高考数学经典例题汇总一(含解析)
两平面的平行判定和性质（含解析）
例1：已知正方体
1111-D C B A ABCD ． 求证：平面//11D AB 平面BD C 1． 证明：∵1111-D C B A ABCD 为正方体，
∴B C A D 11//， 又 ?B C 1平面BD C 1， 故 //1A D 平面BD C 1． 同理 //11B D 平面BD C 1． 又 1111D B D A D = ， ∴ 平面//11D AB 平面BD C 1．
说明：上述证明是根据判定定理1实现的．本题也可根据判定定理2证明，只需连接C A 1即可，此法还可以求出这两个平行平面的距离．
典型例题二
例2：如图，已知βα//，a A ∈，α∈A β//a ．
典型例题一
例1 已知)3,0(A ，)0,1(-B ，)0,3(C ，求D 点的坐标，使四边形ABCD 为等腰梯形．
分析：利用等腰梯形所具备的性质“两底互相平行且两腰长相等”进行解题． 解：如图，
设),(y x D ，若CD AB //，则CD AB k k =，BC AD =，
即??
?
??=+=-+--=+-②①.1613)3(,30
1003222y x x y 由①、②解得)5
3
,516(
D ． 若BC AD //，则?????==,,
BC AD k k BC AD
即??
?
??+=+-=--④③.31)3(,003
2222y x x y 由③、④式解得)3,2(D ．
故D 点的坐标为)5
3
,516(
或)3,2(． 说明：(1)把哪两条边作为梯形的底是讨论的标准，解此题时注意不要漏解．(2)在遇到两直线平行问题时，一定要注意直线斜率不存在的情况．此题中AB 、BC 的斜率都存在，故不可能出现斜率不存在的情况．
典型例题二
例2当a 为何值时，直线01)1()2(1=--++y a x a l ：与直线02)32()1(2=+++-y a x a l ：互相垂直？
分析：分类讨论，利用两直线垂直的充要条件进行求解．或利用结论“设直线1l 和2l 的
方程分别是01111=++C y B x A l ：
，02222=++C y B x A l ：，则21l l ⊥的充要条件是02121=+B B A A ”（其证明可借助向量知识完成）解题．
解法一：由题意，直线21l l ⊥．
(1)若01=-a ，即1=a ，此时直线0131=-x l ：
，0252=+y l ：显然垂直； (2)若032=+a ，即2
3
-=a 时，直线0251=-+y x l ：
与直线0452=-x l ：不垂直； (3)若01≠-a ，且032≠+a ，则直线1l 、2l 斜率1k 、2k 存在，
a a k -+-
=121，3
21
2+--=a a k ． 当21l l ⊥时，121-=?k k ，即1)3
21
()12(-=+--?-+-a a a a ， ∴1-=a .
综上可知，当1=a 或1-=a 时，直线21l l ⊥．
解法二：由于直线21l l ⊥，所以0)32)(1()1)(2(=+-+-+a a a a ，解得1±=a ． 故当1=a 或1-=a 时，直线21l l ⊥．
说明：对于本题，容易出现忽视斜率存在性而引发的解题错误，如先认可两直线1l 、2
l 的斜率分别为1k 、2k ，则a a k -+-
=121，3
21
2+--=a a k ． 由21l l ⊥，得121-=?k k ，即1)3
21
()12(-=+--?-+-a a a a ．
解上述方程为1-=a ．从而得到当1-=a 时，直线1l 与2l 互相垂直．
上述解题的失误在于机械地套用两直线垂直（斜率形式）的充要条件，忽视了斜率存在
的大前提，因而失去对另一种斜率不存在时两直线垂直的考虑，出现了以偏概全的错误．
典型例题三
例3 已知直线l 经过点)1,3(P ，且被两平行直线011=++y x l ：和062=++y x l ：截得的线段之长为5，求直线l 的方程．
分析：(1)如图，利用点斜式方程，分别与1l 、2l 联立，求得两交点A 、B 的坐标（用k 表示），再利用5=AB 可求出k 的值，从而求得l 的方程．(2)利用1l 、2l 之间的距离及l 与
1l 夹角的关系求解．(3)设直线l 与1l 、2l 分别相交于),(11y x A 、),(22y x B ，则可通过求出21y y -、21x x -的值，确定直线l 的斜率（或倾斜角），从而求得直线l 的方程．
解法一：若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为3=x ，此时与1l 、2l 的交点分别为
)4,3('-A 和)9,3('-B ，截得的线段AB 的长594=+-=AB ，符合题意，
若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为1)3(+-=x k y ．
解方程组?
??=+++-=,01,1)3(y x x k y 得??? ??+--+-114,12
3k k k k A ，
解方程组?
