高等数学空间解析几何练习

已知点A (6，6，－1) , 点B (－2，－6，3)， 则A B 与xo y 面交点的坐标是______ 。

设点M 是?ABC 的重心, 已知A (4，7，－3) , B (3，－2，5)，M (2，4，－1），则点C 为 ______ 。

已知A （2，－3，4），B （5，2，－6），C （－4，－8，8），则?A B C 的重心为 ______ 。

已知A （2，－1，7），B （4，5，－2），AB 交xoy 面于点P ，AP PB =λ，则

λ= ______ 。

已知点B （3，－2，5）及点P （1，－1，2），点P 分线段A B 成定比AP PB

=3，则点A

的坐标是______ 。

已知点A （－3，4，7）、点P （－1，2，3），点P 分A B 的比AP PB

=

12

，则点B 的坐标

是______ 。

点A （2，－3，－1）关于点M （3，1，－2）的对称点是______ 。

xoy 面第一象限的分角线上与点A （－6，6，1）和点B （5，－4，6）等距离的点是 ______ 。 z 轴上与点A （1，7，－3）和点B （5，－5，7）等距离的点是______。 x 轴上与点A （4，4，－7）和点B （－1，8，6）等距离的点是______ 。

已知点A (1，－6，3 ) 和点B (6，4，－2 ) ，点P 在Z 轴上使AP BP =，则点P 的竖坐标z P =_______ 。

试由向量a b c ,,的坐标表示法证明：

[]a b c a

a b a a

b b b a

c b

c 2

=???? 并由此写出侧棱长为a b c ,,及两面角(,),(,),(,)a b c a b c ∧

∧

∧

===γβα的四面体的体积公式。

设a b c ,,长度均为l ，(,),(,),(,)a b b c c a ∧

∧

∧

===αβγ，试用：αβγ,,及l

表达值

()() a b a c -?-2

。

a b c

,,是

非

共

面

的

向

量

，

对

任

意实

数αβγ

,,，

试

求

满

足

(),(),()x a b x b c x c a ??=??=??=αβγ的向量

x

。

设

[]a b c ≠0

，若

x a x b x c ?=?=?=αβγ

,,，试证：

x a b b c c a =

?+?+?()()()]γαβ。 设a b '

'

=

=

c =

'

，a b c ,,不共面，

a b c '''

,,也不共面。试

证：a a

b

c b =

='

'

[]

a

b

c c ''

[]

=a

b

c '

'

[]

。

设a b c b c a c a b '

'

'

,,=?=?=?，试证：a b c ,,不共面的充要条件是a b c '

'

'

,,不共面。

证明向量a b c =-=--=-{,,},{,,},{,,}1322343126在同一平面上，并将

c 用a b ,来表示。

设四面体以O A B C (,,),(,,),(,,),(,,)000520250124为顶点，求它的体积，并求

?ABC 的面

积和由点O 引向该面的高。

已知公式A B C A C B A B C ??=?-?()()()，试证：

()()[][][][]A B C D A

B D

C A B C

D A C D B B C D A

???=-=-

设a b c ,,不共面，a b '

'

=

=

c =

'

，试证：对任意向量

r 有

r r a a r b b r c c =?+?+?()()()'

'

'

。

已知点A B C D (,,),(,,),(,,),(,,)111102212122--，证明这四个点共面。

证明恒等式[()()]()()a b b c c a a b c +?+?+=??2。

已知四面体体积V =3，它的三个顶点为A B C (,,),(,,),(,,)211301213--，第四个顶点D 在

y 轴上，求点D 的坐标。

e e e 123,,是不共面的三个向量，证明：若r e e e =++λλλ112233，则

λλ11

2

32=

=

[]r e e []e r e 1

2

33λ=

[]e e r 12

3

这里[,,]()e e e e e e 123123=??是混合积。

e e e 123,,是不共面的三个向量，若r e e e e e e =?+?+?λλλ123231312()()()，试由e e e 123,,与r 的向量运算式表达λi 的值。

对任何向量a b c ,,，总有

(A )()()

a b c a b c ?=?

(B ) ()()a b c a b c ??=?? (C ) a b c b a c ??=??()() (D ) ()()a b c a b c ??=??

答（ ）

设a b c ??=()1，则[]

()()()b c c a a b +?+?+= _____ 。

设a b c ??=()1，则[]()()()b c c a a b ??+?+= _____ 。

（1）设p q ,为相互垂直的单位向量，证明()()()p q c c p q c q p ??=?-?； （2）证明()()()a b c c a b c b a ??=?-?。

设()()a b c a c b ?=?，证明a b c ??=()0。

设a b =-=-{,,},{,,}412121，向量x 满足a b x =?，求x 使|x |最小。 设a b =-=-{,,},{,,}411122，向量x 满足a b x =?，求x 使|x |最小。

设非零向量a b c ,,两两不平行，且a b b c c a ?=?=?，证明：a b c ++=

0。

已知实数m 及向量a b c ,,，a 与b

不垂直，而b c ⊥，试求满足a y m

b y c

?=?=????? 的向量y 。

设A B C ,,三点的向径依次为a b c ,,，已知a 与b 不平行，c a b =+λμ，且a b c ,,三点共

线，试讨论λ与μ的关系。

直线L 1过点A (,,)301-平行于a L ={,,},2432过点B (,,)-142平行于b ={,,}201，求

L 1与

L 2的距离。

已知正方形ABC D 中，A B ,的坐标分别为A B (,,),(,,)213115-，并且知道点M 052

30(,,)

-与C 点位于AB 同侧的一个半平面上。试求C D ,的坐标。

正方形ABCD 位于平面π上，过A C ,点的直线将π分成两部分，且知点

M 与B 位于同

一个半平面上。设AC a AM b ==,，试用a b ,的向量运算式表达向量

AD 。

证明：a b c a b b c c a ++=??=?=?0，其中a b c ,,不共线。

线段O H 是四面体O A B C 的高，若已知向量O A a O B b O C c ===,,，求向量O H 。

设i j ,为互相垂直的单位法向量，证明()()()i j a a i j a j i ??=?-?。 求证[]

()()()()a b c a b a b c b c a ++?-?--=??23。

设=1,p a b q a b p q ==-=+⊥2324,,,，求(,)a b ∧

及?。

设=a b a b =+⊥-12543,，求(,)a b ∧

及以25a b +与43a b -为边的三角形的面积。

设=a b a b =-⊥-122,，求(,)a b ∧

并求以a b +3与

2a b +为边的平行四边形的面

积。

设四面体各面的面积分别为S S S S 1234,,,，四个面上朝外的法向量依次为n n n n 1234,,,，

且S i i ==(,,,)1234，求证：n n n n 12340+++=。

设a b c ,,是三个有公共起点且不共面的向量，试证：a b b c c a ?+?+?与a b c ,,的终点所在的平面垂直。

设a b ==-{,,},{,,}312

3332，求

（1）a 与b 的夹角θ； （2）()()23a b a b -?- （3）()()3223a b a b +?+

设a b ==-{,,},{,,}121202，求()()3254a b a b -?-。

设a b ==-{,,},{,

,}3123332，求()()23a b a b +?-。

设

p a b q ka b =+=+2,，其中 a =1, b =2，且 a b ⊥，问

（1）k 为何值时，

p q ⊥?

（2）k 为何值时，以

p q ,为边的平行四边形面积为6？

设=5,a b ==

∧

3,(,)π6

23,,p a b q a b =-=-，求以p q ,为边的平行四边形的面积。 设a b =-={,,},{,,

}212202，试求

（1）(,)a b ∧

；

（2）()()2334a b a b +?+ （3）()()2334a b a b +?+

设

a b =-=--{,,},{,,}212111，试求

（1）()()232 a b a b -?+ （2）()()3558

a b a b -?-

求向量

a =-{,,}3124在向量

b =-?-{,,}{,,}102134上的投影。

求向量a =-?-{,,}{,,}124326在向量b =-{,,}212上的投影。

已知点A (,,)-213及点B (,,)012-，求点C (,,)10510到直线A B 的距离。

设直线L 过点A 平行于向量s r A M ,=，证明点M

到直线

L 的距离d r s

s

=

?。

已知点A B C (,,),(,,),(,,)562112131---，AD 为?ABC 的一条高，求AD 。

设A B C ,,三点的向径依次为

a b c ,,，证明?ABC 的面积S a b b c c a =?+?+?12

。

设A B C ,,三点的向径依次为

a b c ,,，证明A B C ,,三点共线的充分必要条件是

a b b c c a ?+?+?=0。

试用向量方法证明三角形的正弦定理。

设a b c ++=0，证明a b b c c a ?=?=?。

设a b =={,,},{,,}013423，向量r a r b ⊥⊥=,26，且r 与z 轴成锐角，

求r 。

设a b =-=-{,,},{,,}211121，求单位向量n ，使n a n b ⊥⊥,，且n 与x 轴成锐角。 已知平行四边形的两边为a b =={,,},{,,}121303，求它的两条对角线夹角的正弦。 已知点A B P (,,),(,,),(,,)021315332---，点P 关于直线AB 的对称点为

