《光学教程》姚启钧课后习题解答

《光学教程》（姚启钧）习题解答

第一章 光的干涉

1、波长为500nm 的绿光投射在间距d 为0.022cm 的双缝上，在距离180cm 处的光屏上形成干涉条纹，求两个亮条纹之间的距离。若改用波长为700nm 的红光投射到此双缝上，两个亮纹之间的距离为多少？算出这两种光第2级亮纹位置的距离。

解：1500nm λ= 改用2700nm λ=

两种光第二级亮纹位置的距离为：

2、在杨氏实验装置中，光源波长为640nm ，两狭缝间距为0.4mm ，光屏离狭缝的距离为50cm ，

试求：⑴光屏上第1亮条纹和中央亮纹之间的距离；⑵若P 点离中央亮纹为0.1mm 问两束光在P 点的相位差是多少？⑶求P 点的光强度和中央点的强度之比。

解：⑴ 7050640100.080.04

r y cm d λ-?=

=??= ⑵由光程差公式 ⑶中央点强度：204I A =

P 点光强为：221cos 4

I A π?

?=+ ??

?

3、把折射率为1.5的玻璃片插入杨氏实验的一束光路中，光屏上原来第5级亮条纹所在的位置变为中央亮条纹，试求插入的玻璃片的厚度。已知光波长为7610m -?

解： 1.5n =，设玻璃片的厚度为d

由玻璃片引起的附加光程差为：()1n d δ'=-

4、波长为500nm 的单色平行光射在间距为0.2mm 的双缝上。通过其中一个缝的能量为另一个的2倍，在离狭缝50cm 的光屏上形成干涉图样，求干涉条纹间距和条纹的可见度。

解： 7050500100.1250.02

r y cm d λ-?=

=??= 由干涉条纹可见度定义：

由题意，设22122A A =，即12

A A =

5、波长为700nm 的光源与菲涅耳双镜的相交棱之间距离为20cm ，棱到光屏间的距离L 为

180cm ，若所得干涉条纹中相邻亮条纹的间隔为1mm ，求双镜平面之间的夹角θ。

解：700,20,180,1nm r cm L cm y mm λ===?= 由菲涅耳双镜干涉条纹间距公式

6、在题1.6 图所示的劳埃德镜实验中，光源S 到观察屏的距离为1.5m ，到劳埃德镜面的垂直距离为2mm 。劳埃德镜长40cm ，置于光源和屏之间的中央。⑴若光波波长

500nm λ=，问条纹间距是多少？⑵确定屏上可以看见条纹的区域大小，此区域内共有几

条条纹？（提示：产生干涉的区域P 1P 2可由图中的几何关系求得）

解：由图示可知：7050050010,40.4, 1.5150nm cm d mm cm r m cm λ-==?==== ①70150

500100.018750.190.4

r y cm mm d λ-?=

=??== ②在观察屏上可以看见条纹的区域为P 1P 2间

即21 3.45 1.16 2.29P P mm =-=，离屏中央1.16mm 上方的2.29mm 范围内可看见条纹。

7、试求能产生红光（700nm λ=）的二级反射干涉条纹的肥皂膜厚度。已知肥皂膜折射率为1.33，且平行光与法向成300角入射。

解：2700, 1.33nm n λ==

由等倾干涉的光程差公式：22

λ

δ=

8、透镜表面通常镀一层如MgF 2（ 1.38n =

）一类的透明物质薄膜，目的是利用干涉来降

P 2 P 1

题

1.6

低玻璃表面的反射。为了使透镜在可见光谱的中心波长（550nm ）处产生极小的反射，则镀层必须有多厚？

解： 1.38n =

物质薄膜厚度使膜上下表面反射光产生干涉相消，光在介质上下表面反射时均存在半波损失。

由光程差公式：

9、在两块玻璃片之间一边放一条厚纸，另一边相互压紧，玻璃片l 长10cm ，纸厚为0.05mm ，

从600的反射角进行观察，问在玻璃片单位长度内看到的干涉条纹数目是多少？设单色光源波长为500nm

解：

02cos602

o n h

δ=

+

相邻亮条纹的高度差为：60500500101

2cos60212

o

h nm mm n λ

-?=

=

=???

