概率论复习指南

《概率论与数理统计》期末总复习指南

第一章 随机事件及其概率

一、基本概念、基本定理、基本计算公式

1． 随机事件的概念以及事件的关系与运算（并、差、德摩根率） 要求：能够用集合来表示事件 2． 概率的两个定义

统计定义 ()n P A m =

古典概型 ()k

P A n

= 要求：了解两个定义的区别与联系 3．概率的性质，事件关系的概率表达式， 要求：能够利用概率的性质计算随机事件的概率 4．有关条件概率的三个定理 ① 乘法公式

()()()()()()()()

00A AB A B A B AB B A B >=>= 当P 时，有P P P 当P 时，有P P P

② 全概率公式——（由因索果）

()()()()()

11,,01,2,,,n i n

i i i A A A i n B P B P A P B A =>==∑ 如果事件构成完备事件组，且P 则对任意事件，有

③ 贝叶斯定理——（由果找因）

()()()()()()()

()()

()

11

,,01,2,,,01,2,,n i k k k n

i i i A A A i n B P B P A P B A P A B k n P A P B A =>=>=

=∑ 若构成完备事件组，且P 则对任意事件，有

要求：熟练掌握三个有关条件概率的计算公式，解决复杂事件概率的计算问题。 5．事件的独立性

对事件A 与B,若有 ()()()P A B P A P B

= 或 ()()()()P A B P A P B A P B ==

则称A 与B 相互独立。

若A 与B 相互独立，则,A B A B A B 与与，与也相互独立。 要求：理解事件独立与事件互斥的关系。

二、基本题型

1. 事件和差、积的计算。

2. 全概率公式与贝叶斯公式的计算。

3. 独立性判断和证明

第二章 随机变量及其分布

一、基本概念、基本定理、基本计算公式 1． 分布函数的概念：()()

(),F x p X x x =≤∈-∞+∞

性质：单调非减、右连续、()()()1221P x x F x F x ξ<≤=-

要求：理解分布函数()F x 就是事件“X x ≤”的概率以及分布函数的性质，能够利用分布函数计算随机事件的概率。 2． 离散型随机变量的分布 ① 定义：()()1,2,,i i

P x p i n ξ===

② 重要的离散型随机变量的分布

[]()()()()()

()()()()

0101101,,0,1,,01,1,0,1,2,0!

k k

n k

X X p P p

B n p X k c p q

k n p p q X p p X k e k k λ

ξλλλ-====-===<<+===

=> －分布:若，，则P 二项分布:若X 则P 泊松分布:若则

要求：理解离散型随机变量及其分布的定义，熟练掌握重要分布的概率函数分布能够利用概率函数计算随机事件的概率。 3．连续型随机变量的分布 ① ()()()x

F x f x dx X f x X -∞=

?若成立，则为连续型随机变量，为的分布密度。

② 重要的连续型随机变量的分布

()()()()()

()

(

)()()

()(

)2

2

22

22

1

,00000

01x

x x a x b X U a b f x b a

e x X e

f x x X N f x x X N x λμσλλλμσ?---

-?<

=-????≥=>?

均匀分布：若则其它指数分布：若则正态分布：若，则

特别地，，，则

要求：熟练掌握重要分布的分布密度，能够利用分布密度计算随机事件的概率。 4．随机变量函数的分布

设随机变量()X X f x ，求随机变量()Y g X =的概率密度函数()Y f y ：【分布函数法】

解：设随机变量Y 的分布函数为(){}{()}Y F y P Y y P g X y =≤=≤

画图，结合图形解不等式()g X y ≤，得x X I ∈（其中x I 表示()0X f x ≠的区间） 从而(){}{()}()x

Y X I F y P Y y P g X y f x dx =≤=≤=

?

()()Y Y f y F y '=

要求：掌握随机变量函数的分布的计算、证明方法。

二、基本题型

1． 利用分布密度的性质求待定常数，计算随机事件的概率； 2． 利用常见随机变量分布的性质计算概率或待定参数； 3． 利用已知随机变量X 的分布，求随机变量函数的分布；

4． X 为连续随机变量，而()Y g X =为离散型随机变量，求Y 的概率分布；

第三章 二维随机变量及其分布

一、基本概念、基本定理、基本计算公式

1．二维离散型随机变量的分布 ① 联合分布：

()(),1,2,i i ij

p X x Y y p i j ==== 、

② 边缘分布：

()()

()()

11

1,2,1,2,i ij

i i ij

i X P X x p i Y P Y y p j ∞

=∞

=======∑∑ 关于的边缘分布关于的边缘分布

要求：理解联合分布与边缘分布的概念，掌握边缘分布的计算方法。 2．二维连续型随机变量的分布 ① 联合分布：

()()()(),,,x

y

F x y f s t dsdt

f x y F x y -∞

-∞=?

?，其中称为联合分布密度，称为联合分布函数。

② 边缘分布：

()()()()X Y X f x f x y dy

Y f y f x y dx

+∞

-∞

+∞

-∞

==??

