简支梁受力分析力矩剪力计算

第十章弯曲梁的设计

第一节梁平面弯曲的概念和弯曲内力

一、弯曲的概念

工程实际中，存在大量的受弯曲杆件，如火车轮轴，桥式起重机大梁。如图10.1.1，图10.1.2所示，这类杆件受力的共同特点是外力（横向力）与杆轴线相垂直，变形时杆轴线由直线变成曲线，这种变形称为弯曲变形。以弯曲变形为主的杆件称为梁。

图10.1.1 火车轮轴图10.1.2 起重机大梁

工程中常见的梁，其横截面通常都有一个纵向对称轴，该对称轴与梁的轴线组成梁纵向对称面。如图10.1.3所示。

图10.1.3 梁的纵向对称

如果梁上所有的外力都作用于梁的纵向对称平面内，则变形后的轴线将在纵向对称平面内变成一条平面曲线。这种弯曲称为平面弯曲。平面弯曲是弯曲问题中最基本、最常见的，所以，这里只讨论平面弯曲问题。

二、梁的计算简图及基本形式

梁上的荷载和支承情况比较复杂，为便与分析和计算，在保证足够精度的前提下，需要对梁进行力学简化。

(一)、梁的简化

为了绘图的方便，首先对梁本身进行简化，通常用梁的轴线来代替实际的梁。

（二）、荷载分类

作用在梁上的载荷通常可以简化为以下三种类型：

1 、集中荷载当载荷的作用范围和梁的长度相比较是很小时，可以简化为作用于一点的力，称为集中荷载或集中力。如车刀所受的切削力便可视为集中力P，如图10.1.4（a）所示，其单位为牛（N）或千牛（kN）。

2 、集中力偶当梁的某一小段内（其长度远远小于梁的长度）受到力偶的作用，可简化为作用在某一截面上的力偶，称为集中力偶。如图10.1.4（b）所示。它的单位为牛·米

（N·m）或千牛·米（kN·m）。

3 、均布载荷沿梁的长度均匀分布的载荷，称为均布载荷。分布载荷的大小用载荷集度 q 表示，均布集度 q 为常数。如图10.1.4（c）所示。其单位为牛／米（ N ／ m ）或千牛／米（ k ／ m ）。

（三）、梁的基本形式

按照支座对梁的约束情况，通常将支座简化为以下三种形式：固定铰链支座、活动铰链支座和固定端支座。这三种支座的约束情况和支反力已在静力学中讨论过，这里不再重复。根据梁的支承情况，一般可把梁简化为以下三种基本形式。

1 、简支梁梁的一端为固定铰链支座，另一端为活动饺链支座的梁称为简支梁。如图10.1.5（a）。

2 、外伸梁外伸梁的支座与简支梁一样，不同点是梁的一端或两端伸出支座以外，所以称为外伸梁。如图10.1.5（b）

3 、悬臂梁一端固定，另一端自由的梁称为悬臂梁。如图10.1.5（c）

图10.1.4 载荷类 图10.1.5 梁的类

以上三种梁的未知约束反力最多只有三个，应用静力平衡条件就可以确定这三种形式梁的内力。 三、 梁弯曲时的内力——剪力和弯矩计算

作用于梁上的外力以及支承对梁的约束力都是梁的外载荷。支承对梁所产生的约束反力一般都由静力平衡条件求得。在外载荷的作用下，梁要产生弯曲变形，梁的各横截面内就必定存在相应的内力。求解梁横截面上内力的方法是截面法。

图10.1.6 截面法求梁的内

如图10.1.6所示的简支梁，受集中力1P 和2P 作用。为了求出距A 端支座为x 处横截面m-m 上的内力，首先按静力学中的平衡方程求出支座反力R A 、R B 。然后用截面法沿m-m 截面假想地把梁截开，并以左边部分为研究对象（图10.1.6(b)）。因为原来梁处于平衡状态，故左段梁在外力及截面处内力的共同作用下也应保持平衡。截面m-m 上必有一个与

截面相切的内力Q 来代替右边部分对左边部分沿截面切线方向移动趋势所起的约束作用；又因为R A 与P 1

对截面形心的力矩一般不能相互抵消，为保持这部分不发生转动，在横截面m-m 上必有一个位于载荷平面的内力偶，其力矩为M ，来代替右边部分对左边部分转动趋势所起的约束作用。由此可见，梁弯曲时，横

截面上一般存在两个内力因素，其中Q 称为剪力，M 称为弯矩。

剪力和弯矩的大小可由左段梁的平衡方程确定。

由 ΣFy = 0 得 01=--Q P

R A 1P

R Q A -= 由 ΣMC = 0 得 0)(1=-+-a x P

x R M A )(1a x p x R M A --= 式中，C 为横截面的形心。

若取右段梁研究，根据作用力与反作用力定律，在m-m 截面上也必然有剪力Q ' 和弯矩M '，并且它们分别与 Q 和 M 数值相等、方向相反。

剪力和弯矩的正负按梁的变形来确定。凡使所取梁段具有作顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负。如图10.1.7所示。凡使梁段产生上凹下凸弯曲变形的弯矩为正，反之为负。如图10.1.8所示。

图10.1.7 剪力的符 图10.1.8 弯矩的

综上所述，可得求剪力、弯矩大小和方向的规则：

对于剪力：梁内任一横截面上的剪力等于该截面一侧梁上所有横向外力的代数和；正负号由“外力左上右下，产生的剪力为正”确定。

对于弯矩：梁内任一横截面上的弯矩等于该截面一侧梁上所有外力对截面形心力矩的代数和。正负号由“外力矩左顺右逆，产生的弯矩为正”确定。

利用上述规则，可以直接根据截面左侧或右侧梁上的外力求出指定截面的剪力和弯矩。

例10.1.1 简支梁受集中力kN p 1=，力偶m kN m ?=1，均布载荷m kN q /4=，如图10.1.9所示，试求Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ截面上的剪力和弯矩。

图10.1.9

简支梁

解：（1）求支座反力。 ,

0)(=∑

F M B 即 02505.01000750=??+-?-?q m R P A

可得 N R A 250=

,

0=∑y

F

即05.0=+?--B A R q P R

可得 N R B 2750=

（2）计算剪力和弯矩（应取简单的一侧为研究对象）。

Ⅰ-Ⅰ N R Q A 2501==

m N R M A ?=?=?=502.02502001

Ⅱ-Ⅱ kN R q Q B 5.175.24.044.02-=-?=-?=

m N q R M B ?=???-??=??-?=-7802.04.01041040027502004.0400332

例10.1.2 图10.1.10（a ）是薄板轧机的示意图。下轧辊尺寸表示在图10.1.10（b ）中轧制力约为kN 4

10,

并假定均匀分布在轧辊的CD 的范围内。试求轧辊中央截面上的弯矩及截面C 的剪力。

图10.1.10 剪板机电

解： 轧辊可简化为如图10.1.10（c ）所示形式。轧制力均匀分布于长度为0.8m 的范围内，故轧制力的载荷集度为

m

kN m kN q /105.12/8.01034?==

由于梁上的载荷与约束反力对跨度中点是对称的，所以容易求出两段的约束反力为

kN

F F B A 34

105210?===

以截面C 左侧为研究对象，求得该截面上的剪力为

kN

F F a sc 34

105210?===

在跨度中点截面左侧的外力为A F 和一部分均布载荷。以中点截面左侧为研究对象，求得弯矩

为

四、剪力图和弯矩图

在一般情况下，剪力和弯矩是随着截面的位置不同而变化的。如果取梁的轴线为x 轴，以坐标x 表示横截面的位置，则剪力和弯矩可表示为x 的函数，即

)(x Q Q = )(x M M =

上述两函数表达了剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，故分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。 为了能一目了然地看出梁各截面上的剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况，在设计计算中常把各截面上的剪力和弯矩用图形表示。即取一平行于梁轴线的横坐标x 来表示横截面的位置，以纵坐标表示各对应横截面上的剪力和弯矩，画出剪力和弯矩与x 的函数曲线。这样得出的图形叫做梁的剪力图和弯矩图。 利用剪力图和弯矩图，很容易确定梁的最大剪力和最大弯矩，以及梁的危险截面的位置。所以画剪力图和弯矩图往往是梁的强度和刚度计算中的重要步骤。

剪力图和弯矩图的画法是首先求出梁的支座反力，然后以力和力偶的作用点为分界点，将梁分为几段，分段列出剪力和弯矩方程。取横坐标x 表示截面的位置；纵坐标表示各截面的剪力和弯矩，按方程绘图。

下面通过分析例题说明剪力图和弯矩图的绘制方法及步骤

例10.1.3 如图10.1.11（a ）所示起重机横梁长l ，起吊重量为P 。不计梁的自重，试绘制图示位置横梁的剪力图和弯矩图，并指出最大剪力和最大弯矩所在的截面位置。

m kN q F M A .31502

4

.04.083.0=?