可看见总条纹数6

0.0510050010H N h -=

==?? 则在玻璃片单位长度内看到的干涉条纹数目为： 即每cm 内10条。

10、在上题装置中，沿垂直于玻璃表面的方向看去，看到相邻两条暗纹间距为1.4mm 。已知玻璃片长17.9cm ，纸厚0.036mm ，求光波的波长。

解：

当光垂直入射时，等厚干涉的光程差公式：

可得：相邻亮纹所对应的厚度差：2h n

λ?=

由几何关系：

h H l l ?=?，即l h H l

??= 11、波长为400760nm :的可见光正射在一块厚度为61.210m -?，折射率为1.5的薄玻璃片上，试问从玻璃片反射的光中哪些波长的光最强。

解：61.210, 1.5h m n -=?=

由光正入射的等倾干涉光程差公式：22

nh λ

δ=-

使反射光最强的光波满：足22nh j λ

δλ=-

=

12、迈克耳逊干涉仪的反射镜M 2移动0.25mm 时，看到条纹移过的数目为909个，设光为垂直入射，求所用光源的波长。

解：

光垂直入射情况下的等厚干涉的光程差公式：22nh h δ== 移动一级厚度的改变量为：2

h λ?=

13、迈克耳逊干涉仪的平面镜的面积为244cm ?，观察到该镜上有20个条纹，当入射光的波长为589nm 时，两镜面之间的夹角为多少？

解：

由光垂直入射情况下的等厚干涉的光程差公式： 22nh h δ==

相邻级亮条纹的高度差：2

h λ?=

由1M 和2M '构成的空气尖劈的两边高度差为：

14、调节一台迈克耳逊干涉仪，使其用波长为500nm 的扩展光源照明时会出现同心圆环条纹。若要使圆环中心处相继出现1000条圆环条纹，则必须将移动一臂多远的距离？若

M 1 M

2

中心是亮的，试计算第一暗环的角半径。（提示：圆环是等倾干涉图样，计算第一暗环角

半径时可利用21

sin ,cos 12

θθθθ≈≈-的关系。）

解：500nm λ=

出现同心圆环条纹，即干涉为等倾干涉 对中心 2h δ=

15、用单色光观察牛顿环，测得某一亮环的直径为3mm ，在它外边第5个亮环的直径为

4.6mm ，所用平凸透镜的凸面曲率半径为1.03m ，求此单色光的波长。

解：由牛顿环的亮环的半径公式：r = 以上两式相减得：

16、在反射光中观察某单色光所形成的牛顿环，其第2级亮环与第3级亮环间距为1mm ，求第19和20级亮环之间的距离。

解：牛顿环的反射光中所见亮环的半径为：

即：2r =

则：)

2019320.16

0.40.4r r r r r mm ?=-=

=

-==

第2章 光的衍射

1、单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带。求第k 个带的半径。若极点到

观察点的距离0r 为1m ，单色光波长为450nm ，求此时第一半波带的半径。

解：

由公式

对平面平行光照射时，波面为平面，即：R →∞

2、平行单色光从左向右垂直射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像照相机光圈那样改变大小。问：⑴小孔半径应满足什么条件时，才能使得此小孔右侧轴线上距小孔中心4m 的P 点的光强分别得到极大值和极小值；⑵P 点最亮时，小孔直径应为多大？设此光的波长为500nm 。

解：⑴04400r m cm ==

当k 为奇数时，P 点为极大值 当C 数时，P 点为极小值

⑵由()11

2

P k A a a =

±，k 为奇，取“+”

；k 为偶，取“-” 当1k =，即仅露出一个半波带时，P 点最亮。

10.141,(1)H R cm k ==，0.282D cm =

3、波长为500nm 的单色点光源离光阑1m ，光阑上有一个内外半径分别为0.5mm 和1mm 的透光圆环，接收点P 离光阑1m ，求P 点的光强I 与没有光阑时的光强0I 之比。

· S

解：

即从透光圆环所透过的半波带为：2，3，4 设1234a a a a a ==== 没有光阑时

光强之比：22

04

1

12I a I a ==?? ???