??=+++-=,06,1)3(y x x k y 得??? ??+--+-119,17
3k k k k B ．
由5=AB ，得2
2
2
51191141731
23=??? ??+-++--+??? ??+--+-k k k k k k k k ． 解之，得0=k ，即欲求的直线方程为1=y ．
综上可知，所求l 的方程为3=x 或1=y ． 解法二：由题意，直线1l 、2l 之间的距离为1
2
52
61=
-=
d ，且直线l 被平等直线1l 、2l 所截得的线段AB 的长为5（如上图）
，设直线l 与直线1l 的夹角为θ，则2
252
25
s i n ==θ，故∴?=45θ．
由直线011=++y x l ：的倾斜角为135°，知直线l 的倾斜角为0°或90°，又由直线l 过点)1,3(P ，故直线l 的方程为3=x 或1=y ．
解法三：设直线l 与1l 、2l 分别相交),(11y x A 、),(22y x B ，则：
0111=++y x ，0622=++y x ．
两式相减，得5)()(2121=-+-y y x x ． ① 又25)()(221221=-+-y y x x ②
联立①、②，可得???=-=-052121y y x x 或???=-=-5021
21y y x x
由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°或90°．
故所求直线方程为3=x 或1=y ．
说明：本题容易产生的误解是默认直线l 的斜率存在，这样由解法一就只能得到0=k ，从而遗漏了斜率不存在的情形．
一般地，求过一定点，且被两已知平行直线截得的线段为定长a 的直线，当a 小于两平行直线之间距离d 时无解；当d a =时有唯一解；当d a >时，有且只有两解．另外，本题的三种解法中，解法二采取先求出夹角θ后，再求直线l 的斜率或倾斜角，从方法上看较为简单；而解法三注意了利用整体思想处理问题，在一定程度上也简化了运算过程．
典型例题四
例4 已知点()31
，-A ，()13，B ，点C 在坐标轴上，且
90=∠ACB ，则满足条件的点C 的个数是（ ）
． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
解：点C 在坐标轴上，可有两种情况，即在x 轴或y 轴上，点C 的坐标可设为()0，
x 或()0，y ．
由题意，
90=∠ACB ，直线AC 与直线BC 垂直，其斜率乘积为－1，可分别求得0
=x 或2，0=y 或4，所以满足条件的点的坐标为（0，0），（2，0），（0，4）．
说明：①本题还可以有另外两种解法：一种是利用勾股定理，另一种是直角三角形斜边
AB 与y 轴交点D 恰为斜边AB 中点，则由D 到A 、B 距离相等的性质可解．②本题易错，
可能只解一个坐标轴；可能解方程时漏解；也可能看到x 、y 各有两解而误以为有四点．
典型例题五
例5 已知ABC ?的一个定点是()13-，
A ，
B ∠、
C ∠的平分线分别是0=x ，x y =，求直线BC 的方程．
分析：利用角平分线的轴对称性质，求出A 关于0=x ，x y =的对称点，它们显然在直线BC 上．
解：()13-，
A 关于0=x ，x y =的对称点分别是()13--，和()31，-，且这两点都在直线BC 上，由两点式求得直线BC 方程为052=+-y x ．
典型例题六
例 6 求经过两条直线0132=++y x 和043=+-y x 的交点，并且垂直于直线
0743=-+y x 的直线的方程．
解一：解得两直线0132=++y x 和043=+-y x 的交点为（35-，9
7
），由已知垂直关系可求得所求直线的斜率为
3
4
，进而所求直线方程为0934=+-y x ． 解二：设所求直线方程为034=+-m y x ，将所求交点坐标（35-，9
7
）代入方程得
9=m ，所以所求直线方程为0934=+-y x ．
解三：所求直线过点（3
5-，97），且与直线0743=-+y x 垂直，所以，所求直线方程为
0973354=??
?
?
?-
-??
? ?
?+y x
即 0934=+-y x ． 解四：设所求直线得方程为
()()043132=+-+++y x m y x
即 ()()041132=++-++m y m x m （1）
由于该直线与已知直线0743=-+y x 垂直 则 ()()013423=-?++m m 解得 2=m 代入（1）得所求直线方程为0934=+-y x ．
典型例题七
例7 已知定点A （3，1），在直线x y =和0=y 上分别求点M 和点N ，使A M N ?的周长最短，并求出最短周长．
分析：由连接两点的线中，直线段最短，利用对称，把折线转化为直线，即转化为求两点间的距离． 解：如图1，设点A 关于直线x y =和0
=y 的对称点分别为()31，
B ，()13-，
C ∵MN CN BM MN AN AM ++=++
又BC MN CN BM ≥++
周长最小值是： 52=BC 由两点式可得BC 方程为： 052=-+y x ． 而且易求得：M （
35，35），N （2
5，0）， 此时，周长最短，周长为52．
典型例题八
例8 已知实数a ，b 满足1=+b a ，求证：()()2
25
222
2
≥
+++b a ． 解：本题的几何意义是：直线1=+b a 上的点（a ，b ）与定点()22--，
的距离的平 C
A
x
C
N
O
y
B
M
图1
方不小于
2
25
．因为直线外一点与直线上任一点连线中，垂线段距离最短，而垂线段的长度即距离2
5111222
2=
+---=
d ， 所以2
5)2()2(2
2
≥
+++b a ，即()()2
25222
2
≥
+++b a ． 说明：本题应为不等式的题目，难度较大，证明方法也较多，但用解析几何的方法解决显得轻松简捷，深刻地体现了数形结合的思想．
典型例题九
例9 在平面直角坐标系中，α=∠xOA ，παπ
<<2
，
点B 在OA 上a OA =，b OB =，()0>>b a ，试在x 轴的正半周上求一点C ，使ACB ∠取得最大值．
分析：要使最大，只需最大，而是直线到直线的角（此处即为夹角），利用公式可以解决问题．
解：如图2，设点()()00>x x C ，
∵α=∠xOA ，a OA =，b OB =，
∴()ααsin cos a a A ，，
()ααsin cos b b B ，，
于是直线CA 、CB 的斜率分别为：
x a a xCA k CA -=∠=αα
cos cos tan ，
x
a a xCB k CB
-=
∠=αα
cos cos tan ∴CA
CB CA CB k k k k ACB +-=
∠1tan ＝)
cos )(cos (sin 1cos
sin cos sin 2x a x b ab x a a x b b --+
--
-ααα
αα
αα ＝
α+-α-α-αα--αα2sin )cos )(cos ()
cos (sin )cos (sin ab x a x b x b a x a b
＝
2
cos )(sin )(x
x b a ab x b a +α+-α
- x
C
O
B
A
y
图2
＝
α+-+α-cos )(sin )(b a x x
ab
b a
∵
ab x x
ab
2≥+ ∴()()α
+-α-≤
∠cos 2
sin tan b a ab b a ACB 当且仅当
x x ab =即ab x =，C 点的坐标为（ab ，0）
，由παπ
<<2
可知ACB ∠为锐角，所以此时ACB ∠有最大值arctan
α
αcos )(2sin )(b a ab b a +--．
说明：本题综合性强，是三角、不等式和解析几何知识的交汇点．另外本题也是足球射
门最大角问题的推广．
为了更好地理解问题，可以演示用“几何画板”制作的课件.