?-?=

图10.1.11 简支梁受集中力

解 （1）绘制横梁的计算简图 根据横梁两端A 、B 轮的实际支承情况，将其简化为简支梁（图10.1.11（a ）。起吊重量为P 可简化为作用于沿横梁行走的小车两轮中点所对应的梁的梁截面C 处的集中力。

（2）计算A 、B 两端的支座的约束反力 根据静力平衡方程得

l Pb R A =

， l Pa

R B =

（3）建立剪力方程和弯矩方程 由于截面C 有集中力p 作用，梁AC 端和BC 段上任意截面左段研

究对象的平衡方程不同，故应分别建立两段的剪力方程和弯矩方程。设AC 段和BC 段的任一截面位置分别用x 表示 （图10.1.11（a ）），并以左段为研究对象计算剪力和弯矩，则方程为

AC 段

l Pb

R Q A =

=1， a x ≤≤0

x l Pbx

x R M A =

=1， a x ≤≤0

BC 段

l Pa

R Q B -

=-=2， l x a <<

l x l Pa x l R M B )

()(2-=

-=， l x a ≤≤

（4）绘制剪力图和弯矩图 由AC 段和BC 段剪力方程可知，两段的剪力分别为一正一负的常数，

故剪力图是分别位于x 轴上方和下方的两条平行线（图10.1.11(b)）。

由两段的弯矩方程可知，弯矩图为两条斜直线，由边界条件可得出斜直线上两点的坐标值： AC 段

10

x =， 01=M ；1x a

=，

l Pab

M =

1

BC 段

2x a

=，

l Pab

M =

2；2x l =，02=M

于是便得到如图10.1.11(c)所示的横梁的弯矩图。

（5）确定剪力和弯矩的最大值 由图10.1.11c ，结合剪力方程，可以看出，当b a >时，BC 段各截面的剪力值最大；当b a <时，AC 段各截面的剪力值最大。小车行驶时，力P 作用点的坐标发生变化，最大剪力值也随之发生变化。小车接近支座B 点或A 点时，剪力达到最大值

P

P Q →max 。

由图10.1.11c ，结合弯矩方程，可以分析得出，集中力F 作用的C 点所在截面处有最大弯矩。当小车位于梁的中点时，即

2l

b a =

=处，因乘积ab 最大，所以最大弯矩值也最大，为

4max Pl M =

例10.1.4 如图10.1.12（a ）所示简支梁，在全梁上受集度q 的均布载荷。试作此梁的剪力图和弯矩图。

解：1）求支座反力。

由0

=∑

A M 及0

=∑

B M 得

2ql F F By Ay =

=

2）列剪力方程和弯矩方程。

取A 为坐标轴原点，并在截面x 处切开取左段为研究对象，如图10.1.12（b ）所示，则

)

0(2

l x qx ql

qx F F Ay S <<-=

-= (10.1.1)

图10.1.12

简支梁受均布

)

0(2222

2l x qx qlx qx x F M Ay ≤≤-

=-= (10.1.2)

3）画剪力图。

式（10.1.1）表明，剪力F S 是x 的一次函数，所以剪力图是一条斜直线

2,

0ql

F x S ==

2,

ql F l x S -

==

4）画弯矩图。

式（10.1.2）表明，弯矩M 是x 的二次函数，弯矩图是一条抛物线。由方程

8)2(2)(222)(222

2ql l x q x lx q qx qlx x M =

--=-=-=

既曲线顶点为（8,

22ql l ），开口向下，可按下列对应值确定几点。

x 0 4l 2l 43l

l M

3232ql 82ql 3232ql

剪力图与弯矩图分别如图10.1.12（c ）、(d)所示。由图可知，剪力最大值 在两支座A 、B 内侧的

横截面上，2max ql

F S =

。弯矩的最大值在梁的中点，

82max ql M =。

例10.1.5 如图10.1.13（a ）所示简支梁，在C 点处受大小为Me 的集中力偶作用。试作其剪力图和弯矩图。

解：1）求支反力。

,

0,

0=-=∑e Ay B

M l F M

得：

l M F e

Ay =

图10.1.13 简支梁受集中力偶

∑=-=0

Ay By y

F F F

l M F F e Ay By =

=

2）列出剪力方程和弯矩方程。

)

0()(l x l

M F x F e Ay S <<-

=-=

因C 点处有集中力偶，故弯矩需分段考虑。

AC 段

)

0()(a x x l

M x F x M e

Ay ≤≤-

=-=

BC 段

)

0()

()()(l x x l l

M x l F x M e

By ≤<-=--=

3）画剪力图。

由剪力方程知，剪力为常数，故是一水平直线，如图10.1.13（b ）所示。 4）画弯矩图。

由弯矩方程知，C 截面左右段均为斜直线。 AC 段

l a M M a x M x e -

====,

;

0,

BC 段

,

,,

===

=M l x l

b

M M a x e

弯矩图如图10.1.13（c ）所示。如a b >,则最大弯矩发生在集中力偶作用处右侧横截面上，

l b M M e =

max 。

分析以上几例即可得出剪力图和弯矩图规律：

1．梁上没有分布载荷时，剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线。斜率为对应的剪力图的值，剪力为正时，弯矩图向上倾斜（/）；剪力为负时，弯矩图向下倾斜（\）。

2．集中力F 作用的截平面上，剪力图发生突变，突变的方向与集中力的作用方向一致；突变幅度等于外力大小，弯矩图在此面上出现一个尖角。

3．梁上有均布载荷作用时，其对应区间的剪力图为斜直线，均布载荷向下时，直线由左上向右下倾斜

(\)，斜线的斜率等于均布载荷的载荷集度q 。对应的弯矩图为抛物线，剪力图下斜（\）,弯矩图上凸（⌒），反之则相反。剪力图0=Q 的点其弯矩值最大，抛物线部分的最大值等于抛物线起点至最大值点对应的剪力

图形的面积，如图10.1.12（d ）所示，

21

228/2max ?

?=

=l ql ql M 。

4．集中力偶Me 作用的截面上，剪力图不变，弯矩图出现突变。Me 逆时针时，弯矩图由上向下突变，Me 顺时针时，弯矩图由下向上突变。

前面总结了集中力、集中力偶和均布力作用时，剪力图和弯矩图的做图规律,下面我们根据这些规律快速而准确地做出梁的剪力图和弯矩图。

例10.1.6 简支梁受kN P kN P

1,321==的集中力作用（图10.1.14（a ））。已知约束反力，,5.1,5.2kN R kN R B A ==其他尺寸如图所示。试绘出该梁的剪力图和弯矩图.

。

图10.1.14

解：（1）绘剪力图。剪力图从零开始,一般自左向右,逐段画出。根据规律可知，因A 点有集中力,A R 故在A 点剪力图突变，由零向上突变2.5kN ，从A 点右侧到C 点左侧，两点之间无力作用，故剪力图平行与x 轴的直线。因C 点有集中力1P ,故在C 点剪力图由2.5kN 向下突变3kN ，C 点左侧的剪力值为2.5kN ，C

点右侧的剪力值为kN 5.0-。同样的道理，依次，可完成其剪力图（图10.1.14（b ））。需要说明，剪力图最后应回到零。图中虚线箭头只表示画图走向和突变方向。

（2）绘弯矩图。弯矩图也是从零开始，自左向右边，逐段画出。A 点因无力偶作用，故无突变。因AC 段剪力图为x 轴的上平行线，故其弯矩图为一条从零开始的上斜线，其斜率为2.5（图10.1.14（c ）中斜率仅为绘图方便而标注），C 点的弯矩值为)(5.215.2m kN ?=?。

CD 段的弯矩图为一条从m kN ?5.2开始的下斜线，斜率为0.5，故D 点的弯矩值为

)(5.125.05.2m kN ?=?-，同样的道理可画出DB 段弯矩图，最后回到零（图10.1.14（c ））。

例10.1.7 外伸梁受力如图10.1.15（a ）所示，m kN M ?=4，kN P 10=，kN R A 6-=，kN R B 16=。

其它尺寸如图所示。试绘出梁的剪力图和弯矩图。

图10.1.15

解：

（1）绘剪力图。根据规律画剪力图时可不考虑力偶的影响。因此，绘其剪力图时，从A 点零开始，向下突变6，从6开始画X 轴平行线至B 点，向上突变16，在画X 轴平行线，最后连D 点向下突变10而回到零（图10.1.15（b ））.