Q ，求AB PQ ?。

已知单位向量

a 的三个方向角为相等的钝角，点B 是点M (,,)122-关于点N (,,)-121的对

称点，求

a OB ?。

已知点A B C (,,),(,,),(,,)224341525-，求?ABC 所在平面的单位法向量，此法向量与z 轴成锐角。

已知点A B C (,,),(,,),(,,)311113221----，求?ABC 的面积。 已知点A B C (,,),(,,),(,,)120131212--，求?ABC 的面积。

设 a b =-={,,},{,,}334362，求()()22 a b a b +?-及()()3254

a b a b -?-。

设 a b =-=-{,,},{,,}354245，求()() a b a b +?-及()()2335

a b a b +?+。

设a b =-=--{,,},{,,}245334，求a b ?及a b ?。

设 a b =-=-{,,},{,,}245534，求() a b a b ?+?22

。

设

a =2,

b =3，求

a b

a b ?+?2

2

()。

设O A r O B r O C r ===123

,,，试用r r r 123

,,表示?ABC

的面积，并证明当

r r r r r r 1223310?+?+?=时，A B C ,,共线。

设A B m n A C m n =-=+=325,,m n ==∧

12,(,)π6

，试计算平行四边形A B C D 的

面积。

a =-{,,}301，

b

c

d ==-={,,},{,,},{,,}243132201，试求()a b c ??及()()a c b d ???。

已知：=3，=26，?=72，求a b ?。

已知：a =3, b a b =?=2630,，求

a b ?。

证明：

a b

a b ?+?=2

2() a

2

b

2

。

设O B b =，过点B 作直线L

与向量a 平行，在L 上任取一点P ，证明：a O P a b ?=?。

设非零向量a 与

b 不平行，

c a b a =??()，则 (A ) c =0

(B ) (,)b c ∧

<

π2

(C ) c b ⊥ (D ) (,)b c ∧

>π2

答（ ）

设向量a b ,满-=+，则必有 (A ) a b -=0 (B ) a b +=0 (C ) a b ?=0 (D ) a b ?=0

答（ ）

设{}{}a b =-=-411122,,,,,，向量

c 满足a b c =?的最小值为 _____ 。

设向量a b c ,,满足a b c ++=0，=3,=4,=5，则?= _____ 。

设向量a b c ,,满足a b c ++=0，且=3,=4,=5，则b b c c ?+?+?= _____ 。

设a b c ,,均为非零向量，满足c a b b c a =?=?,，b ++= _____ 。

设a b c ,,均为非零向量，且

a b c b c a c a b =?=?=?,,，+= _____ 。

设{}{}

a b =

-=-2112213,,,,,，则()()5375

a b a b -?-= _____ 。

设{}{}

a b =--=-3121213,,,,,，则()()5375

a b a b -?-= _____ 。

设{}{}

a b =-=-3112213,,,,,，则()()4385

a b a b -?-= _____ 。 设{}{}

a b =

=-2121111,,,,,，则()()4556

a b a b +?+= _____ 。

设

a =5,

a a

b ?=?=-129,，= _____ 。

设 a =1,

a a

b ?=

?=31,，= _____ 。

设

a =3,=5，且a

b ?=-9，?= _____ 。

设

a =2,=

2，且a b ?=2，?= _____ 。

已知点M M M 123112331313(,,),(,,),(,,)-在平面

π上，n 是

π的单位法向量，且n 与z

轴

成锐角，则n =?????? 。

已知点A B C (,,),(,,),(,,)142520643--，则?ABC 的面积等于?????? 。

以{}a =-211,,和{}b =-123,,为边的平行四边形的面积等于?????? 。

设{}{}a b =

-=-213321,,,,,，则sin (,)a b ∧

= ?????? 。

设a b c ,,均为单位向量，(,)(,)a b a b c ∧∧

=?=α，则()a b c ??= ?????? 。

试证：若四面体三对对棱的平方和相等，则它们的三对对棱两两正交。

证明：若r r r 123,,共面，

则r r r r r r r r r r r r 1

1211

2221

32

30????= 圆心在O 点的圆内有一内接三角形ABC ，

H 是三角形ABC

的垂心，求证：

O A O B O C O H ++=。

已知点A B C (,,,),(,,),(,,)--113331302，试在?ABC 所在的平面上求点D ，使AD AB ⊥，

且∠=

ABD π4

。

以P A P B P C ,,为棱，PQ 为对角线的长方体，对点O 有O A O B O C r O P l ====,，

求O Q 。

单位圆O 的圆周上有相异两点P Q ,，∠=P O Q a b θ,,为正的常数，求

lim

[θθ

→+-0

2

1

a

b a O P +。

给定向量a b n n ,,()≠0，试求向量c （即用a b n ,,表示c ），使c a n c b n -⊥-,//。

设非零向量a b c ,,，满足()()a b c a c b ?=?，试讨论向量a b c ,,的相互位置。

设a b ,为非零向量，(,)a b ∧

=

π3

，x 为实数，讨

论+与a 的大小。

用向量证明?A B C 的三条高线AD BE C F ,,交于一点H （垂心）。

设?ABC 的垂心（三条高的交点）为H ，已知点A B H (,,),(,,),(,,)---146416102，求点

C 的坐标。

设H 是?ABC 三条高的交点，已知点A B C (,,),(,,),(,,)----146416432，求点

H 的坐标。

在?ABC 中，已知点{}A B B AC (,,),(,,),,//,,1241044

012---∠=-π，求点C 的坐标。

在?ABC 中，已知点{}A B B AC (,,),(,,),,//,,---∠=

-5162733

101π，求

点C 的坐标。

设非零向量a b ,满足23324a b a b a b a b +⊥-+⊥+,，求(,)a b ∧

。

设非零向量a b ,满足25235a b a b a b a b +⊥-+⊥-,，求(,)a b ∧

。

已知点A B P (,,),(,,),(,,)243513514--，点

P 关于直线A B 的对称点为Q ，求

Q 点的坐标。

设 e e e 123,,都是单位向量，它们相互间的夹角<>=<>=<>=

e e e e e e 122331,,,,,αβγ，试求以x e x e x e y e y e y e 112233112233

++++,为向径的两点之间的距离。

设非零向量a b ,的夹角为

π

3

a +<，求实数x 的取值范围。

已知点A (,,)322-及点B (,,)704-，试在z 轴上求点C ，使∠=BAC π3

。

已知点A (,,)132-及点B (,,)312--，在z 轴上求点C ，使∠=BAC π4

。

已知点A (,,)312--及点B (,,)134-，在

z 轴上求点

C 使∠=

AC B π2

。

在yoz 面上求向量 r ，使它垂直于向量{}a =-1234,,，且

r a =。 在xoy 面上求一单位向量，使它与向量{}

a =-437,,垂直。

设{}{}a b =-=-315123,,,,,，向量

p 与z 轴垂直，且a p b p ?=?=-94,，求

p 。

设{}{}a x b a b =

=-=

∧

,,,,,,(,)124156

π，求x 。

设{}{}a x b a b =

--=-=

∧

,,,,,,(,)124114

π，求x 。

已

知=

4,a b a b =+⊥-32332,，求(,)a b ∧

。

已

知=

2,a b a b =+⊥-540173，求(,)a b ∧

。

设四向量a b c d ,,,的长度相等，且a b c d +++=0，证明(,)(,)a b c d ∧

∧

=。

设a b c ,,都是单位向量，且a b c ++=0，计算a b b c c a ?+?+?。

设两个力F 1和F 2的合力为F ，已知

5=牛

3=牛，(,)F F 123

∧

=

π，求

F 及

(,)F F 1∧

。

在?ABC 中，AB AC A ==∠=643

,,π

，求中线BF C G ,所构成的锐角θ。

在?ABC 中，∠=

=C AC BC π2

,，求中线AE BF ,所构成的锐角。

在?ABC 中，M 为A B 的中点，AC BC C ==∠=

243

,,π

，求∠AC M 。

设ABC D 为等腰梯形，如图，E F

,分别为C D 和AD 的中点，又知

AD BC ABC ==∠=

263

,,π，求∠EBF 。

A

B

D E

C

F

已知点A B C CF (,,),(,,),(,,),-----113311223为

?ABC 的一条高，求向量CF 。 已知点A B C AD BC (,,),(,,),(,,),534121572----⊥，求垂足D 的坐标。 已知点A B C AD BC (,,),(,,),(,,),114524421----⊥，求垂足D 的坐标。