典型例题十
例10 直线0421=-+y x l ：，求1l 关于直线0143=-+y x l ：对称的直线2l 的方程． 分析：本题可有多种不同的解法，给出多种解法的途径是：一类利用直线方程的不同形式求解；另一类采用消元思想进行求解．
解法一：由?
??=-+=-+01430
42y x y x 得1l 与l 的交点为)2,3(-P ，显见P 也在2l 上．
设2l 的斜率为k ，又1l 的斜率为-2，l 的斜率为4
3
-
，则 k k )43(1)43()2)(43(1)2(43-+--=--+---
，解得112-=k ． 故2l 的直线方程为)3(11
2
2--
=+x y ．即016112=++y x ． 解法二：在直线1l 上取一点)0,2(A ，又设点A 关于直线l 的对称点为),(00y x B ，则
???
???
?=-+?
++?=--.012
04223,34
2
000y x x y 解得)5
8,54(-B
故由两点式可求得直线2l 的方程为016112=++y x ．
解法三：设直线2l 上一动点),(y x M 关于直线l 的对称点为),('''y x M ，则
???
????=-+?++?=--.012423,3
4
'
''
'y y x x x x y y 解得256247'+-=
y x x ，25
8
724'+--=y x y ．
显然),('''y x M 在1l 上，即0425
8
7242562472=-+--++-?y x y x ，也即
016112=++y x ．这便是所求的直线2l 的方程．
解法四：设直线2l 上一动点),(y x M ，则M 关于l 的对称点'M 在直线1l 上，可设'M 的坐标为)24,(00x x -，则
???
??
?
?=-----+=-+,34)24(,5
1
)24(4351430000x x x y x x y x 即???
?
???=-----+=-+-.34)24(,51
)24(435)143(0000x x x y x x y x
消去0x ，得016112=++y x ，即此所求的直线2l 的方程．
说明：在解法一中，应注意正确运用“到角公式”，明确由哪条直线到哪条直线的角．在
具体解题时，最好能准确画出图形，直观地得出关系式．在解法四中，脱去绝对值符号时，运用了平面区域的知识．否则，若从表面上可得到两种结果，这显然很难准确地得出直线2l 的方程．
本题的四种不同的解法，体现了求直线方程的不同的思想方法，具有一定的综合性．除此之外，从本题的不同解法中可以看出，只有对坐标法有了充分的理解与认识，并具有较强的数形结合意识，才有可能驾驭本题，从而在解法选择的空间上，真正做到游刃有余，左右逢源．
典型例题十一
例11 不论m 取什么实数，直线0)11()3()12(=--++-m y m x m 都经过一个定点，并求出这个定点．
分析：题目所给的直线方程的系数含有字母m ，给m 任何一个实数值，就可以得到一条确定的直线，因此所给的方程是以m 为参数的直线系方程．要证明这个直线系的直线都过一定点，就是证明它是一个共点的直线系，我们可以给出m 的两个特殊值，得到直线系
中的两条直线，它们的交点即是直线系中任何直线都过的定点．
另一思路是由于方程对任意的m 都成立，那么就以m 为未知数，整理为关于m 的一元一次方程，再由一元一次方程有无数个解的条件求得定点的坐标．
解法一：对于方程0)11()3()12(=--++-m y m x m ，令0=m ，得0113=--y x ；令1=m ，得0104=++y x ．
解方程组???=++=--0
1040
113y x y x 得两直线的交点为)3,2(-．
将点)3,2(-代入已知直线方程左边，得：
)11()3()3(2)12(---?++?-m m m 0119324=+----=m m m ． 这表明不论m 为什么实数，所给直线均经过定点)3,2(-． 解法二：将已知方程以m 为未知数，整理为： 0)113()12(=++-+-+y x m y x ． 由于m 取值的任意性，有
?
?
