数理统计之参数估计(习题库)
第六章习题
1. 指出下列分布中的参数,并写出它的参数空间: (i)二点分布; (ii) 普哇松分布;(iii)在()θ,0上的均匀分布; (iv) 正态分布()2
,σμN
.
解:()i P []1,0=Θ∈；()ii ()∞=Θ∈,0λ；()iii ()∞=Θ∈,0θ；（iv ）()()().,0,,∞?∞∞-=Θ∈σμ
2. 设n ξξ,,1 是来自二点分布的一个子样,试求成功概率p 的矩法估计量.解: p E =ξ ξ=∴p
? 3. 已知母体ξ均匀分布于()βα,之间,试求βα,的矩法估计量.
解: 2
β
αξ+=
E ，()
12
2
αβξ-=
D 。令()???????=-=+2212
2n S αβξβ
α得 n S 3?-=ξα，.3?n
S +=ξβ 4. 对容量为n 的子样,求密度函数 ()()??
???<<-=其它,00,2
;2a
x x a a a x f 中参数a 的矩法估计量.
解: ()322
a dx x a a x E a
=-=
?
ξ 令
ξ=3a
得ξ3?=a . 5. 在密度函数 ()()10,1<<+=x x a x f a 中参数a 的极大似然估计量是什么? 矩法估计量是什么? 解: (1) ()()
()
∏∏==
+=+=
n
i i n
i n
n
i x x L 1
11αα
ααα ()i i
x
?<<1
∴()().ln 1ln ln 1???
? ???++=∏=n i i x n L ααα 令()0ln 1ln 1=++=??∑=i n i x n
L ααα，得 ∑=--=n
i i
L x
n
1
ln 1?α。
由于 ()
01ln 2
22<+-=??ααn
L 故∑=--=n
i i
L x
n
1
ln 1?α是α极大似然估计.
(2) 由211+-
=αξE 令ξα=+-211 得 .11
2?ξ
ξα--=
6. 用极大似然法估计几何分布 ()() ,2,1,11
=-==-k p p k P k ξ中的未知参数p .
解:()()n
x n i p p p L -∑
-=1，令
()01ln =---=??∑p
n
x p n p p L i 得x p
1?=而01
ln 2
?2
<--=??=x x n p L
p
p ξ1?=∴p
是P 的极大似然估计.
7. 设随机变量ξ的密度函数为()0,,21>∞<<-∞=-σσ
σ
x e x f x
，
n ξξ,,1 是ξ的容量为n 的子样,试求σ的极大似然值.
解: ()()∑=--i
x n
e
L σ
σσ1
2，
()01
ln 2
=+-=??∑
i x n L σ
σσσ。得i x n
∑=1
?σ
， 又
0ln 2
2<-=??σσn L 故.1
?∑=i L
n ξσ 8. 设n ξξ,,1 是取自均匀分布()1,+θθR 的母体的一个子样,其中.∞<<∞-θ试证:θ的极大似然估计量不止一个,例如()()()()()()()2
121
,1,13211-+=
-==n n ξξθξξθξξθ都是θ的极大似然估计量. 解: 证:()1,+θθR 的密度函数为()???=01x f 其它1+≤≤θθx ，故()?