设{}{}a b =-=-14821110,,,,,，向量

c 与a b ,共面，且Prj ,Prj a

b

c c ==209，

求c 。

设{}{}a b =

=632212,,,,,，向量

c 与a b ,共面，且Prj Prj a

b

c c ==10，

求c 。

设{}{}a b =-=--234144,,,,,，向量c 与a b ,共面，且a c b c ?=-?=37,，求c 。 设{}{}a b =

--=-211221,,,,,，向量

c 与a b ,共面，且a c b c ?=?=-83,，

求c 。

设平行四边形ABCD 的对角线向量{}{}AC BD =-=-7705116,,,,,，求∠A ，并求此平

行四边形的面积。

设在平行四边形ABCD 中，对角线向量{}{}

AC BD ==--1327310,,,,,，求∠A ，并求

此平行四边形的面积。

已知

a =13,

b =19,

a b +=24，求

a b -。

已知=22,a b ==

∧

3,(,)π

4

523,,A B a b A D a b =+=-，求平行四边形ABCD

的

对角线AC 与BD 的长度。

已知=2,a b ==

∧

5,(,)2

3

π，且λa b a b +⊥-173，求λ。

已知A B C (,,),(,,),(,,)101345113--，验证AB AC ⊥，并在?ABC 所在平面上求点D

，使

?ABD 为等边三角形。

设a b c ,,是共面的单位向量。(,),(,),(,)

b c c a a b ∧∧∧===αβγ，且αβγπ++=2，试

证：sin sin sin αβγ?+?+?=

a b c 0。

设{}{}a b =-=-141345,,,,,，求sin (,)a b ∧

。

试用向量证明：若等腰梯形的中线与高相等，则其对角线相互垂直。

已知A B C (,,),(,,),(,,)312132276--，求∠ABC 。 已知A B C (,,),(,,),(,,)121323132---，求∠ABC 。

已知{}{}a b

=

-=-632122,,,,,，求

（1）与a 同方向的单位向量 a 0

；

（2）a 在b 上的投影Prj b

a ；

（3）a 与b 的夹角θ。

设=5,a b ==

∧

8,(,)π3

，+-。

已知向量{}{}a b

=

-=841221,,,,,，求

（1）与a 同方向的单位向量 a 0

；

（2）a 在b 上的投影Prj b

a ；

（3）a 与b 的夹角θ。

设a b ,为互相垂直的单位向量，求向量p a b =+102在q a b =-512上的投影。 已知u 轴的三个方向角为相等的锐角，求向量{}a =-432,,在u 轴上的投影。 设a ≠0，证明向量p b a b

a

a =-

? 2与a

垂直。 设A A A n 12,,, 是正n 边形的顶点，利用A A A A A A n 12231

0++???+=

，证明：cos

cos

cos

()24221πππ

n

n

n n

++???+-=-。

试用向量的运算证明三角公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+。

试证：对角线向量是{}{}A B =--=-341236,,,,,的平行四边形是菱形，并计算其边长。

设向量a b c ,,满足a b c ++=0，=3,=4,=5，则a b b c c a ?+?+?=_______ 。

设向量a b c ,,满足a b c ++=0，=3,=1,=4，则a b b c c a ?+?+?=_______ 。

设向量a b c ,,两两夹角都为

π3

，=4,=2,=6，b ++=_______ 。

设向量a b c ,,两两垂直，=1,=2,=1，b +-=_______ 。

已知=8,a b ==∧

23,(,)

π，则2a -=_______ 。

已知=5,(,)a b ==∧

83

π，-=_______ 。

已知=1,a b ==∧

24

,(,)

π，+=_______ 。

在三角形?ABC ，{}{}AB AC =

-=212534,,,,,，则cos ∠B =_______ 。

已知点A B C (,,),(,,),(,,)145323146-----，则∠ABC =_______ 。 已知点A B C (,,),(,,),(,,)514231111--，则∠ABC =_______ 。

设{}a =-122,,，{}b =-114,,，则(,)a b ∧

=_______ 。

设{}a =

-213,,，{}b =-321,,，则(,)a b ∧

=_______ 。

向量{}b =-114,,在向量{}a =-221,,上的投影等于_______。 向量{}a =-725,,在向量{}b =221,,上的投影等于_______。

平行于xoy 平面且垂直于432i j k --的单位向量是_______ 。 设向量{}

a =

-λ,,32与{}b =-12,,λ垂直，则

λ=_______ 。

+<-的充分必要条件是 _______ 。

设{}a =

-211,,，向量

b 与a 平行，且b a ?=3，则b = _______ 。

设{}a =-212,,，向量x 与a 平行，且a x ?=-18，则x = _______ 。 设{}{}a b =-=2342121,,,,,，则()()3447a b a b +?-=_______ 。

设{}{}a b =

=-2121111,,,,,，则()()2557a b a b +?-=_______ 。

三点B B B 123,,分别是三角形A A A 123各边的分点，试证：若?A A A 123与?B B B 123的形心重合，则B B B 123,,按相同的比例分割?A A A 123的各边。

三点B B B 123,,分别是三角形A A A 123,,各边的分点，试证：若?A A A 123与?B B B 123的形心重合，则B B B 123,,按相同的比例分割?A A A 123的各边。

P i i (,,)=123为空间三点，试证：AP AP AP 1230++=的充分必要条件

是A 为?P P P 123的

形心。

设ABC 是一三角形，Q 是线段AB 上的一点，M 为C Q 延长线上的一点，试证：对任意

点P 有，P M P A P B P C =++λμγ，其中λμγ++=1，并且γ<0。

在正八边形A B C D E F G H 中，AB a BC b ==,，试用a b ,表示CD D E ,。 设非零向量a b c ,,两两都不平行，而a b c b c a ++//,//，证明：a b c ++=0

用向量证明：可以做一个三角形，使它的各边平行且等于给定的三角形的三条中线。

设O A a O B b O C c ===

,,，证明A B C ,,三点共线的充分必要条件是：存在不全为零的数l m n ,,，使l m n ++=0，且la mb nc ++=0。

设ABCD 是空间四边形，对角线AC

和BD 的中点分别是M

和

N ，证明：

AB BC C D D A M N -+-=4。

给定正数λ，线段B C C D D A A B ,,,的λ分点依次为E F G H

,,,，证明：

AE BF CG D H +++=0。

给定正数λ，设D E F ,,依次为BC C A AB ,,的

λ分点，证明：A D B E C F ++=0。

设点M 是?ABC 的重心，证明：M A M B M C ++=

0。

设?ABC 的三条中线为AD BE C F ,,，证明：A D B E C F ++=

设 a b ,为非零向量， a b ⊥，x 为实数，试比较

a x

b +与 a 的大小。

设

a b ,是不平行的非零向量，O A a b O B a b O C a b =-=-=- 1328,,()λ，且A B C ,,三

点共线，求λ。

重量为p 的重物用绳索挂在A B ,两个钉子上，如图。设cos ,cos αβ==

1213

45

，求A B ,所

受的拉力f f 12,。

B

p

设点A AB (,,,10110-=与x 轴、y 轴的夹角依次为απβπ==

3

4

,，求

点B 的坐标。

设向量

a 的方向余弦满足cos cos ,cos cos αβαγ+=+=-

11

3

，且

a =9，求

a 。

设向量 a 的方向余弦满足cos cos ,cos cos αββγ+=+=-142，且 a =6，求

a 。

设向量 a

的三个方向角满足αβπαγ+=+=,cos cos 1，且 a =6，求

a 。

设向量

p

的方向角αβγ,,适合αβγα==,2，求 p 0

。

在?ABC 中，已知点A B C (,,),(,,),(,,)1232276411-----，∠A 的分角线与BC 交于

D ，

求与AD 同方向的单位向量。

在?ABC 中，∠A 的分角线与BC 交于D ，已知{}{}AB AC

=

-=-84110211,,,,,，求

AD 。

在菱形ABCD 中，已知点A (,,)122-，点B (,,)341-，

边AD 平行

于z 轴，且∠A 为锐角，

求顶点C 的坐标。

已知

{}{}PA PB =-=--=236122342

,,,,,，且PC 平分∠APB

（即

∠=∠APC C PB 为锐角），求PC 。

设 a b ,为非零向量P rj Prj

a b

b a =，且，问 a 与

b 有什么关系？

设长方体三条棱长为O A O B O C ===534,,，

OM 为对角线，求O A O B O C ,,分别在

OM 上的投影。

在棱长为1的立方体中，AB 为一条棱，AG 为对角线，求A B 在

AG 上的投影。

设在正六边形A B C D E F 中，AB a AF b ==

,，试用 a b ,表示AC AD AE ,,。

设C A a C B b ==

,，∠ACB 的分角线交A B 于D ，试用 a b ,表示向量C D 。

设在等腰三角形ABCD 中，AB D C AB a AD b A //,,,==∠= π3

，试用

a b ,表示BC 和

CD 。

平面上正六边形按逆时针方向的顶点依次为A B C D E F ,,,,,，已知AB =-

-

???