?=++-=-+01130
12y x y x ，解得2=x ，3-=y ． 所以所给的直线不论m 取什么实数，都经过一个定点)3,2(-．
说明：(1)曲线过定点，即与参数无关，则参数的同次幂的系数为0，从而求出定点． (2)分别令参数为两个特殊值，得方程组求出点的坐标，代入原方程满足，则此点为定点．
典型例题十二
例12 一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室．为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框旋置桌上，斜靠展出．已知镜框对桌面的倾角为α(?<≤?18090α)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m 、b m (b a >)，学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？
分析：建立如图所示的直角坐标系，AO 为镜框边，AB 为画的宽度，O 为下边缘上的一点，则可将问题转化为：
已知α=∠xOA ，a OA =，b OB =，在x 轴的正方向向上求一点C ，使ACB ∠取最大值．
因为视角最大时，从理论上讲，看画的效果最佳（不考虑其他因素）．
解：设C 点坐标为)0,(x (0>x )，从三角函数定义知A 、B 两点坐标分别为)sin ,cos (ααa a 、)sin ,cos (ααb b ，于是直线AC 、BC 的斜率分别为
x a a xCA k AC -=
∠=ααcos sin tan ，x
b b xCB k BC -=∠=αα
cos sin tan ．
于是2
cos )(sin )(1tan x x b a ab x b a k k k k ACB AC BC AC BC ++--=
?+-=
∠αα
， 即ααcos )(sin )(tan b a x x
ab
b a ACB +-+-=
∠．
由于ACB ∠是锐角，且在)2
,
0(π
上，则：α
αcos )(2sin )(tan b a ab b a ACB +--≤
∠，
当且仅当
x x
ab
=，即ab x =时，等号成立，此时ACB ∠取最大值，对应的点为)0,(ab C ，因此，学生距离镜框下缘m ab 处时，视角最大，即看画效果最佳．
说明：解决本题有两点至关重要：一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求ACB ∠tan 的最大值．如果坐标系选择不当，或选择求ACB ∠sin 的最大值，都将使问题变得复杂起来．
本题是一个非常实际的数学应用问题，它不仅考查了直线的有关概念以及三角知识的结合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力．
典型例题十三
例13 知实数x ，y 满足04=-+y x ，求2
2
)1()1(-+-y x 的最小值．
分析：本题可使用减少变量法和数形结合法两种方法：2
2
)1()1(-+-y x 可看成点
),(y x 与)1,1(之间的距离．
解：(法1)由04=-+y x 得x y -=4(R x ∈)， 则2
2
2
2
)14()1()1()1(--+-=-+-x x y x 96122
2+-++-=x x x x 10822
+-=x x 2)2(22
+-=x ， ∴2
2
)1()1(-+-y x 的最小值是2. (法2)∵实数x ，y 满足04=-+y x ， ∴点),(y x P 在直线04=-+y x 上．
而2
2
)1()1(-+-y x 可看成点),(y x P 与点)1,1(A 之间的距离(如图所示)
显然22)1()1(-+-y x 的最小值就是点)1,1(A 到直线04=-+y x 的距离：
21
14112
2=+-+=
d ，
∴2
2
)1()1(-+-y x 的最小值为2．
说明：利用几何意义，可以使复杂问题简单化．形如2
2
)()(b y a x -+-的式子即可看成是两点间的距离，从而结合图形解决．
典型例题十四
例14直线x y 2=是ABC ?中C ∠的平分线所在的直线，且A ，B 的坐标分别为
)2,4(-A ，)1,3(B ，求顶点C 的坐标并判断ABC ?的形状．
分析：“角平分线”就意味着角相等，故可考虑使用直线的“到角”公式将“角相等”列成一个表达式．
解：(法1)由题意画出草图（如图所示）．
∵点C 在直线x y 2=上，∴设)2,(a a C ，
则422+-=a a k AC ，3
1
2--=a a k BC ，2=l k ． 由图易知AC 到l 的角等于l 到BC 的角，因此这两个角的正切也相等．
∴
l
BC l
BC l AC AC l k k k k k k k k +-=?+-11，
∴2
31212
31
2242214222?--+---=?+-++--
a a a a a a a a ． 解得2=a ．
∴C 的坐标为)4,2(，
∴3
1
=
AC k ，3-=BC k ， ∴BC AC ⊥．
∴ABC ?是直角三角形．
(法2)设点)2,4(-A 关于直线x y l 2=：的对称点为),('
b a A ，则'A 必在直线BC 上．以下先求),('
b a A ．
由对称性可得???????-?=+-=+-,2422
2,2142a b a b
解得??
?-==2
4b a ，∴)2,4('
-A ．
∴直线BC 的方程为
3
43
121--=
---x y ，即0103=-+y x ． 由???=-+=01032y x x y 得)4,2(C ．
∴3
1
=
AC k ，3-=BC k ， ∴BC AC ⊥．
∴ABC ?是直角三角形．
说明：(1)在解法1中设点C 坐标时，由于C 在直线x y 2=上，故可设)2,(a a ，而不设),(b a ，这样可减少未知数的个数．(2)注意解法2中求点)2,4(-A 关于l 的对称点
