(完整版)数值分析复习题及答案
数值分析复习题
一、选择题
1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4
2. 已知求积公式
()()2
1
121
1()(2)636f x dx f Af f ≈
++?
，则A ＝（ ）
A ． 16
B ．13
C ．12
D ．2
3
3. 通过点
()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）
A ．
()00l x ＝0，
()110
l x = B ．
()
00l x ＝0，
()111
l x =
C ．
()
00l x ＝1，
()111
l x = D ．
()
00l x ＝1，
()111
l x =
4. 设求方程
()0
f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。
A ．超线性
B ．平方
C ．线性
D ．三次
5. 用列主元消元法解线性方程组12312312
20223332
x x x x x x x x ++=??
++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）.
A ．232
x x -+= B ．232 1.5 3.5
x x -+= C ．2323
x x -+= D ．230.5 1.5
x x -=-
二、填空
1. 设
2.3149541...x *
=，取5位有效数字，则所得的近似值x= .
2.设一阶差商
()()()211221
14
,321f x f x f x x x x --=
=
=---，
()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--
则二阶差商
()123,,______
f x x x =
3. 设(2,3,1)T
X =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。
4．求方程 2
1.250x x --= 的近似根，用迭代公式 1.25x x =
+，取初始值 01x =， 那么 1______x =。
5．解初始值问题 00'(,)
()y f x y y x y =??
=?近似解的梯形公式是 1______k y +≈。
6、
1151A ??
= ?
-??，则A 的谱半径 ＝ 。
7、设
2()35, , 0,1,2,... ,
k f x x x kh k =+== ，则
[]12,,n n n f x x x ++=
和
[]123,,,n n n n f x x x x +++=
。
8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 。 9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler ）方法的局部截断误差为 。
10、为了使计算23123
101(1)(1)y x x x =+
+-
---的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写
成 。
11. 设T
X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = .
12. 一阶均差
()01,f x x =
13. 已知3n =时，科茨系数
()()()
33301213,88C C C ===，那么()
33C = 14. 因为方程
()420
x f x x =-+=在区间
[]1,2上满足 ，所以()0f x =在区间内有根。
15. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题
()211y
y y
x y ?'=+??
?=?
的计算公式 .
16.设*
2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值，则*
x 有 位有效数字。
17. 对1)(3
++=x x x f , 差商=]3,2,1,0[f ( )。
18. 设(2,3,7)T
X =-, 则||||X ∞= 。
19.牛顿—柯特斯求积公式的系数和()
n
n k
k C
==
∑ 。
20. 若a =2.42315是2.42247的近似值，则a 有( )位有效数字.
21. )(,),(),(10x l x l x l n Λ是以n ,,1,0Λ为插值节点的Lagrange 插值基函数，则=
∑=n
i i x il 0
)(( ).
22. 设f (x )可微，则求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ).
23. 迭代公式
f BX X k k +=+)
()1(收敛的充要条件是 。 24. 解线性方程组A x =b (其中A 非奇异，b 不为0) 的迭代格式f x x
+=+)()
1(k k B 中的B 称为( ). 给定方程
组??
?-=-=-458
921
21x x x x ，解此方程组的雅可比迭代格式为( )。
25、数值计算中主要研究的误差有 和 。
26、设
()(0,1,2)
j l x j n =L 是n 次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则
()j i l x =
(,0,1,2)i j n =L ；
()n
j j l x ==
∑ 。
27、设
()(0,1,2)
j l x j n =L 是区间[,]a b 上的一组n 次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为 ；插值
型求积公式中求积系数
j A =
；且
n
j
j A
==
∑ 。
28、辛普生求积公式具有 次代数精度，其余项表达式为 。
29、
2
()1,f x x =+则[1,2,3]_________,[1,2,3,4]_________f f ==。 30.设x * = 1.234是真值x = 1.23445的近似值，则x *有 位有效数字。
31.
3
()1,[0,1,2,3]f x x x f =+-=设 则差商(均差) ，[0,1,2,3,4]f = 。 32.求方程
()x f x =根的牛顿迭代格式是 。
33.已知
1234A ??= ?
??,则A ∞= , 1A = 。 34. 方程求根的二分法的局限性是 。
三、计算题
1．设
32
01219
(), , 1, 44f x x x x x ====
（1）试求 ()f x 在 19,44?????
?上的三次Hermite 插值多项式()x H 使满足''11()(), 0,1,2,... ()()
j j H x f x j H x f x ===，
()
x H 以升幂形式给出。
（2）写出余项 ()()()R x f x H x =-的表达式
2．已知 的 满足 ，试问如何利用 构造一个收敛的简单迭代函数 ，使
0，1…收敛？
3． 推导常微分方程的初值问题 00'(,)()y f x y y x y =??=?的数值解公式：'''1111(4)3n n n n n h y y y y y +-+-=+++
（提示： 利用Simpson 求积公式。）
4． 利用矩阵的LU 分解法解方程 组
12312312
32314
252183520
x x x x x x x x x ++=??
++=??++=?
5. 已知函数
21
1y x =
+的一组数据：
求分段线性插值函数，并计算
()
1.5f 的近似值.