关于的边缘分布，关于的边缘分布

，

③ 常见的二维连续型的概率密度

均匀分布的概率密度函数、二维正态分布的表示法

要求：理解联合分布与边缘分布得概念，掌握边缘分布得计算方法。并会求{(,)}P X Y D ∈。 3．二维随机变量得独立性

()()()

()()()

,1,2,,,ij i j

X Y X Y p p p i j F x y F x F y f x y f x f y =?=??=?

=??? 或 要求：掌握二维随机变量的独立性的判断方法。 4、二维随机变量函数的分布 ①Z aX bY =± ②Y

Z X

=

③min{,},max{,}Z X Y X Y = ④一般(,)Z g X Y = 方法：分布函数法，已知(,)X Y 的联合概率密度为(,)f x y 。 ①、设随机变量Y 的分布函数为(){}{(,)}Z F z P Z z P g X Y z =≤=≤ ②、画图，结合图形解不等式(,)g X Y z ≤，得1(,)X Y D ∈

③、在上图中，图示(,)0f x y ≠的区域2D ，令*12D D D = ，一般要注意z 不同时，*

D 的表示法不同。

④、从而*

(){}{(,)}(,)Z D F z P Z z P g X Y z f x y dxdy =≤=≤=??

⑤、()()Z Z f z F z '=

要求：牢牢掌握二维随机变量函数分布的求法，二维随机变量函数的应用。（二维转化为一维的问题）

二、 基本题型

1. 利用分布密度的性质求待定常数，计算随机事件的概率；

2. 求二维随机变量的分布函数、计算随机事件的概率；

3. 求二维随机变量的边缘分布，判断独立性；

4.

(,)X Y 为连续随机变量，求(,)Z g X Y =的概率分布。

第四章 数字特征

一、基本概念、基本定理、基本计算公式

1． 随机变量的数字特征 ① 离散型随机变量的数字特征

()2

221

1

i i

i i i i EX x p DX x EX p EX E X ∞

∞

====-=-∑∑数字期望:方差:

② 连续型随机变量的数字特征

()()()2

EX xf x dx

DX x EX f x dx ∞

+∞

∞

-∞

==-?

?

＋－数字期望:方差: ③ 随机变量函数的数字特征

()()()()1

i i

x i Y g X EY g x p EY g x f x dx ∞

+∞

-∞

====∑?

若，则数学期望或

④ 随机变量数字特征的性质

⑤ 常见的一维连续型随机变量数字特征

要求：理解数字特征的定义，掌握重要分布的期望与方差的计算。 2. 二维随机变量的数字特征

()()()()()()()()()

22

cov ,cov ,XY EX xf x dx xf x y dxdy

DX x EX f x dx x EX f x y dxdy X Y E X EX Y EY EXY EX EY

X Y ρ∞+∞

+∞

∞

-∞

-∞+∞

+∞

+∞

-∞-∞-∞

===-=-=--=-?=

??

??

??＋－数字期望，方差，协方差

相关系数

3．相关性和独立性的判断

,X Y 相互独立?

()()(,)00

XY E XY EX EY D X Y DX DY

Cov X Y ρ=??±=+?=?=

二维正态分布

,X Y 相互独立?0XY ρ=

要求：熟练运用数字特征的相关公式，掌握二维随机变量函数数字特征的求法以及判断二维随机变量的独立性和相关性。

二、基本题型

1. 利用数字特征的相关性质，计算随机变量的数字特征；

2. 利用定积分或二重积分的奇偶对称性计算随机变量或随机变量积的数学期望；

3. 判断二维随机变量的独立性和相关性；

第五章 大数定律和中心极限定理

①契比晓夫不等式： {}

2

DX

P X EX εε

-≥

≤

②契比晓夫大数定理：

③林德贝格－勒维中心极限

： ()2

2lim n t i x x X nEX P x e

dt

x -

-∞→∞??

- ?

?≤=

=Φ????

∑

要求：掌握契比晓夫不等式，了解中心极限定理。

二、基本题型

1．利用契比晓夫不等式估计随机变量与其期望偏差的概率；

2．利用中心极限定理计算概率和满足概率范围的随机变量取值的个数问题。

第六章 统计量和抽样分布

一、基本概念、基本定理、基本计算公式

1．样本与样本观测值的概念 2．总体统计量与样本矩的概念

特别地，样本均值 11n i i X X n ==∑, 样本方差 ()