),('b a A 的求法：原理是线段'AA 被直线l 垂直平分．
典型例题十五
例15 两条直线m y x m l 352)3(1-=++：，16)5(42=++y m x l ：，求分别满足下列条
件的m 的值．
(1) 1l 与2l 相交； (2) 1l 与2l 平行； (3) 1l 与2l 重合；
(4) 1l 与2l 垂直； (5) 1l 与2l 夹角为?45． 分析：可先从平行的条件
2
1
21b b a a =(化为1221b a b a =)着手． 解：由
m m +=
+5243得0782
=++m m ，解得11-=m ，72-=m ． 由16
3543m m -=
+得1-=m ． (1)当1-≠m 且7-≠m 时，
2
1
21b b a a ≠，1l 与2l 相交； (2)当7-=m 时，
2
1
2121c c b b a a ≠=．21//l l ； (3)当1-=m 时，
2
1
2121c c b b a a ==，1l 与2l 重合； (4)当02121=+b b a a ，即0)5(24)3(=+?+?+m m ，3
11
-=m 时，21l l ⊥； (5) 231+-=m k ，m
k +-=54
2． 由条件有
145tan 11
21
2=?=+-k k k k ．
将1k ，2k 代入上式并化简得029142
=++m m ，527±-=m ；
01522=-+m m ，35或-=m ．
∴当527±-=m 或-5或3时1l 与2l 夹角为?45．
说明：由
m
m +=
+52
43解得1-=m 或7-=m ，此时两直线可能平行也可能重合，可将m 的值代入原方程中验证是平行还是重合．当m
m +≠
+52
43时两直线一定相交，此时应是1-≠m 且7-≠m ．
典型例题十六
例16点)3,2(1P ，)5,4(2-P 和)2,1(-A ，求过点A 且与点1P ，2P 距离相等的直线方程．
分析：可以用待定系数法先设出直线方程，再求之；也可从几何意义上考察这样的直线具有的特征．
解：(法1)设所求直线方程为)1(2+=-x k y ，即02=++-k y kx ，由点1P 、2P 到
直线的距离相等得：
1
2
541
2
322
2
+++--=
+++-k k k k k k ．
化简得3313--=-k k ，则有：3313--=-k k 或3313+=-k k ， 即3
1
-
=k 或方程无解． 方程无解表明这样的k 不存在，但过点A ，所以直线方程为1-=x ，它与1P ，2P 的距离都是3．
∴所求直线方程为)1(3
12+-=-x y 或1-=x ．
(法2)设所求直线为l ，由于l 过点A 且与1P ，2P 距离相等，所以l 有两种情况，如下图：
(1)当1P ，2P 在l 同侧时，有21//P P l ，此时可求得l 的方程为)1(2
43
52+---=-x y ，
即)1(3
12+-=-x y ；
(2)当1P ，2P 在l 异侧时，l 必过21P P 中点)4,1(-，此时l 的方程为1-=x ． ∴所求直线的方程为)1(3
12+-=-x y 或1-=x ．
说明：该题如果用待定系数法解易漏掉1-=x ，即斜率不存在的情况．所以无论解什么题目，只要图形容易画出，就应结合图形，用代数法、几何法配合来解．
典型例题十七
例17 经过点)1,2(-P 且与直线0623=--y x 平行的直线l 的方程．
分析：已知直线l 与直线0623=--y x 平行，故l 的斜率可求，又l 过已知点P ，利用点斜式可得到l 的方程．另外由于l 与已知直线平行，利用平行直线系方程，再由已知点P ，也可确定l 的方程．
解法一：由已知直线0623=--y x ，知其斜率2
3=
k ．
又由l 与直线0623=--y x 平行，所以直线l 的斜率2
3=
l k ． 又由直线l 经过已知点)1,2(-P ，所以利用点斜式得到直线l 的方程为：
)2(2
3
1-=+x y ，即0823=--y x ．
解法二：因为直线l 平行于直线0623=--y x ，所以可设直线l 的方程为
023=+-C y x ．
又点)1,2(-P 在直线l 上，所以0)1(223=+-?-?C ，解得8-=C ． 故直线l 的方程为0823=--y x ．
说明：解法二使用的是平行直线系，并用了待定系数法来解．
典型例题十八
例18 过点)1,1(-P 且与直线0132=++y x 垂直的直线l 的方程．
分析：已知直线l 与直线0132=++y x 垂直，故l 的斜率可求，又l 过已知点P ，利用点斜式可得到l 的方程．另外由于l 与已知直线垂直，利用垂直直线系方程，再由已知点P ，也可确定l 的方程．
解法一：由直线0132=++y x ，知其斜率3
2-
=k ． 又由l 与直线0132=++y x 垂直，所以直线l 的斜率2
31=-=k k l ． 又因l 过已知点)1,1(-P ，利用点斜式得到直线l 的方程为
)1(2
3
1-=
+x y ，即0523=--y x ． 解法二：由直线l 与直线0132=++y x 垂直，可设直线l 的方程为：
023=+-C y x ．
又由直线l 经过已知点)1,1(-P ，有0)1(213=+-?-?C ． 解得5-=C ．因此直线l 的方程为0523=--y x ．
说明：此题的解二中使用垂直直线系方程，并使用了待定系数法．
典型例题十九
例19知直线l 经过两条直线021=+y x l ：与010432=--y x l ：
的交点，且与直线
03253=+-y x l ：的夹角为
4
π
，求直线l 的方程． 分析：先求1l 与2l 的交点，再列两条直线夹角公式，利用l 与3l 夹角为
4
π
，求得l 的斜率．也可使用过两直线交点的直线系方程的方法省去求交点的过程，直接利用夹角公式求解．
解法一：由方程组?