??=01
θL ()()其它11+≤≤≤θθn x x
即凡满足()()
1??1+≤≤≤θθn x x 的θ?均为θ的极大似然估计. 从而(1)()()
11?ξξθ=满足此条件，故1?θ是θ的极大似然估计. (2)由于()()11≤-ξξn 故()()()()()1?12
12+≤≤≤-=ξθξξξξθn n ，所以()ξθ2?也是θ的极大似然估计. (3)由于()()11≤-ξξn ， 故()()()1121ξξξ≤-+n ，()()()n n ξξξ211≥++，
从而()()()()()()()()1?2
1212121
?31113
+=++≤≤≤-+=θξξξξξξθn n n ，故3?θ也是θ的LM. 9.设n ξξ,,1 是取自对数正态分布母体ξ的一个子样,即(),.,~12
σμξN n ∞<<∞<<∞-σμ0,
，
试求:ξ的期望值ξE 和方差D ξ的极大似然估计. 解:ξ的密度函数为()()2
2
221σμσπ--
=
x n e
x
x f ，所以(
)()2
21
2
21,σμσπσ
μ--
=∏
=i mx i
n
i e
x L ，0>i x
两边对数并分别对μ和2
σ求寻,并令其为0,得似然方程组
，解得()22ln 1?ln 1?μσμ-==∑∑i i x n x n 经验知μ和2
σ的LM 为: i x n ∑=ln 1
?μ，()22ln 1?μσ
-=∑i x n
又()2
2
2
12ln 0
121
σμσμσ
πξ+--
∞
=?=
?e
dx e x
x E x ，()()
12
22122
2-=-=?
?? ?
?
+σσμξξξe
e
E E D
()()?????
=-+-=-∑∑0ln 21
20ln 12422μσσ
μσi i x n x
从而 ,21?exp 2????
??+=∧∧σμ
ξE .
112
??
? ??-??? ??=∧
∧∧
σξξe E D
10. 一个罐子里装有黑球和白球,有放回地抽取一个容量为n 的子样;其中有k 个白球,求罐子里黑球数和白
球数之比R 的极大似然估计量.
解:设罐子里有白球x 个,则有黑球Rx 个,从而共有()x R 1+个球,从罐中有放回地抽一个球为白球的概率
为:()R x R x +=+111，黑球的概率为.1R R +从而抽球为二点分布()()
.
1111n
k
n k
n k R R R R R R L +=
??
? ??+??? ??+=--似然方程为
01=+--R n R k n 。从而解得1?-=k
n R
. 可验证这是R 的极大似然估计. 11.为检验某种自来水消毒设备的效果,现从消毒后的水中随机抽取50升,化验每升水中大肠杆菌的个数(一
升水中大肠杆菌的个数服从普哇松分布),化验结果如下: 大肠杆菌个数/升 0 1 2 3 4 5 6
升 数
17 20 10 2 1 0 0
试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时,才能使出现上述情况时的概率为最大. 解:由，设一升水中大肠杆菌个数()k ~=ξξP =
λλ-e k k
!
， ,2,1,0=k 又λξ=E .故问题为求λ的极大似
然估计.由()λλλn i x e x L i
-∏∑
=
!
，可得ξλ=L
?.由观测值代入求设1=λ.故每升水中大肠杆菌的个数平均为1时,出现上述情况的概率最大.
12．设()11,ηξ,()n n ηξ,, 是取自二维正态母体()
ρσσ,,,0,02
22
1N 的一个子样,求2
22
1,σσ和ρ的极大似
然估计.
解:由L ()
()
()[]
{()
}?
???????+---?-=-
-222
212
1222
2
2
2
21
2
22
12121
exp 12,,σησσρσρρσ
σ
πρσσi i i i n
n
y x x
可得似然方程为()
()()()????
?
?
?????=∑+????????+---=∑--∑-=--∑-∑∑3021211111112122221222212
22222
12
2122 σσσσσρσρρρσσρρσσσσρρσρi i i i i i i
i i i i
i i y x y y x x n n y x y n y x x 将(1),(2)代入(3)得:[].02
12
1ρσσησσρρn x y x n n n i
i i
i =∑
?=∑
++- (4)
由(4)代入(1),(2)得似然估计:∑=∧
2
21
1i n ξσ ∑=∧
2221i n ησ 2
11?σσηξρ
i i n ∑=.
13． 从四个正态母体(它们都有同样的方差2
σ)中,各抽一个容量为n 的子样,第i 个子样的观测值为
,4,3,2,1,,,2,1,==i n j x ij 若四个母体的平均数分别为,,,,c b a c b a c b a c b a --+--+++试求
c b a ,,和2σ的极大似然估计.