6. 已知线性方程组123123123
1027.21028.35 4.2
x x x x x x x x x --=??
-+-=??--+=?（1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2）于初始值
()()
0,0,0X =，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()
1X
（保留小数点后五位数字）.
7. 用牛顿法求方程3310x x --=在
[]1,2之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.
8. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分1
011dx x +?.
9．用二次拉格朗日插值多项式
2()sin 0.34
L x 计算的值。
插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。
10.用二分法求方程
3
()10[1.0,1.5]f x x x =--=在 区间内的一个根，误差限210ε-=。 11.用高斯-塞德尔方法解方程组
???
??=++=++=++22
52182411
24321
321321x x x x x x x x x ，取T )0,0,0()
0(=x
，迭代三次(要求按五位有效数字计算).。
12.求系数
123,,A A A 和使求积公式
1
1231
11
()(1)()()233f x dx A f A f A f -≈-+-+≤?对于次数的一切多项式都精确成立
13. 对方程组 ???
??=-+=--=++8
4102541015
1023321321321x x x x x x x x x 试建立一种收敛的Seidel 迭代公式，说明理由
14. 确定求积公式
)
5.0()()5.0()(11
1
Cf x Bf Af dx x f ++-≈?
- 的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代
数精度.
15. 设初值问题 1
01
)0(23<
?=+='x y y x y . (1) 写出用Euler 方法、步长h =0.1解上述初值问题数值解的公式；
(2)写出用改进的Euler法（梯形法）、步长h=0.2解上述初值问题数值解的公式，并求解2
1
,y
y，保留两位小数。
16. 取节点
1
,5.0
,0
2
1
=
=
=x
x
x，求函数x
e
y-
=在区间]1,0[上的二次插值多项式)
(
2
x
P
，并估计误差。
17、已知函数
()
y f x
=的相关数据
由牛顿插值公式求三次插值多项式3
()
P x
1
3()
2
P
=
的近似值。
18、利用尤拉公式求解初值问题，其中步长0.1
h=，
1,
(0,0.6)
(0) 1.
y y x
x
y
'=-++
?
∈
?
=
?。
19．确定求积公式012
()()(0)()
h
h
f x dx A f h A f A f h
-
≈-++
?
。
中待定参数i
A
的值
(0,1,2)
i=，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度
20、已知一组试验数据如下：
求它的拟合曲线（直线）。用列主元消去法解线性方程组
123
123
123
2346,
3525,
433032.
x x x
x x x
x x x
++=
?
?
++=
?
?++=
?22. 已知
(1)用拉格朗日插法求
()
f x的三次插值多项式；(2)求x，使()0
f x=。
确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度
24
、用Gauss 消去法求解下列方程组
. 试求12, x x 使求积公式1
1211()[(1)2()3()]3f x f f x f x -≈-++?的代数精度尽量高，并求其代数精度。. 取步长
h =0.2, 用梯形法解常微分方程初值问题 '25 (12)(1)1y x y
x y =-?≤≤?
=?
. 用列主元消去法求解方程组123123123
123315
1833156
x x x x x x x x x -+=??
-++=-??++=?并求出系数矩阵A 的行列式detA 的值.
用牛顿(切线)法求3的近似值。取x 0=1.7, 计算三次，保留五位小数。29、已知数据如
下：
求形如
bx a y +=
1
拟合函数。
30、用二次拉格朗日插值多项式
2()
L x 计算sin0.34。插值节点和相应的函数值如下表。
31、利用改进的尤拉方法求解初值问题，其中步长0.2h =
,(0,0.8)
(0) 1.
y y x x y '=+?∈?
=?。
32、讨论用Jacobi 和Gauss-Seidel 迭代法求解方程组A x =b 的收敛性，如果收敛，比较哪种方法收敛快。其中
???
???????--=212120203A .
简述题：叙述在数值运算中，误差分析的方法与原则是什么？
数值分析复习题答案
一、选择题1.A 2.D 3.D 4.C 5.B
二、填空1、2.3150 2、
()()()()2312123315
3,,11
2,,416f x x f x x f x x x x x ---===
-- 3、6 和
4、1.5
5、()()11,,2k k k k k h
y f x y f x y +++?+??? 6
、()A ρ= 7、[][]12123,,3,,,,0n n n n n n n f x x x f x x x x +++++==；8、 收
敛 9、()h O 10、
11310121(1)(1)y x x x ??
??=+
+- ? ?---????
11. 9
；12.
()()
0101
f x f x x x -- 13. 1
8
14. ()()120f f < 15. ()12
00.11.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+????
=??L
；16、3 ；17、1 ；18、7 ；19、1；20．3；21.x ；22.1()
1()n n n n n x f x x x f x +-=--’；23. ()1B ρ<；24、.迭代矩阵， 1()
121()21
1(8)91(4)5k k k k x x x x ++?=+????=+??；25.相对误差 绝对误差
26.1,,
0,i j i j =??
≠?
1；27. 至少是n ()b
k a
l x dx
?
