2013白蒲中学高一数学教案：直线、平面、简单几何体：17(苏教版)

直线和平面复习（一）

教学目标

1．配合系统复习，进一步培养空间想象力；

2．借助平面几何中，三角形的重心、垂心、内心、外心等知识，解决立体几何问题．

教学重点和难点

1．空间想象力的培养；

2．分析问题能力与综合运用知识能力的培养．

教学设计过程

师：同学们已经很好地完成了知识总结的作业，有些同学还将知识的内在联系用图表展示出来．也有的同学将各种位置关系用图形语言和符号语言进行归纳和整理．在此一并提出表扬．我们将把这些总结用展板展示，请同学们互相学习．

师：本节课我们将通过一组问题来进行复习．复习的目的之一是进一步培养同学们的空间想象力．

关于空间想象力的问题，在高一年级刚开始时，单纯的想象占主导地位，随着一个学期的学习，关于线面的各种位置关系及性质研究的深入，单纯的想象力就转化为：在线面各种位置关系的定义、性质定理指导下的想象．

请先看下面一组题目：

填空题：

1．空间三个平面可能将空间分成______部分．

2．正方体各个面所在的平面将空间分成______部分．

3．与空间四个点距离相等的平面有______个．

*4．A，B，C，D是空间不共面的四点．它们到平面α的距离比（依次）为：2∶1∶1∶1，满足条件的平面α有＿＿个．

生：第1题空间三个平面可能将空间分成4或6或7或8部分．

师：请你画图说明你的观点．

生：（作图）

师：很好，图1、图2、图3、图4依次表示三个平面将空间分成4，6，7，8部分．

生：第2题答案是27．

师：你给同学们解释一下，答案为什么是27．

生：（手拿一个粉笔盒）这个粉笔盒近似看成一个正方体，它的上底面与下底之间被分成9部分．同样，上底面上边与下底面下面也各被分成9部分．总计正方体各个面所在的平面将空间分成27部分．

师：对于第3小题，需要先证明下面的命题：线段AB与平面α相交，若AB 中点C在平面α上，则点A、点B到平面α的距离相等．

生A：本题的答案为4，因为经过有公共顶点的三条棱的中点作截面，根据老师

刚介绍的引理，可以证明这样的截面符合条件．（如图5）

生B：还有一种情况．刚才生A所作平面使已知四个点中有三个在平面的同一侧，另外一个点在另一侧．我想所作平面两侧各有2个点．如图6．这类平面

共有3个，即V，A两点在平面同侧；V，B两点在平面同侧；V，C两点在平面同侧．

师：刚才两名同学讲的都很好，相互补充，符合条件的平面共有7个．同学们有不同意见吗？

……

师：刚才两名同学都认为已知四个点不共面，事实上，当这四个点共面时，符合题目要求的平面有无数个．只要与四点所在平面平行的平面都符合要求．

生：老师，如果这四个点共线呢？

师：当四个点共线时，只要与这条直线平行的平面均符合条件，这个题目的正确答案应该是7个或无数个．分类讨论的方法不仅在代数课上使用，几何学中也经常使用，此题就是按照图形的不同位置关系进行分类讨论．

我们继续讨论第4题．

生：我认为仿照第3小题的解答，可提出下面引理：若点A、点B

师：他的猜测是正确的．这个命题的正确性请同学们课下论证．下面我们讨论第4小题的解法．

生A：分别延长AB，AC，AD至B1，C1，D1，使BB1=AB，CC1=AC，DD1=AD，如图7，则平面α就是平面B1C1D1．

生B：分别在AB，AC，AD上取点B′，C′，D′，使得：

师：分别取BC，CD，DA的中点E，F，G．那么经过EG的任何一个平面都满足：它与B，C，D三点的距离相等，在这些平面中，经过点B′或经过C′D′（因为C′D′∥CD∥GE）的平面符合题目要求．（图8）