解:(
)
()[]
+++-???-????
??=∑=2
11
242
{21exp 21,,,c b a x
c b a L j
n
j n
σ
σ
πσ
()[]()[]()
[]}2
42
32
2c b a x c b a x c b a x j j j ---++--+-+-+
两边取对数后对c b a ,,分别求导,令其均为0， 即得()432141?x x x x a
+++=，()4
3214
1?x x x x b --+=， ()432141?x x x x c -+-=。对2σ求导代入c b a ?,?,?得=∧
2σ{()[]+++-∑=2
11
???41c b a x n j n j
()[]()[]()[]}2
42
32
2?????????c b a x c b a
x c b a
x j
j
j ---++--+-+-+.
14. 考虑某种离散分布 ()()
,2,1,0,===x f a x P x x θθξ，其中对某些x 可能有()θf a x ,0=有连续导数,
设n ξξ,,1 是取自具有这种分布的母体ξ的一个子样.
()i 证明θ的极大似然估计是方程 ()()
ξθθθξ
E f f ='=
的一个根,这里的极大似然方程与矩法方程相同. ()ii 试求为了估计下列分布而需要的极大似然方程的显式,这些分布是普哇松分布、二项分布.
解: (1)证()()
()()[]
n x x
x
x f a f a L i
i
i
i
θθθθθ∑∏=∏= ()()θθθf n x a L i x i
ln ln ln -∑+∑=∴ 对θ求导得()()01
='-∑θθθf f n x i ()().θθθξf f '=∴又由()11
=∑=θθf a x
x n i 知()x x n
i a f θθ∑==1
从而()()()()()()
.111
θθθθθθθθθθθξf f f a x a f f x a E x x
x x n i x x n
i '?=?'∑==?=
-==∑∑
所以似然方程可写为ξξE =这与矩法方程一致. (2) 对()()
λλλξλ
f a e
x x P x x x
?
==
=-!
其中λθ= !1x a x = ()λ
λe f = 从而()()λλλ
f e f =='， 故似然方程的显式为λξ=.
对二项分布:()()()θθξf a p p x n x P x x x
n x =-???
? ??==-1
p
p
-=
1θ ()().111n
n
x p f x n a --??? ??+-=-=???
? ??=θθθ 又()().1111θθθθθθ+=??? ??+-+='nf n f 故似然方程的显式为()().1np n f f =+-'=θ
θ
θθθξ
15. 设ξ1n ξ 是取自双参数指数分布的一个子样,密度函数()??
???>=--其它,0,1,1
22121
θθθθθ
θx e x ；f x ，其中
.0,21∞<<∞<<∞-θθ试求参数1θ和2θ的极大似然估计和矩法估计.
解: (1) LM 估计()()???
???-∑-=
121211exp 1
,θθθθθn x L i n
，().11θ>x ()()12
1211
ln ,ln θθθθθn x n L i -∑-
-=∴
()11θ>x
0ln 2
1>=??θθn
L 故L ln 是1θ的递增函数,1θ取到最大可能值时可使lnL 达到最大,故1θ的极大似然估计为()
11?ξθ= 由0ln 2
=??θL 可解得2θ的LM 这()
12?ξξθ-=. (2)矩法估计由于212
2
2
1
θθθξθθθ
+==
--
∞
?dx e
x
E x ，()2222θξξξ=-=E E D 故由
()??
???=+-∑==ξθθξξθ2122
221i n n S 解得n S =2?θ .?1n S -=ξθ 16. 设n ξξ,,1 为取自参数为λ的普哇松分布的一个子样.试证子样平均ξ和∑=*--=n
i i n
n S 1
22
)(11ξξ都是λ的无偏估计.并且对任一值10,≤≤αα()2
*
1n S αξα-+也是λ的无偏估计.