，b-a ；28. 3
4(4)
()(),(,)1802b a b a f a b ζζ---
∈；29. 1 0；30、
4；31、1，0；32、 1()
1'()
n n n n n x f x x x f x +-=-
-；33、 7, 6；34、收敛速度慢，不能求偶重根。
三、计算题
1．解：（1）
()32142632331
22545045025x x x x H =-
++-
（2）
()522191919
()(1)(),()(,)
4!164444R x x x x x ξξξ-=---=∈ 2．解 ：由 ()x x ?=，可得 3()3x x x x ?-=-，1
(()3)()
2x x x x ?ψ=--= 1 ()(()3) 2x x ψψ=--’’因，故11
()1
22x x ψ?=<<’’（）-3
[]11
()()3 , k=0,1,.... 2k k k k x x x x ψ?+==-
-故收敛。
3． .解 ： 数值积分方法构造该数值解公式：对方程
()y f x =’在区间 []11,n n x x -+上积分， 得
11
11()()(,())n n x n n x y x y x f x y x dx
+-+-=+
?
，记步长为h, 对积分
1
1
(,())n n x x f x y x dx
+-?
用Simpson 求积公式得
[]1
1
11112(,())()4()()(4)63
n n x n n n n n n x h h f x y x dx f x f x f x y y y +--++-≈
++≈++?
’’’
所以得数值解公式： 1111(4)
3n n n n n h y y y y y +-+-=+++’’’
4．解
1123211435124A LU ????
????==-????
????--????
(14,10,72), (1,2,3) .T T Ly b y Ux y x ==--==令得得
5. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--%
所以分段线性插值函数为
()[][]10.50,10.80.31,2x x L x x x ?-∈?=?-∈??%
()1.50.80.3 1.50.35
L =-?=%
6. 解 ：原方程组同解变形为
1232133
120.10.20.72
0.10.20.830.20.20.84
x x x x x x x x x =++??
=-+??=++?
雅可比迭代公式为
()()()()()()
()()()1123121313120.10.20.72
0.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++?=++??=-+??=++??(0,1...)m = 高斯－塞德尔迭代法公式
()()()()()()
()()()11231121
31113120.10.20.72
0.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++?=++??=-+??=++?? (0,1...)m =
用雅可比迭代公式得
()()
10.72000,0.83000,0.84000X =
用高斯－塞德尔迭代公式得
()()
10.72000,0.90200,1.16440X =
7. 解：
()331
f x x x =--，
()130
f =-<，
()210
f =>
()233
f x x '=-，
()12f x x
''=，
()2240
f =>，故取2x =作初始值
迭代公式为
()()3111112
113133
n n n n n n n n f x x x x x x f x x ---------=-=-'-()312121()31n n x x --+-或， 1,2,...n =
02x =，
()
312
231 1.88889
321x ?+=
=?-，
()
322
2 1.888891 1.87945
3 1.888891x ?+=
=?-
210.009440.0001
x x -=>
()
3322 1.879451 1.87939
3 1.879451x ?+=
=?-，
320.000060.0001
x x -=<
方程的根 1.87939x *
≈
8.解 梯形公式
()()()2b
a
b a
f x dx f a f b -≈
?+????
应用梯形公式得1
01111[]0.75121011dx x ≈+=+++?
辛卜生公式为
()()()[4()]62b
a
b a a b
f x dx f a f f b -+≈
++?
应用辛卜生公式得()()1
011010[04()1]162dx f f f x -+≈+++?
1111[4]16101112=+?++++
25
36= 9．解
02
01122012
010*********()()()()()()
()()()()()()()
=0.333336
x x x x x x x x x x x x L x f f f x x x x x x x x x x x x ------=
++------
10.用二分法求方程
3
()10[1.0,1.5]f x x x =--=在 区间内的一个根，误差限210ε-=。 解
1234566
1.25 1.375 1.3125
1.34375 1.328125 1.3203125N x x x x x x =======
11.解 迭代公式
???
???
???--=--=--=++++++)222(51)
218(41)211(41)
1(2)1(1)1(3
)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x
12.解：
12312312312311112
2033993
13022A A A A A A A A A A A A ++=--+=++=
===
13. 解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优
1231231
231045
21048321015
x x x x x x x x x --=??
+-=??++=?
故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为
(1)()()
123(1)(1)()
213(1)(1)(1)3121( 4 5)101(2 48)
101(32 15)10k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++?=++??
?=-++??
?=--+??
取T )0,0,0()
0(=x
,经7步迭代可得：T )010000.1,326950999.0,459991999.0()7(*=≈x x
15. 解 1(1) 0.1(32)0.3 1.2n n n n n n y y x y x y +=++=+
1111120.20.2
(2) (32)3(0.2)22
=0.1(6220.6)
3332440
3336333
1.575,
2.585
240240440n n n n n n n n n n n n n y y x y x y y x y y y y x y y ++++??+=+
++++++++∴=
++=+==+=迭达得
16.解： )
5.0)(0(0
10
5.01
5.01)0(0
5.01)(5.05
.015.002------
--+
---+
=----x x e e e x e e x p =
1+2(
)5.0()12(2)15.015.0-+-+----x x e e x e []
)1)(5.0(!
