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初一数学竞赛系列讲座5

初一数学竞赛系列讲座(5)

代数式初步

一、知识要点

1、代数式

定义 1 用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式。

2、代数式的值

定义 2 用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。

3、列代数式

列代数式的关键是正确地分析数量关系，要掌握和、差、积、商、幂、倍、分、大、小、多、少、增加、增加到等数学概念和有关知识。列代数式实质上是把“文字语言”翻译成“符号语言”。

4、求代数式的值

代数式的值由它所含字母的取值决定，并随字母取值的改变而改变，字母取不同的值，代数式的值可能同也可能不同。代数式中所含字母取值时，不能使代数式无意义。求代数式的值的一般步骤是(1)代入，(2)计算。

二、例题精讲

例1、轮船在静水中的速度是每小时a千米，水流速度为每小时b千

米(b

分析：轮船在甲乙两码头间往返一趟的平均速度应为往返一趟的总路程除以总时间。

解因为轮船在静水中的速度是每小时a 千米，水流速度为每小时b 千米(b

则轮船的顺流速度为(a+b)千米，逆流速度为(a-b)千米，所以顺流所用时间是b a +S

逆流所用时间是b a -S

，轮船在甲乙两码头间往返一趟的平均速度为往返路程的和除以往返所用时间的和，即a b a b a S b a S 222S

-=-++

评注：顺流速度=静水中的速度+水流速度；逆流速度=静水中的速度-

水流速度。

例2一支部队排成a 米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用t 1分钟追上了团长。为了回到队尾，他在追上团长的地方

等待了t 2分钟。如果他从最前头跑步回到队尾，那么要( )分

钟。

A 、2121t t t t +

B 、21212t t t t +

C 、21212t t t t +

D 、212

12t t t t + 分析：这是行程问题中的相遇问题。

解部队的行军速度为2t a

米/分。t 1分钟内，队尾的战士比部队多走了

a 米，则他的速度为112t a t t a +?米/分=

???? ??+12t a t a 米/分。他从最前头跑步回到队尾的过程中，队尾恰好与他相向而行，故所需时间应为

=???? ??+÷=???? ??++÷12212121t t t a t a t a a 21212t t t t +(分) 选C

例3 若a

A 、ax+by+cz

B 、ax+cy+bz

C 、bx+ay+cz

D 、bx+cy+az

分析：由于本题涉及的字母比较多，直接比较四个代数式的大小很困难。因为是选择题，故可采用特值排除法来解。

解：∵a

评注：用特值排除法来解选择题，有时能取到事半功倍的效果。

例4 已知()01221010111112126

21a x a x a x a x a x a x x ++++++=+- ，求 0281012a a a a a +++++ 的值。

分析此题若将左边六次方展开，计算相当繁琐。注意到求的是偶次

幂项的系数和，故可将x=1和x= -1分别代入已知等式的两边，得到1012101112=++++++a a a a a a

和2970129101112=+-++-+-a a a a a a a ，相加除以2即可得所求的值。

解将x=1代入已知等式，得1012101112=++++++a a a a a a 将x= -1代入已知等式，得2970129101112=+-++-+-a a a a a a a 两式相加，得2(0281012a a a a a +++++ )=730

∴0281012a a a a a +++++ =365

评注：本题采用的是特值法。

例5 已知当x=7时,代数式ax 5+bx-8=8,求x=7时,8225++x b x a 的值.

分析代数式ax 5+bx-8中有三个字母,将x=7代入，仍无法求出a,b 的值，影响直接代入求值，但通过观察，发现将x=7代入,可整体地求出75a+7b 的值，从而问题得到解决。

解由已知条件知：a ?75+b ?7-8=8，所以a ?75+b ?7=16

当x=7时，8225++x b x a =21(a ?75+b ?7)+8=21?16+8=16

评注：本题采用的是“整体处理思想”，整体处理是一种常用的数学思想。

例6 若ab=1，求11+++b b a a 的值

分析此题的解法很多，关键是如何充分利用好ab=1，如由ab=1得出b a 1

=，然后直接代入计算；如利用ab=1巧秒地将式子中的“1”

代换成ab ；如在式子的一个分式的分子、分母上乘以a 或b ，然后化成同分母进行计算。

解法 1 由ab=1得b a 1

=，从而

11+++b b a a =1111111111

=++=+++=+++b b b b b b b b b

解法2 ∵ab=1，∴11+++b b a a =11111=+++=+++b b b b b ab a a

解法3 ∵ab=1，∴11+++b b a a =11111=+++=+++b b b b b b ab ab

评注：本题中的解法2与解法3巧秒地应用了 “1”的代换，“1”的

代换是恒等变形中的常用技巧之一。

例7 若a 、b 、c 全不为零，且

11,11=+=+c b b a 求证：11=+a c (1978

丹东市数学竞赛试题)