??=--=+010430
2y x y x 解得直线1l 与2l 的交点)1,2(-．
于是，所求直线l 的方程为)2(1-=+x k y ．
又由已知直线03253=+-y x l ：
的斜率253=k ，而且l 与3l 的夹角为4
π
，故由两直线夹角正切公式，得
3
314tan kk k k +-=
π，即k k 2
5125
4tan +-
=π． 有
125125±=+-
k k ，15252±=+-k k ， 当15252=+-k k 时，解得37-=k ；当15252-=+-k k 时，解得73=k ．
故所求的直线l 的方程为)2(731-=+x y 或)2(3
7
1--=+x y ，
即01373=--y x 或01137=-+y x ．
解法二：由已知直线l 经过两条直线1l 与2l 的交点，则可设直线l 的方程为
0)2()1043(=++--y x y x λ， （*）
即010)42()3(=--++y x λλ． 又由l 与3l 的夹角为
4
π
，3l 的方程为0325=+-y x ，有 2
1211
2214
tan
B B A A B A B A +-=
π
，
即)
42)(2()3(55
)42()2)(3(1--++?---+=
λλλλ，也即λλ+-=2312141，
从而
1231214=+-λλ，1231214-=+-λ
λ
．
解得139-
=λ，11
37=λ．代入（*）式，可得直线l 的方程为 01373=--y x 或01137=-+y x ．
说明：此题用到两直线的夹角公式，注意夹角公式与到角公式的区别。解法二还用到了
过两相交直线的交点的直线系方程，用它可以省去求交点的过程，但不一定这样的运算就简单，还要根据具体题目选择合适的方法。
典型例题二十
例20 直线02=-+y x l ：，一束光线过点)13,0(+P ，以?120的倾斜角投射到l 上，经l 反射，求反射线所在直线的方程．
分析：此题解法很多．如图，入射线与l 交于Q 点，则Q 点的坐标易得．求反射线的方程只缺少一个条件，寻求这个条件的主要思路有：
思路一：已知l 的倾斜角为?135，入射线的倾斜解为?120，可由三角形外角定理得到反射线的倾斜角．
思路二：如图，由光线的反射定律可知，PQ 到l 的角等于l 到反射线的角，可得到反射线的斜率．
思路三：由光的反射性质，可知反射线所在直线除经过Q 点外，还经过P 点关于l 的对称点'
'P ，求得'
'P 的坐标，反射线方程也可求得．
思路四：由直线l 为入射线和反射线所在直线交角的平分线，l 上任意一点到入射线和反射线的距离相等，也可求得反射线的斜率．
思路五：可求得)1,1(Q ，直线OQ 为x y =，入射线和反射线关于x y =对称，利用反函数性质，由入射线的方程可以求出反射线的方程．
解法一：由已知入射线的倾斜角为?120，其斜率为3120tan -=?，又入射线过点
)13,0(+P ，所以入射线所在直线的方程为：133++-=x y ．
解方程组??
?=-+++-=,
02,133y x x y 得交点)1,1(Q ．
又因l 的倾斜角为?135，入射线PQ 的倾斜角?120，所以入射线与l 的夹角为?15．
于是据外角定理?=∠150'
x QP ，即反射线所在直线的斜率为3
3
150tan -
=?．故反射线所在直线的方程为)1(3
3
1--
=-x y ，即： 0)13(3=+-+y x ．
解法二：由已知可得1-=l k ，3-=入射线k ，设反射线的斜率为k ，则由入射线到l 的角等于l 到反射线的角，可得
入射线入射线k k k k k k k k l l l l ?+-=?+-11，即3
13
111++-=
-+k k ． 解得3
3
-
=k ． 以下求出Q 点坐标，再由点斜式得反射线所在直线的方程（略）．
解法三：由已知得入射线所在直线方程为133++-=x y ，再与直线l 的方程联立得交点)1,1(Q ．
利用关于直线对称点的知识，求得点)13,0(+P 关于l 的对称点)2,31('
'-P ．
又由反射线所在直线过'
'P 与Q 两点，它的方程为
3
1
121--=--x y ，即： 0)13(3=+-+y x ．
解法四：可求得入射线所在直线方程为133++-=x y ，即0)13(3=+-+y x ，入射线与l 交点为)1,1(Q ．
于是可设反射线所在直线的方程为：)1(1-=-x k y ，即01=-+-k y kx ． 由于直线l 为入射线与反射线夹角的平分线，则l 上的任一点到它们的距离相等，于是在l 上取点)0,2(，有：
1
1023
1)
13(0322
+-+-=
++-+k k
k ．
所以
1
12
132++=
-k k ，即03432
=++k k ．
故3
3
-
=k ，3-=k （等于入射线斜率，舍去）． 于是反射线的方程为：)1(3
3
1--
=-x y ，即0)13(3=+-+y x ． 解法五：由点)1,1(Q ，得直线OQ 的方程为x y =．
又因入射线与反射线所在直线关于x y =对称，点)13,0(+P 关于直线x y =对称的点'P 的坐标为)0,13(+．
由于反射线所在直线经过'
P 与Q 两点，所以它的方程为：
3
1
101-=--x y ，即0)13(3=+-+y x ． 典型例题二十一
例21 已知直线022=-+y x l ：，试求： (1)点)1,2(--P 关于直线l 的对称点坐标；
(2)直线21-=x y l ：关于直线l 对称的直线2l 的方程； (3)直线l 关于点)1,1(的对称直线方程．
分析：对称问题可分为四种类型：①点关于点的对称点；②点关于直线的对称点；③直线关于直线的对称直线；④直线关于点的对称直线．对于①利用中点坐标公式即可．对于②需利用“垂直”“平分”两个条件．若③④在对称中心（轴），及一个曲线方程已知的条件下给出，则通常采取坐标转移法，其次对于对称轴（中心）是特殊直线，如：坐标轴、直线
b x y +±=，采取特殊代换法，应熟练掌握．
解：(1)设点P 关于直线l 的对称点为),(00'
y x P ，
则线段'
PP 的中点M 在对称轴l 上，且l PP ⊥'
．
2016届高考数学经典例题集锦：数列(含答案)
数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= ， 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解：（1）已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②
高考数学大题经典习题
1. 对于函数()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-。 （1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 22sin cos t t t -+t 的取值范围； （2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()3 2 1 (2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-，则()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02 (2)323(2)0a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立， 而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1． 故2 2sin cos 1t t t -≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3 )(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点，且|AB|＝2，αββα-=-)()(f f .