（2）绘弯矩图从A 点零开始，画斜率为6的下斜线至C 点，因C 点有力偶作用，故弯矩图有突变，根据“顺上逆下”，故向上突变4，在画斜率为6的下斜线至B 点，在B 点转折，作斜率为10的上斜线至D 点而回到零（图10.1.15（c ））。

例10.1.8 外伸梁受力如图10.1.16（a ）所示，已知m KN M ?=16，m kN q /2=，KN p 2=，

约束反力KN R A 2.7=，KN R B 8.14=，试绘出梁的剪力图和弯矩图，并求距A 点4m 处截面的剪力和弯矩。

解：（1）绘制剪力图。

从A 点零开始，向上突变7.2，AC 段为x 轴的平行线。CB 段，剪力图从7.2下斜至B 点，斜率为2，故B 点左侧的剪力值为8.8，从8.8向上突变14.8，即到B 点右侧。BD 段剪力图仍为斜率2的下斜线至D 点左侧，因D 点有集中力P ，故向下突变回到零（图10.1.16（b ））。剪力图

中Q=0的点可由几何关系求得，如：6.322

.7=(m)。

（2）绘弯矩图。

AC 段弯矩图为一条从零开始的斜率为7.2的上斜线。因C 点有力偶，故弯矩图在C 点

图 10.1.16

向下突变1.6。CB 段剪力图为一条下斜线，故对应的弯矩图为一条从1.6开始的上弯抛物线，最大值点应对应于Q=0的点，其值可由对应的三角形面积求得

36.116.126

.32.7=-?

B 点的值也可由对应的三角形面积求得

836.1126

.388.8=--?

也可暂不求此值，继续绘图，因B ，D 点无力偶，故弯矩图直接转折上弯至零，最后利用对应的剪力

图梯形面积计算该值

822)26(=?

+

需要注意，图10.1.16（b ）中CB 段剪力图能否下斜而过x 轴？图10.1.16（c ）中的CB 段弯矩图能

否上弯而过x 轴？都可根据图形几何关系预先测算而定。

（3）求距A 点4m 处截面的剪力和弯矩。

该截面剪力和弯矩可由图中几何关系直接求得。由图10.1.16（b ）可知，该截面的剪力

)(2.36.12KN Q =?=

由图10.1.16（c ）可知，该截面的弯矩

)(8.822

.36.136.11m KN M ?=?-

=

由上述各例可以看出，绘制剪力图和弯矩图的基本过程为：熟记规律，从左至右，从零开始，到点

即停，标值判定（是否突变），最终回零。

第二节 梁的弯曲强度计算

一 纯弯曲时梁横截面上的正应力

前面对梁弯曲时横截面上的内力进行了分析讨论。为了进行梁的强度计算，还需要进一步研究横截面上的应力情况。通常梁的横截面上既有弯矩又有剪力，这种弯曲称为剪切弯曲。若梁的横截面上只有弯矩而无剪力，则梁的横截面上仅有正应力而无切应力。这种弯曲称为纯弯曲。梁纯弯曲的强度主要决定于截面上的正应力，切应力居于次要地位。所以这里只讨论梁在纯弯曲时横截面上的正应力。

要想分析正应力的分布规律并计算正应力，先是通过实验，观察其变形，提出假设。在这个基础上综合应用几何变形，物理和静力学关系，找出变形及其应力的变化规律而推导出应力计算公式。

（一）、实验观察

取一矩形截面直杆，实验前，在梁的侧面上，画上垂直于梁轴的横向线 = 1 \* ROMAN I － = 1 \* ROMAN I 和 = 2 \* ROMAN II － = 2 \* ROMAN II 及平行于梁轴的纵向线ab 和cd ，然后在梁的纵向对称平面内两端施加集中力偶M ，使梁产生纯弯曲。如图10.2.1所示。梁发生弯曲变形后，我们可以观察到以下现象：

1、横向线ac 和bd 仍是直线且仍与梁的轴线正交，只是相互倾斜了一个角度

2、纵向线ab 和cd （包括轴线）都变成了弧线。且ab 变成b a ''后缩短了，cd 变成d c ''后伸长了

3、梁横截面的宽度发生了微小变形，在压缩区变宽了些，在拉伸区则变窄了些。

图10.2.1 梁的弯曲试验图 10.2.2 梁的中性层

根据上述现象，可对梁的变形提出如下假设：

① 平面假设：梁弯曲变形时，其横截面仍保持平面，且绕某轴转过了一个微小的角度。 ② 单向受力假设：设梁由无数纵向纤维组成，则这些纤维处于单向受拉或单向受压状态。 可以看出，梁下部的纵向纤维受拉伸长，上部的纵向纤维受压缩短，其间必有一层纤维既不伸长也不缩短，这层纤维称为中性层。中性层和横截面的交线称为中性轴。如图10.2.2所示。

（二）、变形的几何关系

由于纯弯曲时，各层纵向纤维受到轴向拉伸和压缩的作用，因此材料的应力和应变的关系应符合拉压胡克定律εσE =

由上式可知，若搞清应力分布规律，必须搞清应变ε的变化规律，为此，将变形后的梁中取一微段来进行研究，如图10.2.3所示。两截面 = 1 \* ROMAN I － = 1 \* ROMAN I 和 = 2 \* ROMAN II － = 2 \* ROMAN II 原来是平行的，现在相互倾斜了一个微小角度θd 。图中O O '为中性层，设其曲率半径为ρ，d c ''到中性层的距离为y 形后中性层纤维长度仍为X d 且θρd d X =。距中性层为y ，则纵向线cd 的线应变为：

ρθρθθρθρθρεy

d yd d d d y cd cd d c cd cd ==-+=-''=?=

)(

即梁内任一纵向纤维的线应变ε与它到中性层的距离y 成正比。 （三）、变形的物理关系

由单向受力假设，当正应力不超过材料的比例极限时，将虎克定律代入上式，得：

ρεσy

E

E == （ 10.2.1）

上式表明了横截面上正应力的分布规律，即：横截面上任一点处的正应力与它到中性轴的距离成正比，与中性层距离相同的点，正应力相等；距离中性层越远，正应力越大；中性轴上各点的正应力为零，由此可得横截面上各点的正应力分布情况，如图10.2.4所示。为了准确计算正应力值，必须确定中性轴的位置与曲率半径ρ的大小，而这又需要通过应力与内力间的静力学关系来解决。

（四）、静力学关系

图10.2.3 弯曲变形 图 10.2.4 弯曲正应力的分布规律

梁发生纯弯曲时，横截面上只有弯矩而无剪力，且弯曲变形时横截面绕中性轴Z 转动。所以，横截面上所有内力合成的结果只有一个对中性轴Z 的弯矩M ，而沿梁轴线的分量和对横截面对称轴的弯矩均为零。

通过对静力学和截面形心进行分析可得如下结论： 纯弯曲时，横截面的中性轴必须通过截面的形心。 纯弯曲时，中性轴的曲率半径的计算公式为

Z

EI M =

ρ

1

（10.2.2）

式中，Z EI 值越大，则梁弯曲的曲率半径ρ越大，中性轴的曲率就越小，也就是梁的弯曲变形越小；反之，

Z EI 值越小，则梁的弯曲变形越大。因此，Z EI 值的大小反映了梁抵抗弯曲变形的能力，故Z EI 称为梁的弯曲刚度。将式（10.2.2）带入（10.2.1）中，得到纯弯曲梁横截面上任意一点正应力的计算公式为：

Z

I y M ?=σ （10.2.3）

M ――为截面上的弯矩；

y ——为截面上所求应力点到中性轴的距离；

Z I ——为横截面对中性轴Z 的惯性矩。

Z I 是一个仅与横截面形状和尺寸有关的几何量，可以通过理论计算来求得。一般地，各种平面几何图形的Z I 都求出并列表备用，使用时直接查表即可。

上式是梁纯弯曲时横截面上任一点的正应力计算公式。应用时M 及y 均可用绝对值代入，至于所求点的正应力是拉应力还是压应力，可根据梁的变形情况，由纤维的伸缩来确定，即以中性轴为界，梁变形后靠凸的一侧受拉应力，靠凹的一侧受压应力。也可根据弯矩的正负来判断，当弯矩为正时，中性轴以下部分受拉应力，以上部分受压应力，弯矩为负时，则相反。由公式10.2.2可知，横截面上最大正应力发生在距中性轴最远的各点处。即

max max y I M

z

=

σ （10.2.4）

令

max y I W z

z =

则

Z

W M =

max σ （10.2.5）

Z W 称为抗弯截面模量，也是衡量截面抗弯强度的一个几何量，其值与横截面的形状和尺寸有关 式（10.2.2）和（10.2.3）是纯弯曲梁的两个重要公式，前者用于计算梁的变形，后者用于计算梁横截面上的应力。