分析本题是由两个已知等式来证明一个等式，容易发现，所求证等式中没有b ，因而可设法从两已知等式中消去b 。证明：由a b b a -==+1111得，由c b c b 1111-==+得两式相乘得

()??? ??--=c a 1111 整理得c a c a =+1 去分母得ac+1=a ，因为a ≠0，故两边同除以a 得

11=+a c 评注：本题是证明条件恒等式，条件恒等式的证明关键是充分利用好

条件式。

例8 对任意实数x 、y ，定义运算x *y 为x *y=ax+by+cxy 其中a 、b 、c 为常数，等式右端运算是通常的实数的加法和乘法。现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数d ，使得对于任意实数x,都有x *d=x ，求d 的值。

解由已知条件知 1*2=a+2b+2c=3 ①

2*3=2a+3b+6c=4 ②

x *d=ax+bd+cxd=(a+cd)x+bd=x ③

由③得 a+cd=1 bd=0

因为d ≠0，所以b=0 代入①得a+2c=3，代入②得2a+6c=4 从而解得a=5，c= -1，将a=5，c= -1代入a+cd=1得d=4

评注：解决定义新运算的问题，关键是通过新运算的定义，将新运算转化为常规运算。

例9已知代数式d cx b

ax ++2，当1,,1o x -=时的值分别为－1，2，2，而且d

不等于0，问当2=x 时该代数式的值是多少？(第11届希望杯数学竞赛培训题)

分析：所给代数式中含有4个字母a 、b 、c 、d ，将所给的三个x 取值代入，可得三个方程，要直接求出a 、b 、c 、d 的值不可能，但可将d 视为常数，从而三个方程可组成关于a 、b 、c 方程组，可将a 、b 、c 用d 表示出来，代入将代数式化简后求值。

解：将1,0,1-=x 分别代入该代数式，得到.2;2;1=++=-=++-d c b a d b d c b a

由此可得 ;d c b a --=+- ).(2;2d c b a d b +=+- 将d b 2=代入第一个和第三个等式中，得,2d c d a --=+- ,222d c d a +=+ ∴d c a 3-=+-； .02=-c a 进而得到 .3,2,6d c d b d a ===

将b a ,和c 代入代数式d cx b ax ++2中，得到d dx d dx d cx b ax ++=+-22326＝d x d x )13()26(2++

13262++=x x ；再将2=x 代入，得.13141)2(32262=+?+?

即当2=x 时该代数式的值是.1314

评注：本题采用的是方程思想，方程思想是常用的数学思想，含有未知数的等式常常可看作一个方程。

三、三、巩固练习

选择题

1、若代数式2y 2+3y+7的值是2，则代数式4y 2+6y-9的值是

( )

A 、1

B 、-19

C 、-9

D 、9

2、在代数式xy 2中，x 与 y 的值各减少25%，则代数式的值( )

A 、减少50%

B 、减少75%

C 、减少其值的6437

D 、减少其值的6427

3、一个两位数，用它的个位，十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个两位数是( )

A 、26

B 、28

C 、36

D 、38

4、在式子4321+++++++x x x x 中，用不同的x 值代入，得到对应的值，在这些对应值中，最小的值是( )

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

5、实数a 、b 、c 满足a+b+c=0，且abc=1则c b a 111++的值( )

A 、是整数

B 、是零

C 、是负数

D 、正、负不定

6、如果11111=++=++z y x z y x ，那么下列说法正确的是( )

A 、x 、y 、z 中至少有一个为1

B 、x 、y 、z 都等于1

C 、x 、y 、z 都不等于1

D 、以上说法都不对填空题

7、某人上山、下山的路程都是S ，上山速度为v ，下山速度为u ，则此人上、下山的平均速度是

8、已知

032)-(2=-+y x ，则代数式x x +y y -x y -y x 的值是 9、设a 、b 、c 、d 都是整数，且m=a 2+b 2，n=c 2+d 2，mn 也可以表示成两个整数的平方和，其形式是

10、如果用四则运算的加、减、除法定义一种新的运算，对于任意实数x 、y 有 y x y

x y x -+=* 则()()31*191211**=

11、如果2x 2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c 是同一个多项式的不同形式，那么=+c b a

12、如果(x-a) (x-4)-1能够分解成两个多项式x+b 、x+c 的乘积，且b 、c 均为整数，则a=

解答题

13、已知()5544332210512x a x a x a x a x a a x +++++=-，

求a 1+a 2+a 3+a 4+a 5

14、a 、b 、c 互不相等，化简()()()()()()b c a c b a c a b c b a c b c a b a c b a ----+----+----222

15、已知x-2y=2，求846

3---+y x y x 的值。

16、若abc=1，求111++++++++c ca c b bc b a ab a 的值

17、已知a+b+c=0，求3111111+??? ??++??? ??++??? ??+b a c a c b c b a 的值。

18、已知y xy x y xy x y

x ---+=-2232311，求的值 19、已知ax+by=7，ax 2+by 2=49，ax 3+by 3=133，ax 4+by 4=406.