2

2

1

11n i i S X X n ==--∑

样本k 阶原点矩1

1n k

k i i A X n ==∑ 样本k 阶中心矩11()n k k i i B X X n ==-∑

3． 常见的抽样分布

2(,)X N μσ ，则2

(,)i X N μσ ，

(0,1)i X N μ

σ

- ，2

(,

)X N n

σμ

(0,1)X N

卡方分布：标准正态分布的平方和，(0,1)i X N ，则

21

()n

i

i X

n χ=∑

T 分布：标准正态分布与卡方分布开方的比值2(0,1),()X N Y n χ

()t n F 分布：两个卡方分布的比值22(),()X n Y m χχ

，

/(,)/X n

F n m Y m

4． 设总体的均值与方差分别为2

,μσ，则样本均值1

1n

i i X X n ==∑满足2,EX M DX σ==

要求：了解样本矩的概念以及常见统计量服从的分布。

(0,1)X N

(1)X t n - 2

2

2

(1)(1)n s n χσ-- 2

21

2

()()i

i X

n μχσ∞

=-∑

二、基本题型

1．求统计量服从的分布。 2、证明统计量的分布。

第七章 参数估计

一、基本概念、基本定理、基本计算公式

1．点估计是指用样本矩作为总体矩的估计：1

1()n k

k

k k i k i A X EX B E X EX n ====-∑

注意：总体数学期望的矩估计为样本均值、总体方差的矩估计为样本二阶中心矩。 2．极大似然估计

①、似然函数的构造1

(;)n

i

i i L P X

x θ==

=∏或1

(;)n

X i i L f x θ==∏

②、求

0dL d θ=或ln 0d L d θ

= 解得?θ，则?θ为θ的极大似然估计 ③、如果②式无解，则依据题意和样本值来判断?θ使L 取最大值。

3．无偏估计满足的条件是：?E θθ=，无偏估计的有效性比较：12

??D D θθ< 4．单总体的区间估计 ()

121P θθθα<<=-

要求：理解估计量的概念，掌握构造估计量的两种方法，掌握区间估计的计算。

二、基本题型

1． 利用总体的分布构造估计量：矩估计和极大似然估计； 2． 利用总体分布构造在置信度为()1%α-置信区间； 3． 无偏估计的判断和证明，比较无偏估计的有效性。

第八章 假设检验

一、基本概念、基本定理、基本计算公式

1．假设检验的基本思想：小概率事件在一次抽样中几乎不可能发生。 2．假设检验的两类错误：“弃真”、“取伪” 3．一维正态总体的均值、方差的假设检验 ①、依据题意给出原假设和备择假设；

②、依据所要检验的参数，取统计量Z （仅含待检参数，且分布已知）； ③、00(|){}P H H P Z C α=∈=拒真，得到拒绝域C ；

④、代入已知观察值、待检参数值，得0Z 。若0Z C ∈，则拒绝0H ，否则接受0H 。

要求：理解假设检验的概念。掌握假设检验的方法与步骤，牢记正态总体均值、方差检验的拒绝域。

二、基本题型

1． 利用总体的分布构造检验统计量;

2． 利用总体的分布，对未知参数进行假设检验。

概率论重要知识点总结

概率论重要知识点总结 概率论重要知识点总结 第一章随机事件及其概率 第一节基本概念 随机实验：将一切具有下面三个特点： （1）可重复性 （2）多结果性 （3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用表示。 随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为。必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。 样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间.样本空间用Ω表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集，复合事件—多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件发生必然导致事件B发生，则称B 包含A，记为，则称事件A与事件B 相等，记为A＝B。 事件的和：“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件B 事件的积：称事件“事件A与事件B 都发生”为A 或AB。事件的差：称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为A－B。用交并补可以表示为互斥事件：如果A，B两事件不

能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。互斥时可记为A＋B。对立事件：称事件“A不发生”为事件A 的对立事件（逆事件），记为A 。对立事件的性质：事件运算律：设A，B，C为事件，则有： （1）交换律：AB=BA，AB=BA A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A(BC)＝(AB)(AC)ABAC （4）对偶律（摩根律）： 第二节事件的概率 概率的公理化体系：第三节古典概率模型1、设试验E 是古典概型,其样本空间Ω个样本点组成.则定义事件A 的概率为的某个区域，它的面积为μ(A)，则向区域上随机投掷一点，该点落在区域假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可.第四节条件概率条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为条件概率，记作乘法公式： P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)全概率公式：设第五节事件的独立性两个事件的相互独立：若两事件A、B 满足P(AB)=相互独立.三个事件的相互独立：对于三个事件A、B、C，若P(AB)=相互独立三个事件的两两独立：对于三个事件A、B、C，若P(AB)=两两独立独立的性质：若A 均相互独立总结： 1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。 2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用，应

学生学习心得体会10篇

学生学习心得体会xx篇 亲爱的朋友，很高兴能在此相遇！欢迎您阅读文档学生学习心得体会xx篇，这篇文档是由我们精心收集整理的新文档。相信您通过阅读这篇文档，一定会有所收获。假若亲能将此文档收藏或者转发，将是我们莫大的荣幸，更是我们继续前行的动力。 学生学习心得体会x 各位都知道，一分耕耘，一分收获。你付出多少，就收获多少。优异的成绩必须经过努力与艰辛。接下来我就分几点来说说我的学习心得： x、贵在坚持 正所谓：一日之计在于晨。早晨的时间是宝贵的。因为早上是人记忆力最好的时间，所以我们一定要充分利用好早晨的时间。我们可以早点起床，背古诗，读课文，背概念，记单词等。不过，不能三天打鱼，两天晒网，一定要坚持到底，这样才能收到明显的学习效果。 x、专心致志 记得有一次级会，卢主任给我们讲了专心致志这个词，会后我按照卢主任所说得去做，上课时专心致志听老师讲课，无论哪一项科目都得专心，跟着老师的思路，积极思考，同时做好笔记，课后再认真整理笔记。其实考试的很多内容都是跟老师在课堂上