3)
()(,1max ,21,0''3''--'''=
-==-=∈-x x x f x p e y M e y x x x ξ
时10≤≤∴x ，)1)(5.0(!
31
)(2--≤
-x x x x p e x
17、解：差商表
由牛顿插值公式：
323332348
()()21,33141181
3()()2()()12
232232p x N x x x x p ==
-++=-++=
18、解：
010(,)1,1,0.1,0.1(1),(0,1,2,3,)1,
1.000000;1.000000;1.010000;1.029000;1.056100;1.090490;1.131441.
n n n n k f x y y x y h y y x y n y y η+=-++====++-===L
19．解：分别将2
()1,,f x x x =，代入求积公式，可得
02114
,33A A h A h
===。 令3()f x x =时求积公式成立，而4
()f x x =时公式不成立，从而精度为3。
20、解：设y a bx =+则可得
51531
1555105.5
a b a b +=??
+=?
于是 2.45, 1.25a b ==，即 2.45 1.25y x =+。解：
23464330324
33032352535253
52543303223462
346433032433032011/441/219011/4
41/21903/21110002/114/1143303201182380012??????
? ?
?
→→ ? ? ? ? ? ????
???????
?
?
→--→-- ? ? ? ?--????
?? ?→-- ? ???
即123123233433032,13,
118238,8,2.2.x x x x x x x x x ++==????
-=-?=????==??
22. 解：用反插值得
11(4)(5)(7)(2)(5)(7)(2)(4)(7)
()24
(24)(25)(27)(42)(45)(47)(52)(54)(57)
(2)(4)(5)5
(72)(74)(75)
8
0(0)3y y y y y y y y y x f y y y y y x f -----------=≈
++------------+---==≈
令得 解 令2
()1,,f x x x =代入公式精确成立，得
1223
12023A B h hA Bx h A Bx h ?
?+=?
-+=???+=?
； 解得
1131
,,322x h B h A h
===，得求积公式 1()[()3()]
23h
h
h f x dx f h f h -≈-+?
对3
()f x x =；
334
140()[()3()]239h h h f x dx h f h h -=≠-+=-?故求积公式具有2次代数精确度。 24、解：本题是Gauss 消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。
1232331
1194561
14
60
4513 15415x x x x x x ?++=??
?--=-???
=-??
故
323132154153177.691
60(4)476.924511
4(9)227.08
65x x x x x x =-?=-=--+
==--=- . 解：由等式对2
()1,,f x x x =精确成立得：122212231
231x x x x +=???+=??,
解此方程组得
12x x ?=???
?=??
又当3
)(x x f =时 左边≠右边
∴ 此公式的代数精度为2. 解：梯形法为1110.2[(25)(25)]n n n n n n y y x y x y +++=+-+- 即
1121()1515n n n n y x x y ++=
++
迭代得
123450.62667,0.55566,0.58519,0.64840,0.72280
y y y y y =====
. 解：先选列主元12i =，2行与1行交 换得
(1)(1)
183115|123315,
1116A b ??
---????=-????????消元；
3行与2行交换；消元；
回代得解3213,2,1x x x ===；行列式得
722det 1866167A =-?
?=-
解：3是2
()30f x x =-=的正根，'()2f x x =，牛顿迭代公式 为2
13
2n n n n x x x x +-=-
， 即 13(0,1,2,...)22n n n x x n x +=+=
取x 0=1.7, 列表如下：29、已知数据如
下：
求形如bx a y +=
1
拟合函数。
解：
5
555
2
1
1
1
1
11
,,9,17.8,16.971,35.902
5916.971917.835.39022.0535
3.02651
2.0535
3.0265i i
i i i i i i i a bx z z a bx y y
x
x z z x a b a b y x
=====+==+====??????=????????????
=-??
=?=
-+∑∑∑∑令则解此方程组得拟合曲线为
30、解：过点001122(,),(,),(,)x f x f x f 的二次拉格朗日插值多项式为
020*******
010*********()()()()()()
()()()()()()()x x x x x x x x x x x x L x f f f x x x x x x x x x x x x ------=
++------
代值并计算得 2sin 0.34(0.34)0.33336L ≈=。 31、解：
1111(),
[()()],2n n n n n n n n n n y y h y x h y y y x y x ++++=++???=++++??
0(0,1,2,3,)1,n y ==L
1.000000;1.240000;1.576800;
2.031696;
2.630669;
3.405416.
k y =
32、解：
31G 2200033111100
02212
11
10122
0, () 1 ; Jacobi 10033000020021B 020001000012112000000111642J J J B l B B λ
λλ
λλ
λρ-?
?
-
??????
=--==-???
???---????
=∴?????????????????=-==-??????????-????????-
????即迭代收敛
,22003100;21100121111
()0,()1,
1212
1112G G l B B Gauss Seidel Q
Gauss Seidel λλλρ?
??????????=-????
????????????
