粗糙集理论与其它不确定理论的比较分析

文章编号:1672-6197(2004)04-0007-05

粗糙集理论与其它不确定理论的比较分析

程钧谟1,

綦振法1,徐福缘2,段福兴1

(1.山东理工大学管理学院,山东淄博255049;2.上海理工大学管理学院,上海200093)

摘　要:粗糙集理论作为一门新兴的不确定理论正越来越受到人们的关注.在介绍粗糙集理论基本内容的基础上,对粗糙集理论与模糊理论、随机理论、灰色理论等其它不确定理论的差异性进行了分析,同时讨论了它们之间的互补性问题并构建了相应的互补模型,最后,指出了粗糙集理论对于进一步丰富和完善不确定理论体系的重要性.

关键词:粗糙集理论;模糊理论;随机理论;灰色理论;差异性

中图分类号:O159 文献标识码:A

R elative analysis on rough set theory and other uncertain theories

CHEN G J un 2mo 1,Q I Zhen 2fa 1,XU Fu 2yuan 2,DUAN Fu 2xing 1

(1.School of Management ,Shandong University of Technology ,Z ibo 255049,China

2.School of Management ,Shanghai University for Science and Technology ,Shanghai 200093,China )

Abstract :As a new uncertainty theory ,the rough set theory is engaging more and more people ’s attention.The basic concepts of rough set are introduced.On the base of this ,the difference be 2tween the rough theory and other uncertain theories such as fuzzy theory ,random theory and grey theory is analyzed.At the same time ,the complementary problems are discussed and the comple 2mentary models are established.At last ,the importance of the rough theory on making the indefi 2nite theory perfect is pointed out.K ey w ords :rough theory ;fuzzy theory ;random theory ;grey theory ;difference

管理活动是由一系列决策组成的.在市场竞争非常激烈的今天,无论企业或个人都经常面临复杂的决策问题,不仅需要快速做出决策,而且需要分析与解决决策问题中多重不确定性所带来的困难.一个管理者的决策有效与否,很大程度上取决于他是否拥有适应这种复杂化的决策思想和方法.目前,不确定性决策问题已普遍存在于管理科学、信息科学、系统科学、计算机科学、知识工程及可靠性技术等众多领域,其表现形式也是多种多样的,如随机性、模糊性、灰色性、粗糙性、模糊随机性、粗糙模糊性以及其它多重不确定性.虽然已有的随机理论[1]、模糊理论[2,3]、灰色理论[4]可以解决一部分随机决策、模糊收稿日期:2004-03-23

基金项目:国家863资助项目(2002AA414310);国家自然科学基金项目(70072020);山东省重点社科项目(03BJ Z12)

作者简介:程钧谟(1964-),男,教授,博士研究生.

第18卷第4期 山　东　理　工　大　学　学　报(自然科学版) Vol.18No.42004年7月 Journal of Shandong University of Technology (Sci &Tech ) J ul.2004

决策、灰色决策问题,但由于以上方法对研究对象都有明确的条件设定,因此在解决不确定性决策问题时必然带有较大的局限性.

粗糙集理论作为一种处理不精确、不确定与不完全数据的新的数学理论,最初是由波兰数学家Z.Pawlak 于1982年提出的[5].由于最初关于粗糙集理论的研究大部分是用波兰语发表的,因此当时没有引起国际计算机学界和数学界的重视,研究地域也仅局限在东欧一些国家,直到20世纪80年代末才逐渐引起各国学者的注意.近几年来,

由于它在机器学习与知识发现、数据挖掘、决策支持与分析等方面的广泛应用,研究逐渐趋热.1991年Z.Pawlak 的专著[6]和1992年应用专集[7]的出版,对这一段时期理论和实践工作的成果作了较好的总结,同时促进了粗糙集在各个领域的应用.1995年,ACM Communi 2cation 将其列为新浮现的计算机科学的研究课题.1998年,国际信息科学杂志(Information Sciences )还为粗糙集理论的研究出了一期专辑.

近几年来,关于粗糙集的理论研究已越来越热,有关这方面理论与应用研究的文章近几年来被SCI 收录的数量急剧上升.目前,对粗糙集理论的研究主要集中在:粗糙集模型的推广,问题不确定性的研究,纯粹的数学理论方面的研究,粗糙集的算法研究和人工智能其他方向的研究等.粗糙集理论在数据挖掘、数据分析、控制理论等领域已有了初步的应用.

1　粗糙集理论的有关概念

粗糙集理论是一种刻划不完整性和不确定性的数学工具,它能有效地分析不精确、不一致、不完整等各种不完备信息.从集合的角度看,粗糙集理论依据对某一集合的隶属程度对问题的论域划分为三部分:肯定属于此集合、肯定不肯定属于此集合和可能属于此集合.其有以下特点:①处理各种数据,包括不完整数据和拥有众多变量的数据;②处理数据的不精确性和模棱两可,包括确定性和不确定性的情况;③求得知识的约简;④从数据中揭示出概念简单、易于操作的模式.

粗糙集理论(rough set theory )最早是由Z.Pawlak 于20世纪80年代提出的[8]:

给定一个有限的非空集合U 称为论域,H 为U 中的一组等价关系,即关于U 的知识,则二元对(pair )K =(U ,R )称为一个近似空间(approximation space ).设x 为U 中的一个对象,X 为U 中的一个子集,H (x )表示所有与x 不可分辨的对象所组成的集合,换句话说,是由x 决定的等价类,即H (x )中的每个对象都与有相同的特征属性(attribute ).

集合X 关于H 下近似(lower approximation )定义为

H (X )={x ∈U |H (x )ΑX}

H (X )实际上由那些根据现有知识判断肯定属于X 的对象所组成的最大的集合,有时也称为X 的正域,记作POS (X ).类似地,由根据现有知识判断肯定不属于X 的对象组成的集合称为X 的负域,记为N EG (X ).

集合X 关于H 上近似定义为

H (X )={x ∈U |H (x )∩X ≠ }

H (X )是由所有与X 相交非空的等价类H (x )的并集,是那些可能属于X 的对象组成的最小集合,显然H (X )+EN G (X )=论域U.

集合X 的边界域定义为

B U N (X )=H (X )-H (X )

B U N (X )为集合X 的上近似与下近似之差.如果B U N (X )是空集,则称X 关于H 是清晰的;反之,如果B U N (X )不是空集,则称X 为关于H 的粗糙集.

这一理论为处理具有不精确数据和不完全信息提供了一种新的框架.粗糙集理论是建立在分类机制的基础上的,它将分类理解为在特定空间上的等价关系(不可分辨性,indiscernibility ),而等价关系构成了对该空间的划分.

8

山　东　理　工　大　学　学　报 2004年　

2　粗糙集理论与模糊理论、随机理论及灰色理论的差异比较分析

粗糙集和模糊集、随机集、灰色集在处理不确定性和不精确性问题方面都推广了普通的集合理论.它们都是研究信息系统中知识不完全、不确定问题的重要方法.但它们的着眼点和研究方法是不同的(见表1).

1)粗糙集理论着眼于集合的粗糙程度,模糊理论着眼于集合的模糊性,随机理论着眼于集合的随机性,灰色理论着眼于集合的灰色朦胧性.

2)粗糙集理论是基于集合中对象间的不可分辨性思想,模糊理论建立集合的子集边缘的病态定义模型,随机理论则基于集合中随机事件发生的概率,灰色理论是通过灰序列生成来进行的.