4、波长为632.8nm 的平行光射向直径为2.76mm 的圆孔，与孔相距1m 处放一屏，试问：⑴屏上正对圆孔中心的P 点是亮点还是暗点？⑵要使P 点变成与⑴相反的情况，至少要把屏分别向前或向后移动多少？

解：

由公式

对平面平行光照射时，波面为平面，即：R →∞

2

290 2.7623632.8101

H R k r λ-?? ???===??， 即P 点为亮点。 则 0113k r R ??

=?+

???

， 注：0,r R 取m 作单位 向右移，使得2k =，03 1.5, 1.510.52r m r m '=

=?=-=r

向左移，使得4k =，030.75,10.750.254

r m r m '==?=-=s

5、一波带片由五个半波带组成。第一半波带为半径1r

的不透明圆盘，第二半波带是半径

1r 和2r 的透明圆环，第三半波带是2r 至3r 的不透明圆环，第四半波带是3r 至4r 的透明圆环，

第五半波带是4r

至无穷大的不透明区域。已知1234:::r r r r =500nm 的平行单色光照明，最亮的像点在距波带片1m 的轴上，试求：⑴1r ；⑵像点的光强；⑶光强极大值出现在哪些位置上。

解：

⑴

由1234:::r r r r =波带片具有透镜成像的作用，2

Hk

R f k λ

'=

⑵2242,

4A a a a I a =+=

=

无光阑时，2

2

01124I a a ??== ???

即：016I I =，0I 为入射光的强度。

⑶由于波带片还有1

1,3

5

f f ''…等多个焦点存在，即光强极大值在轴上11,3

5

m m …

6、波长为λ的点光源经波带片成一个像点，该波带片有100个透明奇数半波带（1,3,5,…,199）。另外100个不透明偶数半波带。比较用波带片和换上同样焦距和口径的透镜时该像点的强度比0:I I 。

解：由波带片成像时，像点的强度为： 由透镜成像时，像点的强度为： 即

014

I I = 7、平面光的波长为480nm ，垂直照射到宽度为0.4mm 的狭缝上，会聚透镜的焦距为60cm 。分别计算当缝的两边到P 点的相位差为/2π和/6π时，P 点离焦点的距离。

解：

对沿θ方向的衍射光，缝的两边光的光程差为：sin b δθ= 相位差为：22sin b π

π

?δθλ

λ

?==

对使2

π

??=的P 点

对使6

π

??=

的P `

点

8、白光形成的单缝衍射图样中，其中某一波长的第三个次最大值与波长为600nm 的光波的第二个次最大值重合，求该光波的波长。

解：对θ方位，600nm λ=的第二个次最大位 对 λ'的第三个次最大位 即：5722b b

λλ'

?

=? 9、波长为546.1nm 的平行光垂直地射在1mm 宽的缝上，若将焦距为100cm 的透镜紧贴于缝的后面，并使光聚焦到屏上，问衍射图样的中央到⑴第一最小值；⑵第一最大值；⑶第三最小值的距离分别为多少？

解：⑴第一最小值的方位角1θ为：1sin 1b θλ=?

⑵第一最大值的方位角1θ'为：

⑶第3最小值的方位角3θ为：3sin 3b

λ

θ=?

10、钠光通过宽0.2mm 的狭缝后，投射到与缝相距300cm 的照相底片上。所得的第一最小值与第二最小值间的距离为0.885cm ，问钠光的波长为多少？若改用X 射线（0.1nm λ=）做此实验，问底片上这两个最小值之间的距离是多少？

解：

单缝衍射花样最小值位置对应的方位θ满足：

则 11sin 1b

λ

θθ≈=?

