数列求和常见的7种方法

数列求和的基本方法和技巧 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x

由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1 }的通项之积

§1.1+++数列的概念

§1.1 数列的概念 宜黄县安石中学 万 杰 教学目标 1．通过教学使学生理解数列的概念，了解数列的表示法，能够根据通项公式写出数列的项． 2．通过数列定义的归纳概括，初步培养学生的观察、抽象概括能力；渗透函数思想． 3．通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极性． 教学重难点 教学重点是数列的定义的归纳与认识； 教学难点是数列与函数的联系与区别． 教学过程 一．揭示课题 先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数 （板书） 象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列． （板书）第三章 数列 （一）数列的概念 二．讲解新课 要研究数列先要知道何为数列，即先要给数列下定义，为帮助同学概括出数列的定义，再给出几列数： ①各排钢管的数量:3,4,5,6,7,8,9 ②我国1998~2002年GDP 值(亿元):78345 82067 89442 95933 102389 ③五次人口普查的数量(百万):60193 72307 103188 116002 129533 ④正弦函数x y sin =的图像在y 轴左边所有最低点从右向左,它们的横坐标依次排成一 列数:2π- 2 5π- 29π- 213π- 217π- …… ⑤正整数 的倒数排成一列数：4 1,31,21,1...... ⑥某人2006年1~~12月工资,按月顺序排列为:1100 1100 1100 (1100) ⑦函数21x y =当 依次取n ,...,3,2,1(*∈N n )时得到一列数：21,...,91,41,1n 请学生观察7列数，说明每列数就是一个数列，数列中的每个数都有自己的特定的位置，这样数列就是按一定顺序排成的一列数． （板书）1．数列的定义：按一定次序排成的一列数叫做数列． 为表述方便给出几个名称：项，项数，首项（以幻灯片的形式给出）．以上述七个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数． 由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系．

等差数列的概念教案(1)

等差数列的概念教案 【教学目标】 知识与技能：1、理解等差数列的定义，能根据定义判断一个数列是否为等差数列； 2、了解公差的概念，会求一个给定等差数列的首项与公差； 3、理解等差中项的 概念，会利用等差中项解决相应的简单的等差数列问题。 过程与方法：1、通过对情景问题的分析理解和归纳概括，了解等差数列的简单产生过程； 2、通过解决基本等差数列问题的过程，加深对等差数列概念、公差、等差中项的理解； 情感态度与价值观：1、通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察能力、分析探索能力激发学生积极思考，追求新知的创新意识； 2、通过解决等差数列概念的基本问题，培养学生分析问题解决问题的能力，提高学生的运算能力。 【教学重点】1、理解等差数列的定义，理解等差中项的概念；2、了解公差的概念，根据给定的等差数列求公差。 【教学难点】探索等差数列定义的形成过程。 【教学方法】情境教学法、自主探究法、讲练结合法 【教学用具】黑板电子白板 【教学课型】新授课 【教学设想】本课教学，重点是等差数列的概念，在讲概念时，通过创设情境引导学生分析出等差数列的特点，从而引出等差数列的定义，进一步引导学生通过定义来判断一个数列是否是等差数列。整个过程以学生自主思考、合作探究、教师适时点拨为主，真正体现课堂教学中学生的主体作用。 【教学准备】1、教师认真备课、制作课件、布置预习内容； 2、学生认真阅读课本内容，标出关键词以及不理解的地方，完成预习内容，做好上课准备。【教学过程】