3)从知识的“粒度”的描述上来看,粗糙集理论是通过一个集合关于某个可利用的知识库的上下近似来描述的,而模糊集理论是通过对象关于集合的隶属程度来近似描述的,随机理论是通过集合中对象出现的可能性来描述的,灰色理论则强调“少数据建模”.

4)从集合的关系来看,模糊集理论强调的是集合边界的病态定义上的,即边界的不分明性,而粗糙集理论强调的是对象间的不可分辨性,随机理论则强调集合中事件的随机性,灰色理论强调的是贫信息不确定性.

5)从研究的对象来看,模糊集理论研究属于同一类的不同对象间的隶属关系,强调隶属程度,而粗糙集理论研究的是不同类中的对象组成的集合关系,强调分类,随机理论研究不同对象的概率分布情况(概率密度函数),强调概率,灰色理论研究的是“外延明确,内涵不明确”的对象.

6)粗糙集理论的计算方法是粗糙隶属函数与上下近似函数的产生,模糊集理论的计算方法主要是连续特征函数的产生,随机理论则是通过期望函数或方差进行,灰色理论则侧重于灰数的产生.

表1　粗糙集理论与模糊集理论、随机理论及灰色理论的差异比较

粗糙集理论

模糊集理论随机理论灰色理论对象间关系的基础

对象间的不可分辨关系概念边界的不分明性数据的随机性部分信息已知,部分信息未知不精确刻划方法

粗糙度隶属程度概率灰数测度研究方法

对象的分类隶属函数概率分布函数灰序列生成对知识的近似描述

上、下近似集隶属程度概率灰数先验知识

不需要需要需要不需要与普通集合的联系

H (X )和H (X )ΑλP (X ) 计算方法粗糙度函数与上下近似集合连续特征函数产生数学期望和方差

灰数白化与灰度3　粗糙集理论与模糊集理论、随机理论和灰色理论的互补性分析

由于Pawlak 的粗糙集理论是基于可利用信息的完全性的,它对不确定集合的分析方法是客观的,但该理论忽视了可利用信息的模糊性和可能存在的统计信息,而模糊集的隶属函数多数是凭经验给出的,随机理论的概率值也是由人们的经验和知识(主观概率)或事件在大量的重复实验中实验结果的相对频率(客观概率)来表达的,因而隶属函数与主观概率就带有明显的主观性,这也使得我们在研究决策问题时如果能够将粗糙集理论与模糊理论、随机理论、灰色理论结合起来考虑会得到更好的效果.

1)模糊—粗糙集合[9]

当知识库中的知识模块是清晰的概念,而被描述的概念是一个模糊概念,则人们可以通过建立模糊—粗糙集模型来解决此类问题的近似推理.这时如果把模糊集合中的隶属度看作是模糊集理论中的属性值,知识表达的模糊性依赖于由对象的可用属性值描述,数据库中病态描述的对象可以用属性值集合的可能性分布来表达,这些可能性分布就构成了模糊—粗糙集模型.

9第4期 程钧谟,等:粗糙集理论与其它不确定理论的比较分析

设U是有限对象构成的论域,H是U上的等价关系,X是U中的一个模糊集合,通过等价关系H 表达的模糊集合X的上近似H(X)和下近似H(X)都是U/H的模糊集合.其隶属函数可分别定义为 μH(X)(x)=inf{μX(y)|y∈H(x)},x∈U

μ H(X)(x)=sup{μX(y)|y∈H(x)},x∈U

若μH(X)(x)=μ H(X)(x),则称X是可定义的,否则称是模糊—粗糙集.μH(X)(x)表达了对象x肯定属于模糊集合(事件)X的隶属程度,μ H(X)(x)表达了对象x可能属于模糊集合(事件)X 的隶属程度.

Pawlak粗糙集模型是基于确定性知识库的,即它的近似空间是完全确定的,因此它忽视了可利用信息库的不确定性,若仍旧按照Pawlak粗糙集模型来处理由随机产生的知识库的数据分析等问题就不能完全反映问题的实质,为此可将粗糙集理论与随机理论结合起来,建立相应的概率粗糙集或随机粗糙集.

2)概率—粗糙集合

设是有限对象构成的论域,H是U上的等价关系,其构成的等价类为

U/R={X1,X2,…,X n}

仍记x所在的等价类为H(x),令P为定义在U的子集类构成的σ代数上的概率测度,三元组A p= (U,R,P)成为概率近似空间,U中的每个子集称为概念,它代表了一个随机事件,P(X/Y)表示事件Y发生下X出现的条件概率,也可以解释为随机选择的对象在概念Y的描述下属于X的概率.

设0≤β<α≤1,对于任意的XΑU,定义X关于概率近似空间A p=(U,R,P)依参数α,β的概率下近似Pα-(X)和上近似P-β(X)如下:

Pα-(X)={x∈U|P(X|H(x))≥α}

P-β(X)={x∈U|P(X|H(x))>β}

X关于A p依参数α,β的概率正域、负域和边界域分别为

POS(X,α,β)=Pα-(X)

N EG(X,α,β)=U-P-β(X)

B U N(X,α,β)=P-β(X)-Pα-(X)

当Pα-(X)=P-β(X)时,称X依参数α,β关于A p是概率可定义的,否则称X依参数α,β关于A p 是概率粗糙集.

3)基于随机集的粗糙集合

设U和W是两个有限非空集合,(U,2U,P)为概率空间,显然(2W,σ(2W))是一个可测空间,这样任何一个集值函数F∶U→2W就是一个随机集,称四元有序组A=(U,W,F,P)为随机集近似空间,对于任意X∈2W,定义X关于A pp-F(X)的下近似和上近似A pp-F(X)为

A pp-F(X)={u∈U|F(u)ΑX}

A pp-F(X)={u∈U|F(u)∩X≠ }

当A pp-F(X)=A pp-F(X)时,称X关于近似空间A是可定义的,否则称X关于近似空间A是粗糙的.

4)灰色—粗糙集合

设A={x|p(x)}是论域X上的非空集合,若对任意的x∈A,x对认定(或划定)“x∈A”或“p (x)”的信息可能不完全,则称其不完全程度为x对A的点灰度,记作v A(x),v A(x)为映射X→[0,1],称为点灰函数或点灰度分布.X上的灰色子集或灰色集合就是被划定属于A且具有点灰度v A(x)的元

素x的集合,记作A

.A

的元素x称为灰元,v A(x)>0的元素x称为真灰元,v A(x)=0的元素x称为

白元.

设α∈[0,1],v H(y)表示y对认定(或划定)“y∈H(x)”的程度,令Hα(x)={y|v H(y)≤a}表示01 山　东　理　工　大　学　学　报 2004年　

允许点灰度为α的等价关系集合.定义集合X 关于H α下近似H α(X )和上近似 H α(X )为

H α(X )={x ∈U

|H α(x )ΑX}

H α(X )={x ∈U |H α(x )∩X ≠

} B U N (X )=H α(X )-

H α(X )如果B U N (X )是空集,则称X 关于H α是灰色可定义的;反之,如果B U N (X )不是空集,则称X 为关于H α的灰色—

粗糙集.4　结　语

目前人们在处理不确定问题时,一般是通过随机理论、模糊理论或灰色理论来进行的,而粗糙集理论解决问题的出发点是系统中元素的不确定性和不可分辨性,如果将该理论与上述不确定理论结合起来进行研究,则可以更客观有效地处理现实中越来越复杂的不确定问题,弥补单一理论研究不确定问题的不足.本文从差异性和互补性两个方面对粗糙集理论与随机理论、模糊理论和灰色理论进行了比较分析,认为将粗糙集理论与其他不确定理论结合起来处理不确定问题会使获得的结果更加可观、有效.参考文献:

[1]李世楷.随机集与集值鞅[M ].贵州:贵州科技出版社,1994.