讲授的知识有关的，只要你在课堂上能做到专心致志，你的这节课就一定有收获。 x、不耻下问 在学习的过程中，在遇到不懂的问题时，一定要不耻下问。做到“知之为知之，不知为不知。”谦虚使人进步，遇到不懂的问题谦虚请教老师或同学，这样的学习才会有效率。平时在做奥数题的时候，我总是请教班上的数学成绩好的同学，向他们学习解题的思路，久而久之，我发觉自己的数学思维也有了很大的提高。 x、善用周末 有很多同学觉得周末很宝贵，一眨眼就过了，我也不例外。因为我的周末很充实，星期五的晚上我去打羽毛球，因为经过一周的学习后，适当的运动是有必要的，一来可以放松放松，二来可以锻炼身体。可谓一举两得。星期六的早上我一般是做作业。到了下午我回到书店或图书馆看课外书，因为多看有意义的课外书，增长见识。到了星期天上午，我就去学习剑桥英语，学习一些英语的课外知识，扩大自己的词汇量从而提高自己外语水平。星期天下午除了放松玩之外，我还不忘做一些相关的课外习题，巩固知识。如语文的《精讲精炼》，数学的《一课三练》，英语的《进阶测试》都是值得我们去做做的。同学们也不妨利用好周末

概率论与数理统计题库及答案

概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）．

概率论知识点总结

概率论知识点总结 基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。 样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω、样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间、样本空间用Ω表示、一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件A 发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为或。 相等关系：若且，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。事件的和：“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件。记为A∪B。事件的积：称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB。事件的差：称事件“事件A发生而事件B不发生”为事件A 与事件B的差事件,记为 A－B。用交并补可以表示为。互斥事件：如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。互斥时可记为A＋B。对立事

件：称事件“A不发生”为事件A的对立事件（逆事件），记为。对立事件的性质：。事件运算律：设A，B，C为事件，则有（1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA（2）结合律： A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C A(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC（4）对偶律（摩根律）： 第二节事件的概率概率的公理化体系：（1）非负性： P(A)≥0；（2）规范性：P(Ω)＝1（3）可数可加性：两两不相容时概率的性质：（1）P(Φ)＝0（2）有限可加性：两两不相容时当AB=Φ时P(A∪B)＝P(A)＋P(B)（3）（4）P(A－B)＝P(A)－ P(AB)（5）P（A∪B）＝P(A)＋P(B)－P(AB)第三节古典概率模型 1、设试验E是古典概型, 其样本空间Ω由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成、则定义事件A的概率为 2、几何概率：设事件A是Ω的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域Ω上随机投掷一点，该点落在区域 A 的概率为假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可、第四节条件概率条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记作 P(A|B)、乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)全概率公式：设是一个完备事件组，则

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的，应用了哪些基本的思考方法、技能和技巧，走过哪些弯路，从中获得哪些经验教训，进行认真的剖析，逐渐培养随时监控自己的数学思维活动的习惯。 学生解决问题时，习惯性为完成任务而解题，导致解题质量不高，效率低下。解题是学好数学的必由之路，但是不同的解题指导思想会有不同的解题效果。养成对自己的解题过程进行反思的习惯是具有正确的解题思想的体现。为提高解题质量和效率，教师应该帮助学生整理思维过程，确定解题关键，引导学生回顾和整理解题思路，概括解题思想，使解题的过程清晰、思维条理化、精确化和概括化。 在实际学习过程中，小学生总是根据问题的具体情景来决定解题方法，这种方法是受具体情景制约的，如果不对它进行提炼、概括，那么它的适用范围就有局限，不易产生迁移。因此应在学习后让学生反思学习过程，结合数学基本方法，引导学生在思维策略上回顾总结，分析具体方法中包含的数学基本思想方法，对具体方法进行再加工，从中提炼出应用范围广泛的一般数学思想方法。为了使解题达到举一反三的目的，在反思问题设计时，就应该考虑让学生对具体方法进行再加工，提出提炼数学思想方法。 从上述过程可以看到，通过引导学生反思、总结、归纳，既

概率统计试题库及答案

、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3）

概率论知识点总结

概率论总结 目录 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 (1) 第二章随机变量及其分布 (5) 第三章多维随机变量及其分布 (10) 第四章随机变量的数字特征 (13) 第五章极限定理 (18) 二、学习概率论这门课的心得体会 (20) 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结 果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E表示。 在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随 机事件，简称为事件。 不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。 2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体 样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示.