-=-==<-<∴-得迭代法收敛。
又迭代法收敛快一些。
简述题：解：数值运算中常用的误差分析的方法有：概率分析法、向后误差分析法、区间分析法等。
误差分析的原则有：1）要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法；2）要避免两近数相减；3）要防止大数吃掉小数：4）注意简化计算步骤，减少运算次数。
一、 选择题(共30分，每小题3分)
1、下列说法中不属于数值方法设计中的可靠性分析的是（ ）。 （A ）方法收敛性； （B ）方法的稳定性； （C ）方法的计算量； （D ）方法的误差估计。
2、已知方程3x 3?2x ?5=0在区间[2,3]存在唯一正根，若用二分法计算，至少迭代（ ）次可以保证误差不超过3102
1-?。
(A) 5； (B) 7； (C) 10； (D) 12。 3、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是（ ）
（A ）调换方程位置； （B ）选主元； （C ）直接求解； （D ）化简方程组。
4、设1039)(48++=x x x f ，则]2,2,2,2,2,2,2,2,2[876543210f 和]3,3,3,3,3,3,3,3,3,3[9876543210f 的值分别为（ ）
（A ）1，1； （B ）9×8!，0； （C ）9，0； （D ）9，1。
5、若用复化的辛浦生公式计算积分?
π
sin xdx ，问积分区间要（ ）等分才能保证误差不超过5102-?？
（A ）10； （B ）15； （C ）20； （D ）25。 6、用一般迭代法g Bx x k k +=+)()1( 求解方程组Ax =b 的解，则当（ ）时，迭代收敛。 （A ）方程组系数矩阵A 对称正定； （B ）方程组系数矩阵A 严格对角占优； （C ）迭代矩阵B 严格对角占优； （D ）迭代矩阵B 的谱半径ρ(B )<1。 7、在区间[0,1] 上满足y (0)=1.5,y (1)=2.5 的0 次拟合多项式曲线是( ) (A) y = 2； (B) y = 1.5 ； (C) y = 2.5 ； (D) y = 4 。 8、复相关系数的取值区间为： ( )
(A) 10≤≤R ； (B) 11≤≤-R ； (C)1≤≤∞-R ； (D)∞≤≤-R 1 9、方差分析主要用于分析（ ）
(A)自变量和因变量都是分类变量 (B)自变量和因变量都是顺序变量
(C)自变量和因变量都是数值变量 (D)自变量是分类变量，因变量是数值变量
10、方差分析中在由样本推断总体性质时，零假设是（ ）
(A)各分类间方差相等 (B)各分类间均值相等
(C)各分类间均值不相等 (D)各分类间至少有两组均值相等
二、填空题(共30分，每小题3分)
1、数值计算中主要研究的误差有 和 。
2、*x 的相对误差约是*x 的相对误差的 倍。
3. 方程求根的二分法的局限性是 。 4、求方程根的割线法的收敛阶为_ ___ 。 5、求定积分的牛顿-柯特斯公式的代数精度为 。 6、若用高斯-赛德尔法解方程组?
?
?-=+=+324
2121x ax ax x ，其中a 为实数，则该方法收敛的充要条件是a 应满足_ _。
7、线性代数方程组Ax =b 相容的充要条件是___ _ __。 8、单纯形算法的基本思路是: 。 9、参数假设检验的含义是 。 10、假设检验的基本思想的根据是 三、（7 分）确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高。
)()()(1101
1
x f A x f A
dx x f +≈?-
四、（8 分）已知方程组???
??-=-+==-+=+-3
5111028
8321
321321x x x b Ax x x x x x x 或分别写出该方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭
代法的分量形式。
五、（9分）设步长为h ，分别用Euler 方法、隐式Euler 方法和梯形方法写出微分方程?
?
?=+-='1)0(1
y y x y 的求解公式。
六、（8分）设总体 X 在区间 [a , b ] 上服从均匀分布，其中a 、b 未知，n X X X ,,,21Λ为总体 X 的样本，求a 、b 的极大似然估计量．
七、（8 分）将如下线性规划问题化成标准型：
???
??
?
?≥=++-≥+-≤++-+-=无限制321321321321321,0,)
3(523)2(2)1(7
.
.32x x x x x x x x x x x x t s x x x Z Min
参加答案
一、 选择题(共30分，每小题3分)
1、下列说法中不属于数值方法设计中的可靠性分析的是（ C ）。 （A ）方法收敛性； （B ）方法的稳定性； （C ）方法的计算量； （D ）方法的误差估计。
2、已知方程3x 3?2x ?5=0在区间[2,3]存在唯一正根，若用二分法计算，至少迭代（ C ）次可以保证误差不超过
3102
1
-?。 (A) 5； (B) 7； (C) 10； (D) 12。 3、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是（ ）
（A ）调换方程位置； （B ）选主元； （C ）直接求解； （D ）化简方程组。
4、设1039)(48++=x x x f ，则]2,2,2,2,2,2,2,2,2[876543210f 和]3,3,3,3,3,3,3,3,3,3[9876543210f 的值分别为（ B ）
（A ）1，1； （B ）9×8!，0； （C ）9，0； （D ）9，1。
5、若用复化的辛浦生公式计算积分?