[2]陈守煜.系统模糊决策理论与应用[M ].大连:大连理工大学出版社,1994.

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Computing.Warsaw :Springer 2verlag ,1998.1

1第4期 程钧谟,等:粗糙集理论与其它不确定理论的比较分析

粗糙集理论

粗糙集理论与应用研究综述 王国胤1Yiyu Yao2 于洪1,2 (1重庆邮电大学计算机科学与技术研究所重庆400065) (2Department of Computer Science, University of Regina, Regina, Canada S4S 0A2) {wanggy, yuhong}@https://www.wendangku.net/doc/ca8107754.html,, yyao@cs.uregina.ca 摘要本文在阐释粗糙集理论基本体系结构的基础上，从多个角度探讨粗糙集模型的研究思路，分析粗糙集理论与模糊集、证据理论、粒计算、形式概念分析、知识空间等其他理论之间的联系，介绍国内外关于粗糙集理论研究的主要方向和发展状况，讨论当前粗糙集理论研究的热点研究领域，以及将来需要重点研究的主要问题。 关键词粗糙集，模糊集，粒计算，形式概念分析，知识空间，智能信息处理 A Survey on Rough Set Theory and Its Application Wang Guo-Yin1Yao Yi-Yu2 Yu Hong1,2 1 Institute of Computer Science and Technology, Chongqing University of Posts and Telecommunications, Chongqing, 400065 2 Department of Computer Science, University of Regina, Regina, Saskatchewan, Canada, S4S 0A2 Abstract This paper introduces the basic ideas and framework of rough set theory and the different views of knowledge representation in rough set theory, and then discusses the relations between the rough set theory and the other theories, such as fuzzy set, evidence theory, granular computing, formal concept analyzing, knowledge space, etc. Furthermore, the paper reviews the recent studies for this theory and a survey on its applications is also given. The future development trend of rough set theory is also discussed. Keywords rough set, fuzzy set, granular computing, formal concept analyzing, knowledge space, intelligent information processing 1 引言 智能信息处理是当前信息科学理论和应用研究中的一个热点领域。由于计算机科学与技术的发展，特别是计算机网络的发展，每日每时为人们提供了大量的信息，信息量的不断增长，对信息分析工具的要求也越来越高，人们希望自动地从数据中获取其潜在的知识。特别是近20年间，知识发现（规则提取、数据挖掘、机器学习）受到人工智能学界的广泛重视，知识发现的各种不同方法应运而生。 粗糙集（Rough Set，有时也称Rough集、粗集）理论是Pawlak教授于1982年提出的一种能够定量分析处理不精确、不一致、不完整信息与知识的数学工具[1]。粗糙集理论最初的原型来源于比较简单的信息模型，它的基本思想是通过关系数据库分类归纳形成概念和规则，通过等价关系的分类以及分类对于目标的近似实现知识发现。 由于粗糙集理论思想新颖、方法独特，粗糙集理论已成为一种重要的智能信息处理技术[2-4]，该理论已经在机器学习与知识发现、数据挖掘、决策支持与分析等方面得到广泛应用。目前，有三个有关粗糙集的系列国际会议，即：RSCTC、RSFDGrC和RSKT。中国学者在这方面也取得了很大的成果，从2001年开始每年召开中国粗糙集与软计算学术会议；RSFDGRC2003、IEEE GrC2005、RSKT2006、IFKT2008、RSKT2008、IEEE GrC2008等一系列国际学术会议在中国召开。 粗糙集理论与应用的核心基础是从近似空间导出的一对近似算子，即上近似算子和下近似算子（又称上、下近似集）。经典Pawlak模型中的不分明关系是一种等价关系，要求很高，限制了粗糙集模型的应用。因此，如何推广定义近似算子成为了粗糙集理论研究的一个重点。 目前，常见的关于推广粗糙集理论的研究方法有两种，即：构造化方法和公理化方法。构造化方法是以论域上的二元关系、划分、覆盖、邻域系统、布尔子代数等作为基本要素，进而定义粗糙近似算子，从而导出粗糙集代数系统。公理化方法的基本要素是一对满足某些公理的一元集合算子，近似算子的某些公理能保证有一些特殊类型的二元关系的存在；反过来, 由二元关系通过构造性方法导出的近似算子一定满足某些公理。 事实上，有两种形式来描述粗糙集，一个是从集

粗糙集理论及其应用综述

控制理论与应用 CONTROL THEORY & APPLICATIONS 1999年 第16卷 第2期 Vol.16　No.2 1999 粗糙集理论及其应用综述* 韩祯祥　张琦　文福拴 摘要：粗糙集理论是一种较新的软计算方法，可以有效地分析和处理不完备信息.该理论近年日益受到国际学术届的重视，已经在模式识别、机器学习、决策支持、过程控制、预测建模等许多科学与工程领域得到成功的应用.本文介绍了粗糙集理论的基本概念，对其在各领域的应用情况进行了综述. 关键词：粗糙集；不确定性；数据分析；软计算；粗糙控制 A Survey on Rough Set Theory and Its Application Han Zhenxiang,　Zhang Qi　and　Wen Fushuan (Department of Electrical Engineering, Zhejiang University.Hangzhou,310 027,P.R.China) Abstract: Rough set theory is a relatively new soft comput ingtool to deal with vagueness and uncertainty.It has received much attention of the researchers around the world.Rough set theory has been applied to many area s successfully including pattern recognition,machine learning,decision support, process control and predictive modeling.This paper introduces the basic concepts of rough set.A survey on its applicatoins is also given. Key words: rough set; uncertainty; data analysis; soft computing; rough control 1　引言(Introduction) 粗糙集(Rougn Set,RS)理论是一种刻划不完整性和不确定性的数学工具，能有效地分析和处理不精确、不一致、不完整等各种不完备信息，并从中发现隐含的知识，揭示潜在的规律［1］.RS理论是由波兰学者Pawlak Z在1982年［2］提出的.1991年Pawlak Z出版了专著［3］，系统全面地阐述了RS理论，奠定了严密的数学基础.该书与1992年出版的RS理论应用专集［4］较好地总结了这一时期RS理论与实践的研究成果，促进了它的进一步发展，现已成为学习和应用RS理论的重要文献.从1992年至今，每年都召开以RS 为主题的国际会议，推动了RS理论的拓展和应用.国际上成立了粗糙集学术研究会，参加的成员来自波兰、美国、加拿大、日本、挪威、俄罗斯、乌克兰和印度等国家.目前RS理论已成为人工智能领域中一个较新的学术热点，引起了越来越多的科研人员的关注. 2　粗糙集理论的基本概念(Basic concepts of rough set theory) 2.1　知识与不可分辨关系(Knowledge and indiscern ibility relation) 在RS理论中，“知识”被认为一种将现实或抽象的对象进行分类的能力［3］.假定