???

12

32,，试求54BE D A +。

平面上正六边形按逆时针方向的顶点依次为A B C D E F ,,,,,，已知{}

AB =

-10,，试求

AB BC CD D E EA -+-+。

一棱形的顶点按逆时针方向依次为A B C D ,,,，{}AC =223,,

=2 ，E 是AB 的

中点，求向量ED 。

设平面上边长为a 的正六边形按逆时针方向的顶点依次为A B C D E F ,,,,,，记

AB AC AD AE AF p ++++=

，求向量

p 与AB 的夹角及

p 的模。

证明：若对于某点P

存在不全为零的数αα

ααα

α

α

α

12

341

2

3

4

0,,,,+++=，使得

αααα112233440P A P A P A P A +++=

，则A A A A 1234,,,共面。

设ABC D EFG H -是平行六面体，AB p AD q AE r ===,,。U 是AB 上的分点，AU U B

=λ1，V 是H G 上的分点，

H V VG

=λ2，试用

p q r ,,来表达向量UV

。

A x y z

B x y z

C x y z (,,),(,,),(,,)111222333为不共线的三点，并

=

。试求

D 点

的坐标，使得D 与A B C ,,共面并且?ABD 为等边三角形。

点M 与N 按等比分两个有向线段A B 与C D ，证明向量AC BD M N ,,共面。

设向量

a b ,满足

a b +=2，求以

a b ,为边的三角形面积的最大值。

设线段A B 和C D 的中点顺`次为M N ,，证明：A C B D M N +=2。

设ABCD 是空间四边形，各边中点顺`次为M N P Q ,,,，试用向量方法证明M N P Q ,,,是平行四边形。

设质量为m 1的质点位于点A (,,)001，质量为

m 2的质点位于点P x y z (,,)，求质点

A 对质

点P 的万有引力的坐标表达式。

作用于动点P x y z (,,)的力

f ，其大小与点P 到z 轴的距离成反比（比例系数为k ），其

方向垂直且指向z 轴，求它的坐标表达式。

已知一向量模长为2，且与x 轴和y 轴的正向成等角，与

z 轴的正向的夹角是它们的二倍，

求这一向量。

平面上正六边形的顶点按逆时针方向依次为A B C D E F ,,,,,，已知{

}

C F =13,

，试求

BD →

。

A x y z i n i i i i (,,)(,,,)=???12为空间中的n 个点，M x y z (,,)是这n 个点构成的系统的中心

x n

x

y n

y z n

z

i

i n

i i n

i

i n =

=

=

===∑∑

∑1111

1

1

,,，设空间任意点

P ，试证：

PA

n PM i

i n

→=→

∑=1

。

设A x y z B x y z C x y z (,,),(,,),(,,)111222333为空间不共线的三点，以点P x y z (,,)000为相似中心，将?ABC 伸缩成?A B C '

'

'

（如图），使面积之比

S S k A B C A B C

??'''=。试求A B C '''

,,的坐标。

A

B C

A '

B '

P C '

设ABCD 是空间四边形，各边中点依次为M N P Q ,,,，证明

M N PQ →

→

→

+=0

设

D E F

,,是?ABC

三边的中点，证明：对任意一点

O ，有

O A O B O C O D O E O F →

→

→

→

→

→

++=++

设O P l O A m O B n O C =++，其中l m n ++=1，证明A B C P ,,,四点共面。

已知点A B C (,,),(,,),(,,)214325251---，若点M

使M A M B M C →

→

→

→

++=0，求

M 的坐标。

设M

是?ABC

的形心。记M B e M C e →

→

→

→

==12,，试用e e 12

→

→

,来表示向量

A B B C C A A M →

→

→

→

,,,。

（1）证明向量

A i j k

B i j k

C i j k =+-=-++=--3234426,,能构成一三角形的

各边；

（2）求该三角形各中线的长度。

?O A B 是直角三角形,∠=

∠=

A B π

π

6

3

,，点C 在线段AB 上，使∠=

C O A π

3

，试用

O B O C →

→

,表示O A →

。

设 a 与 b 互相垂直， a b ==512,，试求 a b a b ++-。

已知点A B C D x z (,,),(,,),(,,),(,,)-----2132144133，且C D →

平行AB →

，求x z ,。

a i j k

b i j k =-++=-+2362βα,

已知

a 平行

b ，试求αβ,。

设向量{}

a =--148,,，向量

b 平行于z 轴，(,)

a b ∧为锐角，且 b a =

13

，则 b =______。

设向量

a 的方向角απ

β=

3

,为锐角，γπβ=-，且

a =4，则

a = ______ 。

设向量

a 与三个坐标面的夹角分别为ξηζ,,，则cos

cos cos 2

2

2

ξηζ++= ______ 。

已知{}{}

a b z =

-=-45314,,,,,，且

a b a b +=-，则z =______ 。

已知点A (,,)012和点B =-(,,)110，则AB 0

→

=______ 。

已知点A (,,)312-和向量{}AB =

-431,,，则

B 点的坐标为______ 。

已知A B C (,,),(,,),(,,)231111043--，则32AB AC -= ______ 。 已知向量 a 与{}

c =

-474,,方向相反，且

a =27，则

a

= ______ 。

设平行四边形ABCD 的三个顶点为A B C (,,),(,,),(,,)231243313----，则D 点为

______ 。

已知点A (,,)321-和点B (,,)723-，取点M 使AM MB =2，则向量OM =______ 。

设 a b a b ==+=585,,，则(,)

a b ∧= ______ 。 设 a b a b ==+=2232,,，则(,)

a b ∧= ______ 。 设 a b a b ==-=56,，则(,)

a b ∧= ______ 。

设向量 a 与 b 不平行，

c a b =+，则(,)(,) a c b c ∧∧=的充分必要条件为 ______ 。

设平行四边形A B C D 的对角线AC a BD b ==,，则A B = ______ 。

已知点A B C D (,,),(,,),(,,),(,,)4118147315509---，直线AB 与CD 相交于

点P ，

求P 分

线段AB 及CD 之比，并求点P 的坐标。

在?ABC 中，点D 分BC 成

BD D C

=

12

，点E 分

CA 成

CE EA

=

12

，AD 与BE 相交于点

M ，

求

AM M D

和

BM M E

。

设ABCD 为平行四边形，BC 和CD 的中点依次为E F ,，AE

与BF 相交于点

M ，求

AM M E

和

BM

M F

。

ABCD 是平行四边形，P Q ,分别是BC 与CD 的中点，若AP 和

AQ 与对角线BD 相交于

点E F ,，试用解析几何的方法证明：E 和F 将BD 三等分。

已知点A B C (,,),(,,),(,,)-----321423443，AD 是?ABC

的一条分角线，求AD

。

已知?ABC 三个顶点为A B C (,,),(,,),(,,)111512791-，求∠A 的分角线与BC 的交点D 的

坐标。

设点P (,,)514-和点Q (,,)-136分线段AB 的比分别为

AP PB

AQ QB =

=

123

2

,，求点B 的坐标。

设点P (,,)342-和点Q (,,)-5810分线段AB 的比分别为AP PB

AQ

Q B ==1232

,，求

点A 的坐

标。

若P P P Q 122=，则称Q 点是P 1关于P 2的对称点。设P x y z i n i i i i (,,)(,,,)=???12是空间中

的n 个点。若作P 1关于P 2的对称点，再作此对称点关于

P 3的对称点，再作此对称点关于P 4

的

对称点等等，直至作出关于P n

的对称点。试证：最后的对称点的x 坐标为

[

]

x x x x x x n n n n n =-++???+-+-----211122

21

1()

()

。

求点M ，使它到四个点A B C D (,,),(,,),(,,),(,,)022*********--的距离都相等。 在xo y 面上求与三点A B C (,,),(,,),(,,)---271826657等距离的点。 在xo y 面上求与A B C (,,),(,,),(,,)-115434641等距离的点。

设P x y z i i i i (,,)()i =12,为空间中的两点，

P 为过

P P 12的直线上的点，

=λ

+(1-λ)

，若P 是直线上离坐标原点最近的点，试求

λ的值。

设P x y z i i i i (,,)()i =123,,为空间中的三点，

Q 为线段P P 23上的分点，P Q Q P 23:=λ，R

为P P 12上的分点，P R R P 12:=λ，

S 为R Q 上的分点，R S SQ :=λ。试求

S 的坐标。

在?ABC 中，已知A B (,,),(,,)352439---，且AC 的中点在y 轴上，BC 的中点在

xoz 面

上，求C 点的坐标。

设P x y z i i i i (,,)()i =123,,为空间三点，P 1关于

P 2的对称点为M ，

M 关于

P 3的对称点为

Q ，求Q 点的坐标。

设线段AB 被P P P P 1234,,,依次分为5等分，已知P P 24222248(,,),(,,)---，求点

A 及点

B 的坐标。

已知一线段被M M 12211432(,,),(,,)---三等分，求该线段两个端点的坐标。 已知P P P 123,,共线，如何由

λ

+(1-λ)