弯曲正应力计算公式是梁在纯弯曲的情况下导出来的。对于一般的梁来说，横截面上除弯矩外还有剪力存在，这样的弯曲称为剪切弯曲。在剪切弯曲时，横截面将发生翘曲，平截面假设不再成立。但较精

确的分析证明，对于跨度l 与截面高度h 之比 5

>h l 的梁，计算其正应力所得结果误差很小。在工程上常用的梁，其跨高比远大于5，因此，计算式可足够精确地推广应用于剪切弯曲的情况。

例10.2.1 如图10.2.5（a ）所示矩形截面简支梁。已知：Ｆ＝5ｋＮ，ａ＝180ｍｍ，ｂ＝30ｍｍ，ｈ＝60ｍｍ。试分别求将截面竖放和横放时梁截面上的最大正应力。

图 10.2.5 简支梁受力

解：1）求支座反力。根据外力平衡条件列平衡方程，可解得支座反力为

KN

F F By Ay 5==

2) 画出剪力图和弯矩图，如图10.2.5（b ）、（c ）所示。可见，在CD 段横截面上剪力为零，故CD 段为纯弯曲段，截面上弯矩值为

弯矩剪力支反力计算例题

第三章 目的要求：熟练掌握静定梁和静定刚架的内力计算和内力图的绘制方法，熟练掌握绘制弯矩图的叠加法及内力图的形状特征，掌握绘制弯矩图的技巧。掌握多跨静定梁的几何组成特点和受力特点。能恰当选取隔离体和平衡方程计算静定结构的内力。 重点：截面法、微分关系的应用、简支梁叠加法。 难点：简支梁叠加法，绘制弯矩图的技巧 §3-1 单跨静定梁 1．反力 常见的单跨静定梁有简支梁、伸臂梁和悬臂梁三种，如图3-1(a)、(b)、(c)所示，其支座反力都只有三个，可取全 图3-１ 2．内力 截面法是将结构沿所求内力的截面截开，取截面任一侧的部分为隔离体，由平衡条件计算截面内力的一种基本方法。 （1 轴力以拉力为正；剪力以绕隔离体有顺时 针转动趋势者为正；弯矩以使梁的下侧纤维受 拉者为正，如图3-2(b) （2）梁的内力与截面一侧外力的关系图3-2 1) 轴力的数值等于截面一侧的所有外力(包括荷载和反力)沿截面法线方向的投影代数和。 2) 剪力的数值等于截面一侧所有外力沿截面方向的投影代数和。 3) 弯矩的数值等于截面一侧所有外力对截面形心的力矩代数和。 3．利用微分关系作内力图 表示结构上各截面内力数值的图形称为内力图。内力图常用平行于杆轴线的坐标表示截面位置(此坐标轴常称为基线)，而用垂直于杆轴线的坐标(亦称竖标)表示内力的数值而绘出的。弯矩图要画在杆件的受拉侧，不标注正负号；剪力图和轴力图将正值的竖标绘在基线的上方，同时要标注正负号。绘内力图的基本方法是先写出内力方程，即以变量x表示任意截面的位置并由截面法写出所求内力与x之间的函数关系式，然后由方程作图。但通常采用的 （1）荷载与内力之间的微分关系

简支梁设计计算

第四章 简支梁（板）桥设计计算 第一节 简支梁（板）桥主梁内力计算 对于简支梁桥的一片主梁，知道了永久作用和通过荷载横向分布系数求得的可变作用，就可按工程力学的方法计算主梁截面的内力（弯矩M 和剪力Q ），有了截面内力，就可按结构设计原理进行该主梁的设计和验算。 对于跨径在10m 以内的一般小跨径混凝土简支梁（板）桥，通常只需计算跨中截面的最大弯矩和支点截面及跨中截面的剪力，跨中与支点之间各截面的剪力可以近似地按直线规律变化，弯矩可假设按二次抛物线规律变化，以简支梁的一个支点为坐标原点，其弯矩变化规律即为： )(42max x l x l M M x -= （4-1） 式中：x M —主梁距离支点x 处的截面弯矩值； m ax M —主梁跨中最大设计弯矩值； l —主梁的计算跨径。 对于较大跨径的简支梁，一般还应计算跨径四分之一截面处的弯矩和剪力。如果主梁沿桥轴方向截面有变化，例如梁肋宽度或梁高有变化，则还应计算截面变化处的主梁内力。 一 永久作用效应计算 钢筋混凝土或预应力混凝土公路桥梁的永久作用，往往占全部设计荷载很大的比重（通常占60～90%），桥梁的跨径愈大，永久作用所占的比重也愈大。因此，设计人员要准确地计算出作用于桥梁上的永久作用。如果在设计之初通过一些近似途径（经验曲线、相近的标准设计或已建桥梁的资料等）估算桥梁的永久作用，则应按试算后确定的结构尺寸重新计算桥梁的永久作用。 在计算永久作用效应时，为简化起见，习惯上往往将沿桥跨分点作用的横隔梁重力、沿桥横向不等分布的铺装层重力以及作用于两侧人行道和栏杆等重力均匀分摊给各主梁承受。因此，对于等截面梁桥的主梁，其永久作用可简单地按均布荷载进行计算。如果需要精确计算，可根据桥梁施工情况，将人行道、栏杆、灯柱和管道等重力像可变作用计算那样，按荷载横向分布的规律进行分配。 对于组合式梁桥，应按实际施工组合的情况，分阶段计算其永久作用效应。 对于预应力混凝土简支梁桥，在施加预应力阶段，往往要利用梁体自重，或称先期永久作用，来抵消强大钢丝束张拉力在梁体上翼缘产生的拉应力。在此情况下，也要将永久作用分成两个阶段（即先期永久作用和后期永久作用）来进行计算。在特殊情况下，永久作用可能还要分成更多的阶段来计算。 得到永久作用集度值g 之后，就可按材料力学公式计算出梁内各截面的弯矩M 和剪力Q 。当永久作用分阶段计算时，应按各阶段的永久作用集度值g i 来计算主梁内力，以便进行内力或应力组合。 下面通过一个计算实例来说明永久作用效应的计算方法。 例4-1：计算图4-1 所示标准跨径为20m 、由5片主梁组成的装配式钢筋混凝土简支梁桥主梁的永久作用效应，已知每侧的栏杆及人行道构件的永久作用为m kN /5。 图4-1 装配式钢筋混凝土简支梁桥一般构造图（单位：cm ）

第四章简支梁设计计算

第四章 简支梁（板）桥设计计算 第一节 简支梁（板）桥主梁内力计算 对于简支梁桥的一片主梁，知道了永久作用和通过荷载横向分布系数求得的可变作用，就可按工程力学的方法计算主梁截面的内力（弯矩M 和剪力Q ），有了截面内力，就可按结构设计原理进行该主梁的设计和验算。 对于跨径在10m 以内的一般小跨径混凝土简支梁（板）桥，通常只需计算跨中截面的最大弯矩和支点截面及跨中截面的剪力，跨中与支点之间各截面的剪力可以近似地按直线规律变化，弯矩可假设按二次抛物线规律变化，以简支梁的一个支点为坐标原点，其弯矩变化规律即为： )(42 max x l x l M M x -= （4-1） 式中：x M —主梁距离支点x 处的截面弯矩值； m ax M —主梁跨中最大设计弯矩值； l —主梁的计算跨径。 对于较大跨径的简支梁，一般还应计算跨径四分之一截面处的弯矩和剪力。如果主梁沿桥轴方向截面有变化，例如梁肋宽度或梁高有变化，则还应计算截面变化处的主梁内力。 一 永久作用效应计算 钢筋混凝土或预应力混凝土公路桥梁的永久作用，往往占全部设计荷载很大的比重（通常占60～90%），桥梁的跨径愈大，永久作用所占的比重也愈大。因此，设计人员要准确地计算出作用于桥梁上的永久作用。如果在设计之初通过一些近似途径（经验曲线、相近的标准设计或已建桥梁的资料等）估算桥梁的永久作用，则应按试算后确定的结构尺寸重新计算桥梁的永久作用。 在计算永久作用效应时，为简化起见，习惯上往往将沿桥跨分点作用的横隔梁重力、沿桥横向不等分布的铺装层重力以及作用于两侧人行道和栏杆等重力均匀分摊给各主梁承受。因此，对于等截面梁桥的主梁，其永久作用可简单地按均布荷载进行计算。如果需要精确计算，可根据桥梁施工情况，将人行道、栏杆、灯柱和管道等重力像可变作用计算那样，按荷载横向分布的规律进行分配。 对于组合式梁桥，应按实际施工组合的情况，分阶段计算其永久作用效应。 对于预应力混凝土简支梁桥，在施加预应力阶段，往往要利用梁体自重，或称先期永久作用，来抵消强大钢丝束张拉力在梁体上翼缘产生的拉应力。在此情况下，也要将永久作用分成两个阶段（即先期永久作用和后期永久作用）来进行计算。在特殊情况下，永久作用可能还要分成更多的阶段来计算。 得到永久作用集度值g 之后，就可按材料力学公式计算出梁内各截面的弯矩M 和剪力Q 。当永久作用分阶段计算时，应按各阶段的永久作用集度值g i 来计算主梁内力，以便进行内力或应力组合。 下面通过一个计算实例来说明永久作用效应的计算方法。