一个随机事件就是样本空间的一个子集。 基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。 3、定义：事件的包含与相等 若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B?A 或A?B。 若A?B且A?B则称事件A与事件B相等，记为A＝B。 定义：和事件 “事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件 A与事件B的和事件。记为A∪B。用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}。 定义：积事件 称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。 定义：差事件 称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差 事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，e?B} 。 定义：互不相容事件或互斥事件 如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件 B是互不相容事件或互斥事件。 定义6：逆事件/对立事件 称事件“A不发生”为事件A的逆事件，记为ā。A与ā满足：A ∪ā= S,且Aā=Φ。

学生网上上课的心得体会(4篇)

学生网上上课的心得体会（4篇） 学生网上上课的心得体会第一篇： 今天是我正式上网课的第二天，看到网络上对于网课的讨论褒贬不一。 一说是浪费时间精力、效果不明显，老师和学生都不太适应网上平台等等。作为一名学生，我对上网课并不抱排斥态度。 由于疫情的影响，我们都不得不待在家里进行自学，那么教育部为应对这个问题，较为迅速地提出了解决的方案，一定程度下满足了人们的需求，我觉得这是非常值得提倡的。毕竟面对问题我们也只能多尽人事，把伤害降低。 至于孩子在家里学习没有在学校里有状态，态度消极诸如此类，这是自身的问题，不能把它加在网课上。仅仅因为无法适应这种学习方法而抨击，不太合理。 我相信很多学生可能都遇到过不适应老师的讲课风格的问题。 像我，我经常碰到某个老师讲话带有一点口音、声音低沉抑或是声音较轻（对我而言），每每遇到这样的情况我也很崩溃，努力去辨认他们的口型我会回家抱怨：天哪，这个老师也太温柔了吧！整堂课我听得好累！ 但是一般来说，只有学生去适应老师，老师不可能适应每一个同学。所幸我听这个老师一节课、两节课、三节课慢慢就适应了。 网课这个平台，水土不服的不光是学生、还有讲课的老师啊。

她们平时上课都在讲台前，有些老师对电脑操作不熟练。有一次，我在听课过程中一切进行得都是那么自然，突然老师鼠标一点、PPT 不翼而飞，这个屏幕界面一片空白，老师的眼神在一刹那变得有些惊恐。很快她调整状态，假装什么都没有发生的样子继续讲课。 有学生抱怨这个假期过得不快乐，害，知足吧。老师在家里要备课、做PPT、思考开学后的讲课安排、最后还要被抱怨，太南了。详情可见钉钉里也有一些老师毫不留情地给了一星好评。（想想老师跟我们一起受着折磨，有没有快乐一点呢？） 学生网上上课的心得体会第二篇： 在今年寒假期间，在本该阖家欢乐的春节期间，中国却出现了一场新型冠状病毒的爆发。许多的医生，战士奔赴在一线展开救援，而我们这些学生也因此改变了上学的方式，实行了停课不停学的教学方式。 经过了一学期的网络课堂，先来说说网络课堂的好处吧。选择网络课堂，我们可以直接在自己家里面通过电视进入云端进行学习就行了，不用背着书包走半天路跑到教室去上学，这不仅节约了很多时间，而且更加增强了我们自主学习的能力，培养了我们自主学习的精神，让我们自己自觉学习，主动寻找问题，这与传统课堂比起来有所不同。而且，网络课堂使得我们主动抓住网上学习的资源，对资源进行充分的利用，更好地把握网络的资源。 当然了，每件事情都有利有弊，网络课堂也有些不好的地方。网络课堂不能与老师面对面的交流，使得我们不能够和老师畅谈学习过

概率论与数理统计练习题1

《概率论与数理统计》练习题一一、判断正误，在括号内打√或× 1．是取自总体的样本，则服从分布； 2．设随机向量的联合分布函数为，其边缘分布函数是； 3．设，，，则表示； 4．若事件与互斥，则与一定相互独立； 5．对于任意两个事件，必有； 6．设表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”； 7．为两个事件，则； 8．已知随机变量与相互独立，，则； 9．设总体， ,,是来自于总体的样本，则是的无偏估计量； 10．回归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量之间是否存在某种相关关系。 二、填空题 1．设是3个随机事件，则事件“和都发生而不发生”用表示为；2．设随机变量服从二项分布，则； 3．是分布的密度函数； 4．若事件相互独立，且，，，则= ； 5．设随机变量的概率分布为 -4-1024 则； 6．设随机变量的概率分布为 012 0.50.30.2

则的概率分布为 7．若随机变量与相互独立，，则； 8．设与是未知参数的两个估计，且对任意的满足，则称比有效；9．设是从正态总体抽得的简单随机样本，已知，现检验假设，则当时，服从； 10．在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平（），则犯第一类错误的概率是。 三、计算题 1.已知随机事件的概率，事件的概率，条件概率，试求事件的概率。 2.设随机变量，且，试求，。 3.已知连续型随机变量，试求它的密度函数。 4.已知一元线性回归直线方程为，且，，试求。 5.设总体的概率密度为 式中>－1是未知参数，是来自总体的一个容量为的简单随机样本，用最大似然估计法求的估计量。 6.设是取自正态总体的一个样本，其中未知。已知估计量是的无偏估计量，试求常数。 7.设有10个零件，其中2个是次品，任取2个，试求至少有1个是正品的概率。 四、证明题 1.设二维连续型随机向量的联合密度函数为 证明:与相互独立。 2. 1．若事件与相互独立，则与也相互独立。 2．若事件，则。