教学环节学习内容 学生 活动 教师 活动 设计意 图 课前预 习 阅读书本P7-9内容，在等差数列定义中的关 键词下面用彩笔画线 自主 完成 抽查 反馈 了解预 习效果 活动一 创设 情境 、 导入 新课 （5分钟） 在 现实生活中，我们会遇到下面的特殊数列。 情境1:我们经常这样数数，从0开始，每隔5 数一 次，可以得到数列：0,5,,,,，…。 情境2: 2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会 上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置 了7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列 （单位：kg）: 48，53, 63。 情境3:水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的 生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂 鱼。如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水 位降低2.5m，最低降至5.5m。那么从开始放水算 起，至V可以进行清理工作的那天，水库每天的水 位组成数列（单位：m）： 18，15.5，，，，5.5。 独立 思考 并完 成这 三个 数列 引导 学生 分析 比较 每个 数列 的特 占 通过 具体 问题 引出 等比 数列 的定 义 活动二 数学建构、引入概念（5分钟）观察：上面三个数列有什么共同特点？ 思考：1、等差数列的定义是怎样的？ 2、定义中有哪些关键词？ 3、公差用什么子母表示？ 4、等差数列的定乂如何用符号语言表示？ 结合 课本 定义 独立 思考 后回 答 板书 定义 及注 意点 用彩 色粉 笔画 出关 键词 引导 学生 理解 概念， 让学 生经 历观 察、猜 测、抽 象、概 括、的 思维 过程 活动三 例题精讲 、 探究 知新（10分钟） 例1:下列数列是否为等差数列？若是，写出其首项 及公差。 (1)2, 5, 8, 11，14; (2)1, 1, 1, 1, 1; (3)1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0,……； (4)-3, -2, -1, 1, 2, 3。 例2:求下列等差数列中的未知项。 (1)3, a , 5; (2)3, b , c, -9; 独立 思考 后完 成 巡视 并记 录存 在的 问题 个别 指导 集体 反馈 通过 具体 的例 子， 加深 学生 对等 差数 列概 念的 认识

《数列的概念与简单表示法》第一课时教学设计

《数列的概念与简单表示法》第一课时教学设计 一、教材与教学分析 1．数列在教材中的地位 根据新课程的标准，“数列”这一章首先通过“三角形数”、“正方形数”等大量的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍数列的几种简单表示法，等差数列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让学生体会到数学就在我们身边. 作为数列的起始课，为达到新课标的要求，从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，打造数列教与学的良好开端。教学中从日常生活中大量实际问题入手，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受数列模型的广泛应用(如存款利息、购房贷款等与人们生活联系密切的现实问题)． 2．教学任务分析 (1)了解数列的概念 新课标的教学更贴近生活实际.通过实例，引入数列的概念，理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型．了解数列的几种分类． (2)了解数列是一类离散函数，体会数列中项与序号之间的变量依赖关系． 3．教学重点与难点 重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型． 难点：认识数列是一种特殊的函数，发现数列与函数之间的关系 二、教学方法 小组合作、探究学习模式 通过对问题情境的分析讨论的方式，运用从具体到抽象、从特殊到一般的思维训练方法，引导学生探究数学归纳法。 三、学习过程设计 【问题情境】 1．国际象棋的传说（在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子；在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，照这样下去，每一小格都比前一小格加一倍）：每格棋盘上的麦粒数排成一列数； 2．古语：一尺之棰，日取其半，万世不竭.每日所取棰长排成一列数； 3．童谣：一只青蛙，一张嘴 ，两只眼睛，四条腿； 两只青蛙，两张嘴 ，四只眼睛，八条腿； 三只青蛙，三张嘴 ，六只眼睛，十二条腿； 4．中国体育代表团参加六届奥运会获得的金牌数依次排成一列数 。 教师：以上四个问题中的数蕴涵着哪四列数呢？ 学生： 1：23631,2,2,2, ,2 2一列数：23451111122222???????? ? ? ? ?????????，，，，， 3： 青蛙 嘴 眼睛 腿 1 1 2 4 2 2 4 8 3 3 6 12 4 4 8 16

数学竞赛用数列求和(1)