11、以纵坐标表示强度，横坐标表示屏上的位置，粗略地画出三缝的夫琅禾费衍射（包括缝与缝之间的干涉）图样。设缝宽为b ，相邻缝间的距离为d ，3d b =。注意缺级问题。 12、一束平行白光垂直入射在每毫米50条刻痕的光栅上，问第一级光谱的末端和第二光

谱的始端的衍射角θ之差为多少？（设可见光中最短的紫光波长为400nm ，最长的红光波长为760nm ）

解：每毫米50条刻痕的光栅，即1

0.0250

d mm mm =

= 第一级光谱的末端对应的衍射方位角1θ末为

第二级光谱的始端对应的衍射方位角2θ始为

13、用可见光（760400nm :）照射光栅时，一级光谱和二级光谱是否重叠？二级和三级怎样？若重叠，则重叠范围是多少？

解：光谱线对应的方位角θ：sin k

d

λ

θθ≈=

即第一级光谱与第二级光谱无重叠 即第二级光谱与第三级光谱有重叠 由215201520

3,506.73

nm nm d d

λ

θλ=

=?=

=末 即第三级光谱的400506.7nm :的光谱与第二级光谱重叠。

14、用波长为589nm 的单色光照射一衍射光栅，其光谱的中央最大值和第二十级主最大值之间的衍射角为01510'，求该光栅1cm 内的缝数是多少？

解：第20级主最大值的衍射角由光栅方程决定 解得20.4510d cm -=?

15、用每毫米内有400条刻痕的平面透射光栅观察波长为589nm 的钠光谱。试问：⑴光垂直入射时，最多功能能观察到几级光谱？⑵光以030角入射时，最多能观察到几级光谱？

解：61

,58910400

d mm mm λ-=

=?

⑴光垂直入射时，由光栅方程：sin d j θλ= 即能看到4级光谱

⑵光以30o 角入射

16、白光垂直照射到一个每毫米250条刻痕的平面透射光栅上，试问在衍射角为030处会出现哪些波长的光？其颜色如何？

解：1

250

d mm =

在30o 的衍射角方向出现的光，应满足光栅方程：sin 30o d j λ=

17、用波长为624nm 的单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽b 为0.012mm ，不透明部分的宽度a 为0.029mm ，缝数N 为310条。求：⑴单缝衍射图样的中央角宽度；⑵单缝衍射图样中央宽度内能看到多少级光谱？⑶谱线的半宽度为多少？

解：0.012,

0.029b mm a mm ==

⑴6

062410220.1040.012

rad b λ

θ-??==?

= ⑵j 级光谱对应的衍射角θ为：

即在单缝图样中央宽度内能看到()2317?+=条（级）光谱 ⑶由多缝干涉最小值位置决定公式：sin j Nd

λ

θ'=?

第3章 几何光学的基本原理

1、证明反射定律符合费马原理 证明：

设A 点坐标为()10,y ，B 点坐标为()22,x y 入射点C 的坐标为(),0x 光程ACB

为：

?=

令

2sin sin 0x x d i i dx -?'==-=

即：sin sin i i '=

*2、根据费马原理可以导出近轴光线条件下，从物点发出并会聚到像点的所有光线的光程都相等。由此导出薄透镜的物像公式。

3、眼睛E 和物体PQ 之间有一块折射率为1.5的玻璃平板（见题3.3图），平板的厚度d 为

30cm 。求物体PQ 的像P `

Q`与物体PQ 之间的距离2d 为多少？

解：

由图：()121211tan tan sin sin 1sin BB d i d i d i i d i n

??

'=-≈-=-

??

?