基于区间的不确定性优化理论与算法博士论文

附件2 论文中英文摘要格式 作者姓名：姜潮 论文题目：基于区间的不确定性优化理论与算法 作者简介：姜潮，男，1978年9月出生，2004年6月师从湖南大学长江学者特聘教授韩旭老师，于2008年12月获博士学位。 中文摘要 不确定性广泛存在于工程实际问题中，不确定性优化理论和算法的研究对于产品或系统的可靠性设计具有重要意义。随机规划和模糊规划是两类传统的不确定性优化方法，它们需要大量的不确定性信息以构造变量的精确概率分布或模糊隶属度函数。然而，对于很多工程问题，获得足够的不确定性信息往往显得非常困难或成本过高，这便使得两类方法在适用性上具有一定的局限性。区间数优化是一类相对较新的不确定性优化方法，它利用区间描述变量的不确定性，只需要通过较少的信息获得变量的上下界，故在不确定性建模方面体现了很好的方便性和经济性。区间数优化方法的研究近年来开始逐渐受到国内外的重视，有望在未来成为继随机规划和模糊规划之后的第三大不确定性优化方法，并且在工程领域展现了比后两者更强的应用潜力。然而目前区间数优化的研究尚处于初步阶段，特别是非线性区间数优化的研究还刚刚起步，在数学转换模型的建立、两层嵌套优化问题的求解等方面尚存在一系列的技术难点需要解决。 为此，本文将针对非线性区间数优化展开系统的研究，力求在其数学规划理论本身及实用性算法方面做出一些卓有成效的尝试和探索。数学规划理论方面的工作是提出两种非线性区间数优化的转换模型，实现了不确定性优化问题向确定性优化问题的转换，此部分工作是整篇论文的基础；实用性算法方面的工作主要是将目前工程优化领域中的一些求解工具有机引入非线性区间数优化，一定程度上解决因两层嵌套优化造成的低效问题，从而构造出多种具一定工程实用性的高效非线性区间数优化算法。基于此思路，本论文开展和完成了如下研究工作： (1)针对一般的不确定性优化问题，从数学规划理论层面提出了两种非线性区间数优化的数学转换模型，即区间序关系转换模型和区间可能度转换模型。给出了一种改进的区间可能度构造方法，将不确定不等式约束转换为确定性约束；给出了不确定等式约束的处理方法，最终将之转换为两个确定性约束。两种转换模型采用了上述相同的不确定约束的处理方法，但在不确定目标函数的处理上有所不同，即分别基于区间序关系和区间可能度将不确定目标函数转换为确定性目标函数。通过转换模型，得到一确定性的两层嵌套优化问题。最后，提出一种基于遗传算法的两层嵌套优化方法来求解转换后的确定性优化问题。 (2)给出多网络和单网络两种混合优化算法求解转换后的两层嵌套优化问题，从而构造出两种高效的非线性区间数优化算法。多网络混合优化算法中，通过多个人工神经网络模型建立设计向量与目标函数区间或约束区间之间的映射关系，并且采用遗传算法作为优化求解器；单网络混合优化算法中，只通过单个人工神经网络模型建立设计变量和不确定变量与相应的目标函数值和约束值之间的映射关系，并且采用遗传算法作为内、外层优化求解器。利用混合优化算法对转换后的确定性优化问题进行求解时，不再使用原耗时的真实模型，而

粗糙集理论介绍(对于初学者来说,很经典的滴)

粗糙集理论介绍面对日益增长的数据库，人们将如何从这些浩瀚的数据中找出有用的知识？我们如何将所学到的知识去粗取精？什么是对事物的粗线条描述什么是细线条描述？粗糙集合论回答了上面的这些问题。要想了解粗糙集合论的思想，我们先要了解一下什么叫做知识？假设有8个积木构成了一个集合A，我们记：A={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8}，每个积木块都有颜色属性，按照颜色的不同，我们能够把这堆积木分成R1={红，黄，兰}三个大类，那么所有红颜色的积木构成集合X1={x1,x2,x6}，黄颜色的积木构成集合X2={x3,x4}，兰颜色的积木是：X3={x5,x7,x8}。 按照颜色这个属性我们就把积木集合A进行了一个划分(所谓A的划分就是指对于A中的任意一个元素必然属于且仅属于一个分类），那么我们就说颜色属性就是一种知识。在这个例子中我们不难看到，一种对集合A的划分就对应着关于A中元素的一个知识，假如还有其他的属性，比如还有形状R2={三角,方块,圆形}，大小R3={大,中,小}，这样加上R1属性对A构成的划分分别为：A/R1={X1,X2,X3}={{x1,x2,x6},{x3,x4},{x5,x7,x8}} （颜色分类）A/R2={Y1,Y2,Y3}={{x1,x2},{x5,x8},{x3,x4,x6,x7}} （形状分类）A/R3={Z1,Z2,Z3}={{x1,x2,x5},{x6,x8},{x3,x4,x7}} （大小分类） 上面这些所有的分类合在一起就形成了一个基本的知识库。那么这个基本知识库能表示什么概念呢？除了红的{x1,x2,x6}、大的{x1,x2,x5}、三角形的{x1,x2}这样的概念以外还可以表达例如大的且是三角形的{x1,x2,x5}∩{x1,x2}={x1,x2}，大三角{x1,x2,x5}∩{x1,x2}={x1,x2}，兰色的小的圆形({x5,x7,x8}∩{x3,x4,x7}∩{x3,x4,x6,x7}={x7}，兰色的或者中的积木{x5,x7,x8}∪{x6,x8}={x5,x6,x7,x8}。而类似这样的概念可以通过求交运算得到，比如X1与Y1的交就表示红色的三角。所有的这些能够用交、并表示的概念以及加上上面的三个基本知识(A/R1,A/R2.A/R3)一起就构成了一个知识系统记为R=R1∩R2∩R3，它所决定的所有知识是A/R={{x1,x2},{x3},{x4},{x5},{x6},{x7},{x8}}以及A/R中集合的并。 下面考虑近似这个概念。假设给定了一个A上的子集合X={x2,x5,x7}，那么用我们的知识库中的知识应该怎样描述它呢？红色的三角？****的大圆？都不是，无论是单属性知识还是由几个知识进行交、并运算合成的知识，都不能得到这个新的集合X，于是我们只好用我们已有的知识去近似它。也就是在所有的现有知识里面找出跟他最像的两个一个作为下近似，一个作为上近似。于是我们选择了“兰色的大方块或者兰色的小圆形”这个概念：{x5,x7}作为X的下近似。选择“三角形或者兰色的”{x1,x2,x5,x7,x8}作为它的上近似，值得注意的是，下近似集是在那些所有的包含于X的知识库中的集合中求并得到的，而上近似则是将那些包含X的知识库中的集合求并得到的。一般的，我们可以用下面的图来表示上、下近似的概念。这其中曲线围的区域是X的区域，蓝色的内部方框是内部参考消息，是下近似，绿的是边界加上蓝色的部分就是上近似集。其中各个小方块可以被看成是论域上的知识系统所构成的所有划分。整个粗集理论的核心就是上面说的有关知识、集合的划分、近似集合等等概念。 下面我们讨论一下关于粗糙集在数据库中数据挖掘的应用问题。考虑一个数据库中的二维表如下：元素颜色形状大小稳定性 x1 红三角大稳定 x2 红三角大稳定 x3 黄圆小不稳定 x4 黄圆小不稳定 x5 兰方块大稳定 x6 红圆中不稳定 x7 兰圆小不稳定 x8 兰方块中不稳定 可以看出，这个表就是上面的那个例子的二维表格体现，而最后一列是我们的决策属性，也就是说评价什么样的积木稳定。这个表中的每一行表示了类似这样的信息：红色的大三角积木稳定，****的小圆形不稳定等等。我们可以把所有的记录看成是论域A={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8}，任意一个列表示一个属性构成了对论域的元素上的一个划分，在划分的每一个类中都具有相同的属性。而属性可以分成两大类，一类叫做条件属性：颜色、形状、大小都是，另一类叫做决策属性：最后一列的是否稳定？ 下面我们考虑，对于决策属性来说是否所有的条件属性都是有用的呢？考虑所有决策属性是“稳定”的集合

