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中考数学复习专项训练第二十六章二次函数(含答案)

第二十六章二次函数

【课标要求】

【知识梳理】

1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.

2.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2

的形式，其中

b a

c k a b h 4422

-=-=，.

3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0

a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .

4.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

5.求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222

? ??+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a

x 2-

·2· （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2

的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 6.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用

（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.

（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2

的对称轴是直线

a b x 2-

=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a

（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0

（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.

（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2

与y 轴交点的位置.

当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0

半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则

. 7.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：c bx ax y ++=2

.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.

（2）顶点式：()k h x a y +-=2

.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点

（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2

得交点为(0, c ).

（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2

有且只有一个交点

(h ,c bh ah ++2

（3）抛物线与x 轴的交点

二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02

=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点?0>??抛物线与x 轴相交；

②有一个交点（顶点在x 轴上）?0=??抛物线与x 轴相切； ③没有交点?0

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2

的两个实数根.

（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G

的交点，由方程组

bx ax y n kx y ++=+=2

的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时?l

与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点；③方程组无解时?l 与

G 没有交点.

（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为

()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故

c x x a b x x =

?-=+2121,()()a a ac b a c

a b x x x x x x x x AB ?=-=-??

1．二次函数y=－x 2＋6x －5，当x 时， 0

++-=m mx x y 的顶点坐标在第三象限，则m 的值为（） A ．21>-

4．二次函数y=x 2+2x －7的函数值是8，那么对应的x 的值是（） A ．3 B ．5 C ．－3和5 D ．3和－5 5．抛物线y=x 2－x 的顶点坐标是（）

·4· 11111

A.(1,1) .(,1) .(,) .(,

)

22424

B C D - 6．二次函数c bx ax y ++=2

的图象，如图1－2－40所示，根据图象可得a 、b 、c 与0的大

7．小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一

跳，函数h=3．5 t －4．9 t 2(t 的单位s ；h 中的单位：m ）可以描述他跳跃时重心高度的变化．如图，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（） A ．0．71s B ．0.70s C ．0.63s D ．0．36s

8．已知抛物线的解析式为y=－（x —2）2＋l ，则抛物线的顶点坐标是（） A ．（－2，1）B ．（2，l ）C ．（2，－1）D ．（1，2）

9．若二次函数y=x 2－x 与y=－x 2+k 的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是（） A ．这两个函数图象有相同的对称轴 B ．这两个函数图象的开口方向相反 C ．方程－x 2+k=0没有实数根 D ．二次函数y=－x 2＋k 的最大值为12

10．抛物线y=x 2 +2x －3与x 轴的交点的个数有（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 11．抛物线y=（x —l ）2 +2的对称轴是（）

12．已知二次函数c bx ax y ++=2

的图象如图所示，则在“① a ＜0，②b

＞0，③c ＜ 0，④b 2－4ac ＞0”中，正确的判断是（） A 、①②③④ B 、④ C 、①②③ D 、①④

13．已知二次函数c bx ax y ++=2

(a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：

①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=

－2时，x 的值只能取0．其中正确的个数是（） A ．l 个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

14．如图，抛物线的顶点P 的坐标是（1，－3），则此抛物线对应的二

15．用列表法画二次函数c bx ax y ++=2

的图象时先列一个表，当表中对

自变量x 的值以相等间隔的值增加时，函数y 所对应的值依次为：20，56，110，182，274，380，506，650．其中有一个值不正确，这个不正确的值是（）

A．506 B．380 C．274 D．182

16．将二次函数y=x2－4x+ 6化为y=(x—h)2+k的形式：y=___________

17．把二次函数y=x2－4x+5化成y=(x—h)2+k的形式：y=___________

18．若二次函数y=x2－4x+c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c=__

_________________（只要求写一个）．

19．抛物线y=(x－1)2+3的顶点坐标是____________．

20．二次函数y=x2－2x－3与x轴两交点之间的距离为_________.

21. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（－1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点，

(1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线。

(2)若点（x0,y0）在抛物线上，且0≤x0≤4,试写出y0的取值范围。

22．华联商场以每件30元购进一种商品，试销中发现每天的销售量y（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数y=162－3x；

（1）写出商场每天的销售利润w（元）与每件的销售价x（元）的函数关系式；

（2）如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少为最合适？最大销售利润为多少？

23．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过

·6·

程．下面的二次函数图像（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．

根据图像提供的信息，解答下列问题：

（1）求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的

函数关系式；

（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；

（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

24．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面AB的宽是20米，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10米，

（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；

（2）现有一辆载有救援物质的货车从甲地出发，要经过此桥开往乙地，已知甲地到此桥280千米，（桥长忽略不计）货车以每小时40千米的速度开往乙地，当行驶到1小时时，忽然接到紧急通知，前方连降大雨，造成水位以每小时25

.0米的速度持续上涨，（货车接到通知时水位在CD处），当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行；试问：汽车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速

度应超过多少千米？

25.已知直线y＝－2x＋b(b≠0)与x轴交于点A

，与y轴交于点B;一抛物线的解析式为y

)

＝x2－(b＋10)x＋c.

⑴若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y＝－2x＋b上，试确定这条抛物线的解析式；

⑵过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y ＝－2x＋b的解析式.

26．已知抛物线y=(1-m)x2+4x-3开口向下，与x轴交于A(x1,0)和B(x2,0)两点，其中x l

(1)求m的取值范围；

(2)若x12+ x22=10，求抛物线的解析式，并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线；

27．如图，等腰梯形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴的正方向上，A( 0, 6 )，D ( 4，

·8· 6)，且AB=210 . （1）求点B 的坐标；

（2）求经过A 、B 、D 三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中所求的抛物线上是否存在一点P ，使得S △PBD =1

2 S 梯形ABCD 。若存在，请求出

该点坐标，若不存在，请说明理由.

28．数学活动小组接受学校的一项任务：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为6

０

米的木栅栏围成一块生物园地，请设计一个方案使生物园的面积尽可能大。

(1)活动小组提交如图的方案。设靠墙的一边长为x 米，则不靠墙的一边长为(60－2x)米，面积y= (60－2x) x米2．当x=15时，y最大值=450米2。

(2)机灵的小明想：如果改变生物园的形状，围成的面积会更大吗？请你帮小明设计两个方案，要求画出图形，算出面积大小；并找出面积最大的方案．

答案:

·10·

1．>5 2. D 21. (1) (1,4) (2) –5≤y0≤4 22. (1) W= –3x2+252x–4860 (2) W最大=432（元）

23. (1) S= 1

2–2t (t >0) (2) 当S=30时，t=10 (3) 当T=8时，S=16

24. (1) y= –1

25x

(2) 水位约4小时上涨到0,按原速不能安全通过此桥.若要通过需超过60千米/小时25. (1) y=x2–4x–6 或y=x2–10

(2) y= –2x–2 (提示，Rt△ABC中，OB2=OA·OC

26. (1) 1

3(2) y= –x

2+4x–3

27 (1) B(–2, 0) (2) y= –1

2+2x+6

(3) 由抛物线的对称性可知抛物线必过点C，因此，P点必定在直线BD下方，P1 (1+21 ，21 –3) P2（1–21 ，–21 –3）

28．以围墙的一部分为一边，往外围成一个正多边形（五、六、……）R的一半，

如图S=1

2×10 3 ×（20+10×2＋20）=300 3 ≈520米

围成半圆面积最大，最大的面积为：573米2

中考数学复习专项训练 第二十六章 二次函数(含答案)

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