专题 数列求和在全国高中数学联赛中的应用 数列求和的过程中蕴含着丰富的数学思想方法，是高中数学竞赛的常见内容，同时也是研究数列性质的一个重要层面。常用的数列求和方法主要有：公式法、累加法、错位相减法、倒序相加法、通项展开分类求和法、裂项法、和利用数列周期性、递推关系求和法等。 一、 基础知识 1.常用的数列求和公式： (1)d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= (2)=n S ? ?? ??≠--=--=)1(11)1()1111q q q a a q q a q na n n （ (3))1(211+=∑ =n n k n k ；)12)(1(61 1 2++=∑ =n n n k n k ； 21 3 )]1(2 1 [+=∑=n n k n k 2.累加法：给出数列｛a n ｝的递推式和初始值（等差数列和等比数列有时可以看成是特殊的递推式），求数列通项时常用累加法，也叫叠加法。 3.错位相减法：主要用于求形如{n n b a ?}数列前n 项的和，其中｛a n ｝、｛b n ｝分别成等差数列和等比数列。等比数列的求和公式，当1≠q 时的情况： q q a S n n --=1)1(1就是通过错位相减法得到的。 4.倒序相加法：将数列的顺序倒过来排列，与原数列两式相加，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，这样的数列可用倒序相加法求和。等差数列的求和公式：2 ) (1n n a a n S += 就是用倒序相加法推导出来的。 5.通项展开分类求和法：把数列的每一项都写成通项的形式，然后根据不同数列的特点进行分类求和。 例1. 已知数列｛a n ｝的通项公式是：)12)(1(++=n n n a n ，试求｛a n ｝ 的前n 项和n S 。 导析：很多学生会试图计算出 ,84,30,6321===a a a 以此找出规律，但这很难解决问题。因此需要对数列的通项展开进行分析。 把通项展开得：n n n a n ++==2332，故可把｛a n ｝分成三类分别求和。

《1.1 数列的概念》教学案2

《1.1 数列的概念》教学案2 学习目标： 了解数列的概念和数列几种常见表示方法(列表、图像、通项公式)并能根据一定条件求数列的通项公式。 学习重点：数列概念 学习难点：根据条件求数列的通项公式 学习过程： 一、课前准备：阅读P 3—4 二、新课导入： ①什么是数列数： ②数列项是： ③按项分类数列分为： 和 ④数列通项公式： 自主测评 1、判断下列是否有通项公式若有，写出其通项公式。 ①3，3，3，3…… ②2，4，6，8，10…… ③1，3，5，7，9…… ④0，1，0，1，0，1…… ⑤0，1，-2，4，-7，6，10，5，9…… 2、数列{}n a 中，22(3)2n a log n =+-，写出数列前五项，32 log 是这个数列 的第几项 探究：(1)是不是所有数列都有通项公式，能否举例说明 (2)若数列有通项公式，通项公式是不是唯一的，若不是能否举例说明 三、巩固应用 例1. P 5 试一试：P 6 T 1-2 例2. P 5 试一试：P 6 T 3 1、写出下列数列的一个通项公式 ①-2，-2，-2，-2…… ②7，77，777，7777…… ③0.7，0.77，0.777，0.7777…… ④3，5，9，17，33…… ⑤0，-1，0，1，0，-1，0，1…… ⑥1112,,,6323 ……

四、总结提升 1、探究新知： 2、数列通项公式n a 与函数有何联系 五、知识拓展 数列前几项和123n n S a a a a a n-1…+=++++ 且 1 1(1)() n n n a n a s s n -=?=? -?≥2 六、能力拓展 1、数列 210210210 1,1,1,1223(1) g g g n n +…………××中首次出现负值的项是第几项 ≥≤ 2、已知数例{}n a 的通项公式254n a n n =-+ (1)数列{}n a 中有多少项是负项？ (2)当n 为何值时，n a 有最小值，最小值是多少？ 3、已知数列{}n a 的前n 项和221n s n n =++，求数列{}n a 的通项公式？ 自我评价：这节课你学到了什么，你认为做自己的好的地方在哪里？ 作业：P 9 A ：T 4 T 6 B ：T 1