不确定优化

使目标函数的概率期望达到最优的模型称为期望值模型即E —模型。 max ..,0Eh x s t Ax b x ′=≥ (1) 相对于E —模型而言，P —模型是使目标函数值不小于某一指定值0u 的概率达到极大值。 (){} 0max ..,0 P h x u s t Ax b x ω′≥=≥ (2) 2.1.2、约束条件中含有随机变量的随机规划 在随机变量出现在约束函数里的模型中，依据随机变量处理方式的不同大致形成随机规划三大类问题：分布问题、机会约束规划问题及带补偿二阶段(多阶段)问题。 分布问题是采用等待观察到随机变量的实现以后再做决策的方式来处理随机变量。考虑如下线性规划问题： max ..,0,0 h x s t Ax b x Dx d x ′=≥=≥ (3) 其中，()12,,,m b b b b ′=L ，()12,,,n h h h h ′=L ，()12,,,n x x x x ′=L ，A 为m n ×的矩阵，D 为1m n ×矩阵，d 为1m 维向量。假设,,A b h ′的元素,,ij j i a b h ，1,2,,i m =L ，1,2,,j n =L 都可以是随机的，且他们均定义在某一概率空间(),,F P ?上，D ，d 则为非随机的矩阵和向量。 在观察到这些随机变量的实现()()(),,ij j i a b h ωωω，1,2,,i m =L ，1,2,,j n =L 之后，得到一个确定性的线性规划问题： ()()()()() ()()() 111111111max ..,0 n n n n m mn n m h x h x a x a x b s t a x a x b Dx d x ωωωωωωωω++++=++==≥L L M L (4) 设式(4)的最优解为()* x ω，最优值为()z ω。 对应不同的样本点ω，式(4)各项系数的值不同，从而得到不同的()* x ω和()z ω。决策者在观察到随机变量的实现之前需要知道：这些随机变量的各种可能值，()z ω可能的取值及取某值的概率即()z ω的概率分布。这种求()z ω的概率分布的问题称为分布问题。 机会约束规划主要是针对约束条件中含有随机变量，且必须在观测到随机变量的实现之

第二讲 不确定性下的期望效用理论

第二讲 不确定性下的期望效用理论 确定性条件下的消费与投资尽管考虑了跨时问题，但未来投资收益是完全确定的。未来往往是未知的，现实中更多重要的经济决策是在不确定环境下做出的，很难直接运用第一章阐述的效用理论来研究不确定性环境中的个体选择，必须建立起一整套基于不确定性的专门理论——期望效用理论来那就不确定性下的个体最优决策行为。我们从一个经典的案例开始讲起。 圣.彼得堡悖论（St Peterburg Paradox ）关系到经济学理论的一个重要问题：如何对一个含风险的赌局进行评估？200多年前，瑞士数学家丹尼尔.伯努利（Daniel Bernoulli ）对该悖论提出了开创性的解，从此创立了效用理论以及期望效用理论。该悖论是丹尼尔.伯努利的表兄尼古拉斯.伯努利于1713年提出来的。1713年9月9日，尼古拉斯.伯努利在写给数学家M. de Montmort 的信中提出了5个问题，其中第5个问题是这样的： 彼得掷一枚硬币，如果第一次掷硬币头面朝上，彼得答应给保尔一盾（荷兰盾）；如果第一次掷的结果是背面朝上，则掷第二次; 如果第二次掷硬币头面朝上, 彼得付保尔2个盾；如果第二次掷的结果是背面朝上，则掷第三次……，到第n 次，如结果是头面朝上，彼得付保尔1 2n -个盾。这个博 局可以无限期地玩下去。保尔在该博局中所获的价值的期望值是多少？ 尼古拉斯.伯努利之所以提出这个问题，是由于他发现数学界对这个赌局的期望收益的计算与实际生活中发现的该博局的门票价之间存在着悖论。他发现，如果计算保尔的期望收入，则 2321 1 111()*1()*2()*2...()*2...22221111...... 22 22n n E w -=+++++=++ ++ +=∞ 按这个估算，保尔在该博局中的所获为无穷大，他应该付无穷大来买这个机会。但是，在实际生活中，任何一个理智正常的人若出卖这个机会，其卖价不会超过20盾，因为当时瑞士类似的赌局的门票不超过20盾。 如何解释这个悖论？ 大数学家M. de Montmort (1678-1719) 对此并没有回答，但将尼古拉斯.伯努利的信连同上述问题公开出版了。从而引起了数学界后来者的兴趣。 2.1偏好与效用 2.1.1风险备选项的描述 假设C 为代表所有可能的结果所组成的集合。如果集合所有结果数目有限，则可以用 {}12,,n C x x x = 来表示。假设12,,n x x x 状态发生的概率分别为12,,n p p p （任意一种状态i x 发生的概率为i p ，满足0i p ≥，且1 1n i i p ==∑ ） ，我们称1212(,,;,,)n n L x x x p p p = 表示一个简单博彩。 （说明：博彩是描述风险备选项的一个正式工具。简单博彩有时候也写成这种形式：

第十三回不确定性条件下的选择

第十三回不确定性条件下的选择 之一：期望效用函数理论13.0 温故而知新： 1．数学期望 2．方差 13.1 你选择哪个方案？ A．投硬币碰运气，正面给你100，反面啥也没有； B．直接给你50元？ C．直接给你40元？ …… 在上面的事情里，我们有以下概念： 1．期望效用 2．风险的主观态度 3．确定性等值 4．保险金 13.2 期望效用函数 1．如果某个随机变量X以概率P i取值x i，i=1,2,…,n，而某人在确定地得到x i时的效用为u(x i)，那么，该随机变量给他的效用便是： U(X)=E[u(X)]=P1u(x1)+ P2u(x2)+ …+P n u (x n) 其中，E[u(X)]表示关于随机变量X的期望效用。因此U(X)称为期望效用函数，又叫做冯·诺依曼—摩根斯坦效用函数（VNM函数）。 2．一个例子：李四的财富效用函数为u(x)=x。有人向他兜售彩票，该彩票有50%的可能性中奖4元，问该彩票对他的效用是多少？ 3．又一个例子：张三总共有100元钱，他要参加第二天早上的微观经济学考试。按照经验，他有10%的可能性会睡过头，如果这样他会错过考试，则需要交100元以参加重修。他对财富的效用函数为u(x)=x，问他的期望效用函数是多少？ 4．期望效用函数是否具有序数性？ u和v是两个不同的序数效用函数，若 u(A)=60，u(B)=20, u(C)=0 v(A)=60，v(B)=40, v(C)=0