求1999(x+y)+6xy ()b a +-

217的值 20、一个四位数，这个四位数与它的各项数字之和是1999，求这个四位数。

七年级数学竞赛讲义附练习及答案全套下载(共12份)

七年级数学竞赛讲义附练习及答案（12套）初一数学竞赛讲座第1讲数论的方法技巧（上）数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力. 数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”. 因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了. 任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作. ”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重. 数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆. 主要的结论有： 1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r （0≤r＜b），且q，r是唯一的. 特别地，如果r=0，那么a=bq. 这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a 的约数，a是b的倍数. 2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c. 3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的. （1）式称为n的质因数分解或标准分解. 4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为： d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）.

5．整数集的离散性：n 与n+1之间不再有其他整数. 因此，不等式x ＜y 与x ≤y-1是等价的. 下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解. 一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决. 这些常用的形式有： 1．十进制表示形式：n=a n 10n +a n-110n-1+…+a 0； 2．带余形式：a=bq+r ； 4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t ，其中t 为奇数. 例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差. 结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是1998. 问：红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字？解：设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是a 3，a 2，a 1，a 0，则这个四位数可以写成：1000a 3+100a 2+10a 1+a 0，它的各位数字之和的10倍是10（a 3+a 2+a 1+a 0）=10a 3+10a 2+10a 1+10a 0，这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差是： 990a 3+90a 2-9a 0=1998，110a 3+10a 2-a 0=222. 比较上式等号两边个位、十位和百位，可得a 0=8，a 2=1，a 3=2. 所以红色卡片上是2，黄色卡片上是1，蓝色卡片上是8. 例2 在一种室内游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数abc (a,b,c 依次是这个数的百位、十位、个位数字)，并请这个人算出5个数cab bca bac acb ,,,与cba 的和N ，把N 告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数abc . 现在设N=3194，请你当魔术师，求出数abc 来. 解：依题意，得

初一数学竞赛系列讲座9

初一数学竞赛系列讲座(9) 应用题（一）一、一、知识要点 1、 1、应用题是中学数学的重要内容之一，它着重培养学生理解问题、分析问题和解决问题的能力，解应用题最主要的方法是列方程或方程组。 2、 2、列方程(组)解应用题的一般步骤是： (1) (1) 弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的一个未知数； (2) (2) 找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系； (3) (3) 根据这个相等关系列出方程； (4) (4) 解这个方程，求出未知数的值； (5) (5) 写出答案(包括单位名称)。 3、行程类问题行程类问题讨论速度、时间和路程之间的相互关系。它们满足如下基本关系式：速度?时间=路程 4、数字类问题数字类问题常用十进制来表示数，然后通过相等关系列出方程。解数字类问题应注意数字间固有的关系，如：连续整数，一般设中间数为x ，则相邻两数分别为x-1、x+1；连续奇(偶)数，一般设中间数为x ，则相邻两数分别为x-2、x+2。二、二、例题精讲例1 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶 20千米，下坡时每小时行驶35千米，。车从甲地开往乙地需9小时，乙地开往甲地需21 7小时，问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？(第五届华杯赛复赛题) 分析本题用方程来解简单自然。解设从甲地到乙地的上坡路为x 千米，下坡路为y 千米，根据题意得方程组 ?????=+=+(2) 2172035(1) 93520y x y x 解这个方程组有很多种方法。例如代入消元法、加减消元法等。由于方程组系数比较特殊(第一个方程中x 的系数201恰好是第二个方程中y 的系数，而y 的系数351 也恰好是第二个方程中x 的系数)，也可以采用如下的解法： (1)+(2)得 (x+y)( 201+351)=9+217

苏科版七上初一数学竞赛系列训练题含答案

F 初一数学竞赛系列训练(12) 一、选择题 1．平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（）条 A ．6 B ． 7 C ．8 D ．9 2．平面上三条直线相互间的交点个数是（） A ．3 B ．1或3 C ．1或2或3 D ．不一定是1，2，3 3．平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（） A ．36条 B ．33条 C ．24条 D ．21条 4．已知平面中有n 个点C B A ,,三个点在一条直线上，E F D A ,,,四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n 个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时n 等于（）（A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12 5．若平行直线AB 、CD 与相交直线EF 、GH 相交成如图示的图形，则共得同旁内角（） A ．4对 B ．8对 C ．12对 D ．16对 6．如图，已知FD ∥BE ，则∠1+∠2-∠3=( ) A ．90° B ．135° C ．150° D ．180° 第 5 题第 6 题第7题二、填空题 7．如图，已知AB ∥CD ，∠1=∠2，则∠E 与∠F 的大小关系； 8．平面上有5个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5点之外这些直线最多还有交点 9．平面上3条直线最多可分平面为个部分。 10．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，PS GH 于P ，∠FRG=110°，则