高中数学经典例题
高中数学经典例题讲解高中数学经典例题讲解典型例题一例1下列图形中，满足唯一性的是 （）． A．过直线外一点作与该直线垂直的直线 B．过直线 外一点与该直线平行的平面C．过平面外一点与平面平行的直 线D．过一点作已知平面的垂线分析：本题考查的是空间线线 关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键．要注意空间垂直并非一定相关．解：A．过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作无数条．事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面．B．过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直线平行．C．过此点作平面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面．所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条．．过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条．假设空间点、平面，过点有两条直线、都垂直于，由于、为相交直线，不妨设、所确定的平面为 ，与的交线为，则必有，，又由于、、都在平面内，这样在内经过点就有两条直线和直线垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故选D．说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明．在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作
已知直线的垂面也是有且仅有一个．它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到．典型例题二例2 已知下列命题：（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；（3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直．上述命题正确的是（）． A．（1）、（2） B．（2）、（3） C．（3）、（4） D．（2）、（4）分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用．应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形．解：（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系； - 1 - 高中数学经典例题讲解（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；（3）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；（4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性．故选D．说明：（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直．如E、FGBC在
高一数学平面向量知识点及典型例题解析
高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任 取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。②向量减法： 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a 。 二．【典例解 析】 题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段
[高考数学]高考数学函数典型例题
?0
③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2（x-1-e -x ) . 年 高 考 江 苏 卷 试 题 11 ） 已 知 函 数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则 满 足 不 等 式 ) 剪成两块，其中一块是梯形，记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年 高 考 天 津 卷 理 科 16) 设 函 数 f ( x ) = x 2 - 1 ， 对 任 意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立，则实数 m 的取值范围是 。 34 ．（ 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35．（20XX 年高考江苏卷试题 14）将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长） 梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . （Ⅰ）若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ，求 a 的取值范围； （Ⅱ）证明： ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 .
高考数学百大经典例题 曲线和方程(新课标)
典型例题一 例1 如果命题“坐标满足方程()0=y x f ，的点都在曲线C 上”不正确，那么以下正确的命题是 （A ）曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ，． （B ）坐标满足方程()0=y x f ，的点有些在C 上，有些不在C 上． （C ）坐标满足方程()0=y x f ，的点都不在曲线C 上． （D ）一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足方程()0=y x f ，． 分析：原命题是错误的，即坐标满足方程()0=y x f ，的点不一定都在曲线C 上，易知答案为D ． 典型例题二 例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系． 分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性．这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则． 解：如下图所示，过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ，因而在直线l 上的点的坐标都满足1=y ，所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上．但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上，因此方程1=y 不是直线l 的方程，直线l 只是方程 1=y 所表示曲线的一部分． 说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性． 典型例题三
例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系． 分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析． 解：方程x y =所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等．但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程x y =，例如点)3,3(-到两坐标轴的距离均为3，但它不满足方程x y =．因此不能说方程x y =就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程x y =所表示的轨迹． 说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”，即满足完备性，而“轨迹上的点的坐标不都满足方程”，即不满足纯粹性．只有两者全符合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线． 典型例题四 例 4 曲线4)1(2 2 =-+y x 与直线4)2(+-=x k y 有两个不同的交点，求k 的取值范围．有一个交点呢？无交点呢？ 分析：直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、一个解和无解，也就是由两个方程整理出的关于x 的一元二次方程的判别式?分别满足0>?、0=?、0?即0)52)(12(<--k k ，即 25 21<
高中数学圆的方程典型例题及详细解答
新课标高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？
高考数学常见题型汇总(经典资料)
一、函数 1、求定义域（使函数有意义） 分母 ≠0 偶次根号≥0 对数log a x x>0，a>0且a ≠1 三角形中 060，最小角<60 2、求值域 判别式法 V ≥0 不等式法 222321111 33y x x x x x x x x =+ =++≥??= 导数法 特殊函数法 换元法 题型： 题型一： 1y x x =+ 法一： 111 (,222同号)或y x x x x x x y y =+ =+≥∴≥≤- 法二：图像法（对(0) b y ax ab x =+>有效 2 -2 -1 1
题型二： ()1 (1,9) y x x x =-∈ ()/ 2(1)(9)110 1 80,,0,9导数法：函数单调递增 即y x y x x y f f y =+>∴=-?? ∴∈∈ ? ?? 题型三： 2sin 1 1sin 1sin ,1, 2112化简变形又sin 解不等式，求出，就是要求的答案y y y y y y θθ θθ-= ++=≤-+∴ ≤- 题型四： 22 2 2sin 11cos 2sin 1(1cos ),2sin cos 114sin()1,sin()41sin()11 4化简变形得即又由知解不等式，求出，就是要求的答案 y y y y y y x y x y y x y y θθ θθθθθθθ-= +-=+-=++++=++= +++≤≤+ 题型五
222233 3(3),(3)30(3)430化简变形得由判别式解出x x y x x x y x x y x y y y y += -+=-+-+==--?≥V 反函数 1、反函数的定义域是原函数的值域 2、反函数的值域是原函数的定义域 3、原函数的图像与原函数关于直线y=x 对称 题型 1 ()(2)32,2322,2已知求解：直接令，解出就是答案 x x f f x x x x --=+-=+ 周期性 ()()()(2)()()(2)0 0(2，函数 -)式相减） 是一个周期是2t 的周期函数 x x t x t x t x x x t f f f f f f f +++++=+== 对称
高考数学百大经典例题不等式证明
典型例题一 例1 若10<