简支梁计算公式总汇

简支梁在各种荷载作用下跨中最大挠度计算公式： 均布荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式: Ymax = 5ql^4/(384EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). q 为均布线荷载标准值(kn/m). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 跨中一个集中荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式: Ymax = 8pl^3/(384EI)=1pl^3/(48EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). p 为各个集中荷载标准值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 跨间等间距布置两个相等的集中荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式: Ymax = 6.81pl^3/(384EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). p 为各个集中荷载标准值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4).

跨间等间距布置三个相等的集中荷载下的最大挠度,其计算公式: Ymax = 6.33pl^3/(384EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). p 为各个集中荷载标准值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 悬臂梁受均布荷载或自由端受集中荷载作用时，自由端最大挠度分别为的,其计算公式: Ymax =1ql^4/(8EI). ;Ymax =1pl^3/(3EI). q 为均布线荷载标准值(kn/m). ;p 为各个集中荷载标准值之和(kn). 你可以根据最大挠度控制1/400，荷载条件25kn/m以及一些其他荷载条件 进行反算，看能满足的上部荷载要求！

混凝土结构计算例题

单筋矩形截面梁正截面受弯承载力计算例题 1．钢筋混凝土简支梁,计算跨度l =5.4m ，承受均布荷载，恒载标准值g k =10kN/m ，活载标准值q k =16kN/m ，恒载和活载的分项系数分别为γG =1.2，γQ =1.4。试确定该梁截面尺寸，并求抗弯所需的纵向受拉钢筋A s 。 解：⑴选用材料 混凝土C30，2c N/mm 3.14=f ，2t N/mm 43.1=f ； HRB400 钢筋，2y N/mm 360=f ，518.0b =ξ ⑵确定截面尺寸 mm 675~450540081~12181~121=??? ? ??=??? ??=l h ，取mm 500=h mm 250~16750021~3121~31=??? ? ??=??? ??=h b ，取mm 200=b ⑶内力计算 荷载设计值 kN/m 4.34164.1102.1k Q k G =?+?=+=q g q γγ 跨中弯矩设计值 m kN 4.1254.54.348 18122?=??==ql M ⑷配筋计算 布置一排受拉钢筋，取mm 40s =a ，则m m 46040500s 0=-=-=a h h 将已知值代入 ??? ? ?-=20c 1x h bx f M α，得??? ??-??=?24602003.140.1104.1256x x 整理为 0876929202=+-x x 解得m m 238460518.0m m 1080b =?=<=h x ξ，满足适筋梁要求 由基本公式，得2y c 1s mm 858360 1082003.140.1=???==f bx f A α 002.000179.0360 43.145.045.0y t <=?=f f Θ， 002.0min =∴ρ

斜截面承载力计算例题

斜截面承载力计算例题

1．一钢筋混凝土矩形截面简支梁，截面尺寸250mm ×500mm ，混凝土强度等级为C30，箍筋为热轧HPB300级钢筋，纵筋为325的HRB335级钢筋（f y =300 N/mm 2），支座处截面的剪力最大值为180kN 。 求：箍筋和弯起钢筋的数量。 解：486.1250 465 , 4650<====b h mm h h w w 属厚腹梁，混凝土强度等级为C30，故βc =1 N V N bh f c c 18000075.4155934652503.14125.025.0max 0=>=????=β截面 符合要求。 （2）验算是否需要计算配置箍筋 ), 180000(25.11636646525043.17.07.0max 0N V N bh f t =<=???= 故需要进行配箍计算。 （3）只配箍筋而不用弯起钢筋 01 07.0h s nA f bh f V sv yv t ?? += 则 mm mm s nA sv /507.021 = 若选用Φ8@180 ，实有 可以）(507.0559.0180 3 .5021>=?=s nA sv 配箍率%224.0180 2503 .5021=??== bs nA sv sv ρ 最小配箍率)(%127.0270 43 .124.024 .0min 可以sv yv t sv f f ρρ <=?==

2．钢筋混凝土矩形截面简支梁，如图5－27 ，截面尺寸250mm×500mm，混凝土强度等级为C30，箍筋为热轧HPB300级钢筋，纵筋为225和222的HRB400级钢筋。 求：只配箍筋 解：

有限元法分析荷载作用下简支梁受力问题

有限元法分析荷载作用下简支梁受力问题 摘要：本文应用有限元数值分析方法，以简支梁为例，比较梁单元与实体单元的差异，并利用弹性力学解析解对照分析二者解的误差。分析认为对于杆件，采用梁单元建立有限元模型计算简单迅速，结果精度满足工程要求；但对于单个构件的整个应力场进行分析时，需要采用实体单元，并且单元尺寸足够小，才能够得到与实际情况接近的应力分布。 关键字：有限元；简支梁；受力 正文： 在建筑工程技术领域，许多力学问题难以用解析方法求解。有限元方法作为数值解法的一种，常被应用于求解工程中的力学问题和场问题。在土建领域中，绝大多数应力应变问题都应用有限元法进行计算，得到解的精度也是满足工程需要的。但是，在不同的单元模型之间，刚度矩阵的建立和边界条件的设定是有差异的。 有限元分析的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂问题，因而成为行之有效的工程分析手段。简支梁在土建领域有着非常广泛的应用，怎样对简支梁在实际工程中的力学性状进行准确分析，这一问题就显得十分关键。本文以简支梁为例，比较梁单元与实体单元的差异，采用有限元结构分析方法并利用弹性力学解析解对照分析二者解的误差提高计算精度。 1有限元分析的理论和步骤 有限元法的核心部分即为求解近似变分方程，就是将有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元作分片插值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。有限元法把连续体离散成有限个单元：杆系结构的单元是每一个杆件；连续体的单元是各种形状（如三角形、四边形、六面体等）的单元体。每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代数方程组，求解此离散方程组就得到有限元法的数值解。有限元法已被用于求解线性和非线性问题，并建立了各种有限元模型，如协调、不协调、混合、杂交、拟协调元等。有限元法十分有效、通用性强、应用广泛，已有许多大型或专用程序系统供工程设计使用。结合计算机辅助设计技术，有限元法也被用于复杂工程

某桥梁计算实例

某桥梁计算实例

设计原始资料 1.地形、地貌、气象、工程地质及水文地质、地震烈度等自然情况（1）气象：天津地区气候属于暖温带亚湿润大陆性季风气候区，部分地区受海洋气候影响。四季分明，冬季寒冷干旱，春季大风频繁，夏季炎热多雨，雨量集中，秋季冷暖变化显著。年平均气温1 2.20C，最冷月平均气温-40C，七月平均气温26.40C。 （2）工程地质：地铁1号线经过地区处于海河冲积平原上，地形平坦，地势低平，地下水位埋深较浅，沿线分布了较多的粉砂、细砂、粉土，均为地震可液化层，局部地段具有地震液化现象。沿线地层简单，第四系地层广泛发育，地层分布从上到下依次为人工堆积层、新近沉积层、上部陆相层、第一海相层、中上部陆相层、上部及中上部地层广泛发育沉积有十几米厚的软土。 a.人工填土层，厚度5m，?k=100KP a； b.粉质黏土，中密，厚度15m，?k=150 KP a； c.粉质黏土，密实，厚度15m，?k=180KP a； d.粉质黏土，密实，厚度10m，?k=190KP a。 第一章方案比选 一、桥型方案比选 桥梁的形式可考虑拱桥、梁桥、梁拱组合桥和斜拉桥。任选三种作比较，从安全、功能、经济、美观、施工、占地与工期多方面比选，最终确定桥梁形式。 桥梁设计原则 1．适用性 桥上应保证车辆和人群的安全畅通，并应满足将来交通量增长的需要。桥下应满足泄洪、安全通航或通车等要求。建成的桥梁应保证使用年限，并便于检查和维修。 2．舒适与安全性 现代桥梁设计越来越强调舒适度，要控制桥梁的竖向与横向振幅，避免车辆在桥上振动与冲击。整个桥跨结构及各部分构件，在制造、运输、安装和使用过程中应具有足够的强度、刚度、稳定性和耐久性。 3．经济性 设计的经济性一般应占首位。经济性应综合发展远景及将来的养护和维修等费用。 4．先进性 桥梁设计应体现现代桥梁建设的新技术。应便于制造和架设，应尽量 2