∠PSQ ＝。 11．已知A 、B 是直线L 外的两点，则线段AB 的垂直平分线与直线的交点个数是。 12．平面内有4条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过个。三、解答题 13．已知：如图，DE ∥CB ，求证：∠AED=∠A+∠B 14．已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠B+∠D+∠F=∠E+∠G 第13题第14题 15．如图，已知CB ⊥AB ，CE 平分∠BCD ，DE 平分∠CDA ， ∠EDC+∠ECD =90°，求证：DA ⊥AB 16．平面上两个圆三条直线，最多有多少不同的交点？ 17．平面上5个圆两两相交，最多有多少个不同的交点？最多将平面分成多少块区域？ 18．一直线上5点与直线外3点，每两点确定一条直线，最多确定多少条不同直线？ 19．平面上有8条直线两两相交，试证明在所有的交角中至少有一个角小于23°。 20．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，欲使它们出现31个交点，怎样安排才能办到？画出图形。第 15 题

初中数学竞赛专题辅导因式分解一

因式分解多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； (4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4) =-2x n-1y n[(x2n)2-2x2n y2+(y2)2] =-2x n-1y n(x2n-y2)2 =-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2． (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)． (3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2 ＝(a-b)2+2c(a-b)+c2 =(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b) =(a-b+c)2 (4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7) =a5(a2-b2)+b5(a2-b2) =(a2-b2)(a5+b5)

初一数学竞赛系列讲座解一次方程(组)与一次不等式(组)教师版

初一数学竞赛系列讲座解一次方程（组）与一次不等式（组）一、知识要点 1．一次方程组解一次方程组的基本思想是“消元”，常用方法有“代入消元法”和“加减消元法” 2．不定方程不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组)。它的解往往有无穷多个，不能唯一确定，对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解或正整数解。定理：若整系数不定方程ax+by=c (a 、b 互质)有一组整数解为x 0，y 0，则此方程的全部整数解可表示为：???-=+=)k ( 00为任意整数这里ka y y kb x x 3.一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式。它的标准形式：ax+b ＜0或ax+b ＞0（a ≠0）解不等式的根据是不等式的同解原理。 4．不等式的基本性质和同解原理不等式的基本性质 (1)反身性如果a ＞b ，那么b ＜a (2)传递性如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c (3)平移性如果a ＞b ，那么a+c ＞b+c (4)伸缩性如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc 如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc 不等式的同解原理1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式是同解不等式。不等式的同解原理2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不等式。不等式的同解原理3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，并把不等号改变方向后，所得的不等式与原不等式是同解不等式。 5．解一元一次不等式的步骤（1）去分母（根据不等式性质2或3）；（2）去括号（根据整式运算法则）；（3）移项（根据不等式基本性质1）；（4）合并同类项（根据整式的运算法则）；（5）将x 项系数化为1（根据不等式性质2或3）； 6．不等式组及其解集几个一元一次不等式合在一起，就成了一元一次不等式组；几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集。 7．解一元一次不等式组的方法和步骤：

第15届五羊杯初中数学竞赛初一试题(2020年九月整理).doc

2003年第15届“五羊杯”初中数学竞赛初一试题一、选择题(4选l 型，每小题选对得5分，否则得0分．本大题满分50分) 1．2003和3002的最大公约数是 ( ) A. 1 B. 7 C. 11 D ．13 2．(16+1．63×2．87-125×0．115+O ．0163×963)÷ 0．11= ( ) A 20 B. 26 C. 200 D ．以上答案都不对 3．(721 +343-271-187)÷(1521 +743-473-38 7) ( ) A 2151 B.3115 C.5631 D ．以上答案都不对 4．已知(3A+2B)：(7A+5B)=13:31，那么(13A+12B)：(17A+15B)= ( ) A ．5：4 B.4：5 C ．9：7 D ．7：9 5．设A=55×1010×2020×3030× 4040×5050，把A 用10进制表示，A 的末尾的零的个数是 ( ) A.260 B.205 C. 200 D ．175 6．中国首位航天员杨利伟乘神舟5号飞船，在约400公里高空绕地球14圈，飞行约21小时，成功返回，圆了中华民族千年飞天梦．假定地球是球体，半径约6400公里，不计升空和降落，杨利伟飞行距离和速度分别是 ( ) A ．60万公里和9．7公里／秒 B.61万公里和8．3公里／秒 C. 60万公里和7．9公里／秒 D ．61万公里和7．8公里／秒 7．图中可数出的三角形个数为 ( ) A ．60 B. 52 C 48 D.42 8．小龙用10元购买两种邮票：“羊城地铁”每张O ．80元，“珠江新桥”每张1．50元．每种至少购1张，多购不限．不同的购买方法种数为 ( ) A ．33 B. 34 C.32 D ．30 9．不超过300，既和12互质，又和50不互质的自然数个数为 ( ) A ．60 B. 20 C ．15 D ．10 10．用重1克、3克、9克、27克、81克、243克和728克(注意：不是729克)的砝码各1个，在天平上分别称量重200克、500克、1000克的物体A ，B ，C ，可以准确称量的是( )(注：砝码可以放在天平的2个盘) A ．A B ．B C A 和B D ．A ，B 和C 二、填空题(每小题答对得5分，否则得0分．本大题满分共50分) 11．设A=1+3+5+…+2003，则A 的末位数字是 12．以下算式中，每个汉字代表1个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知“神”=3，那么被乘数是 13．如图，圆周上均匀地钉了9枚钉子，钉尖朝上，用橡皮筋套住其中的3枚，可套得一个三角形．所有可以套出来的三角形中，不同形状的共有种． 14．3个边长2厘米的正方形如图，甲的中心在乙的一个顶点上，乙的中心在丙的一个顶点上，甲与丙不重叠．则甲乙丙总共覆盖的面积是平方厘米． 15．化简： 16．图中△ABC，△BCD，△CDA 的面积分别为49，27和14平方米，则△AOD 的面积为平方米．神舟五号飞天 × 神飞天神舟五号