说明：解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快． 典型例题二 例2 设0>>b a ，求证：.a b b a b a b a > 分析：发现作差后变形、判断符号较为困难．考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式． 证明：b a a b b a a b b a b a b a b a b a ---=?=)( ∵0>>b a ，∴ .0,1>->b a b a ∴1)(>-b a b a . ∴a b b a b a b a .1> 又∵0>a b b a ， ∴.a b b a b a b a >. 说明：本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步 骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小. 典型例题三 例3 对于任意实数a 、b ，求证 444 ()22 a b a b ++≥（当且仅当a b =时取等号） 分析 这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有4 ( )2 a b +，展开后很复杂。若使用综合法，从重要不等式：2 2 2a b ab +≥出发，再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。 证明：∵ 222a b ab +≥（当且仅当22 a b =时取等号） 两边同加4 4 4 4 2 22 ():2()()a b a b a b ++≥+， 即： 44222 ()22 a b a b ++≥ （1） 又：∵ 22 2a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号） 两边同加2 2 2 2 2 ():2()()a b a b a b ++≥+
高考数学经典选择题(含答案)
高考数学经典选择题(含答案) 1、点O 在ABC ?内部且满足23OA OB OC O ++=，则AOB ?面积与AOC ?面积之比为 A 、 2 B 、 3 2 C 、 3 D 、 53 2、已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04??- ???成中心对称图形，且满足 3()()2f x f x =-+，(1)1f -=，(0)2f =-则(1)(2)(2006)f f f ++???+的值为 A 、1 B 、2 C 、 1- D 、2- 3、椭圆1:C 22 143x y +=的左准线为l ，左右焦点分别为12,F F 。抛物线2C 的准线为l ，焦点是 2F ，1C 与2C 的一个交点为P ，则2PF 的值为 A 、4 3 B 、83 C 、 4 D 、8 4、若正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则该球的体积为 A 、 16(12)- B 、 18π C 、 36π D 、 64(6)- 5、设32 ()f x x bx cx d =+++，又k 是一个常数，已知当0k <或4k >时，()0f x k -=只有一个实根；当04k <<时，()0f x k -=有三个相异实根，现给出下列命题： （1）()40f x -=和()0f x '=有一个相同的实根， （2）()0f x =和()0f x '=有一个相同的实根 （3）()30f x +=的任一实根大于()10f x -=的任一实根 （4）()50f x +=的任一实根小于()20f x -=的任一实根 其中错误命题的个数是 A 、 4 B 、 3 C 、 2 D 、 1 6、已知实数x 、y 满足条件2040250x y x y x y -+≥??+-≥??--≤?则 24z x y =+-的最大值为 A 、 21 B 、 20 C 、 19 D 、 18 7、三棱锥P ABC -中，顶点P 在平面ABC 的射影为O ，满足0OA OB OC ++=，A 点在侧面PBC 上的射影H 是PBC ?的垂心，6PA =，则此三棱锥体积的最大值为 A 、 36 B 、 48 C 、 54 D 、 72 8、已知函数()f x 是R 上的奇函数，且 ()0,+∞在上递增，(1,2)A -、(4,2)B 是其图象上两点，则不等式(2)2f x +<的解集为 A 、 ()(),44,-∞-?+∞ B 、 ()(){}4,11,40--??
高考数学百大经典例题——不等式解法
典型例题一 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或 0)( ①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ? ? < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ? = ? ≤ ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 （1）解：原不等式等价于 ? ? ? ≠ - + ≥ + - + - ? ≥ + - + - ? ≤ + - + + - ? ≤ + - - - + ? ≤ + - - ? + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ? - ? - -∞,6 2,1 )2 , (。 （2）解法一：原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ? ?? ? ? ? < + - < + - ?? ? ? ? > + - > + - ? > + - + - ? x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞。 解法二：原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ? - - - ?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞ 典型例题三 1. 对于函数()32 1(2)(2)3 f x a x bx a x =- +-+-。 （1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 2 2sin cos t t t -+ t 的取值范围； （2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()32 1(2)(2)3 f x a x bx a x =- +-+-，则 ()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02(2)323(2)0 a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-+ ∈恒成立， 而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1． 故2 2sin cos 1t t t -+ ≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得22 4a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3)(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0? 高考数学典型例题详解 奇偶性与单调性 函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识. ●难点磁场 (★★★★★)已知偶函数f (x )在(0，+∞)上为增函数，且f (2)=0,解不等式f ［log 2(x 2+5x +4)］≥0. ●案例探究 ［例1］已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,设不等式解集为A ，B =A ∪{x |1≤x ≤5},求函数g (x )=－3x 2+3x －4(x ∈B )的最大值. 命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目. 知识依托：主要依据函数的性质去解决问题. 错解分析：题目不等式中的“f ”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域. 技巧与方法：借助奇偶性脱去“f ”号，转化为x cos 不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值. 解：由? ??<<-< ∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2 典型例题一 例1 如果命题“坐标满足方程()0=y x f ，的点都在曲线C 上”不正确，那么以下正确的命题是 （A ）曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ，． （B ）坐标满足方程()0=y x f ，的点有些在C 上，有些不在C 上． （C ）坐标满足方程()0=y x f ，的点都不在曲线C 上． （D ）一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足方程()0=y x f ，． 分析：原命题是错误的，即坐标满足方程()0=y x f ，的点不一定都在曲线C 上，易知答案为D ． 典型例题二 例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系． 分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性．这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则． 解：如下图所示，过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ，因而在直线l 上的点的坐标都满足1=y ，所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上．但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上，因此方程1=y 不是直线l 的方程，直线l 只是方程1=y 所表示曲线的一部分． 说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性． 典型例题三 例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系． 分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析． 解：方程x y =所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等．但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程x y =，例如点)3,3(-到两坐标轴的距离均为3，但它不满足方程x y =．因此不能说方程x y =就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程x y =所表示的轨迹． 高中数学排列与组合 （一）典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题： 1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种高考数学大题经典习题
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