的参数

λ的值，判别

P 3位于

线段P P 12中，位于P P 12延长线上或位于P P 21延长线上。

P x y z i i i i (,,)为空间三点()i =123,,，Q 为线段P P 23的中点，R 为线段P Q

1上的点，满足

P R R Q :=λ，试求R 的坐标。

已知点A (,,)230及点B (,,)-221，试在yoz 面上求点C ，使?ABC 是以AB 为斜边的等腰

直角三角形。

在xo y 面上求点M ，使它到点A (,,)343-及点B (,,)154-的距离都等于9。

已知点A (,,)-681及点B (,,)526-，试在xoy 面的曲线y x

=2

上求点P ，使A P B P =。

已知点A (,,)-316及点B (,,)152-，试在yoz 面上求点P ，使AP BP =，且点P 到

O y O z ,轴等距离。

P x y z i i i i i (,,)(,,)=123为不共线的三点，试求点A ，B 的坐标，使四边形P P AP 123及P BP P 123为两个平行四边形。

空间解析几何(练习题参考答案)

1. 过点M o （1，1-，1）且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程． 39．02=+-z y 3． 在平面02=--z y x 上找一点p ，使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离 相等． 7．)5 1,1,57 (． 5．已知：→ → -AB prj D C B A CD ，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= （ ） A ．4 B ．1 C ． 2 1 D ．2 7．设平面方程为0=-y x ，则其位置（ ） A ．平行于x 轴 B ．平行于y 轴 C ．平行于z 轴 D ．过z 轴． 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D ．重合 9．直线 3 7423z y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．直线在平面内 10．设点)0,1,0(-A 到直线?? ?=-+=+-0 720 1z x y 的距离为（ ） A ．5 B ． 6 1 C ． 51 D ．8 1 5．D 7．D 8．B 9．A 10．A ． 3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直． 4 ． 设 ++=2， 22+-=， 243+-=，则 )(b a p r j c += ． 4． 过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 10．曲面方程为：442 2 2 =++z y x ，它是由曲线________绕_____________旋转而成的． 3．34-=m ； 4．29 19 9．332212--=+=-x y x ； 10．曲线 1422 =+z y 绕z 轴

向量代数与空间解析几何-期末复习题-高等数学下册-(上海电机学院)

向量代数与空间解析几何-期末复习题-高等数学下册-(上海电机学院)

第七章 空间解析几何 一、选择题 1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限 2.方程2 222 =+y x 在空间解析几何中表示的图形为 [ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 3.直线3 1 2141:1+=+=-z y x l 与?? ?=-++=-+-0 20 1:2z y x y x l ，的夹角是 [ C ] A. 4 π B. 3 π C. 2 π D. 0 4. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3)

5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42 =绕z 轴旋转一 周，所得旋转曲面方程是[B ] A. ) (42y x z += B. 2 2 2 4y x z +±= C. x z y 422 =+ D. x z y 422 ±=+ 6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是 [B ] A. 13 - B. 13 C. 23 - D. 23 7. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 8.方程 222 22 x y z a b +=表示的是 [ B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D. 球面 9. 已知 a ?={0, 3, 4}, b ?={2, 1, -2},则 = b proj a ?ρ[ C ]

空间解析几何试题

空间解析几何试卷 一、填空题（本大题共计30分，每空3分。请把正确答案填在横线上） 1. 设向量{}{}1,1,2,0,1,1=--=→→b a ，则→→b a 在上的射影是_____________,→ a 是_______________. 2. 设向量{}3,5,4-=→a ,向量225共线，反向且模为与→→a b ,那么向量→ b 的坐标是 ________________. 3. 已知向量{}{}3,2,,1,1,1x b a ==→→, 如果→ →b a ,垂直, 那么x =_________. 4. 已知向量{}{},0,3,2,1,0,1=-=→→b a {}2,1,0=→c ，则由这3个向量张成的平行六面体的体积是_________. 5. 直线z y x -=-+=-3212与直线2 112-+=-=z y x 间的距离是_____________. 6. 若直线1 23z y a x ==- 与平面x-2y+bz=0平行，则a,b 的值分别是______________. 7. 经过直线???=-+-=-+0 201z y x y x 且与直线z y x 2==平行的平面的方程是_________________. 8. 空间曲线? ??+==-+1022x z z y x 在y x 0坐标面上的射影曲线和射影柱面的

方程分别是_____________________________. 9. 顶点在原点、准线为抛物线???==1 22z x y 的锥面方程是 ________________(请用x y x ,,的一个方程表示). 10.曲线?????==-0 19422y z x 绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__________________,此曲面表示______________曲面. 二、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若=?-+=+-=→ →→→→→→→→→b a k j i b k j i a 则,23,532( ) A. 7 B. -7 C. -1 D. 0 2. 已知→→b a ,不共线, 与→→b a ,同时垂直的单位向量是( ) A. →→?b a B. →→?a b C. ||→→→ →??±b a b a D. ||→→→→??b a b a 3. 在空间右手直角坐标系下，点P(-1,2,-3)在第( )卦限. A. II B. III C. V D. VI 4. 若两个非零向量→→b a ,满足|→→+b a |=|→→-b a |，则一定有( ) A. →→⊥b a B. →→b a // C. →→b a 与同向 D. → →b a 与反向 5. 点M(1,-3,-2)关于y 轴的对称点N 的坐标是( )

高等数学(同济五版)第七章-空间解析几何与向量代数-练习题册

第七章空间解析几何 第一节作业 一、选择题(单选)： 1. 点M(2,-3,1)关于xoy平面的对称点是： (A)( -2,3,1 )；( B)( -2,-3,-1 )；(C)( 2,-3,-1 )；( D)( -2,-3,1 ) 答：() 2. 点M(4,-3,5)到x轴距离为： (A).. 42—(—3)2—52; (B) 3)2—52; (cr. 4252; (D) ： 4252. 答：() 、在yoz面上求与A(3,1,2),B(4,-2,-2) 和C(0,5,1)等距离的点。 第二节作业 设u a b c, v a b 2c.试用a, b, c表示2u 3v. 第三节作业 一、选择题(单选)： 已知两点M'2,2，?一2)和M2(1,3,0),则MM2的三个方向余弦为: 1 1 V 2 1 1 <2 1 1 42 1 1 V2 (A) , , ; (B) , , ; (C) —, , . (D) —，,. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 答：() 二、试解下列各题： 1. 一向量的终点为B( 2，-1，7),它在x轴，y轴，z轴上的投影依次为4, -4，4，求这向量的起点A的坐标。

2. 设m 3i 5 j 3k, n 2i j 4k, p 5i j 4k 求向量 a 4m 3n p 在x 轴 上的投影及在y 轴上的分向量. 3. 求平行于向量a 6,7, 6的单位向量 第四节作业 一、选择题（单选）： 1. 向量a 在b 上的投影为： 答:（） 2. 设a 与b 为非零向量，则a b 0是： （A ）a//b 的充要条件； （B ）a b 的充要条件； （C ） a b 的充要条件； （D ） a //b 的必要但不充分条件 答:（） 3.向量a,b,c 两两垂直，w —1- — a 1, b —1- J )2, C 3,则s a b c 的长度 为 (A)1 2 3 6; 2 2 2 (B)1 2 3 14; (C)J12 22 32 ; (D) J1 2 3 勺6. 答:（） (A) (B) -a a b (D)

《空间解析几何2》教学大纲.

