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奥赛考试确定版

夏津一中高二奥赛数学预赛试题

编制:纪登彪 顾焕英 时间:2013/12/2

满分:120分 时间:150分钟

一、选择题(每题5分,共50分) 1、已知集合()()(){}1350,M x x x x x R =

---<

()()(){},2460,N x x x x x R =---> ,()M N =

A 、 ()2,3

B 、()3,4

C 、()4,5

D 、()5,6

2、已知)

3n

z i =

,若z 为实数,则最小的正整数的n 的值为( )

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A 、3

B 、4

C 、5

D 、6

3、已知:,,,p a b c d 成等比数列,:,q ad bc =则p 是q 的( ) A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件

4、函数()()2

0.3log 2f x x x =+-的单调递增区间是( )

A 、(),2-?

B 、(),1-

C 、()2,1-

D 、()1,+

5、已知,x y 均为正实数,则

22x y

x y x y

+

++的最大值为( ) A 、2 B 、

23 C 、4 D 、43

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6、如图,l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线,l 1与l 2间的距离是1,l 2与l 3间的距离是2,正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上,则△ABC 的边长是( ).

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A B C D 7、定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=.当31x -≤<-时,2

()(2)f x x =-+,当13x -≤<时,()f x x =。则(1)(2)(3)(2012)f f f f +++???=( ) (A )335 (B )338 (C )1678 (D )2012

8、在半径为1的圆O 上,取一个定点A 和一个动点B ,设点P 满足//AP OB ,且

1AP AB =

,则点P 的轨迹是( )

A 、椭圆

B 、抛物线

C 、双曲线

D 、以上都有可能

9、设平面点集{

}

22

1(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x

??=--≥=-+-≤???

?

,则

A B 所表示的平面图形的面积为( )

(A )34π (B )35π (C )47π (D )2

π

10、函数()122010

1232011

x x x x f x x x x x +++=

++++

++++ 的图像的对称中心为( ) A 、()1005,2010- B 、()1005,2011 C 、()1006,2011- D 、()1006,2009 二、填空题(每题4分,共20分)

11、在集合{

}1,2,3,,2011A = 中,末位数字为1的元素个数为 12、三个互不相等的实数成等差数列,适当交换这三个数的位置后,变成一个等比数列,则此等比数列的公比是________. 13、在锐角△ABC 中,BC =1,B =2A ,则

AC

cos A

的值等于_______,AC 的取值范围为______. 14、设,A B 是双曲线的两个焦点,C 在双曲线上,已知ABC D 的三边长成等差数列,且120ACB

? ,则该双曲线的离心率为

15、已知2

2

2

1a b c ++=,则ab bc ac ++的值域是

四、解答题(共3个小题,其中16,、17题每小题14分,18题22分)

16、如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径。一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C 。现有甲、乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为m in /50m 。在甲出发m in 2后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留min 1后,再从匀速步行到C 。假设缆车匀速直线运动的速度为min /130m ,山路AC 长为m 1260,经测量,1312cos =A ,5

3cos =C 。 (1)求索道AB 的长;

(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?

B

A

(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟, 乙步行的速度应控制在什么范围内?

17、把集合{}

220,,t

s

s t s t Z +≤<∈的元素由小到大排列得到数列{}n a ,例如

010212031312345223,225,226,229,2210a a a a a =+==+==+==+==+=

把数列{}n a 的项依次写成塔形:

3 5 6 9 10 12

…… …… …… (1)求6a 的值

(2)写出塔形的第四、五行; (2求100a ;

18、在平面直角坐标系中,已知圆1C 与圆2C 相交于点,P Q ,点P 的坐标为()3,2,两圆半径的乘积为13

2

。若圆1C 与圆2C 均与直线:l y kx =及x 轴相切,求直线l 的方程。

1、

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6、解析:因为l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线,l 1与l 2间的距离是1,l 2与l 3间的距离是2,所以过A 作l 2的垂线,交l 2、l 3分别于点D 、E ,如图,则∠BAD =∠BAC +∠CAE ,即∠BAD =60°+∠CAE ,记正三角形ABC 的边长为a ,两边取余弦得1

a =cos 60°·cos ∠CAE -sin 60°sin ∠CAE ,

即1a =12×3a -32×a 2-32a 整理得,3(a 2-9)=1,解之得,a =221

3

. 答案:2213

7、【解析】由)()6(x f x f =+,可知函数的周期为6,所以1)3()3(-==-f f ,

0)4()2(==-f f ,1)5()1(-==-f f ,0)6()0(==f f ,1)1(=f ,2)2(=f ,

所以在一个周期内有1010121)6()2()1(=+-+-+=+++f f f ,所以

33833351335)2()1()2012()2()1(=+=?++=+++f f f f f ,选B.

9、【答案】D

【解析】由0)1)((≥--x y x y 可知?????≥-≥-010x y x y 或者??

?

??≤-≤-01

x y x y ,在同一坐标系中做出平面区域如图:

,由图象可知B A 的区域为阴影部分,根据对

称性可知,两部分阴影面积之和为圆面积的一半,所以面积为

2

π

,选D. 12、解析:设这三个数分别为a -d ,a ,a +d (d ≠0),由于d ≠0,所以a -d ,a ,a +d 或a +d ,a ,a -d 不可能成等比数列;若a -d ,a +d ,a 或a ,

a +d ,a -d 成等比数列,则

(a +d )2=a (a -d ),即d =-3a ,此时q =

a a -3a

=-1

2或q =a -3a a =-2;若a ,a -d ,a

+d 或a +d ,a -d ,a 成等比数列,则(a -d )2=a (a +d ),即d =3a ,此时q =a -3a

a =-2

或q =a -3a a +3a

=-12.故q =-2或-12.

答案:-2或-1

2

13、解析:设A =θ,则B =2θ.由正弦定理得AC sin 2θ=BC

sin θ

AC 2cos θ=1?AC

cos θ

=2. 由锐角△ABC 得0°<2θ<90°?0°<θ<45°, 又0°<180°-3θ<90°?30°<θ<60°,故30°<θ<45°?22

, ∴AC =2cos θ∈(2,3). 答案:2 (2,3)

16

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3

5 69 10 12………………

观察找规律

17 18 20 2433 34 36 40 48

第一行1个数,第二行2个数,……,第n 行n 个数,1+2+3+……+n ≥100≥1+2+3+……+n-1, 得n=14,说明a 100在第14行,每一行的第一个数分别为2+1,

22+1,23+1,24=1,25+1,26+1,……214+1,∵前13行用了91个数.∴a 100在第14行的第9个数,a 100 =214+1+1+2+4+8+16+32+64+128=16640.

(s,t)

(0,1) (0,2) (0,3) (0,4) …………(0,n)

(1,2) (1,3) (1,4) …………(1,n)

(2,3) (2,4) …………(2,n)

(3,4) …………(3,n)

…………(n-1,n)17182024

33

34364048

理性思维