数列的定义

⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. ⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 ⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列 [补充练习]：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2) 3 2, 15 4, 35 6, 63 8, 99 10, ……； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……； 解：(1) n a ＝2n ＋1； (2) n a ＝ ) 12)(12(2+-n n n ； (3) n a ＝ 2 ) 1(1n -+； (4) 将数列变形为1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, ……, ∴n a ＝n ＋ 2 ) 1(1n -+； 1、 通项公式法 如果数列{}n a 的第n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。 例3 设数列{}n a 满足1111 1(1).n n a a n a -=? ? ?=+>?? 写出这个数列的前五项。 解：分析：题中已给出{}n a 的第1项即11=a ，递推公式：111-+ =n n a a 解：据题意可知：3 211,211,12 31 21= + ==+ ==a a a a a ，5 8,3 51153 4= = + =a a a 例4已知21=a ，n n a a 21=+ 写出前5项，并猜想n a ． 法一：21=a 2 2222=?=a 323222=?=a ，观察可得 n n a 2= 法二：由n n a a 21=+ ∴12-=n n a a 即 21 =-n n a a

数列求和公开课教案(1)

《数列求和复习》教学设计 开课时间：2016/12/22 开课人：洪来春一、学情分析： 学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求和公式，同时也掌握了与等差、等比数列相关的综合问题的一般解决方法。本节课作为一节复习课，将会根据已知数列的特点选择适当的方法求出数列的前n项和，从而培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。 二、教法设计： 本节课设计的指导思想是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。采用以具体题目为切入点，引导学生进行探索、讨论，注重分析、启发、反馈。先引出相应的知识点，然后剖析需要解决的问题，在例题中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。 在教学过程中采取如下方法： （1）诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性； （2）讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。 三、教学设计： 1、教材的地位与作用： 对数列求和的考查是近几年高考的热点内容之一，属于高考命题中常考的内容；另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。化归与转化思想是本课时的重点数学思想方法，化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的一种数学思想方法；化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程。 2、教学重点、难点： 教学重点：根据数列通项求数列的前n项，本节课重点复习分组求和与裂项法求和。 教学难点：解题过程中方法的正确选择。 3、教学目标： (1)知识与技能： 会根据通项公式选择求和的方法，并能运用分组求和与裂项法求数列的前n项。 (2)过程与方法： ①培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力； ②通过阶梯性练习和分层能力培养练习，提高学生分析问题和解决问题的能力，使不同层次的学生的能力都能得到提高。

教学目标1理解数列概念

3.1.1数列 教学目标：1．理解数列概念，了解数列和函数之间的关系；2．了解数列的通项公式，并会用通项公 式写出数列的任意一项；3．对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式；4．提高观察、抽象的能力． 教学重点：1．理解数列概念；2．用通项公式写出数列的任意一项． 教学难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式． 教学方法：发现式教学法 教学过程： （1）复习回顾 在前面第二章中我们一起学习了有关映射与函数的知识，现在我们再来回顾一下函数的定义． 由学生齐声回答函数定义． 函数定义(板书)： 如果A 、B 都是非空擞 集，那么A 到B 的映射B A f →:就叫做A 到B 的函数，记作：)(x f y =，其中.,B y A x ∈∈ （Ⅱ）讲授新课 在学习第二章的基础上，今天我们一起来学习第三章数列有关知识，首先我们来看一些例子。 观察这些例子，看它们有何共同特点？（启发学生发现数列定义） 由学生归纳、总结上述例子共同特点：均是一列数；有一定次序 引出数列及有关定义 一、 定义： 1、数列：按一定次序排列的一列数叫做数列； 2、项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项。各项依次叫做这个数列的第1项（或首项）。第2项，…，第n 项…。 如：上述例子均是数列，其中例①：“4”是这个数列的第1项（或首项）“9”是这个数列的第6项。 数列的一般形式：Λ Λ,,,,,3 21n a a a a ，或简记为 {}n a ，其中n a 是数列的第n 项 综合上述例子，理解数列及项定义 如：例②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“31 ”是这个数列的第“3”项，等等。 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系： 项 1 51 41312 1 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5

《等差数列》第一课时教案

《等差数列》第一课时教案 一、教材分析 1、教材的地位和作用： 数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。 2、教学目标 根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标 a在知识上：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。 b在能力上：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。 c在情感上：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