上面都可以得到Ａ优于Ｂ，Ｂ优于Ｃ的结论；而且u 可以通过某种单调变换得到v 。所以u 和v 代表相同的偏好顺序。但考虑下面： 让消费者选择：一是确定地得到Ｂ；另一个是赌局，即掷硬币来得到Ａ或Ｃ。分别用u 和v 来分析，结论如何？ ——结论：期望效用函数失去了保序性。 13.3 风险的主观态度 1. 风险厌恶 4． 期望效用模型靠得住吗？—— Kahneman 和Tversky 的实验 13.4 确定性等值 1． 若某人的财富效用函数为u(x)，而一个赌局对某人的效用为u(E(x))，则有一个CE 值能够满足：u(CE)=u(E(x))。称CE 为某人在该赌局中的确定性等值。 2．前面介绍了李四和张三的故事，他们的确定性等值各是多少？对于他们来说，确定性等值各有什么经济含义？ 13.5 风险问题的解决——保险 1．保险市场的价格——保险金：若某人的财富数量为w ，其财富效用函数为u(x)，而一个赌局对某人的效用为u(E(x))，若有u(w-R)= u(E(x))，则称R 为保险金。 图13.1 风险厌恶 图13.2 风险偏好 u(E(x))>E(u(x)) 风险厌恶的效用函数是凹函数。 如图13.1所示。 2. 风险偏好 u(E(x))

后悔理论：不确定条件下理性选择的替代理论

后悔理论：不确定条件下理性选择的替代理论 格拉汉姆?鲁麦斯、罗伯特?萨戈登１1、 卡尼曼和特沃斯基的证据 　著　 瓦奇 译注 当前不确定性条件下选择的经济分析，主要建立在几个基本公理之上，冯?诺伊曼和摩根斯坦（1947年），萨维奇（1954）等对这些公理的表述都不尽相同。这些公理被广泛认为代表不确定条件下理性行为的本质。然而，众所周知，很多人的行为方式系统违反这些公理。 我们首先从卡尼曼和特沃斯基的论文《前景理论：风险条件下的决策分析》开始，这篇论文提供了这些行为的大量证据。卡尼曼和特沃斯基提出了一种他们称为前景理论的理论来解释他们的观察。我们在这里将提出一种比前景理论更简单的替代理论，并且我们相信它更具直觉吸引力。 本文使用下列符号。第i 个前景记作X i 。具有概率p 1，…，p n （p 1+…+p n =1）的财富x 1，…，x n 的增加和减少，可以记作（x 1，p 1；…；x n ，p n ）。空结果被剔除，因此前景（x ，p ；0，1-p ）简记为（x ，p ）。复合前景，如以其他前景作为结果，可以表示为（X 1，p 1；…，X n ，p n ）。我们使用传统符号＞、≥和∽代表严格偏好关系、弱偏好和无差别。我们规定，对前景X i 和X k ，有X i ≥X k 或者X i ≤X k ；但是，我们通常不要求关系≥可传递。 卡尼曼和特沃斯基的实验将假设的一对前景之间的选择提供给大学的教师和学生群体。表1列出了他们选择的结果，揭示了三种主要类型的对传统期望效用理论的违反： a)“确定性效应”或“公比效应”，例如，X 5＜X 6和X 9＞X 10的组合以及X 13＜X 14和X 15＞X 16的组合。也有“反向公比效应”，例如，X 7＞X 8和X 11＜X 12的组合。 b) 原始的“阿莱悖论”或“公共结果效应”，例如，X 1＜X 2和X 3＞X 4的组合。 c) 两阶段博弈中的“隔离效应”，例如，X 9＞X 10和X 17＜X 18的组合。 1

粗糙集理论及其发展

龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/ca8107754.html, 粗糙集理论及其发展 作者：张也驰 来源：《管理观察》2010年第16期 摘要:粗糙集理论以其出色的处理模糊和不确定知识的能力,在数据挖掘领域占据了越来越重要的地位。文章首先描述了粗糙集理论的核心思想,接着介绍了粗糙集理论在不完备信息系 统领域的扩充,最后论述了粗糙集理论的应用发展以及未来的研究方向。 关键词:粗糙集机器学习不完备信息系统数据挖掘 1.引言 粗糙集理论[1]是由波兰数学家Z. Pawlak于20世纪80年代提出的一种新的处理不精确性和不确定性信息的数学方法。之后国内外许多学者对粗糙集理论及其应用进行了坚持不懈的研究。1991年,Pawlak出版了第一本关于粗糙集理论的专著,详细介绍了粗糙集的理论基础,它奠定了粗糙集理论的基础,但由于最初关于粗糙集理论的研究大部分是用波兰语发表的,当时并没有引起国际计算机学界和数学界的重视;1992年,在波兰Kiekrz召开了第一届国际粗糙集研讨会, 从此每年一次以粗糙集理论为主题的国际研讨会以及粗糙集学术研究会的成立,推动了国际上 对粗糙集理论与应用的深入研究。1995年,Z. Pawlak概括性地介绍了粗糙集理论[2]的基本概念及其具体研究进展。我国对粗糙集理论的研究起步较晚。 粗糙集理论是建立在分类机制基础上的,它将知识理解为对数据的划分,每一个被划分的集合称为概念或范畴,其主要思想是利用已有的知识库,将不精确知识用已知知识库中的知识来(近似)刻画。与其他处理不精确性和不确定性信息的理论相比,该理论的一个最主要的优点是其无需提供任何除现有知识以外的任何先验知识,从而具有相当的客观性。近年来,由于粗糙集理论在人工智能和认知科学中日益呈现出的重要性和优越性,特别是在机器学习、数据挖掘、决策 分析、数据库知识发现、专家系统、决策支持系统、归纳推理和模式识别等领域,受到越来越 多的研究人员的关注。 2.粗糙集理论的基本概念 粗糙集理论作为一种处理模糊和不确定性知识的数学工具,其主要思想是在保持分类能力 不变的前提下,经过知识约简,导出问题的决策或分类规则。即粗糙集理论是建立在不可分辨关系基础知识的,不可分辨关系构成了粗糙集理论的数学基础。 2.1 知识表达系统和决策表

不确定条件下的选择分析报告

第五章不确定条件下的选择 前面两章讨论了确定性环境中的消费选择问题，即涉及的价格、收入、消费量等变量都具有确定性。然而实际消费选择并非总是在这种确定性环境中进行的，比如人们可以借款进行超支消费，如借款购房或贷款进大学接受高等教育，这种超支消费同人们未来收入有关，然而未来是不确定的，一个人的未来收入可能提高，也可能降低，也可能失业而只能享受社会救济。如果未来收益很低，那么当前的超支在未来就无能力偿付。因此，当前是否要超支消费，这是一个不确定的消费选择问题。又如择业，是在国有企事业单位找一份工作，以求得稳定的（较低）工资收入和安全的社会保障，还是在合资企业求得一个高薪职位但面临很大风险呢？一个人是把他(她)的余款存入银行以求得安全的低利息收入，还是利用余款购买股票进行投资，求得一个高收益但面临较大风险呢？这还是一个带不确定性的选择问题。本章讨论这种不确定条件下的消费选择问题。 第一节不确定性选择事例 通常的“不确定”一词，是说人们不能确定某种行为一定会发生某种结果。经济学家对这个词的含义进行了严格界定，区分了两个不相同但相联系的概念：不肯定性与风险。

