§4.5 双曲面
一、单叶双曲面
1. 在直角坐标系下, 由方程
+-=1
所表示的曲面叫做单叶双曲面, 该方程叫做单叶双曲面的标准方
程, 其中a, b, c是任意的正常数.
2. 单叶双曲面的图形(如图4-5).
(1) 曲面的对称性:单叶双曲面关于三坐标平面、三坐标轴
以及坐标原点都对称. 单叶双曲面的对称平面、对称轴与对称中心, 依次叫做单叶双曲面的主平面、主轴与中心.
(2) 曲面与坐标轴的交点:单叶双曲面与z轴不交, 与x轴与y轴分别交于点(±a, 0, 0)与(0, ±b, 0), 这四点叫做单叶双曲面的顶点.
(3) 被坐标面截得的曲线:单叶双曲面被三坐标面所截得的曲线方程分别为
①②③
①为xOy坐标面上的腰椭圆, ②,③分别为xOz, yOz坐标面上的双曲线, 这两条双曲线的虚轴都是z轴, 虚轴的长都等于2c.
(4) 被坐标面的平行平面所截得的曲线:用平行于xOy坐标面的平面z=h来截割, 得截线方程为
④单叶双曲面可看成是由椭圆族④所生成, 这族椭圆中的每一个椭圆所在平面与xOy坐标面平行, 两双顶点分别在双曲线②、双曲线③上.
如果用平行于xOz坐标面的平面y=k来截割, 得截线方程为
,
此曲线当|k|b时为实轴平行于z轴,虚轴平行于x轴的双曲线;|k|=b时为两对相交于(0,±b, 0)的直线.
用平行于yOz坐标面的平面来截割, 情况类似.
若a=b, 方程即为旋转单叶双曲面.
3. 单叶双曲面的参数方程为
二、双叶双曲面
1. 在直角坐标系下, 由方程
+-=-1
所表示的图形, 叫做双叶双曲面,该方程叫做双叶双曲面的标准方程, 其中a, b, c为正常数.
2. 双叶双曲面的图形(如图4-6):
(1) 曲面的对称性:双叶双曲面关于三坐标面、三坐标轴以及坐标原点都对称. 双叶双曲面的对称平面、对称轴与对称中心, 依次叫做双叶双曲面的主平面、主轴与中心.
(2) 曲面与坐标轴的交点:双叶双曲面与x轴、y轴都不相交, 只与z轴相交于两点(0, 0,±c), 这两点叫做双叶双曲面的顶点
(3) 曲面的存在范围:双叶双曲面在两平行平面z=±c之间没有曲面上的点, 曲面分成两叶, 一叶上点的坐标都有z≥c, 另一叶上点的坐标都有z≤-c.
(4) 被坐标面所截得的曲线:坐标平面z=0与曲面不相交, 而坐标面y=0与x=0分别截曲面得截线为双曲线
⑤⑥它的实轴都是z轴, 实轴长都等于2c.
(5) 被坐标面的平行平面所截得的曲线: 用平行于xOy坐标面的平面z=h ( |h|≥c ) 来截割得截线方程为
⑦当 |h|=c时, 截得的图形为一点;当 |h|>c时, 截线为椭圆. 双叶双曲面可看成是由椭圆族⑦所生成, 这族椭圆中的每一个椭圆所在平面与xOy坐标面平行, 两双顶点分别在双曲线⑤,⑥上.
用平行于x坐标面或yOz坐标面的平面来截割双叶双曲面都得到双曲线.
若a=b, 方程即为旋转双叶双曲面.
3. 双叶双曲面参数方程为
4.理解以下结论:设有标准形式
Px2+Qy2+Rz2=1, PQR≠0.
则有 (1) P, Q, R均正表示椭球面;
(2) P, Q, R两正一负表示单叶双曲面;
(3) P, Q, R两负一正表示双叶双曲面;
(4) P, Q, R均负表示虚椭球面.
它们都有中心, 统称为有心二次曲面.
例1. 给定方程++=1 (A>B>C>0), 试问当λ取异于A, B, C的各种数值时, 它表示怎样的曲面?
解:由思考题2的结论, 有