经过EG有两个平面符合题意．同样，经过EF，FG各有两个平面符合题意，综合以上分析共有8个平面符合题目要求．

师：问题5．是否存在一个四面体，它的每个面都是直角三角形？请同学们思考．

……

生A：我找到一个几何体，它的三个面都是直角三角形．如图 9．∠AVB=∠BVC=∠CVA=90°．

生B：我曾经证过生A所给的图中，△ABC是锐角三角形．

师：根据两名同学的发言，给我们以下启示：三个面是直角三角形的几个体已经找到；三个直角顶点不能是同一个点！

构造∠VAB=∠VAC=90°，且∠BAC≠90°．再构造∠ACB=90°，同学们不难证明∠VCB=90°．

生：是根据三垂线定理．

师：空间想象力在不同时期有不同要求．上面这个问题如果是高一第一学期开始让同学们作，那就只有想象或动手制做模型．现在解决它，可以借助我们所学的线面位置关系去寻找解决问题的方法，并且在想象结束时，论证想象的合理性．

师；如图11，正方体ABCD-A1B1C1D1，P，Q，R分别在C1D1，CC1，AB上．画出截面PQR与正方体各面的交线．

由公理知：PQ 面DC1．因为面AB1∥面DC1，截面与它们相交，交线必平行（根据面面平行的性质定理）．过点R在面AB1中作PQ平行线交AA1于S．PQ交DC于T，TR交BC于E，连结EQ，过S作SF∥EQ交A1D1于F，连FP，则多边形PQERSF的边就是截面PQR与正方体各面的交线．

师：同学们请看下面一组题：

6．从平面外一点向平面引垂线和斜线，若斜线与平面所成的角都相等，垂足是斜足多边形的______心．

7．直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=6，BC=8，△ABC所在平面外一点P，PA=PB=PC=13，点P到△ABC所在平面的距离为______．

生：垂足是斜足多边形的外心，因为从平面外一点向平面引斜线．它们与平面所成角相等，可以得到它们的长相等，它们在平面内的射影长也相等．

师：同学们还可以进一步思考，满足什么条件时，垂足是斜足多边形的内心？垂足有没有可能成为斜足多边形的重心？垂心？

做完一道题目之后，不要满足于题目的本身，能够将条件、结论变换后的有关命题进行研究，可达到事半功倍，提高能力的效果．

师：根据已知条件，第7小题中，点P在△ABC所在平面上的射影恰为△ABC 的外心．由于△ABC是直角三角形，所以由点P引平面ABC的垂线，垂足恰为△ABC斜边AB的中点，你们知道了解题思路吗？

生：作PD⊥面ABC于D，由PA=PB=PC，得DA=DB=DC，D是△ABC外心．又因为∠ACB=90°，由平面几何知识，得出D为AB的中点．PA=13，AD=5，PD=12．即点P到平面ABC的距离为12．

师：三角形的垂心、内心、外心、重心的知识在立体几何中经常使用．有一些题目本身没有明确给出，如第7小题，恰到好处地运用四心有关的知识，可简化解题过程．

下面一道题目也是与三角形的“心”有关的问题．

8．如图13，正△ABC边长为a，O为外心，PO⊥面ABC，PA=PB=PC=b，D，E 分别为AC，AB的中点，且PA∥面DEFG．

求：四边形DEFG的面积．

由题设我们能得到哪些有用的结论？

生A：因为PA∥面EFGD，由线面平行的性质可得：EF∥PA，GD∥PA，所以EF∥DG．

由D，E分别是AB，AC的中点，DE∥BC，所以BC∥面DEFG．进一步得出BC ∥FG．

综上DEFG是平行四边形．

能求出平行四边形DEFG的面积．

师：到目前为止，已知条件中还有两条没有发挥作用．

①等边△ABC；②O为△ABC的外心，

生C：当O为等边三角形外心时，它也是等边△ABC的垂心．即BC⊥AO，又PO⊥面ABC，由三垂线定理知：BC⊥PA．已经证明了EF∥PA，BC∥DE，得出EF ⊥DE，EFGD为一矩形，它的面积

师：有效地利用“心”的有关概念，较好地解决一些立体几何问题．

本节课重点讨论了两个方面的问题；

1．关于空间想象力的进一步培养问题．不是空象，要注意有意识地利用各种线面位置关系．

2．通过问题，适当复习了平面几何中的“四心”问题，进一步掌握利用“四心”的知识解决的方法．

下面布置作业：（略）