3、教学重点和难点 根据教学大纲的要求我确定本节课的教学重点为: ①等差数列的概念。 ②等差数列的通项公式的推导过程及应用。 由于学生第一次接触不完全归纳法,对此并不熟悉因此用不完全归纳法推导等差数列的同项公式是这节课的一个难点。同时，学生对“数学建模”的思想方法较为陌生，因此用数学思想解决实际问题是本节课的另一个难点。 二、学情分析对于三中的高一学生，知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。 二、教法分析 针对高中生这一思维特点和心理特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。 三、学法指导在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。 四、教学程序 本节课的教学过程由（一）复习引入（二）新课探究（三）应用例解（四）反馈练习（五）归纳小结（六）布置作业，

4数列求和(1)

第四节数列求和 、基础知识 1. 公式法 (1)等差数列｛a n｝的前n项和S n = n?1]* = na j + 卑— 推导方法：倒序相加法. 严1, q = 1, ⑵等比数列｛a n｝的前n项和S n = a1(1-q n) q^ 1 L. 1 q 推导方法：乘公比，错位相减法. ⑶一些常见的数列的前n项和: ①1 + 2+ 3+…+ n =吨严 ②2+4+6+…+ 2n= n(n+ 1); ③ 1 + 3+5+…+ 2n— 1 = n2 2. 几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. ⑵裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消, 从而求得前n项和. (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解. ⑷倒序相加法：如果一个数列｛a n｝与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.

考点一分组转化法求和 ［典例］ n 2 + n 已知数列｛ a n ｝的前n 项和S n = —2—，n € N . (1)求数列｛a n ｝的通项公式； ⑵设b n = 2a n + (— 1)n a n ，求数列｛b n ｝的前2n 项和. [解](1)当 n = 1 时，a 1= S 1= 1; 2 2 当 n >2 时，a n = S n -S n — 1= 又a 1= 1也满足a n = n ,故数列｛a *｝的通项公式为a n = n. ⑵由⑴知 a n = n , 故 b n = 2"+ ( — 1) n n. 记数列｛b n ｝的前2n 项和为T 2n , 则 T 2n = (21 + 2?+ …+ 22n )+ (— 1 + 2— 3 +4—…+ 2n). 记 A =:勺 + :2+ …+ 22n , B =— 1 + 2— 3 + 4—…+ 2n , 则 A =红1二幼 22n + 1 — 2, 1 — 2 B = (— 1 + 2) + (— 3 + 4) +…+ [ — (2n — 1) + 2n] = n. 故数列｛b n ｝的前2n 项和 ［解题技法］ 1.分组转化求和的通法 若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数 解析：选C T 2n = A + B = 22n + 1+ n — 2. 数列求和应从通项入手, 列或等比数列或可求数列的前 n 项和的数列求和. 2.分组转化法求和的常见类型 厂I 叫=也士*?，血｝, 为等差或竽 分组求和 ［题组训练］ 1. 已知数列｛a n ｝的通项公式是a n = 2n — g),则其前20项和为( ) 379 + 2^ B . 399 + 220 C . 419 + 尹 D . 439 + 220