4、玻璃棱镜的折射角A 为060，对某一波长的光其折射率n 为1.6，计算：⑴最小偏向角；⑵此时的入射角；⑶能使光线从A 角两侧透过棱镜的最小入射角。

解：

⑴ 由()()()1212

112211i i i i i i i i i i A θ'''''=-+-=+-+=+- 当11i i '=时偏向角为最小，即有22

1

302

o i i A '=== ⑵15308o i '= 5、（略）

6、高5cm 的物体距凹面镜顶点12cm ，凹面镜的焦距是10cm ，求像的位置及高度，（并作光路图）

解：

由球面成像公式： 代入数值

112

1220

s +=

'-- 得：60s cm '=- 由公式：0y y s

s '

+

='

7、一个5cm 高的物体放在球面镜前10cm 处成1cm 高的虚像。求⑴此镜的曲率半径；⑵此镜是凸面镜还是凹面镜？

解：⑴5,10y cm s cm ==-

B C

1y cm '=， 虚像0s '> 由

y s y s

''=- 得：2s cm '=

⑵由公式

112

s s r

+=' 5r cm =（为凸面镜）

8、某观察者通过一块薄玻璃板去看在凸面镜中他自己的像。他移动着玻璃板，使得在玻璃板中与在凸面镜中所看到的他眼睛的像重合在一起。若凸面镜的焦距为10cm ，眼睛距凸面镜顶点的距离为40cm ，问玻璃板距观察者眼睛的距离为多少？

解：

由题意，凸面镜焦距为10cm ，即2110

r =

玻璃板距观察者眼睛的距离为1

242

d PP cm '==

9、物体位于凹面镜轴线上焦点之外，在焦点与凹面镜之间放一个与轴线垂直的两表面互相平行的玻璃板，其厚度为1d ，折射率为n 。试证明：放入该玻璃板后使像移动的距离与把凹面镜向物体移动()11/d n n -的一段距离的效果相同。

证明：

设物点P 不动，由成像公式

112s s r

+=' 由题3可知：11110PP d d n

??==-> ??

?

入射到镜面上的光线可视为从1P 发出的，即加入玻璃板后的物距为s d + 反射光线经玻璃板后也要平移d ，所成像的像距为11s s d '''=-

放入玻璃板后像移量为：()()()

1

122r s d rs

s s s d s d r s r +''''?=-=--

+--

凹面镜向物移动d 之后，物距为s d + （0,0s d <>）

2

s '相对o 点距离()

()222r s d s s d d s d r

+'''=-=-+-

10、欲使由无穷远发出的近轴光线通过透明球体并成像在右半球面的顶点处，问这透明球体的折射率应为多少？

解：

由球面折射成像公式：n n n n

s s r

''--=

' 解得： 2n '=

11、有一折射率为1.5、半径为4cm 的玻璃球，物体在距球表面6cm 处，求：⑴物所成的像到球心之间的距离；⑵像的横向放大率。

解：

⑴P 由球面1o 成像为P '，

P '由2o 球面成像P ''

2

11s cm '=，P ''在2o 的右侧，离球心的距离11415cm += ⑵球面1o 成像

1111y s y s n β''=

=? （利用P194：y s n

y s n ''=?'

） 球面2o 成像

12、一个折射率为1.53、直径为20cm 的玻璃球内有两个小气泡。看上去一个恰好在球心，另一个从最近的方向看去，好像在表面与球心连线的中点，求两气泡的实际位置。

解：

设气泡1P 经球面1o 成像于球心，由球面折射成像公式：n n n n

s s r

''--=' 110s cm =-， 即气泡1P 就在球心处

另一个气泡2P

2 6.05s cm =-， 即气泡2P 离球心10 6.05 3.95cm -=

13、直径为1m 的球形鱼缸的中心处有一条小鱼，若玻璃缸壁的影响可忽略不计，求缸外观察者所看到的小鱼的表观位置和横向放大率。

解：由球面折射成像公式：n n n n

s s r

''--=

' 解得 50s cm '=-，在原处

14、玻璃棒一端成半球形，其曲率半径为2cm 。将它水平地浸入折射率为1.33的水中，沿着棒的轴线离球面顶点8cm 处的水中有一物体，利用计算和作图法求像的位置及横向放大率，并作光路图。