不肯定性(uncertainty)是指人们既不能确定某种经济行为一定会发生某种结果，又不能确定其发生的可能性大小。出现不肯定性的原因可能是人们行为本身就具有不确定性因素，或者是人们行为不完全独立，或者是人们缺乏必要的信息等等。 风险(risk)是指人们虽然不能确定某种经济行为一定会发生某种结果，但能够确定其发生的可能性大小，或者说，经济行为产生某种结果的可能性大小是客观存在，由客观条件决定。比如人们可以根据已有的经验，确定出某种经济行为的各种可能结果，并且确定出每种结果发生的概率。这样一来，便可计算这种经济行为的期望值，并利用期望值进行分析。 下面来看不确定性条件下选择的几个事例。 例1. 抽彩(lottery) 设有两种奖品通过抽彩才能获得。第一种抽彩方式(即第一种彩票)是：获得奖品1的概率为p ，获得奖品2的概率为p -1。第二种抽彩方式(即第二种彩票)是：获得奖品1的概率为q ，获得奖品2的概率为q -1。抽彩人得到奖品1后，能获得1U 个单位的效用；获得奖品2后，能获得2U 个单位的效用。问抽彩人喜欢抽哪一种彩票？ 要回答这个问题，需要计算这两种彩票的预期效用（即效用的期望值）。用1EU 表示第一种彩票的预期效用，2EU 表示第二种彩票的预期效用。根据概率论的有关知识可知， 211)1(U p pU EU -+= ， 212)1(U q qU EU -+= 比较一下1EU 和2EU 的大小，如果21EU EU >，说明第一种彩票的效用期望值更大，因此抽彩人更喜欢第一种抽彩方式，选择第一种彩票。同理，当21EU EU <时，抽彩人会选择第二种彩票。当21EU EU =时，两种彩票的效用期望相同，因而对抽彩人来说无差异。 这个例子同时也说明，一种彩票可以用抽彩的中奖概率分布来表示。比如说有一种彩票有n 个等级的奖励：1等奖，2等奖，…，1-n 等奖(末等奖)，n 等奖(无奖)。获得i 等奖的

职业生涯规划--选择理论

职业选择理论 职业具有3个关键功能：“一是给人们提供一个发挥和提高自身才能的机会；二是通过和别人一起共事来克服自我中心的意识；三是提供生存所需的产品和服务。” （一）职业声望与职业分层 职业声望（Occupational Prestige）是人们对职业社会地位的主观评价，是职业生涯管理学研究的重要范畴之一。职业地位是由不同职业所拥有的社会地位资源所决定，但是它往往通过职业声望的形式表现出来。 影响职业声望的因素有多种，主要影响因素有：（1）职业环境，包括职业的自然环境和社会环境如工作的技术条件、空间环境、劳动强度、工资收入、福利待遇、晋升机会等；它是任职者所能获得的工作条件与社会经济权利的总和。（2）职业功能，是该职业对国家的政治、经济、科学、文化水平的意义以及在社会生活中对人们的共同福利所担负的责任。（3）任职者的素质要求，如文化程度、能力、道德品质等；职业环境越好，职业功能越大，任职者素质要求越高，职业声望就越高。职业声望在一定时期具有相对稳定性，但在不同社会经济发展阶段、不同经济文化背景的群体和不同年龄性别的群体对同一职业的评价也会存在明显差别。 （二）职业期望与职业成功 职业期望，也称职业意向，是劳动者自己希望从事某项职业的态度倾向，也就是个人对某一项职业的希望、愿望和向往。

职业期望是个人职业价值的直接反映，职业价值观是个人对某一职业的价值判断。每个人的职业价值观不同，因而对某一职业的评价和取向也会不同。 这就是所谓的职业价值观。萨柏曾经将人们的职业价值观概括为15种类型：（1）助人。（2）美学。（3）创造。（4）智力刺激。（5）独立。（6）成就感。（7）声望。（8）管理。（9）经济报酬。（10）安全。（11）环境优美。（12）与上级的关系。（13）社交。（14）多样化。（15）生活方式（吴国存，1999）。 选择和设计了7种价值取向：（1）能推动社会发展的职业。（2）助人、为社会服务的职业。（3）得到人们的高度评价的职业。（4）受人尊敬的职业。（5）能赚钱的职业。（6）虽平凡但有固定收入的职业。（7）若不为人所用，就自谋职业。职业生涯成功是个人职业生涯追求目标的实现。 德尔（C.Brooklyn Derr,1988）总结出公司雇员有五种不同的职业生涯成功方向：进取型——使其达到集团和系统的最高地位； 安全型——追求认可、工作安全、尊敬和成为“圈内人”； 自由型——在工作过程上得到最大的控制不是被控制； 攀登型——得到刺激、挑战、冒险和“擦边”的机会； 平衡型——在工作、家庭关系和自我发展之间取得有意义的平衡，以使工作不至于变得太耗精力或太乏味。 系统地阐述了四种职业生涯成功的标准： （1）一些人将成功定义为一种螺旋型的东西，不断上升和自我完善（攀登型）。（2）一些扎实的人需要长期的稳定和相应不变的工作认可（安全型）。 （3）还有一些是暂时的——他们视成功为经历的多样性（自由型）。 （4）直线型的人视成功为升入组织或职业较高阶层（进取型）。

不确定条件下的选择-阿莱悖论和前景理论

不确定条件下的选择: 阿莱悖论和前景理论 实验设计 实验一：阿莱悖论 1．第一环节： 假设：两种彩票 彩票1： 获得3000元，概率1 ；获得0元，概率0 彩票2： 获得4000元，概率0.8；获得0元，概率0.2 选择： 彩票1 人数： 彩票2 人数： 2．第二环节： 假设：两种彩票 彩票3： 获得3000元，概率0.25；获得0元，概率0.75 彩票4： 获得4000元，概率0.2；获得0元，概率0.8 彩票3 人数： 彩票4 人数： 实验二：确定效应 A.你一定能赚30000元。 B.你有80%可能赚40000元，20%可能性什么也得不到。 A B 实验三：反射效应 A.你一定会赔30000元。 B.你有80%可能赔40000元，20%可能不赔钱。 A B 实验四：损失规避 投一枚均匀的硬币，正面为赢，反面为输。如果赢了可以获得50000元，输了失去50000元。请问你是否愿意赌一把？请做出你的选择。

A.愿意 B.不愿意 实验五：参照依赖 假设你面对这样一个选择：在商品和服务价格相同的情况下，你有两种选择： A.其他同事一年挣6万元的情况下，你的年收入7万元。 B.其他同事年收入为9万元的情况下，你一年有8万元进账。 实验六：看上去很美 现在有两杯哈根达斯冰淇淋，一杯冰淇淋A有7盎司，装在5盎司的杯子里面，看上去快要溢出来了；另一杯冰淇淋B是8盎司，但是装在了10盎司的杯子里，所以看上去还没装满。你愿意为哪一份冰淇淋付更多的钱呢？ 实验七：钱和钱是不一样的 今天晚上你打算去听一场音乐会。票价是200元，在你马上要出发的时候，你发现你把最近买的价值200元的电话卡弄丢了。你是否还会去听这场音乐会？ 假设你昨天花了200元钱买了一张今天晚上的音乐会票子。在你马上要出发的时候，突然发现你把票子弄丢了。如果你想要听音乐会，就必须再花200元钱买张票，你是否还会去听？ 阿莱悖论（Allais Paradox） 1952年，法国经济学家、诺贝尔经济学奖获得者阿莱作了一个著名的实验： 对100人测试所设计的赌局： 赌局A：100％的机会得到100万元。 赌局B：10％的机会得到500万元，89％的机会得到100万元，1％的机会什么也得不到。 实验结果：绝大多数人选择A而不是B。即赌局A的期望值（100万元）虽然小于赌局B的期望值（139万元），但是A的效用值大于B的效用值，即1.00U(1m) > 0.89U(1m) + 0.01U(0) + 0.1U(5m)。 然后阿莱使用新赌局对这些人继续进行测试， 赌局C：11％的机会得到100万元，89％的机会什么也得不到。 赌局D：10％的机会得到500万元，90％的机会什么也得不到。 实验结果：绝大多数人选择D而非C。即赌局C的期望值（11万元）小于赌局D的期望值（50万元），而且C的效用值也小于D的效用值，即0.89U(0) + 0.11 U(1m) < 0.9U(0) + 0.1U(5m)。 得0.11U(1m) < 0.01U(0) + 0.1U(5m) 1.00U(1m) - 0.89U(1m) < 0.01U(0) + 0.1U(5m) 1.00U(1m) < 0.89U(1m) + 0.01U(0) + 0.1U(5m)