等差数列_高一数学教案_模板

等差数列_高一数学教案_模板 教学目标 1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决简单的问题. （1）了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列，了解等差中项的概念； （2）正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项； （3）能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题. 2.通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想. 3.通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识；通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点. 关于等差数列的教学建议 （1）知识结构 （2）重点、难点分析 ①教学重点是等差数列的定义和对通项公式的认识与应用，等差数列是特殊的数列，定义恰恰是其特殊性、也是本质属性的准确反映和高度概括，准确把握定义是正确认识等差数列，解决相关问题的前提条件.通项公式是项与项数的函数关系，是研究一个数列的重要工具，等差数列的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关，通过函数图象研究数列性质成为可能. ②通过不完全归纳法得出等差数列的通项公式，所以是教学中的一个难点；另外，出现在一个等式中，运用方程的思想，已知三个量可以求出第四个量.由于一个公式中字母较多，学生应用时会有一定的困难，通项公式的灵活运用是教学的有一难点. （3）教法建议 ①本节内容分为两课时，一节为等差数列的定义与表示法，一节为等差数列通项公式的应用． ②等差数列定义的引出可先给出几组等差数列，让学生观察、比较，概括共同规律，再由学生尝试说出等差数列的定义，对程度差的学生可以提示定义的结构：“……的数列叫做等差数列”，由学生把限定条件一一列举出来，为等比数列的定义作准备．如果学生给出的定义不准确，可让学生研究讨论，用符合学生的定义但不是等差数列的数列作为反例，再由学生修改其定义，逐步完善定义． ③等差数列的定义归纳出来后，由学生举一些等差数列的例子，以此让学生思考确定一个等差数列的条件． ④由学生根据一般数列的表示法尝试表示等差数列，前提条件是已知数列的首项与公差．明确指出其图像是一条直线上的一些点，根据图像观察项随项数的变化规律；再看通项公式，项可看作项数的一次型（）函数，这与其图像的形状相对应． ⑤有穷等差数列的末项与通项是有区别的，数列的通项公式是数列第项与项数之间

高中数列求和公式

数列求和的基本方法和技巧 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(21 1 +==∑=n n k S n k n 自然数列 4、 )12)(1(611 2++==∑=n n n k S n k n 自然数平方组成的数列 [例1] 已知3log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 12log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝n n 64 341 ++＝50)8 (12+-n n 50 1≤ ∴ 当 8 8-n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.

数列的概念与表示(一)

数列的概念与表示导学案 一、基础知识 引例：按一定次序排列的一列数 （1）1，2，3，4，5 （2）1，51,41,31,21 （3）,1,1,1,1--…… （4）1，1，1，1，…… （5）1，3，5，4，2 （6）2的精确到1，0.1，0.01，0.001，……的不足近似值排列成一列数 1、概念：（1）数列： 注：①按一定次序排列 ②同一个数在数列中可重复出现 上例中能构成数列的是： 。（1）与（5）相同吗？ （2）项： （3）项的序号： 2、表示：数列的一般形式为： ，简化为 。 例：,41,31,21, 1…,1,n …简记为： 1，3，5，7，…12-n ，…简记为 注：}{n a 与n a 的区别： 3、数列与函数的关系： 4、数列的通项公式： 作用：①以序号代n 可求数列各项；②可验证某数是否是数列中的项 注：①通项公式有时不存在；②一个数列的通项公式形式可能不唯一。 5、递推公式： 6、分类： 二、例题解析 例1、根据}{n a 的通项公式，写出它的前5项。 （1）1+=n n a n （2）n a n n ?-=)1( 例2、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数 （1）1，2，3，4； （2）1，3，5，7； （3）5 15,414,313,2122222----； 例3、已知：}{n a 中，11=a ，以后各项由111-+ =n n a a 给出，写出这个数列的前5项。

三、课后练习 1、根据}{n a 的通项公式，写出它的前5项： （1）1)1(5+-?=n n a （2）1 122++=n n a n 2、根据通项公式，写出它的第7项与第10项 （1）)2(+=n n a n （2）32+-=n n a 3、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数。 （1）1，2，3，4 （2）2，4，6，8 （3）161,81,41,21-- （4）5141.4131,3121,211---- 4、写出下面数列}{n a 的前5项 （1）)2(35 11≥+==-n a a a n n （2）)2(2211≥==-n a a a n n

2.1数列的定义(1)