高三数学概率统计知识点归纳

高三数学概率统计知识 点归纳 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

概率统计知识点归纳 平均数、众数和中位数 平均数、众数和中位数．要描述一组数据的集中趋势，最重要也是最常见的方法就是用这“三数”来说明． 一、正确理解平均数、众数和中位数的概念 平均数平均数是反映一组数据的平均水平的特征数，反映一组数据的集中趋势．平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化． 2．众数在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数．一组数据中的众数有时不唯一．众数着眼于对各数出现的次数的考察，这就告诉我们在求一组数据的众数时，既不需要排列，又不需要计算，只要能找出样本中出现次数最多的那一个（或几个）数据就可以了．当一组数据中有数据多次重复出现时，它的众数也就是我们所要关心的一种集中趋势． 3．中位数中位数就是将一组数据按大小顺序排列后，处在最中间的一个数（或处在最中间的两个数的平均数）．一组数据中的中位数是唯一的． 二、注意区别平均数、众数和中位数三者之间的关系 平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，但它们描述的角度和适用的范围又不尽相同．在具体问题中采用哪种量来描述一组数据的集中趋势，那得看数据的特点和要关注的问题． 三、能正确选用平均数、众数和中位数来解决实际问题 由于平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，所以利用平均数、众数和中位数可以来解决现实生活中的问题．

极差、方差、标准差 极差、方差和标准差都是用来研究一组数据的离散程度的，反映一组数据的波动范围或波动大小的量. 极差 一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差，即极差=最大值-最小值.极差能够反映数据的变化范围,差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大. 二、方差 方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. 求一组数据的方差可以简记先求平均，再求差，然后平方，最后求平均数.一组数据x1、x2、x3、…、xn 的平均数为x ，则该组数据方差的计算公式为： ])()()[(1222212x x x x x x n S n -++-+-= . 三、标准差 在计算方差的过程中，可以看出方差的数量单位与原数据的单位不一致，在实际的应用时常常将求出的方差再开平方，此时得到量为这组数据的标准差. 即标准差=方差. 四、极差、方差、标准差的关系 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的量，常用来比较两组数据的波动大小.两组数据中极差大的那一组并不一定方差也大.在实际问题中有时用到标

学生网上上课心得体会()

学生网上上课心得体会（） 给你一篇学生网上上课心得体会的写作范例，你可以参考它的格式与写法，进行适当修改。 新年的钟声响起，20XX悄悄地走了，2020却大步流星地向我们走了过来，我怀揣着希望，但是我的希望却被一位不速之客给打破了。 说起新型冠状病毒，大家肯定都不陌生。随着疫情的变化，全国人民在政府的领导下，全部“躲”在家中的，白衣天使们在“战场”的前线与病毒做着抗争，警察叔叔们和兵哥哥们在严查来往车辆。他们拼尽一切的保护着没有被病毒感染的`人们，难道我们只能在家里吃吃睡睡吗？难道我们不能为祖国做出一点贡献吗？我下定决心，一定要学习，在知识的海洋里畅游。 因此， ___决定“停课不停学”，让我们在家学习。看，我们在学校辛勤的教师们，摇身一变，化身成为“网络主播”。 “同学们，你们能听到老师的声音吗？听到回个1……”网课就在老师的问语后开始了。一开启直播课，同学们的心情非常激动，因为从没上过直播课，所以同学们只要一听到老师要我们回答问题，就会飞快地点申请连麦。这样既可以回答老师的问题，又可以将全

新的自己展现在同学们的眼中，虽然老师只能从多人之中选出一位同学来回答，但是同学们依然情绪高涨。 平时在课堂上的举手发言在电脑直播上居然也可以实现。就连平时上课经常走神的我，在网课上也是听得十分专注。生怕走神而导致我漏掉上课的知识，老师也讲得十分细致，我们听得津津有味。 在不知不觉中，半个小时过去了，三十分钟的一节网课结束了，平常都想赶紧下课的我，也表现得依依不舍，我多么希望老师能再讲几分钟，这一刻，我感受到了知识的宝贵。 以前没上过网课的我在今天上网课的时候，感受到了网课的快乐。 希望你能喜欢这篇学生网上上课心得体会范文。 今年的假期由于“新型冠状病毒”的侵袭，寒假延长了许久。可是我们并不感到高兴，不仅因为我们的学习受到影响，还因为我们的大武汉生病了。 全国各地都心系武汉，看着新闻里面一批批的白衣天使、 ___去支援武汉，还有很多医生被防护服弄伤了的脸与手，心里面真的好感动于白衣天使们的辛勤付出。

考研概率论与数理统计题库-题目

概率论与数理统计 第一章 概率论的基本概念 1. 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分） （2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生 （2）A ，B 都发生，而C 不发生 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 （4）A ，B ，C 都发生 （5）A ，B ，C 都不发生 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生 （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最 大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 4. 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4/1)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 5. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数 中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9）

6. 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的 号码。 （1）求最小的号码为5的概率。 （2）求最大的号码为5的概率。 7. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺 脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 8. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1）求恰有90个次品的概率。 （2）至少有2个次品的概率。 9. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 10. 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概 率各为多少？ 11. 已知)|(,5.0)(,4.0)(,3.0)(B A B P B A P B P A P ?===求。 12. )(,2 1 )|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?=== 求。 13. 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白球M 只红球， 今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？ (2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。 14. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人 群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 15. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P ，若第一次及格则第 二次及格的概率也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为2/P