π
sin xdx ，问积分区间要（ A ）等分才能保证误差不
超过5102-?？
（A ）10； （B ）15； （C ）20； （D ）25。 6、用一般迭代法g Bx x k k +=+)()1( 求解方程组Ax =b 的解，则当（ D ）时，迭代收敛。 （A ）方程组系数矩阵A 对称正定； （B ）方程组系数矩阵A 严格对角占优； （C ）迭代矩阵B 严格对角占优； （D ）迭代矩阵B 的谱半径ρ(B )<1。 7、在区间[0,1] 上满足y (0)=1.5,y (1)=2.5 的0 次拟合多项式曲线是( A )
(A) y = 2； (B) y = 1.5 ； (C) y = 2.5 ； (D) y = 4 。 8、复相关系数的取值区间为： ( A )
(A) 10≤≤R ； (B) 11≤≤-R ； (C)1≤≤∞-R ； (D)∞≤≤-R 1 9、方差分析主要用于分析（ D ）
(A)自变量和因变量都是分类变量 (B)自变量和因变量都是顺序变量
(C)自变量和因变量都是数值变量 (D)自变量是分类变量，因变量是数值变量
11、方差分析中在由样本推断总体性质时，零假设是（ B ）
(A)各分类间方差相等 (B)各分类间均值相等
(C)各分类间均值不相等 (D)各分类间至少有两组均值相等
二、填空题(共30分，每小题3分)
数值分析试题及答案汇总
数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )
数值分析试卷及答案
二 1 求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式时才能保证A一定有LU分解。 3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，， 4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2）
（3）由事后误差估计式，右端为 而左端 这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7 讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵 ，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ， 故高斯-赛德尔法收敛的充要条件是。 9 设求解方程组的雅可比迭代格式为，其中，求证：若，则相应的高斯-赛德尔法收敛。证明由于是雅可比法的迭代矩阵，故 又，故， 即，故故系数矩阵A按行严格对角占优，从而高斯-赛德尔法收敛。 10设A为对称正定矩阵，考虑迭代格式 求证：（1）对任意初始向量，收敛； （2）收敛到的解。 证明（1）所给格式可化为 这里存在是因为，由A对称正定，，故也对称正定。 设迭代矩阵的特征值为，为相应的特征向量，则与做内积，有 因正定，故，从而，格式收敛。
数值分析试卷及其答案
1、（本题5分）试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ； 解 设???? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 131321112323121 32 132 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为
最新应用数值分析第四版第一章课后作业答案
第一章 1、 在下列各对数中，x 是精确值 a 的近似值。 3 .14,7/100)4(143 .0,7/1)2(0031 .0,1000/)3(1 .3,)1(========x a x a x a x a ππ 试估计x 的绝对误差和相对误差。 解：（1）0132.00416 .01.3≈= ≈-= -=a e e x a e r π （2）0011.00143 .0143.07/1≈= ≈-=-=a e e x a e r （3）0127.000004 .00031.01000/≈= ≈-=-=a e e x a e r π （4）001.00143 .03.147/100≈= ≈-=-=a e e x a e r 2. 已知四个数：x 1=26.3，x 2=0.0250， x 3= 134.25，x 4=0.001。试估计各近似数的有效位数和误差限，并估计运算μ1= x 1 x 2 x 3和μ1= x 3 x 4 /x 1的相对误差限。 解：x 1=26.3 ｎ=3 δx 1=0.05 δr x 1=δx 1/∣x 1∣=0.19011×10-2 x 2=0.0250 ｎ=3 δx 2=0.00005 δr x 2=δx 2/∣x 2∣=0.2×10-2 x 3= 134.25 ｎ=5 δx 3=0.005 δr x 3=δx 3/∣x 3∣=0.372×10 -4 x 4=0.001 ｎ=1 δx 4=0.0005 δr x 4=δx 4/∣x 4∣=0.5 由公式：e r （μ）= e （μ）/∣μ∣≦1/∣μ∣Σn i=1∣?f/?x i ∣δx i e r （μ1）≦1/∣μ1∣［x 2 x 3δx 1+ x 1 x 3δx 2 +x 1 x 2δx 3］ =0.34468/88.269275 =0.0039049 e r （μ2）≦1/∣μ2∣［x 3 x 4/ x 21δx 1+ x 4/ x 1δx 3 + x 3 / x 1δx 4］ =0.501937 3、设精确数ａ>0，x 是ａ的近似值，x 的相对误差限是0.2，求㏑x 的相对误差限。 解：设=()u f x ， ()()()()() ()||||||||||()||()|| | |()||()||||r r r x e u df x e x df x e x e u u dx u dx u x df x x df x x e x x dx u dx u δ= ≈==≤ ()||10.2 (())| |()||ln ln ln r r r r df x x x x f x x x dx u x x x x δδδδ==??==
数值分析试卷及答案
二 1求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式 时才能保证A一定有LU分解。
3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，，
4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2） （3）由事后误差估计式，右端为 而左端
这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方 法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵
，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ，
数值分析整理版试题及答案
数值分析整理版试题及答案
例1、 已知函数表 x -1 1 2 ()f x -3 0 4 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1）k x -1 1 2 k y -3 0 4 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为
[]()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- k x ()k f x 一阶 二阶 -1 -3 1 0 3/ 2 2 4 4 5/6 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有
应用数值分析(第四版)课后习题答案第9章
第九章习题解答 1.已知矩阵????? ???????=??????????=4114114114,30103212321A A 试用格希哥林圆盘确定A 的特征值的界。 解：,24)2(, 33)1(≤-≤-λλ 2.设T x x x x ),...,,(321=是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，若i x x =∞， 试证明特征值的估计式∑≠=≤-n i j j ij ii a a 1λ. 解：,x Ax λ = ∞∞∞∞≤==x A x x Ax i λλ 由 i x x =∞ 得 i n in i ii i x x a x a x a λ=++++ 11 j n j i i ij i ii x a x a ∑≠==-1)(λ j n j i i ij j n j i i ij i ii x a x a x a ∑∑≠=≠=≤=-11λ ∑∑≠=≠=≤≤-n j i i ij i j n j i i ij ii a x x a a 11λ 3.用幂法求矩阵 ???? ??????=1634310232A 的强特征值和特征向量，迭代初值取T y )1,1,1()0(=。 解：y=[1,1,1]';z=y;d=0; A=[2,3,2;10,3,4;3,6,1]; for k=1:100 y=A*z; [c,i]=max(abs(y)); if y(i)<0,c=-c;end
z=y/c if abs(c-d)<0.0001,break; end d=c end 11.0000 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 10.9999 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 11.0003 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 10.9989=c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 11.0040 =c ,0.7498) 1.0000 0.5000(z 10.9859=c ,0.7506) 1.0000 0.5001(z 11.04981 =c ,0.7478) 1.0000 0.4995(z 10.8316 =c ,0.7574) 1.0000 0.5020(z 11.5839 =c ,) 0.7260 1.0000 0.4928 (z 9.4706 =c ,0.8261) 1.0000 0.5280(z 17 = c ,0.5882) 1.0000 0.4118(z 11T (11)10T (10)9T (9)8T (8)7T (7)6T (6)5T (5)4T (4)3T (3)2T (2)1T (1)=========== 强特征值为11，特征向量为T 0.7500) 1.0000 0.5000(。 4.用反幂法求矩阵???? ??????=111132126A 最接近6的特征值和特征向量，迭代初值取 T y )1,1,1()0(=。 解：y=[1,1,1]';z=y;d=0; A=[6,2,1;2,3,1;1,1,1]; for k=1:100 AA=A-6*eye(3); y=AA\z; [c,i]=max(abs(y)); if y(i)<0,c=-c;end z=y/c; if abs(c-d)<0.0001,break; end d=c end d=6+1/c