《空间解析几何2》教学大纲 课程编号：12307229 学时：22 学分：1.5 课程类别：限制性选修课 面向对象：小学教育专业本科学生 课程英语译名：In terspace An alytic Geometry （2） 一、课程的任务和目的 任务：本课程要求学生熟练掌握解析几何的基本知识和基本理论，正确地理解和使用向 量代数知识，并解决一些实际问题。深刻理解坐标观念和曲线（面）与方程相对应的观念，熟练掌握讨论空间直线、平面、曲线、曲面的基本方法，训练学生的空间想象能力和运算能力。 目的：通过本课程的学习，使学生掌握《空间解析几何》的基本知识、基本思想及基本方法，培养学生的抽象思维能力及空间想象力，培养学生用代数方法处理几何问题的能力，提高学生从几何直观分析问题和和解决问题的能力。为学习《高等代数》及《数学分析》及后继课程打下坚实基础，为日后胜任小学教学工作而作好准备。 二、课程教学内容与要求 （一）平面与空间直线（14学时） 1.教学内容与要求：本章要求学生熟练掌握平面与空间直线的各种形式的方程，能判别空间有关点、直线与平面的位置关系，能熟练计算它们之间的距离与交角。 2?教学重点：根据条件求解平面和空间直线的方程，及点、直线、平面之间的位置关系 3?教学难点：求解平面和空间直线的方程。 4.教学内容： （1）平面的方程（2课时）：掌握空间平面的几种求法（点位式、三点式、点法式、一般式）。 （2）平面与点及两个平面的相关位置（2课时）：掌握平面与点的位置关系及判定方法；掌握空间两个平面的位置关系及判定方法。 （3）空间直线的方程（2课时）：掌握空间直线的几种求法（点向式、两点式、参数式、一般式、射影式）。 （5）直线与平面的相关位置（2课时）：掌握空间直线与平面的位置关系及判定方法。 （6）空间两直线的相关位置（2课时）：掌握空间两直线的位置关系及判定方法。 （7）空间直线与点的相关位置（2课时）：掌握直线与点的位置关系及判定方法。 （8）平面束（2课时）：掌握平面束的定义（有轴平面束和平行平面束），并能根据题意求平面束的方程。 （二）特殊曲面（8学时）

第七章_空间解析几何与向量代数复习题(答案)

第八章 空间解析几何与向量代数答案 一、选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是（A ） A 5 B 3 C 6 D 9 2. 设a =（1,-1,3）, b =（2,-1,2），求c =3a -2b 是（ B ） A （-1,1,5）. B （-1,-1,5）. C （1,-1,5）. D （-1,-1,6）. 3. 设a =（1,-1,3）, b =（2, 1,-2），求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A ） A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D -2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是（ C ） A 2π B 4π C 3 π D π 5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是（ C ） A 2π B 4π C 3 π D π 6. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12 213+= -=z y x 的距离是：（ A ） A 138 B 118 C 158 D 1 7. 设,23,a i k b i j k =-=++求a b ?是：（ D ） A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D 3i -3j +3k 8. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ A ） A 2 B 364 C 3 2 D 3 9. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程是：（ D ） A 2x+3y=5=0 B x-y+1=0 C x+y+1=0 D 01=-+y x ． 10、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有（ C ）； A -+a b =a b ； B =a b ； C 0?a b =； D ?a b =0． 11、设,a b 为非零向量，且a b ⊥, 则必有（ C ） A a b a b +=+ B a b a b -=-

空间解析几何练习题

习题一 空间解析几何 一、填空题 1、过两点(3,-2)和点(-1,0)的直线的参数方程为 。 2、直线2100x y --=方向向量为 。 3、直角坐标系XY 下点在极坐标系中表示为 。 4、平行与()6,3,6a =-的单位向量为 。 5、过点(3,-2,1)和点(-1,0,2)的直线方程为 。 6、过点(2,3)与直线2100x y +-=垂直的直线方程为 。 7、向量(3,-2)和向量(1,-5)的夹角为 。 8、直角坐标系XY 下区域01y x ≤≤≤≤在极坐标系中表示为 。 9、设 (1,2,3),(5,2,1)=-=-a b , 则(3)?a b = 。 10、点(1,2,1)到平面2100x y z -+-=的距离为 。 二、解答题 1、求过点(3,1,1)且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程。 2、求过点(4,2,3) 且平行与直线 31215 x y z --==的直线方程。 3、求过点(2,0,-3) 且与直线247035210x y z x y z -+-=??+-+=? 垂直的平面方程。 4、一动点与两定点(2,3,2)和(4,5,6)等距离, 求这动点的方程。

5、求222,01z x y z =+≤≤在XOZ 平面上的投影域。 6、求222 19416 x y z ++=在XOY 平面上的投影域。 7、求2z z =≤≤在XOZ 平面上的投影域。 8、求曲线222251x y z x z ?++=?+=? 在XOY 平面上的投影曲线。 9、求曲线 22249361x y z x z ?++=?-=? 在XOY 平面上的投影曲线。 10、求由曲面22z x y =+与曲面2222x y z ++=所围成的区域在柱面坐标系下的表示。

空间解析几何习题答案解析(20210120005111)

WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 、计算题与证明题 1．已知 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0． 计算 a b b c c a ． 解：因为 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0 所以 a 与 b 同向，且 a b 与 c 反向 因此 a b 0 ， b c 0 ， c a 0 所以 a b b c c a 0 2．已知 |a b| 3, |a b| 4, 求 |a| |b|． 解： |a b| a b cos 3 （1） |a b| a bsin 4 （ 2） （1）2 2 2 得 a b 2 25 所以 a b 5 4．已知向量 x 与 a （,1,5, 2） 共线 , 且满足 a x 3, 求向量 x 的坐标． 解：设 x 的坐标为 x,y,z ，又 a 1,5, 2 则 a x x 5y 2z 3 又 x 与 a 共线，则 x a 0 ij xy 15 2y 5zi z 2x j 5x y k 0 所以 2y 5z 2 z 2x 2 5x y 2 0 即 29x 2 5y 2 26z 2 20yz 4xz 10xy 0 （2） 又 x 与 a 共线， x 与 a 夹角为 0或 22 yz cos0 1 xa x 2 y 2 z 2 12 52 2 2 1) xy 15 整理得

WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 联立 1、2 、3 解出向量 x 的坐标为 1 ,1, 1 10,2, 5

6．已知点 A(3,8,7) , B( 1,2, 3) 求线段 AB 的中垂面的方程． 解：因为 A 3,8,7 ,B( 1,2, 3) AB 中垂面上的点到 A 、B 的距离相等，设动点坐标为 M x,y,z ，则由 MA MB 得 x 3 2 y 8 2 z 7 2 x 1 2 y 2 2 z 3 2 化简得 2x 3y 5z 27 0 这就是线段 AB 的中垂面的方程。 7． 向量 a , b , c 具有 相 同的 模 , 且两 两 所成 的角 相 等 , 若 a , b 的 坐 标分 别 为 (1,1,0)和(0,1,1), 求向量 c 的坐标． 解： abc r 且它们两两所成的角相等，设为 则有 a b 1 0 1 1 0 1 1 则 cos 设向量 c 的坐标为 x, y,z c x 2 y 2 z 2 r 12 12 02 2 所以 x 2 y 2 z 2 2 3 8．已知点 A(3,6,1) , B(2, 4,1) , C(0, 2,3), D( 2,0, 3)， (1) 求以 AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积． (2) 求三棱锥 A BCD 的体积． x1 联立( 1)、(2)、(3)求出 y 0 或 z1 则 a c 1 x 1 y 0 z x y a bcos r r 12 1 r b c 0 x 1 y 1 z y z b c cos r 1 r 2 r 1) 2) 所以向量 c 的坐标为 1,0,1 或 1 4 1 ,, 3,3, 3 3)

向量代数与空间解析几何复习题

第七章 向量代数与空间解析几何 （一） 空间直角坐标系、向量及其线性运算 一、判断题 1． 点（-1，-2，-3）是在第八卦限。 （ ） 2． 任何向量都有确定的方向。 （ ） 3． 任二向量b a , =.则=同向。 ( ) 4． 若二向量, + ,则,同向。 （ ） 5． 若+=+,则= ( ) 6． 向量, ,同向。 （ ） 7．若={ z y x a a a ,,}，则平行于向量的单位向量为| |a x | |a a | |a z 。（ ） 8．若一向量在另一向量上的投影为零，则此二向量共线。 ( ） 二、填空题 1． 点（2，1，-3）关于坐标原点对称的点是 2． 点（4，3，-5）在 坐标面上的投影点是M （0，3，-5） 3． 点（5，-3，2）关于 的对称点是M （5，-3，-2）。 4． 设向量与有共同的始点，则与,共面且平分与的夹角的向量为 5． 已知向量与方向相反，且|2|a b =，则由表示为= 。 6． ，与轴l 的夹角为 6 π，则a l prj = 7． 已知平行四边形ABCD 的两个顶点A （2，-3，-5）、B （-1，3，2）。以及它的对角线交 点E （4，-1，7），则顶点C 的坐标为 ，则顶点D 的坐标为 。 8． 设向量与坐标轴正向的夹角为α、β、γ，且已知α =ο 60，β=ο 120。则γ= 9． 设的方向角为α、β、γ，满足cos α=1时，垂直于 坐标面。 三、选择题 1．点（4，-3，5）到oy 轴的距离为 （A ）2225)3(4+-+ （B ） 225)3(+- （C ）22)3(4-+ （D ）2254+ 已 知 梯 形 OABC 、 21AB 2 1 -b a 21-a b -21a b 21-b a ,⊥b

高中数学知识点总结之平面向量与空间解析几何(经典必看)