解：

由球面折射成像公式：

s s r

-=

' 15、有两块玻璃薄透镜的两表面均各为凸球面及凹球面，其曲率半径为10cm 。一物点在主轴上距镜20cm 处，若物和镜均浸入水中，分别用作图法和计算法求像点的位置。设玻璃的折射率为1.5，水的折射率为1.33。

解：

由薄透镜的物像公式：

211212

n n n n n n s s r r ---=+' 对两表面均为凸球面的薄透镜： 对两表面均为凹球面的薄透镜：

16、一凸透镜在空气的焦距为40cm ，在水中时焦距为136.8cm ，问此透镜的折射率为多

少（水的折射率为1.33）？若将此透镜置于CS 2中（CS 2的折射率为1.62），其焦距又为多少？

解：

⑴ 薄透镜的像方焦距：2

1212n f n n n n r r '=

??

--+ ???

12n n = 时，()1

11211n f n n r r '=

??

-- ?

??

在空气中：()1121

111f n r r '=

??-- ?

??

在水中：()2121.33

111.33f n r r '=??

-- ?

??

两式相比：()()12 1.3340

1.331136.8

n f f n -'==

'- 解得 1.54n = ⑵12 1.62n n == 而：

()

112111

11f n r r '-=

??- ???

则：()1.62

40 1.541437.41.54 1.62

f cm '=

??-=

--

第4章 光学仪器的基本原理

1、眼睛的构造简单地可用一折射球面来表示，其曲率半径为5.55mm ，内部为折射率等于4/3的液体，外部是空气，其折射率近似地等于1。试计算眼球的两个焦距。用肉眼观察月球时月球对眼的张角为01，问视网膜上月球的像有多大？

解：由球面折射成像公式：

n n n n

s s r

''--=

' 令4

3,

5.55 2.22413

n s f r cm n n ''=-∞=?=?='--

令1

,

5.551

6.7413

n s f r cm n n '=∞=-?=-?=-'--

2、把人眼的晶状体看成距视网膜2cm 的一个简单透镜。有人能看清距离在100cm 到300cm 间的物体。试问：⑴此人看远点和近点时，眼睛透镜的焦距是多少？⑵为看清25cm 远的物体，需配戴怎样的眼镜？

解：⑴对于远点：11300,2s cm s cm '=-= 由透镜成像公式：

1

11111

s s f -='' 对于近点：22111

21001.961f f cm

-=

'-'=

⑵对于25cm

由两光具组互相接触0d =组合整体：

11

0.030cm f -=''

（近视度：300o ） 3、一照相机对准远物时，底片距物镜18cm ，当镜头拉至最大长度时，底片与物镜相距

20cm ，求目的物在镜前的最近距离？

解：由题意：照相机对准远物时，底片距物镜18cm ，

由透镜成像公式：

111s s f -=''

4、两星所成的视角为4'，用望远镜物镜照相，所得两像点相距1mm ，问望远镜物镜的焦距是多少？

解： 3.14

118060

rad '=

?

5、一显微镜具有三个物镜和两个目镜。三个物镜的焦距分别为16mm 、4mm 和1.9mm ，两个目镜的放大本领分别为5和10倍。设三个物镜造成的像都能落在像距为160cm 处，问这显微镜的最大和最小的放大本领各为多少？

解：由显微镜的放大本领公式： 其最大放大本领： 其最小放大本领：

6、一显微镜物镜焦距为0.5cm ，目镜焦距为2cm ，两镜间距为22cm 。观察者看到的像在无穷远处。试求物体到物镜的距离和显微镜的放大本领。

解：

由透镜物像公式：

111

s s f -=''

解得：0.51s cm =-

显微镜的放大本领：121225252225

5500.52

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7、（略）

8、已知望远镜物镜的边缘即为有效光阑，试计算并作图求入光瞳和出射光瞳的位置。

9、 10、