第二课 钢结构稳定及简支梁计算

第二课钢结构稳定及简支梁设计 门刚整体失稳 檩条失稳

屋面梁失稳 脚手架失稳

1、钢结构的稳定问题 与强度问题有何区别？ 强度问题针对结构或构件在稳定平衡状态下由荷载所引起的最大应力（或内力）是否超过建筑材料的极限强度。本质上是应力问题。稳定问题主要是找出外荷载与构件或结构内部抵抗力间的不稳定平衡状态。属于结构或构件的整体刚度问题。 总结：强度针对构件截面而言，稳定针对整个杆件或整个结构。 钢结构稳定问题有哪些特点？ A：失稳形式多样性。凡是结构的受压部位，在设计时必须认真考虑其稳定性。比如轴心受压杆件一般存在三种失稳形式，对各种截面的失稳特性了然于心才能合理用材。 B：结构整体性，构件之间往往存在唇亡齿寒关系。因此不能单独地考究某根杆件，而应综合考察其他杆件对它的约束作用。这种约束作用要从结构的整体分析来分析，这就是稳定问题的整体性。例如：

C：相关性。 各种失稳模式的耦合、局部与整体稳定相关。 钢结构稳定计算需要注意的事项？ A：从结构整体着眼，注意一些稳定近似处理方法的适用范围 B：叠加原理不再适用。 叠加原理适用条件 a:材料服从胡克定律，应力与应变成正比。 b:结构变形很小，可以用一阶分析计算。 外延：目前主流软件弹性阶段怎么计算？ 结构设计工作中怎么把控？ 设计时应考虑三个维度：结构整体、构件稳定、板件局部稳定。 结构整体之稳定性 目前中国规范处理方法 一些大跨度空间结构需要通过几何非线性甚至双非线性计算来保证，几何非线性可采用midas gen和sap2000等实现，双非线性推荐采用ANSYS。

构件稳定性 可通过规范相关条文计算实现，重要构件建议采用有限元进行稳定性分析。 局部稳定 通过构造保证。 结构稳定设计中需要注意哪些事宜？ A：实用计算方法所依据的简图和适用性。 如：框架柱稳定计算所采用的计算长度系数是针对横梁不承受轴力的情况得出的，若横梁轴力大则需对原数据进行修正。 B：结构稳定性计算和结构布置方案相符合。 例如桁架、塔架等的构件出平面稳定性计算需注意此问题，正确确定平面外计算长度。 C：构造稳定计算和构造设计一致性。 会有不同于强度计算的一些要求。 梁的稳定问题

斜截面承载力计算例题

500mm ，混凝土强度等级为 C30，箍筋为热轧 HPB300 级钢筋，纵筋为325的HRB335 级钢筋(fy=300 N/mm 2)， 支座处截面的剪力最大值为 180kN 。 求：箍筋和弯起钢筋的数量。 h w 465 解：h w h 0 465mm,一 1.86 4 b 250 属厚腹梁，混凝土强度等级为 C30，故3c =1 0.25 c f c bh 。 0.25 1 14.3 250 465 415593.75N V max 180000N 截面符合要 求。 (2) 验算是否需要计算配置箍筋 0.7f t bh 0 0.7 1.43 250 465 116366.25N V max ( 180000N), 故需要进行配箍计算。 (3) 只配箍筋而不用弯起钢筋 n A sv1 V 0.7f t bh 。 f y V 型 h 。 s 则 sv1 0.507mm 2 / mm s 若选用①8@180 ，实有 nA sv1 2 50.3 0.559 0.507（可 以） s 180 配箍率 sv nA sv1 2 50.3 0.224% bs 250 180 最小配箍率 svmin 0.24- f t 1 43 0.24 0.127% sv （可 以） f yv 270 1 .一钢筋混凝土矩形截面简支梁，截面尺寸 250mm X

154800 89512.5 270 nA sv1 2 .钢筋混凝土矩形截面简支梁，如图 5 - 27 ,截面尺寸250mm x 500mm，混凝土强度等级为C30，箍筋为热轧HPB300级钢筋，纵筋为225和222的HRB400级钢筋。求：只配箍筋 1 1 V max— qln — 60 (5.4 0.24) 154.8KN 2 2 (2 )验算截面尺寸 h w h0 465 mm,^4651.86 4 b 250 属厚腹梁，混凝土强度等级为C20 , f cuk=20N/mm 2<50 N/mm 2故伦=1 0.25 c f c bh00.25 1 14.3 250 465 4155937.5N V max 截面符合要求。 (3)验算是否需要计算配置箍筋 0.7f t bh。0.7 1.43 250 465 116366.25N V max,故需要进行配箍计算。 (4) 只配箍筋而不用弯起钢筋 V 0.7f t bh0 nA sv1 f yv h0 s (1)求剪力设计值 支座边缘处截面的剪力值最大 465

预应力混凝土简支梁计算

表1 活荷载内力计算结果 1.1设计资料 （1）简支梁跨径：主梁标准跨径30m ，梁全长29.96m ，计算跨径29.16m 。 （2）基本构造：上翼缘板宽2.3m ，每一梁端处横隔板厚度30cm ，1/4 跨和跨中位置处横隔板厚度为20cm ，二期恒载：6.0kN/m 。 （3）活荷载：公路—II 级汽车荷载，人群荷载按3.02kN /m 计算。活 载内力计算结果如下表。 （4）结构安全等级：二级，结构重要性系数取01γ=。 （5）材料： ①预应力钢筋：采用1×7s φ 15.24钢绞线，有效面积1402mm ，pk f ＝ 1860MPa,弹性模量51.9510p MPa E =?； ②非预应力钢筋：纵向受力钢筋采用HRB335级，箍筋及构造钢筋采用

HRB335，R235级； ③混凝土：C50，43.4510c MPa E =?，抗压强度标准值32.4ck MPa f =，抗压强度设计值22.4cd MPa f =；抗拉强度标准值 2.65tk MPa f =，抗拉强度设计值 1.83td MPa f =。 （6）施工方法：采用后张法两端同时张拉，预应力孔道采用塑料波纹 管； （7）设计要求：按全预应力混凝土或部分预应力混凝土A 类构件设计。 1.2主梁尺寸 主梁各部分尺寸如下图所示。

1.3主梁全截面几何特性 1）主梁翼缘有效宽度'f b ，取下列三者中的最小值： （1）简支梁计算跨径的l/3，即l/3＝29160/3＝9720mm ； （2）相邻两梁的平均间距，对于中梁为2300mm ； （3）()'b 612b h f h ++，式中b 为梁腹板宽度，b h 为承托长度，这里b h ＝0， 'h f 为受压区翼缘处板的厚度， 'h f 可取跨中截面议板厚度的平均值，即' h f ≈ （1000×180＋800×120/2）/1000＝228mm 。所以有()'b 612b h f h ++＝200+6×0＋12×228＝2936mm 。 所以，受压翼缘的有效宽度取'f b ＝2300mm 。 2）全截面几何特征的计算 全截面面积： A=A i ∑ 全截面重心至梁顶的距离：y A A i i u y ∑= 式中 A i 为分块面积，y i 为分块面积的重心至梁顶边的距离。 主梁跨中（1——1）截面的全截面几何特征如表2所示。根据图1可知变化点处的截面几何尺寸与跨中截面相同，故几何特征也相同，为 A=∑A i ＝9000002mm ; ∑S i =A i ×y i ＝478920×3103mm ; /532u i y S A mm ==∑； 4305.620x i I I I mm =+=∑∑ 式中 I i —分块面积A i 对其自身重心轴的惯性矩； I x —A i 对x-x （重心）轴的惯性矩。