56. 你对向量的有关概念清楚吗？ （1）向量——既有大小又有方向的量。 （）向量的模——有向线段的长度，2||a → （）单位向量，3100|||| a a a a →→ → → == （）零向量，4000→ → =|| （）相等的向量长度相等方向相同5???? =→→ a b 在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。 （6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 b a b b a → → → → → → ≠?=∥存在唯一实数，使()0λλ （7）向量的加、减法如图： OA OB OC →+→=→ OA OB BA →-→=→ （8）平面向量基本定理（向量的分解定理） e e a → → → 12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一

实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e →→→→→ =+ 的一组基底。 （9）向量的坐标表示 i j x y →→ ，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得 ()a x i y j x y a a x y → →→→→ =+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标() 表示。 ()()设，，，a x y b x y → → ==1122 ()()()则，，，a b x y y y x y x y → →±=±=±±11121122 ()()λλλλa x y x y →==1111，， ()()若，，，A x y B x y 1122 ()则，AB x x y y → =--2121 ()()||AB x x y y A B →= -+-212212，、两点间距离公式 57. 平面向量的数量积 （）··叫做向量与的数量积（或内积）。1a b a b a b →→→→→→ =||||cos θ []θθπ为向量与的夹角，，a b → → ∈0

向量代数与空间解析几何期末复习题高等数学下册(上海电机学院)

第七章 空间解析几何参考答案 第七章 空间解析几何 一、选择题 1. 在空间直角坐标系中，点（ 1，－ 2，3）在 [ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限 2. 方程 2 x 2 y 2 2 在空间解析几何中表示的图形为 [ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 3. 直线 l 1 x 1 y 1 z 1 x y 1 0 : 2 3 与 l 2 : x y z 2 ，的夹角是 [ C ] 4 A. 4 B. 3 C. D. 0 2 4. 在空间直角坐标系中，点（ 1， 2,3 ）关于 xoy 平面的对称点是 [ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 5. 将 xoz 坐标面上的抛物线 z 2 4 x 绕 z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ] A. z 2 4 ( x y ) B. z 2 4 x 2 y 2 C. y 2 z 2 4 x D. y 2 z 2 4 x 6. 平面 2x-2y+z+6=0 与 xoy 平面夹角的余弦是 [B ] A. 1 B. 1 C. 2 2 3 3 3 D. 3 7. 在空间直角坐标系中，点（ 1， 2,3 ）关于 yoz 平面的对称点是 [ A ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 2 2 8. 方程 x y z 2 表示的是 [ B ] a 2 b 2 A. 椭圆抛物面 B. 椭圆锥面 C. 椭球面 D. 球面 9. 已知 a ={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2},则 proj a b [ C ] A. 3B. 1 C. -1 D. 1 3 10．已知 a , b 为不共线向量，则以下各式成立的是 D A. a 2 b 2 (a b ) 2 B. a 2 b 2 ( a b ) 2 C. (a b) 2 (a b )2 D. ( a b ) 2 ( a b ) 2 a 2 b 2

空间解析几何习题答案解析

一、计算题与证明题 1.已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a . 计算a c c b b a ?+?+?. 解:因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向,且b a +与c 反向 因此0=?b a ,0=?c b ,0=?a c 所以0=?+?+?a c c b b a 2.已知3||=?b a , 4||=?b a , 求||||b a ?. 解:3cos ||=?=?θb a b a (1) 4sin ||=?=?θb a b a (2) ()222)1(+得()252 =?b a 所以 5=?b a 4.已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=?x a ρ ρ, 求向量x 的坐标. 解:设x 的坐标为()z y x ,,,又()2,5,1-=a 则325=-+=?z y x x a (1) 又x 与a 共线,则0=?a x 即 ()()()0 52525121252 51=-+++--=+---=-k y x j x z i z y k y x j y x i z y z y x k j i 所以()()()052522 22=-+++--y x x z z y 即01042026529222=-++++xy xz yz z y x (2) 又x 与a 共线,x 与a 夹角为0或π ()30325110cos 22222 2222?++=-++?++?==z y x z y x a x 整理得 10 3222=++z y x (3) 联立()()()321、、 解出向量x 的坐标为??? ??-51,21,101

高等数学空间解析几何练习

高等数学空间解析几何 练习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

向量代数与空间解析几何 第一部分 向量代数___线性运算 [内容要点]: 1. 向量的概念. 2. 向量的线性运算. 3. 向量的坐标，利用坐标作向量的线性运算. [本部分习题] 1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或哪个卦限. (2,3,5);(0,4,3);(0,3,0)A B C --- 2. 求点(1,3,2)--关于点(1,2,1)-的对称点坐标. 3. 求点(4,3,5)M --到各坐标轴的距离. 4. 一向量的起点为(1,4,2)A -,终点为(1,5,0)B -,求AB →在x 轴、y 轴、z 轴上的投影,并求||AB →。 5. 已知两点1M 和2(3,0,2)M ,计算向量12M M ??→的模、方向余弦和方向角. 6． 已知{3,5,4},{6,1,2},{0,3,4},a b c →→→==-=--求234a b c →→→-+及其单位向量. 7．设358,247,54,a i j k b i j k c i j k →→→→→→→→→→→→=++=--=--求向量43l a b c →→→→ =+-在x 轴上的投影以及在y 轴上的分向量.

第二部分 向量代数___向量的“积” [内容要点]: 1.向量的数量积、向量积的概念、坐标表示式及其运算规律。 2.向量的混合积的概念、坐标表示式及其几何意义。 3.向量垂直、平行、共面的条件. [本部分习题] 1． 设{3,1,2},{1,2,1},a b →→ =--=-求： （1）;(2);(3)cos(,);(4)Pr ;(5)Pr .a b a b a b a b j b j a →→→→→→→→?? 2． 设{2,3,1},{1,1,3},{1,2,0},a b c →→→=-=-=-求： (1)();(2)();(3)();a b c a b c a b c →→→→→→→→→?????? 3． 112233a b a b a b ≥++ 其中,(1,2,3)i i a b i =均为实数，并指出等号成立的条件. 4．设{3,5,2},{2,1,9},a b →→=-=试求λ的值,使得: （1）a b λ→→+与z 轴垂直； （2）a b λ→→+与a →垂直，并证明此时||a b λ→→+取最大值。 5．已知||3,||36,||72,a b a b →→→→==?=求a b →→ ?。 6．判断向量,,a b c →→→是否共面。 (1){3,2,5},{1,1,2},{9,7,16};a b c →→→===- (2){1,2,3},{3,3,1},{1,7,5};a b c →→→=-==-

向量代数与空间解析几何期末复习题高等数学下册

第七章 空间解析几何 一、选择题 1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限 2.方程2222=+y x 在空间解析几何中表示的图形为[ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 3.直线3 1 2141: 1+= +=-z y x l 与?? ?=-++=-+-0 20 1:2z y x y x l ，的夹角是 [ C ] A. 4 π B. 3π C. 2 π D. 0 4. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42=绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ] A. )(42y x z += B. 2224y x z +±=

C. x z y 422=+ D. x z y 422±=+ 6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是[B ] A. 13 - B. 13 C. 23 - D. 23 7. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 8.方程22 222x y z a b +=表示的是 [ B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D. 球面 9. 已知a ={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2},则=b proj a [ C ] A. 3 B.3 1- C. -1 10．已知,a b 为不共线向量，则以下各式成立的是 D A. 222()a b a b =? B. 222()a b a b ?=? C. 22()()a b a b ?=? D. 2222()()a b a b a b ?+?= 11．直线1l 的方程为0 3130290 x y z x y z ++=?? --=?，直线2l 的方程为

(完整版)高等数学空间解析几何与向量代数练习题与答案.doc

空间解析几何与矢量代数小练习 一填空题 5 ’x9=45 分 1、平行于向量a(6,7, 6) 的单位向量为______________. 2、设已知两点M1( 4, 2 ,1)和 M 2 (3,0,2) ，计算向量M1M2的模_________________，方向余弦 _________________和方向角 _________________ 3、以点 (1,3,-2) 为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________. 4、方程x2 y 2 z 2 2x 4 y 2z 0 表示______________曲面. 5、方程x2 y2 z 表示______________曲面. 6、x2 y2 z2 表示 ______________曲面 . 7、在空间解析几何中y x2 表示 ______________图形 . 二计算题11 ’x5=55 分 1、求过点 (3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程. 2、求平行于x 轴且过两点 (4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 3、求过点 (1,2,3) 且平行于直线x y 3 z 1 的直线方程 . 2 1 5 4、求过点 (2,0,-3) x 2 y 4z 7 0 且与直线 5 y 2z 1 垂直的平面方3x 0 5、已知：OA i 3k ，OB j 3k ，求OAB 的面积。 1