初一数学竞赛系列训练5

初一数学竞赛系列训练５（附答案）一、选择题 1、若代数式2y 2+3y +7的值是2，则代数式4y 2+6y -9的值是( ) A 、1 B 、-19 C 、-9 D 、9 2、在代数式xy 2中，x 与 y 的值各减少25%，则代数式的值( ) A 、减少50% B 、减少75% C 、减少其值的6437 D 、减少其值的64 27 3、一个两位数，用它的个位，十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个两位数是( ) A 、26 B 、28 C 、36 D 、38 4、在式子4321+++++++x x x x 中，用不同的x 值代入，得到对应的值，在这些对应值中，最小的值是( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 5、实数a 、b 、c 满足a +b +c ＝0，且abc ＝1则c b a 111++的值( ) A 、是整数 B 、是零 C 、是负数 D 、正、负不定 6、如果11111=++=++z y x z y x ，那么下列说法正确的是( ) A 、x 、y 、z 中至少有一个为1 B 、x 、y 、z 都等于1 C 、x 、y 、z 都不等于1 D 、以上说法都不对二、填空题 7、某人上山、下山的路程都是S ，上山速度为v ，下山速度为u ，则此人上、下山的平均速度是． 8、已知032)-(2=-+y x ，则代数式x x +y y -x y -y x 的值是． 9、设a 、b 、c 、d 都是整数，且m ＝a 2+b 2，n ＝c 2+d 2，mn 也可以表示成两个整数的平方和，其形式是． 10、如果用四则运算的加、减、除法定义一种新的运算，对于任意实数x 、y 有 y x y x y x -+=* 则()()31*191211**＝．

初中数学竞赛辅导资料之因式分解附答案

初中数学竞赛辅导资料之因式分解甲内容提要和例题我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。下面再介紹两种方法 1．添项拆项。是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式例1因式分解：①x4+x2+1②a3+b3+c3－3abc ①分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x) ②分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2 解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2 ＝（a+b）3+c3－3ab(a+b+c) =(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3 ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc) 例2因式分解：①x3－11x+20②a5+a+1 ①分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这里 16是完全平方数） ②解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－16）+5(x+4) =x(x+4)(x－4)+5(x+4) =(x+4)(x2－4x+5) ③分析：添上－a2和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式解：a5+a+1＝a5－a2+a2+a+1=a2(a3－1)+ a2+a+1 =a2(a－1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3－a2+1) 2．运用因式定理和待定系数法定理：⑴若x=a时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x－a ⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。例3因式分解：①x3－5x2+9x－6②2x3－13x2+3

初一数学竞赛讲座.

初一数学竞赛讲座(三) 数字、数位及数谜问题一、知识要点 1、整数的十进位数码表示一般地，任何一个n 位的自然数都可以表示成： 122321*********a a a a a n n n n +?+?++?+?---Λ 其中，a i (i=1，2，…，n)表示数码，且0≤a i ≤9，a n ≠0. 对于确定的自然数N ，它的表示是唯一的，常将这个数记为N=121a a a a n n Λ- 2、正整数指数幂的末两位数字 (1) (1) 设m 、n 都是正整数，a 是m 的末位数字，则m n 的末位数字就是a n 的末位数字。 (2) (2) 设p 、q 都是正整数，m 是任意正整数，则m 4p+q 的末位数字与m q 的末位数字相同。 3、在与整数有关的数学问题中，有不少问题涉及到求符合一定条件的整数是多少的问题，这类问题称为数迷问题。这类问题不需要过多的计算，只需要认真细致地分析，有时可以用“凑”、“猜” 的方法求解，是一种有趣的数学游戏。二、例题精讲例1、有一个四位数，已知其十位数字减去2等于个位数字，其个位数字加上2等于其百位数字，把这个四位数的四个数字反着次序排列所成的数与原数之和等于9988，求这个四位数。