数值分析试卷及其答案1
1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知6 5.0102 1 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620*2102 1 ,6,0,10325413.0-?= -=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?? ???=0 01 A 220- ?????440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {}, 88,4,1max 1==A 1分 {}, 66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=0 1 A A T 4 2 ???? ? -420?????0 01 2 20 - ???? ?440= ?????0 01 80 ???? ?3200 2分 {}32 32,8,1max )(max ==A A T λ
1分 24322==A 3. 设32)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （0,1……）产生的序列{}k x 收敛于 2 解： ①迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3 分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-= a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组，其中：?? ?=13A ?? ?2 2，?? ? ???-=13b 用迭代公式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（0,1……）求解，问取什么实数α ，可使 迭代收敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --???--=-=ααααα21231A I B 2分
数值分析第五版全答案chap1
第一章 绪 论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。 解：近似值*x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||() p xf x C f x = 又1'()n f x nx -= , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*5 7 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) *** 124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24 /x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解：
*4 1*3 2*13*3 4*1 51 ()102 1()102 1()102 1()102 1()102x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? ***124***1244333 (1)() ()()() 111101010222 1.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? ***123*********123231132143 (2)() ()()() 1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ **24****24422 *4 33 5 (3)(/)()() 110.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈??+??=?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π= 则何种函数的条件数为 2 3 '4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε=
数值分析第四版习题及答案
第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2％,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指 出它们就是几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增 加,而相对误差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足 第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令 证明就是n次多项式,它得根就是,且 、 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3. 4., 研究用线性插值求cos x 近似值时得总误差界、
数值分析试卷及其答案2
1、（本题5分）试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ； 解 设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为
数值分析整理版试题及答案
例1、 已知函数表 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1） 故所求二次拉格朗日插值多项式为 （2）一阶均差、二阶均差分别为 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0,1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平 方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有 所以，法方程为
011231261192 34a a ??????????=?????????? ?????????? ，经过消元得012311 62110123a a ??? ???????=???????????????????? 再回代解该方程，得到14a =，011 6 a = 故，所求最佳平方逼近多项式为* 111()46S x x =+ 例3、 设()x f x e =，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0,1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近 多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，这样，有 所以，法方程为 解法方程，得到00.8732a =，1 1.6902a =， 故，所求最佳平方逼近多项式为 例4、 用4n = 的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1 ? 。 解： （1）用4n =的复合梯形公式 由于2h =，( )f x =()121,2,3k x k k =+=，所以，有 （2）用4n =的复合辛普森公式 由于2h =，( )f x =()121,2,3k x k k =+=，()12 220,1,2,3k x k k + =+=，所以，有 例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。 解：先消元 再回代，得到33x =，22x =，11x = 所以，线性方程组的解为11x =，22x =，33x = 例6、 用直接三角分解法求下列线性方程组的解。 解： 设 则由A LU =的对应元素相等，有 1114u = ，1215u =，1316u =， 2111211433l u l =?=，3111311 22 l u l =?=， 2112222211460l u u u +=?=-，2113232311 545l u u u +=?=-，
数值分析第四版习题及答案
数值分析第四版习题及答案
第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****1 2 3 4 5 1.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234 ,,,x x x x 均为第3题所给 的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设0 28,Y =按递推公式 11 783100 n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .若取78327.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字78327.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 11N dx x +∞ +?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能
使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设212 S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1 101n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 21)f =,取2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 63 22)70 2. (21)(322)--++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =-,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x -=-+ 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 {101012121010;2. x x x x +=+=假定只用 三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1 sin ,2 s ab c = 其中c 为弧 度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证明面积的误差s ?满足 .s a b c s a b c ????≤++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令