概率论(计算)习题

概率论计算： 1．已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，作不施加抽样，求下列事件的概率。（1）两只都是正品？（2）两只都是次品？（3）一只是正品，一只是次品？（4）第二次取出的是次品？ 解：设A1、A2表示第一、二次取到正品的事件，由等可能概型有：(1) 45 2897108)1|2()1()21(=?==A A P A P A A P (2) 45 191102)1|2()1()2,1(=?= =A A P A P A A P (3) 45 169810292108)1|2()1()1|2()1() 21()21(=???=+=+A A P A P A A P A P A A P A A P (4) 5 19110292108)1|2()1()1|2()1() 2(=???=+=A A P A P A A P A P A P 2．某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的，根据以往记录有如下数据~~~设三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。（1）在仓库中随机地取一只晶体管，求它是次品的概率。（2）在仓库中随机地取一只晶体管，发现是次品，问此次品是一厂产品的概率？ 解：设Bi （I=1,2,3）表示任取一只是第I 厂产品的事件，A 表示任取一只是次品的事件。 （1）由全概率公式 0125 .003.005.001.080.002.05.0)3|()3()2|() 2()1|()1()(=?+?+?=++=B A P B P B A P B P B A P B P A P （2）由贝叶斯公式 24 .00125.002.015.0) () 1|()1()|1(=?== A P B A P B P A B P 3．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10叼的纪念章，任选三人记录其纪念章的号码，求：（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率。 解：由等可能概型有： （1）12110 25== C C P ; （2） 1 10 24 ==C C P 4．6件产品中有4件正品和2件次品，从中任取3件，求3件中恰为1件次品的概率。 解：设6件产品编号为1，2……6，由等可能概型 5336 1224== C C C P 5．设随机变量X 具有概率密度???? ?≤>-=0, 00 , 3)(x x x ke x f 。（1）确定常数k ；（2）求P （X>0.1） 解：（1）由1)(=∞ -+∞ ?dx x f 有33 3303301==-+∞ =-+∞-??k k x d x e k dx x ke 所以（2） 7408 .0331 .0)1.0(=-+∞=>? dx x e x P 6．一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明，在任一时刻t ，每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至多有3个设备被使用的概率是多少？（3）至少有1个设备被使用的概率是多少？ 解：由题意，以X 表示任一时刻被使用的设备的台数，则X~b(5,0.1)，于是 （1） 0729.039.021.025 )2(===C X P （2） 9995 .051.0559.041.045[1)]5()4([1) 3(1)3()2()1()0()3(=+-==+=-=>-==+=+=+==≤C C X P X P X P X P X P X P X P X P

优秀学生学习心得体会

( 学习心得体会) 姓名：____________________ 单位：____________________ 日期：____________________ 编号：YB-BH-018599 优秀学生学习心得体会Learning experience of excellent students

优秀学生学习心得体会 完成了高中三年的学业，我考上了理想中的大学。回首看这三年高中生活，我总结出几点学习心得，写在这里，供各位参考。 一、学习需要目标和计划 一个有理想的人一定会有自己的奋斗目标，并为此而努力。 想使理想最终得以实现，需要不断为自己设定具体的目标。每日审视自己，找出与目标间的差距，你会从中获得动力。 制定适当的计划是必要的，它能提醒你下一个目标是什么，此刻应做些什么。它能使你有紧迫感，每当你有些倦怠时，看一眼你的计划书，提醒自己：此刻付出的一切努力，都是为了自己的将来，辛苦定会有回报。 有些人的计划会制定得相当具体，例如可以具体到某一个知识点等。但也许你并不习惯于制定过于具体的计划，这也没有关系，你可以根据自己的需要做。计划应该是个性化的。 计划要具有可操作性。应尽量将计划制定得适合自己，并且应该务实。 二、学习需要兴趣 老师能在教学中提起学生的兴趣，使学习显得不枯燥，同时也使学习显得更容易。这个过程也需要学生自己的积极参与，学生不应该基于自己对人的喜恶而

排斥某位教师的课程或教师本人。试着使自己有一点耐心，也许你会有新的发现。 如果你对自己所必须学习的东西不感兴趣，那么你将会极为痛苦。与其天天生活在苦闷中，倒不如主动地对自己所学的东西培养兴趣。这样做，你会渐渐感到学习变得轻松了。 三、学习要专心 专心是效率的保证。人不容易像计算机一样高效率地执行多线程任务，不专心往往会使你的学习效率不高。 也许学习并不是你一天之中最愿意做的事，但为了你的理想，你需要学习。每个人都有自己想做的事情，但你应该暂时将它们放在一边，先不让它们分散你学习时的注意力。注意力不很集中时，你的学习效率会降低，出错率会上升。这样，你的学习效果就不会很明显，辛苦付出的努力也很难得到回报。 假如你以前学习有时不是很专心，我建议你试着强迫自己专心一些。你会发现这样做会使你的学习效率提高，效果变得明显起来。 四、学习要刻苦 "学习要刻苦。"可能你曾听过无数人讲这句话，可能你并不喜欢这句话。但从很多人的经验来看，你需要这句话。 刻苦会使你的学习成果很扎实。也许在有些人眼里，刻苦读书的人是书呆子，但刻苦学习的人脚踏实地，这样做的好处会慢慢显现出来。它会带来成绩的稳定性，并继而带来较好的心理素质。 总之，耐心地再听一遍这句老话，对你应该是有好处的。 五、学习需要适当的方法 学习的方法每个人都有，并且每个人都需要认真地去考虑和研究它。