参考答案 一 填空题 1、 6 , 7 , 6 11 11 11 2、 M 1 M 2 =2, cos 1 ,cos 2 ,cos 1 , 2 , 3 , 2 2 2 3 4 3 3、 ( x 1) 2 ( y 3) 2 ( z 2) 2 14 4、以 (1,-2,-1) 为球心 , 半径为 6 的球面 5、旋转抛物面 6、 圆锥面 7、 抛物柱面 二 计算题 1、 3x 7y 5 z 4 0 2 、 9 y z 2 0 3、 x 1 y 2 z 3 4 、 16x 14y 11z 65 0 2 1 5 5 S 1 OA OB 19 2 2 2

向量与空间解析几何练习题

题型 1.向量的线性运算（三角形法则、平行四边形法则）；向量的坐标运算 2.向量的平行、垂直以及它们之间的夹角、向量的投影 3.向量的数量积（点积）；向量的向量积（叉积）4．直线方程、平面方程 5.曲线方程、曲面方程 内容 一．向量的概念及其运算 1.向量的概念 6.数乘向量 2.向量的模7.向量的数量积 3.单位向量8.向量的向量积 4.方向角9.向量的混合积 5.向量的加减运算10.向量之间的关系 二．平面与直线 1.平面方程 2.直线方程 3.平面束 4.两平面的位置关系

5.平面与直线的位置关系 6.两直线的位置关系 7.点到平面的距离 三．曲面方程 1.球面方程 2.柱面方程 3.旋转方程 4.锥面 5.其他二次曲面 四．空间曲线方程 1.空间曲线的一般方程（面交式） 2.空间曲线的参数方程 3.空间曲线在平面上的投影方程 典型例题向量I 向量的概念与运算 向量II 平面与直线方程 向量III 曲面与空间曲线方程 自测题七综合题与方法相结合

4月6日向量练习题 基础题： 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求用标准基i , j , k 表示向量c ; A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 4. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下，从点A （1,2,0）移动到点B (3, 2,-1)，求力F 所作的功是：（ ） A ）5焦耳 B ）10焦耳 C ）3焦耳 D ）9焦耳 5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是：（ ） A ） 2π B ）4π C ）3 π D ）π 6. 设,23,a i k b i j k =-=++求a b ?是：（ ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）3i -3j +3k 7. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ ） A ）362 B ）3 64 C ）32 D ）3 8.点P(-3,2,-1)关于平面XOY 的对称点是_______，关于平面YOZ 的对称点是_________，关于平面ZOX 的对称点是__________，关于X 轴的对称点是__________，关于Y 轴的对称点是____________，关于Z 轴的对称点是____________。 9.设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ 10. 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 11.设向量的模是4，它与轴的夹角是3 π，则它在轴上的投影为_________。 12.已知A(4，0，5)，B （7，1，3），则=→-0AB ____ _____。 13.已知5,3==b a ，问________=λ时，b a λ+与b a λ-相互垂直。 14.已知7,3,2=-==b a b a ，则.________ ),(=∧b a 15．已知a 与b 垂直，且,12,5==b a 则._____________,=-=+b a b a 16．向量c b a ,,两两垂直，且3,2,1===c b a ，则c b a s ++=的长度为______.

高等数学期末复习-向量代数与空间解析几何

高等数学期末复习 第八章 向量代数与空间解析几何 一、容要求 1、了解空间直角坐标系，会求点在坐标面、坐标轴上的投影点的坐标 2、掌握向量与三个坐标面夹角余弦关系 3、会运用定义和运算性质求向量数量积 4、会运用定义和运算性质求向量的向量积 5、掌握向量数积和向量积的定义形式 6、掌握向量模的定义与向量数量积关系 7、掌握向量的方向余弦概念 8、掌握向量的平行概念 9、掌握向量的垂直概念 10、能识别如下空间曲面图形方程：柱面，球面、锥面，椭球面、抛物面，旋转曲面，双曲 面 11、掌握空间平面截距式方程概念，会化平面方程为截距式方程和求截距 12、会求过三点的平面方程，先确定平面法向量 13、会用点法式求平面方程，通常先确定平面法向量 14、会求过一点，方向向量已知的直线对称式方程，通常先确定直线方向向量 15、会用直线与平面平行、垂直的方向向量法向量关系确定方程中的参数 16、掌握直线对称式方程标准形式，能写出直线方向向量 二、例题习题 1、点)2,4,1(-P 在yoz 面上的投影点为( )； （容要求1） A. )2,4,1(-Q B. )2,0,1(-Q C. )0,4,1(-Q D. )2,4,0(Q 解：yoz 面不含x ，所以x 分量变为0，故选D 2、设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2 ,,0321π θθθ≤ ≤），则 =++322212cos cos cos θθθ（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D); 3 解：由作图计算可知，222 123cos cos cos 2θθθ++=，所以选C 。（容要求2） 3、设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2 ,,0321π θθθ≤ ≤），则 =++322212cos cos cos θθθ ; 解：222 123cos cos cos 2θθθ++=，所以填2。（容要求2） 4、向量)3,1,1(-=a ，)2,1,3(-=b ，则=?b a ( )； A. 0 B. 1 C. 2 D. )2,11,5(---

空间解析几何及向量代数测试题及答案

军教院 第八章空间解析几何测试题 一、填空题（共7题，2分/空，共20分） 1.四点(0,0,0)O ,(1,0,0)A ,(0,1,1)B ,(0,0,1)C 组成的四面体的体积是______. 2.已知向量(1,1,1)a → =,)3,2,1(=→b ,(0,0,1)c →=,则→ →→??c b a )(=__(-2,-1,0)____. 3.点)1,0,1(到直线???=-=03z x y x 的距离是___66 ___________. 4.点)2,0,1(到平面321x y z ++=的距离是__ 3 147 ___________. 5.曲线C:220 1 x y z z x ?+-=?=+?对xoy 坐标面的射影柱面是___2210x x y -+-=____, 对yoz 坐标面的射影柱面是__22(1)0z y z -+-=_________,对xoz 坐标面的射影柱面是____10z x --=__________. 6.曲线C:220 x y z ?=?=?绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__4224()x y z =+_____，曲线 C 绕y 轴旋转后产生的曲面方程是___222x z y +=_______________. 7.椭球面125 492 22=++z y x 的体积是_________________. 二、计算题（共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分） 1. 过点(,,)P a b c 作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里 ,,a b c 是3个非零实数. 解: 设点(,,)P a b c 在平面0z =上的射影点为1(,,0)M a b ，在平面0x =上的射影 点为2(0,,)M a b ，在平面0y =上的射影点为3(,0,)M a c ，则12(,0,)M M a c =-u u u u u u r ，13(0,,)M M b c =-u u u u u u r

(精心整理)空间解析几何例题

第4章 向量代数与空间解析几何习题解答 习题4.1 一、计算题与证明题 1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ． 计算a c c b b a ?+?+?． 解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向 因此0=?b a ，0=?c b ，0=?a c 所以0=?+?+?a c c b b a 2．已知3||=?b a , 4||=?b a , 求||||b a ?． 解：3cos ||=?=?θb a b a （1） 4sin ||=?=?θb a b a （2） ()2 22)1(+得()252 =?b a 所以 5=?b a 3．设力k j i F 532++-=作用在点)1,6,3(A , 求力F 对点)2,7,1(,-B 的力矩的大小． 解：因为()1,6,3A ,()2,7,1-B 所以()31,2--= 力矩()()k j i k j i F AB M 53232++-?-+-=?= k j i k j i k j i 41614321 2523253315 32312-+=--+-----=---= 所以，力矩的大小为 ()136416142 22=-++=M 4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=?x a , 求向量x 的坐标． 解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a 则325=-+=?z y x x a （1）

又x 与a 共线，则0=?a x 即 ()()()0 52525121252 51=-+++--=+---=-k y x j x z i z y k y x j y x i z y z y x k j i 所以 ()()()052522 22=-+++--y x x z z y 即010********* 2 2 =-++++xy xz yz z y x （2） 又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π () 30 3 25110cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ?++= -++?++?= =z y x z y x a x 整理得 10 3 2 2 2 = ++z y x （3） 联立()()()321、、 解出向量x 的坐标为?? ? ??-51,21,101 5．用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平 分, 则该四边形为平行四边形． 证明：如图所示，因为平行四边形ABCD 的对角线 互相平分，则有 MA CN ND BM ==, 由矢量合成的三角形法则有MA BM BA += MA BM BM MA MD CM CD +=+=+= 所以CD BA = 即BA 平行且等于CD 四边形ABCD 是平行四边形 6．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程． 解：因为()7,8,3A ,)3,2,1(--B AB 中垂面上的点到B A 、的距离相等，设动点坐标为()z y x M ,,，则由MB MA =得 ()()()()()()2 222 22321783++-++= -+-+-z y x z y x