数值分析试题及答案
一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． ()00l x ＝0， ()111l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1，()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． 232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分）
1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数()()() 33301213,88C C C ===，那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ，所以()0f x =在区间 内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得 分 评卷人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据： 求分 段线性插值函数，并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--%
最新数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)1
第一章 绪论（12） 1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。 [解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=* ****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为* * ** ln ln ) (ln )(ln x x x x r δ εε= = 。 2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 [解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为n n x x n x n x x n x x x ** 1 *** %2%2) ()()()(ln * ?=='=-=εε， 相对误差为%2) () (ln )(ln *** n x x x n r == εε。 3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： 1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5 ?=x 。 [解]1021.1*1 =x 有5位有效数字；0031.0* 2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56* 4 =x 有5位有效数字；0.17*5?=x 有2位有效数字。 4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中* 4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给 的数。 （1）* 4*2*1x x x ++； [解]3 334* 4*2*11** *4*2*1*1005.1102 1 10211021)()()()()(----=?=?+?+?=++=? ??? ????=++∑x x x x x f x x x e n k k k εεεε； （2）* 3*2 *1x x x ；
数值分析第四版习题及答案
第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字. 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误 差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大?
数值计算方法试题集及答案要点
《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、 ?? ??? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ? ???????? ???=????????? ?? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(, 0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求 得?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(, 1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数 为 ，拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对 1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字. A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和4 2. 已知求积公式，则＝（） A． B．C．D． 3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（） A．＝0，B．＝0， C．＝1，D．＝1， 4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A．超线性B．平方C．线性D．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）. A．B． C．D． 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得分评卷 人 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数，那么 4. 因为方程在区间上满足，所以在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式.填空题答案
1. 9和 2. 3. 4. 5. 得分评卷 人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值. 计算题1.答案 1. 解， ， 所以分段线性插值函数为 2. 已知线性方程组 （1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式； （2）对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）. 计算题2.答案 1.解原方程组同解变形为 雅可比迭代公式为 高斯－塞德尔迭代法公式 用雅可比迭代公式得 用高斯－塞德尔迭代公式得 3. 用牛顿法求方程在之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？ （2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001. 计算题3.答案
数值分析最佳习题(含答案)
第一章 绪论 姓名 学号 班级 习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5105.0-?,那么近似数有几位有效数字（有效数字的计算） 解：2*103400.0-?=x ，325*102 1102 1---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少（有效数字的计算） 解：10314159.0?= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需 41*102 1 -?≤-ππ，3*3102 1102 1--?+≤≤?-πππ，即14209.314109.3*≤≤π 3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +， b a ?有几位有效数字（有效数字的计算） 解：3*1021 -?≤-a a ，2*102 1-?≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=?b a 2123****102 1 10211021)()(---?≤?+?≤ -+-≤+-+b b a a b a b a 故b a +至少具有2位有效数字。 2123*****102 1 0065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤ -+-≤-b b a a a b b a ab
故b a ?至少具有2位有效数字。 4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差（误差的计算） 解：已知δ=-* *x x x ，则误差为 δ=-= -* **ln ln x x x x x 则相对误差为 * * ** * * ln ln 1ln ln ln x x x x x x x x δ = -= - 5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=， 已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v 2π=的绝对误差 限与相对误差限。（误差限的计算） 解：*2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ 绝对误差限为 πππ252.051.02052)5,20(),(2=??+????≤-v r h v 相对误差限为 %420 1 20525) 5,20() 5,20(),(2 ==??≤ -ππv v r h v 6 设x 的相对误差为%a ,求n x y =的相对误差。（函数误差的计算） 解：%* *a x x x =-， )%(* **** *na x x x n x x x y y y n n n =-≤-= - 7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r 时允许的相对误差限为多大（函数误差的计算）