粗糙集理论RS

RS理论 一、定义： 粗糙集理论，是继概率论、模糊集、证据理论之后的又一个处理不确定性的数学工具。它是当前国际上人工智能理论及其应用领域中的研究热点之一。 在自然科学、社会科学和工程技术的很多领域中，都不同程度地涉及到对不确定因素和对不完备（imperfect) 信息的处理。从实际系统中采集到的数据常常包含着噪声，不够精确甚至不完整，对这些信息进行合适地处理，常常有助于相关实际系统问题的解决。 二、对比的理论： 模糊集和基于概率方法的证据理论是处理不确定信息的两种方法，已应用于一些实际领域。但这些方法有时需要一些数据的附加信息或先验知识，如模糊隶属函数、基本概率指派函数和有关统计概率分布等，而这些信息有时并不容易得到。 概率与统计、证据理论：理论上还难以令人信服，不能处理模糊和不完整的数据。 模糊集合理论：能处理模糊类数据，但要提供隶属函数（先验知识）。 RS理论与其他处理不确定和不精确问题理论的最显著的区别是：它无需提供问题所需处理的数据集合之外的任何先验信息，所以对问题的不确定性的描述或处理可以说是比较客观的。 由于这个理论未能包含处理不精确或不确定原始数据的机制，所以这个理论与概率论、模糊数学和证据理论等其他处理不确定或不精确问题的理论有很强的互补性。 三、不足： 粗糙集理论还处在继续发展之中，尚有一些理论上的问题需要解决，诸如用于不精确推理的粗糙逻辑（Rough logic) 方法，粗糙集理论与非标准分析（Nonstandard analysis) 和非参数化统计（Nonparametric statistics）等之间的关系等。 四、由来： 1982年波兰学者Z. Paw lak 提出了粗糙集理论——它是一种刻画不完整性和不确定性的数学工具，能有效地分析不精确，不一致（inconsistent)、不完整（incomplete) 等各种不完备的信息，还可以对数据进行分析和推理，从中发现隐含的知识，揭示潜在的规律。 五、特点： (1) 它能处理各种数据，包括不完整（incomplete) 的数据以及拥有众多变量的数据； (2) 它能处理数据的不精确性和模棱两可（ambiguity），包括确定性和非确定性的情况； (3) 它能求得知识的最小表达（reduct) 和知识的各种不同颗粒（granularity) 层次； (4) 它能从数据中揭示出概念简单，易于操作的模式（pattern) ; (5) 它能产生精确而又易于检查和证实的规则，特别适于智能控制中规则的自动生成. 在粗糙集理论中，“知识”被认为是一种分类能力。粗糙集理论的主要思想是利用已知的知识库，将不精确或不确定的知识用已知的知识库中的知识来（近似）刻画。它的一个重要特点是具有很强的数据定性分析能力,可直接对不完整性和不确定性的数据进行分析处理,提取有用属性,简化知识表达式。 六、前景 将粗糙集与其它软计算方法（如模糊集，人工神经网络，遗传算法等）相综合，发挥出各自的优点，可望设计出具有较高的机器智商（MIQ) 的混合智能系统(Hybrid Intelligent System），这是一个值得努力的方向。 软计算（sof t compu t ing) 的概念是由模糊集创始人Zadeh[ 9 ]提出的. 软计算中的主要工具包括粗糙集，模糊逻辑（FL),神经网络(NN），概率推理（PR），信度网络（Belief Networks），遗传算法（GA) 与其它进化优化算法，混沌（Chaos) 理论等. 传统的计算方法即所谓的硬

粗糙集理论论文

粗糙集理论浅析 粗糙集理论，是继概率论、模糊集、证据理论之后的又一个处理不确定性的数学工具。作为一种较新的软计算方法，粗糙集近年来越来越受到重视，其有效性已在许多科学与工程领域的成功应用中得到证实，是当前国际上人工智能理论及其应用领域中的研究热点之一。在很多实际系统中均不同程度地存在着不确定性因素，采集到的数据常常包含着噪声，不精确甚至不完整。 一、引言 粗糙集作为一种处理不精确、不确定与不完全数据的新的数学理论, 最初是由波兰数学家Z. Paw lak于1982年提出的。由于最初关于粗糙集理论的研究大部分是用波兰语发表的, 因此当时没有引起国际计算机学界和数学界的重视, 研究地域也仅局限在东欧一些国家, 直到20世纪80年代末才逐渐引起各国学者的注意。近几年来, 由于它在机器学习与知识发现、数据挖掘、决策支持与分析等方面的广泛应用, 研究逐渐趋热。1992年, 第一届关于粗糙集理论国际学术会议在波兰召开。1995年,A CM Com 2m unication 将其列为新浮现的计算机科学的研究课题。1998年, 国际信息科学杂志( Infor2m ation Sciences) 还为粗糙集理论的研究出了一期专辑。 粗糙集理论是建立在分类机制的基础上的, 它将分类理解为在特定空间上的等价关系, 而等价关系构成了对该空间的划分。粗糙集理论将知识理解为对数据的划分, 每一被划分的集合称为概念。粗糙集理论的主要思想是利用已知的知识库, 将不精确或不确定的知识用已知的知识库中的知识来(近似) 刻画。该理论与其他处理不确定和不精确问题理论的最显著的区别是它无需提供问题所需处理的数据集合之外的任何先验信息, 所以对问题的不确定性的描述或处理可以说是比较客观的, 由于这个理论未能包含处理不精确或不确定原始数据的机制, 所以这个理论与概率论, 模糊数学和证据理论等其他处理不确 定或不精确问题的理论有很强的互补性。 二、基本概念 粗糙集是一种较有前途的处理不确定性的方法，相信今后将会在更多的领域中得到应用. 但是，粗糙集理论还处在继续发展之中，正如粗糙集理论的创立人Z. Paw lak 所指出的那样，尚有一些理论上的问题需要解决，诸如用于不精确推理的粗糙逻辑（Rough logic) 方法，粗糙集理论与非标准分析（Nonstandard analysis) 和非参数化统计（Nonparametric statistics）等之间的关系等等. 将粗糙集与其它软计算方法（如模糊集，人工神经网络，遗传算法等）相综合，发挥出各自的优点，可望设计出具有较高的机器智商（M IQ) 的混合智能系统(Hybrid Intelligent System），这是一个值得努力的方向。 三、粗糙集理论中的知识表示 “知识”这个概念在不同的范畴内有多种不同的含义。在粗糙集理论中，“知识”被认为是一种分类能力。人们的行为是基于分辨现实的或抽象的对象的