课程设计--简支梁的内力计算

课程设计--简支梁的内力计算

成绩评定表

课程设计任务书

指导教师： 201 年月日专业负责人： 201 年月日 学院教学副院长： 201 年月日 简支粱结构的内力计算 问题阐述 图示简支梁为18号工字钢，跨度L=6m，截面高度H=0.5m，截面面积A=0.008m2，惯性矩I=0.0002108m4，弹性模量E=2.06e11N/mm2，集中载荷P=100KN。对该梁进行分析，画出弯矩图和剪力图。 图1 简支梁 交互式的求解过程 1.进入ANSYS

在D盘建立一名为1001011317的文件夹，工作文件名为jianzhiliang。然后运行 开始——>程序——>ANSYS11.0.0——> Ansys Product Launcher →file Management →select Working Directory: D:\1001011317，input job name:jianzhiliang→Run 2. 建立几何模型 2.1创建关键点 （1）选择菜单路径：Main Menu：Preprocessor→Modeling→Create→Node→In Active CS。 （2）在创建节点窗口内，在NODE后的编辑框内输入节点号1，并在X，Y，Z后的编辑框内输入0，0，0作为节点1的坐标值，按下该窗口内的Apply按钮。 （3）输入节点号2，并在X，Y，Z后的编辑框内输入3，0，0作为节点2的坐标值，单击该窗口内的Apply按钮。 （4）输入节点号3，并在X，Y，Z后的编辑框内输入6，0，0作为节点3的坐标值，单击该窗口内的Apply按钮。

钢平台受力计算

钢平台受力计算 一、钢平台结构形式 平台纵向长27.8m，横向宽21.85m，结构自下而上分别为：钢管桩（纵4.1m×横5.0m布置，横纵设剪刀撑联结），Ⅰ45型工字钢纵梁（原为单根，建议改用双拼），Ⅰ25型工字钢横梁（间距原来为60cm， 厚 ㈠ 图1 3、内力计算 ⑴、混凝土罐车：

满载时重为60t （即600 kN ），按简支计算，其最不利荷载分布入图2及图3所示： × AB 跨对A 点取矩得 Q B3=60×0.3/5=3.6 kN 从而有Q B =232.2×2+3.6=468 kN 故Q max =468 kN 跨中弯矩：M max =270×1.8=486kN ×m

挠度：f max=Pal2（3-4a2/ l2）/（24EI） =270×1.8×52×（3-1.82/52）×103/（24×2.1×9×5020） =13.2mm<5000/250=20mm ⑵、恒载 按等跨简支梁计算： τ=680×2.307×104/（9×5020×8）=43.4 n/mm2<125 n/mm2(满足) f=1.1×0.8+1.4×13.2=19.4mm<5000/250=20mm(满足) ㈡、Ⅰ45型工字钢纵梁验算 依据工况二考虑荷载传递（最不利）

Q G=(12.874+14.289+17.145+3.3)/4.1=11.6kn/m （Q G=(12.874+14.289+17.145+6.593)/4.1=12.5kn/m）Q Q=468/4.1=115kn/m（近似等效为均布荷载） 从而 q=1.1×11.6+1.4×115=174kn/m f=5×175×4.14×103/（384×2×2×32240） =5.0mm<4100/250=16.4mm(满足) 三、沿纵向行进时（经验算均满足） ㈠、Ⅰ45型工字钢横梁验算

支撑梁的抗弯强度计算

简支梁抗弯强度计算 问题：我要做一台简单的油压机。跨度1200mm。压力100吨，现打算用两根32a的工字钢并排做顶梁（即横梁）。油缸装在两根工字钢中间。请各位大师傅帮忙计算，抗弯强度够不够？如果不够，是否可以在上下贴钢板加强。 计算一： 把双工字钢横梁看作是在中间承受集中载荷的简支梁。 每半边梁承受载荷P=100 t /2=50 t 。 中间截面上弯矩为Mmaxm=PL/4=50000 kg *120 cm /4=1500000 kg?cm 。 32A工字钢抗弯截面系数W=692cm^3 。 最大应力： σmax=Mmax/W=1500000kg?cm/692cm^3=2167.63 kg/cm^2=212.51MPa 。 普通碳素钢Q235的屈服点为240 MPa 。 安全系数仅为240/212.51=1.13 。 实际梁并非简支，结构装配也还须钻孔等，因而抗弯强度近于临界，应适当加强。

补充：对于复杂结构，不容易准确计算，只好与简支梁对比设计。要注意，尽量减低工字梁遭受偏倾载荷的程度。25mm的钢板抗弯刚度恐嫌不足，为此，最好在下板与主梁之间再加一个由截面足够大的型钢焊成的方框，以改善主梁受力状况。在主梁和方框的危险部位，需焊接足够的肋板（或叫“筋”）。 计算二： 一、梁的静力计算概况 1、单跨梁形式：简支梁 2、荷载受力形式：简支梁中间受集中载荷 3、计算模型基本参数：长 L =6 M 4、集中力：标准值Pk=Pg+Pq =40+40=80 KN 设计值Pd=Pg*γG+Pq*γQ =40*1.2+40*1.4=104 KN 二、选择受荷截面 1、截面类型：工字钢：I40c 2、截面特性： Ix= 23850cm4 Wx= 1190cm3 Sx= 711.2cm3 G= 80.1kg/m 翼缘厚度tf= 16.5mm 腹板厚度tw= 14.5mm 三、相关参数 1、材质：Q235 2、x轴塑性发展系数γx：1.05 3、梁的挠度控制［v］：L/250 四、内力计算结果 1、支座反力 RA = RB =52 KN 2、支座反力 RB = Pd / 2 =52 KN 3、最大弯矩 Mmax = Pd * L / 4 =156 KN.M 五、强度及刚度验算结果 1、弯曲正应力σmax = Mmax / (γx * Wx)＝124.85 N/mm2 2、A处剪应力τA = RA * Sx / (Ix * tw)＝10.69 N/mm2 3、B处剪应力τB = RB * Sx / (Ix * tw)＝10.69 N/mm2 4、最大挠度 fmax = Pk * L ^ 3 / 48 * 1 / ( E * I )=7.33 mm 5、相对挠度 v = fmax / L =1/ 818.8 弯曲正应力σmax= 124.85 N/mm2 < 抗弯设计值 f : 205 N/mm2 ok! 支座最大剪应力τmax= 10.69 N/mm2 < 抗剪设计值fv : 125 N/mm2 ok! 跨中挠度相对值 v=L/ 818.8 < 挠度控制值［v］:L/ 250 ok! 验算通过！

弯矩剪力支反力计算例题

第三章静定梁与静定刚架 目的要求：熟练掌握静定梁和静定刚架的内力计算和内力图的绘制方法，熟练掌握绘制弯矩图的叠加法及内力图的形状特征，掌握绘制弯矩图的技巧。掌握多跨静定梁的几何组成特点和受力特点。能恰当选取隔离体和平衡方程计算静定结构的内力。 重点：截面法、微分关系的应用、简支梁叠加法。 难点：简支梁叠加法，绘制弯矩图的技巧 §3-1 单跨静定梁 1．反力 常见的单跨静定梁有简支梁、伸臂梁和悬臂梁三种，如图3-1(a)、(b)、(c)所示，其支座反力都只有三个，可取全梁为隔离体，由三个平衡条件求出。 图3-１ 2．内力 截面法是将结构沿所求内力的截面截开，取截面任一侧的部分为隔离体，由平衡条件计算截面内力的一种基本方法。 （1）内力正负号规定 轴力以拉力为正；剪力以绕隔离体有顺时 针转动趋势者为正；弯矩以使梁的下侧纤维受 拉者为正，如图3-2(b)所示。 （2）梁的内力与截面一侧外力的关系图3-2 1) 轴力的数值等于截面一侧的所有外力(包括荷载和反力)沿截面法线方向的投影代数和。 2) 剪力的数值等于截面一侧所有外力沿截面方向的投影代数和。 3) 弯矩的数值等于截面一侧所有外力对截面形心的力矩代数和。 3．利用微分关系作内力图 表示结构上各截面内力数值的图形称为内力图。内力图常用平行于杆轴线的坐标表示截面位置(此坐标轴常称为基线)，而用垂直于杆轴线的坐标(亦称竖标)表示内力的数值而绘出的。弯矩图要画在杆件的受拉侧，不标注正负号；剪力图和轴力图将正值的竖标绘在基线的上方，同时要标注正负号。绘内力图的基本方法是先写出内力方程，即以变量x表示任意截面的位置并由截面法写出所求内力与x之间的函数关系式，然后由方程作图。但通常采用的是利用微分关系来作内力图的方法。 （1）荷载与内力之间的微分关系