分析：将这个四位数用十进位数码表示，以便利用它和它的反序数的关系列式来解决问题。解：设所求的四位数为a ?103+b ?102+c ?10+d ，依题意得： (a ?103+b ?102+c ?10+d)+( d ?103+c ?102+b ?10+a)=9988 ∴ (a+d) ?103+(b+c) ?102+(b+c) ?10+ (a+d)=9988 比较等式两边首、末两位数字，得 a+d=8，于是b+c18 又∵c-2=d ，d+2=b ，∴b-c=0 从而解得：a=1，b=9，c=9，d=7 故所求的四位数为1997 评注：将整数用十进位数码表示，有助于将已知条件转化为等式，从而解决问题。例2 一个正整数N 的各位数字不全相等，如果将N 的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N ，则称N 为“新生数”，试求所有的三位“新生数”。分析：将所有的三位“新生数”写出来，然后设出最大、最小数，求差后分析求出所有三位“新生数”的可能值，再进行筛选确定。解：设N 是所求的三位“新生数”，它的各位数字分别为a 、b 、c(a 、b 、c 不全相等)，将其各位数字重新排列后，连同原数共得6个三位数：cba cab bca bac acb abc ,,,,,，不妨设其中的最大数为abc ，则最小数为 cba 。由“新生数”的定义，得 N=()()()c a a b c c b a cba abc -=++-++=-991010010100

2017初一数学竞赛试题

2017 年上初一数学竞赛试题（考试时间：90分钟满分：100分）一、选择题（每题3分，共24分） 1、若m 是有理数，则m m -一定是（） A ．零 B ．非负数 C ．正数 D ．负数 720 =1）（． 8） A.只能是1 B.除1以外还有1个 C.共有3个 D.共有4个二、填空题（每题3分，共18分） 9．观察下列等式：111122? =-，222233 ?=-，33 3344?=-，……则第n 个等式为____________ ． 10.点A 、B 、C 在同一条数轴上，其中点A 、B 表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC 等于__________. 11、小方利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：密封线学校：班级：姓名：考

那么，当输入数据为8时，输出的数据为． 12、现对某商品降价20 销售量要比按原价销售时增加的百分数为13. 填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m 的值是． 14.已知231x y =-?? =?是二元一次方程组1 1 ax by bx ay +=??+=?的解,则()()a b a b +-的值是 . 18.（619.(620.（8c,d 互（1）某用户1月份共交水费65元，问1月份用水多少吨？（2）若该用户水表有故障，每次用水只有60%记入用水量，这样在2月份交水费43.2元，该用户2月份实际应交水费多少元？ 22.（10分）有铅笔、圆珠笔、钢笔三种学习用品。若购买铅笔3支、圆珠笔7支、钢笔1支共需35元，若购买铅笔4支、圆珠笔10支、钢笔1支共需42元。现购买铅笔、圆珠笔、钢笔各1支共需多少元？

初一数学竞赛系列训练

F 初一数学竞赛系列训练(1) 一、选择题 1．平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（）条 A ．6 B ． 7 C ．8 D ．9 2．平面上三条直线相互间的交点个数是（） A ．3 B ．1或3 C ．1或2或3 D ．不一定是1，2，3 3．平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（） A ．36条 B ．33条 C ．24条 D ．21条 4．已知平面中有n 个点C B A ,,三个点在一条直线上，E F D A ,,,四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n 个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时n 等于（）（A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12 5．若平行直线AB 、CD 与相交直线EF 、GH 相交成如图示的图形，则共得同旁内角（） A ．4对 B ．8对 C ．12对 D ．16对 6．如图，已知FD ∥BE ，则∠1+∠2-∠3=( ) A ．90° B ．135° C ．150° D ．180° 第 5 题第 6 题第7题

A B C D E 二、填空题 7．如图，已知AB ∥CD ，∠1=∠2，则∠E 与∠F 的大小关系； 8．平面上有5个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5点之外这些直线最多还有交点 9．平面上3条直线最多可分平面为个部分。 10．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，PS GH 于P ，∠FRG=110°，则∠PSQ ＝。 11．已知A 、B 是直线L 外的两点，则线段AB 的垂直平分线与直线的交点个数是。 12．平面内有4条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过个。三、解答题 13．已知：如图，DE ∥CB ，求证：∠AED=∠A+∠B 14．已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠B+∠D+∠F=∠E+∠G A B C D E G l A B C D E F G H P Q R S 第10题