学习日期：姓名：班级：小组： 学习主题： 2.1数列的概念与简单表示法(1) 学习目标：1．理解数列的概念、表示、分类． 2．理解数列的通项公式及其简单应用． 3．能根据数列的前几项写出一个通项公式． 学习流程及内容： 我的疑问一、学习目标一 1．数列 (1)定义：按照一定顺序排列的一列____叫做数列． (2)项：数列中的每一个数都叫做这个数列的____．数列中的每一项都和它的序号有 关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做______)，排在第二位的数称为这 个数列的第2项……排在第____位的数称为这个数列的第n项． (3)表示：数列的一般形式可以写成：a1，a2，…，a n，…，简记为______．a n表示数 列中的第n个数． 2．数列的分类 (1)按数列的项数是否有限，分为有穷数列和无穷数列． 项数______的数列叫做有穷数列；项数______的数列叫做无穷数列． (2)按数列的每一项随序号的变化趋势，分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数 列． 从第2项起，每一项都______它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项 都______它的前一项的数列叫做递减数列；各项______的数列叫做常数列；从第2项起， 有些项______它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列． 【做一做1】下列说法错误的是() A．数列4,7,3,4的首项是4 B．数列{a n}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列－1,0,1,2与数列0,1,2，－1不相同 D．数列中的项不能是三角形 【做一做2】数列5,4,3，m，…，是递减数列，则m的取值范围是__________． 我的发现与总结： 数列的特征：_________________________________________________________________。

高中数学等差数列教案3篇

高中数学等差数列教案3篇 教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。下面是为大家收集等差数列教案，希望你们能喜欢。 等差数列教案一 【教学目标】 1. 知识与技能 (1)理解等差数列的定义，会应用定义判断一个数列是否是等差数列： (2)账务等差数列的通项公式及其推导过程： (3)会应用等差数列通项公式解决简单问题。 2.过程与方法 在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培养学生的观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维的能力，体验从特殊

到一般，一般到特殊的认知规律，提高熟悉猜想和归纳的能力，渗透函数与方程的思想。 3.情感、态度与价值观 通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动，培养学生主动探索、用于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感受到成功的喜悦。在解决问题的过程中，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好习惯。 【教学重点】 ①等差数列的概念;②等差数列的通项公式 【教学难点】 ①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义;②等差数列的通项公式的推导过程. 【学情分析】 我所教学的学生是我校高一(7)班的学生(平行班学生)，经过一年的高中数学学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重

引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展. 【设计思路】 1.教法 ①启发引导法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构;有利于突出重点，突破难点;有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性. ②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性. ③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点. 2.学法 引导学生首先从三个现实问题(数数问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式;可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法. 【教学过程】 一：创设情境，引入新课

等差数列复习课教案(公开课)

等差数列复习课 宜良县职业高级中学 董家金 (一) 教学目标 1．知识与技能：复习等差数列的定义、通项公式、前n 项和公式及相关性质. 2．过程与方法：师生共同回忆复习，通过相关例题与练习加深学生的理解. 3．情感与价值：培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识. (二) 教学重、难点 重点：等差数列相关性质的理解。 难点：等差数列相关性质的应用。 (三) 教学方法 师生共同探讨复习本课时的主要知识点，再通过例题、习题加深学生的应用意识，本节课采用多媒体辅助教学。 (四) 课时安排 1课时 (五) 教具准备 多媒体课件 (六) 教学过程 Ⅰ知识回顾 1、等差数列定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。 2、等差数列的通项公式 如果等差数列{}n a 首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项公式是d n a a n )1(1-+=。 注意：等差数列的通项公式整理后为)(1d a nd a n -+=，是关于n 的一次函数。 3、等差中项 如果a,A,b 成等差数列，那么A 叫着a 与b 的等差中项。 即：2 b a A +=，或 b a A +=2。 4、等差数列的前n 项和公式 等差数列{}n a 首项是1a ，公差是d ，则2)(1n n a a n S +==d n n na 2)1(1-+。 注意： 1) 该公式整理后为n d a n d s n )2 (212-+= ，是关于n 的二次函数，且常数项为0。 2) 等差数列的前n 项和公式推导过程中利用了“倒序相加求和法”。 3) 数列n a 与 前n 项和n s 的关系???-=-1 1S S S a n n n )1()2(=≥n n 5、等差数列的判断方法

数列求和7种方法(方法全_例子多)

一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n [ [∴当8 -n ，即n ＝8时，50)(max =n f 题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝ 题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a =,b =,c = . 解：原式=答案：

二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列. [例3]求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=……………………….②（设制错位） n n 1432-∴[例4]2 练习题1已知，求数列｛答案： 练习题2的前n 项和为____ 答案： 三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5]求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++