简支梁计算

墙梁、简支檩条的计算方法有三种，如下： 1、验算规范：门规CECS202：2002 风吸力验算方法：附录E 2、验算规范：冷弯薄壁型钢新规范GB50018 风吸力验算方法：附录E 3、验算规范：门规CECS202：2002 风吸力验算方法：按（式6.3.7-2）验算 说明：方法二和方法三强度稳定应力计算公式相同，但荷载取值根据不同规范有所区别。计算结果的变形控制也不一样，排除控制限值与荷载取值之间的差异。 方法一与方法二计算原理上有差异，强度计算结果一致，风吸力作用下下翼缘受压，稳定性计算结果有差异，在设置拉条的情况下，方法二在按冷弯薄壁型钢规范计算结果比按门规CECS202：2002计算结果偏小，C型截面两种方法计算结果的差异要比Z型截面大，两种方法计算公式差较大，从原理上分析，造成这种计算结果的差异原因之一可能是规程E附录选择吗门规一附录E计算方法虽然烤炉了屋面版对受压下翼缘失稳的弹性约束有影响，但在计算受压下翼缘压弯屈曲承载力降低系数时，受压区长度对简支檩条取的是跨长，而对冷弯薄壁型钢新规范计算时，受压构件平面外计算长度取的事拉条间距。 当设置拉条情况下，按门规，附录E计算出的自由翼缘的计算长度比按冷弯薄壁型钢计算的受弯构件整体稳定系数小，因此，风吸力作用下，按附录E 算得的承载力降低系数要比冷弯薄壁型钢计算结果偏大，在相同平面外计算长度情况下，如不设拉条，一般按冷弯薄壁型钢新规范计算结果偏大。因此，在

选择计算计算方法时，应该根据计算原则区别，根据实际的设置情况来选择。 如拉条设置在檩条的下侧或墙梁的内侧，或两侧均设置拉条的情况，风吸力作用下，拉条确实能起到下翼缘或墙梁的内翼缘平面外支撑作用时，选择冷弯薄壁型钢计算方法是合理的，选择门规-附录E计算方法偏大。如果风吸力作用下，拉条不能取到平面外支撑作用，选择门规-附录E的方法比较符合实际情况，在檩条、墙梁计算时，方法的选择建议按下列原则进行：方法一，用于仅在靠近檩条的上翼缘侧或墙梁的外翼缘侧单侧设置拉条的情况。方法二、三，拉条设置在靠近檩条的下翼缘侧或墙梁的内翼缘侧或两侧均设置拉条的情况。方法二与方法三的差别，主要在冷弯薄壁型钢新规范与门规在挠度的控制限值不一样，计算结果说明，输入檩条结果文件名，程序自动进行计算。

混凝土结构计算例题

单筋矩形截面梁正截面受弯承载力计算例题 1．钢筋混凝土简支梁,计算跨度l =，承受均布荷载，恒载标准值g k =10kN/m ，活载标准值q k =16kN/m ，恒载和活载的分项系数分别为γG =，γQ =。试确定该梁截面尺寸，并求抗弯所需的纵向受拉钢筋A s 。 解：⑴选用材料 混凝土C30，2c N/mm 3.14=f ，2t N/mm 43.1=f ； HRB400 钢筋，2y N/mm 360=f ， 518.0b =ξ ⑵确定截面尺寸 mm 675~450540081~12181~121=???? ??=??? ??=l h ，取mm 500=h mm 250~16750021~3121~31=??? ? ??=??? ??=h b ，取mm 200=b ⑶内力计算 荷载设计值 kN/m 4.34164.1102.1k Q k G =?+?=+=q g q γγ 跨中弯矩设计值 m kN 4.1254.54.348 1 8122?=??==ql M @ ⑷配筋计算 布置一排受拉钢筋，取mm 40s =a ，则m m 46040500s 0=-=-=a h h 将已知值代入 ??? ? ? -=20c 1x h bx f M α，得??? ??-??=?24602003.140.1104.1256x x 整理为 0876929202=+-x x 解得m m 238460518.0m m 1080b =?=<=h x ξ，满足适筋梁要求 由基本公式，得2y c 1s mm 858360 108 2003.140.1=???= = f bx f A α 002.000179.0360 43.145.045 .0y t <=?=f f ， 002.0min =∴ρ 2min 2s mm 200500200002.0mm 858=??=>=bh A ρ，满足最小配筋率要求 选3Φ20，2s mm 942=A

梁的内力计算

第四章 梁的内力 第一节 工程实际中的受弯杆 受弯杆件是工程实际中最常见的一种变形杆，通常把以弯曲为主的杆件称为梁。图4－1中列举了例子并画出了它们的计算简图。如图（a ）表示的是房屋建筑中的板、梁、柱结构，其中支撑楼板的大梁AB 受到由楼板传递来的均布荷载q ；图（b ）表示的是一种简易挡水结构，其支持面板的斜梁AC 受到由面板传递来的不均匀分布水压力；图（c ）表示的是一小型公路桥，桥面荷载通过横梁以集中荷载的形式作用到纵梁上；图（d ）表示的是机械中的一种蜗轮杆传动装置，蜗杆受到蜗轮传递来的集中力偶矩m 的作用。 a 房屋建筑中的大梁b 简易挡水结构中的斜梁 c 小跨度公路桥地纵梁 d 机械传动装置中的蜗杆 图4-1 工程实际中的受弯杆 1.1 梁的受力与变形特点 综合上述杆件受力可以看出：当杆件受到垂直于其轴线的外力即横向力或受到位于轴线平面内的外力偶作用时，杆的轴线将由直线变为曲线，这种变形形式称为弯曲．．。在工程实际中受弯杆件的弯曲变形较为复杂，其中最简单的弯曲为平面弯曲。 1.2 平面弯曲的概念 工程中常见梁的横截面往往至少有一根纵向对称轴，该对称轴与梁轴线组成一全梁的纵向对．．．称面．． （如图4－2），当梁上所有外力（包括荷载和反力）均作用在此纵向对称面内时，梁轴线变形后的曲线也在此纵向对称面内，这种弯曲称为平面弯曲．．．．。它是工程中最常见也最基本的弯曲问题。 1.3 梁的简化——计算简图的选取 工程实际中梁的截面、支座与荷载形式多种多样，较为复杂。为计算方便，必须对实际梁进行简化，抽象出代表梁几何与受力特征的力学模型，即梁的计算简图．．．．。 选取梁的计算简图时，应注意遵循下列两个原则：（1）尽可能地反映梁的真实受力情况；（2）尽可能使力学计算简便。

斜截面承载力计算例题

1．一钢筋混凝土矩形截面简支梁，截面尺寸250mm ×500mm ，混凝土强度等级为C30，箍筋为热轧HPB300级钢筋，纵筋为325的HRB335级钢筋（f y =300 N/mm 2），支座处截面的剪力最大值为180kN 。 求：箍筋和弯起钢筋的数量。 解：486.1250 465,4650<====b h mm h h w w 属厚腹梁，混凝土强度等级为C30，故βc =1 N V N bh f c c 18000075.4155934652503.14125.025.0max 0=>=????=β截面符合要求。 （2）验算是否需要计算配置箍筋 ),180000(25.11636646525043.17.07.0max 0N V N bh f t =<=???= 故需要进行配箍计算。 （3）只配箍筋而不用弯起钢筋 0107.0h s nA f bh f V sv yv t ??+= 则 mm mm s nA sv /507.021= 若选用Φ8@180 ，实有 可以）(507.0559.0180 3.5021>=?=s nA sv 配箍率%22 4.01802503.5021=??== bs nA sv sv ρ 最小配箍率)(%127.0270 43.124.024 .0min 可以sv yv t sv f f ρρ<=?==

2．钢筋混凝土矩形截面简支梁，如图5－27 ，截面尺寸250mm ×500mm ，混凝土强度等级为C30，箍筋为热轧HPB300级钢筋，纵筋为225和222的HRB400级钢筋。 求：只配箍筋 解： （1）求剪力设计值 支座边缘处截面的剪力值最大 KN q V 8.154)24.04.5(602 1ln 21max =-??== （2）验算截面尺寸 486.1250 465,4650<====b h mm h h w w 属厚腹梁，混凝土强度等级为C20，f cuk =20N/mm 2<50 N/mm 2故βc =1 max 05.41559374652503.14125.025.0V N bh f c c >=????=β 截面符合要求。 （3）验算是否需要计算配置箍筋 ,25.11636646525043.17.07.0max 0V N bh f t <=???=故需要进行配箍计算。 （4）只配箍筋而不用弯起钢筋 4652705.895121548007.01010??+=?? +=s nA h s nA f bh f V sv sv yv t