八年级数学竞赛因式分解

第1讲：因式分解一．因式分解的定义：二．因式分解的方法： 1.提取公因式法：提取所有项的公共的因式，将多项式化成两个多项式的乘积的形式例1：分解因式4121315242+-+---+-n n n n n n y x y x y x 例2：试说明139792781--能被45整除例3：已知01234=++++x x x x ，求1200820092010+++++x x x x 2.运用公式法：运用公式法进行因式分解的关键是利用各公式的特点，建立运用公式的模型，以下公式都应该熟记. 例4：分解因式xyz z y x 68333--- 例5：分解因式：abc c b a 3333-++ 例6：分解因式：12131415++++++x x x x x 3.分组分解法：关键是如何分组，原则是：①各组能分解或部分组能分解，②组间能继续分解，从而达到分解的目的.常用的分组思路有，按系数分组，按符号分组，安某一字母一次或二次分组，联想公式分组，按项的次数分组等，对多项式分组的方法往往不唯一，但最终的结果是一致的。例7：分解因式2105ax ay by bx -+- 例8：分解因式2222428x xy y z ++- 4.十字相乘法：对二次三项式分解的重要方法，即：()()22112c x a c x a c bx ax ++=++，其中a a a =21，c c c =21， b c a c a =+1221。十字相乘法通常借助画“十”字来分解系数。例9：分解因式（1）2524x x +-；（2）226x xy y +-；（3）222 ()8()12x x x x +-++ 例10：分解因式（1）22y 8x y 6x 5-+；（2）22 5681812x xy y x y +++++ 例11：已知：,,a b c 为三角形的三条边，且222433720a ac c ab bc b ++--+= 求证：2b a c =+ 5.求根公式法：一般适合于对二次三项式的因式分解，如要对c bx ax ++2进行因式分解，可令02=++c bx ax ，若0≥?，则方程有两个实数根，可用一元二次方程的求根公式求出，设为21,x x ，则有()()212x x x x a c bx ax --=++ 例12：分解因式： 222(1)616 (2)44x x x xy y +-+- 例13：分解因式：422x +x +2ax+1-a 6.拆项、添项法：因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即

初一数学竞赛讲座特殊的正整数

初一数学竞赛讲座特殊的正整数集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#

初一数学竞赛讲座(二) 特殊的正整数一、知识要点 1、完全平方数及其性质定义1 如果一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数。如：1、4、9、…等都是完全平方数，完全平方数有下列性质：性质1 任何完全平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9中的一个。性质2 奇完全平方数的十位数一定是偶数。性质3 偶完全平方数是4的倍数。性质4 完全平方数有奇数个不同的正约数。性质5 完全平方数与完全平方数的积仍是完全平方数，完全平方数与非完全平方数的积是非完全平方数。 2、质数与合数定义2 一个大于1的整数a,如果只有1和a 这两个约数，那么a 叫做质数。定义3 一个大于1的整数a,如果只有1和a 这两个约数外，还有其他正约数，那么a 叫做合数。 1既不是质数也不是合数。 3、质数与合数的有关性质 (1) 质数有无数多个 (2) 2是唯一的既是质数，又是偶数的整数，即是唯一的偶质数。大于2的质数必为奇数。 (3) 若质数p ?a ?b ，则必有p ?a 或p ?b 。 (4) 若正整数a 、b 的积是质数p ，则必有a=p 或b=p. (5) 唯一分解定理：任何整数n(n>1)可以唯一地分解为：k a k a a p p p n 2121=,

其中p 1

2018年全国初中数学竞赛(初一组)初赛试题参考答案

第1页（共1页）一、1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.D 二、7.-18.30°9.3或-110.221 三、11.（1）19×11=12×?è??19-111；………………………………………………………………………………5分（2）1()2n -1()2n +1；12×?è?? 12n -1-12n +1；…………………………………………………………………………………………………………10分（3）a 1+a 2+a 3+…+a 100=12×?è??1-13+12×?è??13-15+12×?è??15-17+12×?è??17-19+?+12×?è?? 1199-1201=12×?è?? 1-13+13-15+15-17+17-19+?+1199-1201……………………………………………15分=12×?è??1-1201=12×200201=100201.…………………………………………………………………………………………………20分四、12.（1）130°.…………………………………………………………………………………………………5分（2）∠APC =∠α+∠β. 理由：过点P 作PE ∥AB ，交AC 于点E .……………………………………………………………10分因为AB ∥CD ，所以AB ∥PE ∥CD . 所以∠α=∠APE ， ∠β=∠CPE .所以∠APC =∠APE +∠CPE =∠α+∠β.…………………………………………………………15分（3）当点P 在BD 延长线上时， ∠APC =∠α-∠β；……………………………………………………20分当点P 在DB 延长线上时， ∠APC =∠β-∠α.……………………………………………………25分五、13.（1）根据题意，得t =?è??120-12050×550+5×2+12050≈6.3()h .答：三人都到达B 地所需时间约为6.3h.………………………………………………………………5分（2）有，设甲从A 地出发将乙载到点D 行驶x 千米，放下乙后骑摩托车返回，此时丙已经从A 地出发步行至点E ，继续前行后与甲在点F 处相遇，甲骑摩托车带丙径直驶向B,恰好与乙同时到达. …………………………………………………………………………………………………………10分根据题意，得2?x -x 50?550+5+120-x 50=120-x 5.…………………………………………………………15分解得x ≈101.5.…………………………………………………………………………………………20分则所用总时间为t =101.550+120-101.55≈5.7()h .答：有，方案如下:甲从A 地出发载乙，同时丙步行前往B 地，甲载乙行驶101.5千米后放下乙，乙步行前往B 地，并甲骑摩托车返回，与一直步行的丙相遇.随后甲骑摩托车载丙径直驶向B 地，恰好与步行的乙同时到达，所需时间为5.7h.………………………………………………………………………25分