概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。

概率论套练习题及答案

《概率论与数理统计》 同步练习册 学号＿＿＿＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿＿＿＿ 专业＿＿＿＿＿＿＿＿ 班级＿＿＿＿＿＿＿＿

省电子技术学校继续教育部二O一O年四月

练习一 一、选择题 1．设A，B，C表示三个随机事件，则A B C表示 （A）A，B，C中至少有一个发生；（B）A，B，C都同时发生；（C）A，B，C中至少有两个发生；（D）A，B，C都不发生。2．已知事件A，B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.8，则P（A B）＝ (A) 0.65 ; (B) 1.3; (C)0.9; (D)0.3。3．设X～B（n，p），则有 （A）E（2X－1）＝2np；（B）E（2X＋1）＝4np＋1；（C）D（2X＋1）＝4np（1－p）＋1；（D）D（2X－1）＝4np（1－p）。4．X的概率函数表（分布律）是 xi －1 0 1 pi 1/ 4 a 5/12 则a＝（） （A）1/3；（B）0；（C）5/12；（D）1/4。5．常见随机变量的分布中，数学期望和差一定相等的分布是 （A）二项分布；（B）标准正态分布；（C）指数分布；（D）泊松分布。 二、填空题 6．已知:A={x|x<3} ,B={x|2

7． 已知电路由电池A 与两个并联电池B 和C 串联而成，各电池工作与否相互独立。设电池A ，B ，C 损坏的概率均为0.2。则整个电路断电的概率是______________________. 三、证明题 8. 设随机变数ξ具有对称的分布密度函数)(x p ，即),()(x p x p -=证明：对任意的,0>a 有（1）-= -=-2 1)(1)(a F a F ? a dx x p 0 )(； （2）P （1 )(2)-=ξ。

(最全)高中数学概率统计知识点总结

概率与统计 一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数 ：一组数据中，出现次数最多的数。 2、平均数 ： ①、常规平均数： x x 1 x 2 x n ②、加权平均数： x x 1 1 x 2 2 x n n n 1 2 n 3、中位数： 从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数 。 4、方差： s 2 1 [( x 1 x) 2 ( x 2 x )2 ( x n x )2 ] n 二、频率直方分布图下的频率 1、频率 =小长方形面积： f S y 距 d ；频率 =频数 / 总数 2、频率之和 ： f 1 f 2 f n 1 ；同时 S 1 S 2 S n 1 ； 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数： 最高小矩形底边的中点。 2、平均数： x x 1 f 1 x 2 f 2 x 3 f 3 x n f n x x 1 S 1 x 2 S 2 x 3 S 3 x n S n 3、中位数： 从左到右或者从右到左累加，面积等于 0.5 时 x 的值。 4、方差： s 2 ( x 1 x )2 f 1 ( x 2 x) 2 f 2 ( x n x) 2 f n 四、线性回归直线方程 ： ? ? ? bx y a n (x i x )( y i y ) n x i y i nxy ? ? 其中： b i 1 i 1 , a? y bx n n ( x i x )2 x i 2 nx 2 i 1 i 1 1、线性回归直线方程必过样本中心 ( x , y ) ； ? ? 0 : 负相关。 2、 b 0 : 正相关； b ? 3、线性回归直线方程： y? ? bx a?的斜率 b 中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。 五、回归分析 ?i 1、残差 ： ?i y i ?i 越小越好； e y （残差 =真实值—预报值）。分析： e 2、残差平方和 ： n ? ) 2 ( y i ， i 1 y i n ( y i y ) 2 ( y 1 y ) 2 ( y y ) 2 ( y y ) 2 分析：①意义：越小越好； ②计算： ?i ?1 2 ?2 n ?n i 1 n ?i ) 2 3、拟合度（相关指数） ： R 2 1 ( y y ，分析：① . R 2 0,1 ②. 越大拟合度越高； i 1 的常数； n y)2 i ( y i 1 n n 4、相关系数 ： r i ( x i x )( y i y) x i y i nx y 1 i 1 n x)2 n y) 2 n x) 2 n y )2 i 1( x i i ( y i ( x i ( y i 1 i 1 i 1 分析：① . r [ 1,1]的常数； ② . r 0: 正相关； r 0: 负相关 ③. r [0,0.25] ；相关性很弱； r (0.25,0.75) ；相关性一般； r [0.75,1] ；相关性很强； 六、独立性检验 x 1 x 2 1、2×2 列联表 ： 合计 2、独立性检验公式 bc)2 y 1 a b a b ①． k 2 (a n( ad d ) y 2 c d c d b)(c d )(a c)(b 合计 a c b d n ②．犯错误上界 P 对照表 3、独立性检验步骤