初中数学竞赛专题辅导因式分解(一)

初中数学竞赛专题辅导因式分解(一) 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

初一数学竞赛系列讲座容斥原理

初一数学竞赛系列讲座容斥原理集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#

初一数学竞赛系列讲座(15) 容斥原理一、知识要点 1、容斥原理在计数时，常常遇到这样的情况，作合并运算时会把重复的部分多算，需要减去；作排除运算时会把重复部分多减，需要加上，这就是容斥原理。它的基本形式是：记A 、B 是两个集合，属于集合A 的东西有A 个，属于集合B 的东西有B 个，既属于集合A 又属于集合B 的东西记为B A ，有B A 个；属于集合A 或属于集合B 的东西记为B A ，有B A 个，则有：B A =A +B -B A 容斥原理可以用一个直观的图形来解释。如图，左圆表示集合A ，右圆表示集合B ，两圆的公共部分表示B A ，两圆合起来的部分表示B A ，由图可知：B A =A +B -B A 容斥原理又被称作包含排除原理或逐步淘汰原则。二、例题精讲例1 在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数有多少个分析：根据容斥原理，应是200减去能被2整除的整数个数，减去能被3整除的整数个数，还要加上既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数。解：在1到200的整数中，能被2整除的整数个数为：2?1，2?2，…，2?100，共100个；在1到200的整数中，能被3整除的整数个数为：3?1，3?2，…，3?66，共66个；在1到200的整数中，既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数为： 6?1， 6?2，…，6?33，共33个；所以，在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数个数为：

初一数学奥林匹克竞赛题(含标准答案)

初一数学奥林匹克竞赛题（含答案）初一奥数题一甲多开支100元，三年后负债600元．求每人每年收入多少？ S的末四位数字的和是多少？ 4．一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程． 5．求和： 6．证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数． 8．若两个整数x，y使x2+xy+y2能被9整除，证明：x和y能被3整除． 9．如图1－95所示．在四边形ABCD中，对角线AC，BD的中点为M，N，MN的延长线与AB边交于P点．求证：△PCD的面积等于四边形ABCD的面积的一半．解答：所以x=5000(元)．所以S的末四位数字的和为1＋9＋9＋5=24． 3．因为

a-b≥0，即a≥b．即当b ≥a＞0或b≤a＜0时，等式成立． 4．设上坡路程为x千米，下坡路程为y千米．依题意则有由②有2x+y=20，③ 由①有y=12-x．将之代入③得 2x+12-x=20．所以x=8(千米)，于是y=4(千米)． 5．第n项为所以 6．设p=30q＋r，0≤r＜30．因为p为质数，故r≠0，即0＜r＜30．假设r 为合数，由于r＜30，所以r的最小质约数只可能为2，3，5．再由p=30q＋r 知，当r的最小质约数为2，3，5时，p不是质数，矛盾．所以，r一定不是合数． 7．设

由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即 (4-m)pq+1=2(p+q)．可知m＜4．由①，m＞0，且为整数，所以m=1，2，3．下面分别研究p，q． (1)若m=1时，有解得p=1，q=1，与已知不符，舍去． (2)若m=2时，有因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2时无解． (3)若m=3时，有解之得故 p＋q=8． 8．因为x2+xy+y2=(x-y)2+3xy．由题设，9｜(x2+xy＋y2)，所以3｜(x2＋xy ＋y2)，从而3｜(x-y)2．因为3是质数，故3｜(x-y)．进而9｜(x-y)2．由上式又可知，9｜3xy，故3｜xy．所以3｜x或3｜y．若3｜x，结合3(x-y)，便得3｜y；若3｜y，同理可得，3｜x． 9．连结AN，CN，如图1－103所示．因为N是BD的中点，所以