证: 对普哇松分布有λξξ==D E , 从而.λξ=E ().11212*λξξξ==??
????--=∑=D E n ES
i n i n
故ξ与2
n S 都是λ的无偏估计. 又()[
]()λλααλαξα=-+=-+112
*
n
S E
故()2
*
1n S αξα-+也是λ的无偏估计.
17.设,,,1n ξξ 为取自正态母体()2
,σμN 的一个子样,试适当选择c ,使()2
1
1
12
∑-=+-=n i i i c S
ξξ为2σ的无偏
估计.
解: 由μξ=i E ，2σξ=i D 且n ξξ,,1 相互独立可知,2μξξξξ=?=j i j i E E E j i ≠ 从而()()()()[]
2
12
112
21
1
2
12122ξξξξξξ
E n E n c E E E E c
ES i i i i n i ---=-+=++=∑
()()12122-=-=n c D n c i σξ.
取()
121-=
n c 时, n S 为2
σ的无偏估计.
18设母体ξ的数学期望为,μ方差.2
σε=D 又设
()()()1
1
1
1
,,n ξξ 和()()()2
2
1
2
,,n ξξ 为取自此母体的两个子
样.试证:()()
(
)()
()
()
??
????????-+--+=∑∑==2
11
2
222
1
1121221n i i
n i i n
n n S ξ
ξ
ξ
ξ是2
σ的无偏估计量. 其中()
()
.2,1,1
1
==∑=j n j
i j i
j
j n
ξ
ξ
证:()()()()()()
??
????-+--+=∑∑==22212111212
2
121ξξξξi n i i n i E E n n ES
()()[]
2222121112
1
σσσ=-+--+=
n n n n , 故2S 是2σ的无偏估计.
19. 设随机变量ξ服从二项分布()()
,1,0,1=-???
? ??==-x x n x P x
n x θθξ,n 试求2θ无偏估计量.
解: 由于θξn E = ()()()()22
2
211θθθθθξξξ-+=+-=+=n n n n n E D E
故()
().122θξξ-=-n n E 从而当抽得容量为N 的一个子样后,
2θ的无偏估计为:(
)
()
.1?2
2--∑=n Nn i i ξξθ
20. 设n ξξ,,1 是取自参数为λ的普哇松分布的一个子样,试求2
λ的无偏估计. 解: 由λξ=E λξ=D 故λξ=E ()22
2
λλ
ξξξ
+=
+=n
E D E
从而2
21λξξ=??? ?
?-n E , 所以2λ的无偏估计为.122ξξλn -=∧
21. 设n ξξ,,1 是取自正态母体()2
,σμN
的一个子样,试证对任一固定的a ,
()??
?≥<=a
a ，n 111,01,,ξξξξ? 是 ???
??-Φσμa 的无偏估计,其中()x Φ是()1,0N 的分布函数.
证: 记i ξ的密度函数为()i x f ， 则n ξξ,,1 的联合密度函数为
()i
n
i x f ∏=1
从而
()()()()??
?
??-===?
?
??
∞
-∞-∞∞-∞
∞
-σμφξξ?a dx x f dx dx x f x f E a
n n a
n 11111
故?（n ξξ,,1 ）是??
?
??-σμφa 的无偏估计.
22. 设n ξξ,,1 是取自母体ξ的子样,ξ的分布函数()θθ,x ；F 为未知参数,()n ξξθθ,,1
=是θ的一
个有偏估计,且()
n
a E θθθ1+
=
, 其中()θ1a 是仅与θ有关的一个函数,为了减少偏性,常要用如下的“刀切法”。设i -θ 是把原来子样中第i 个分量剔除,再以留下的容量为1-n 的子样所得的估计量,并且i -θ 与θ
的估计公式是有同样的形式,则可证明()
∑=---=n i i
n n n 1
11θθθ
是θ的无偏估计,()1θ 称为θ的一阶刀切估计. 证:()
()().11?1?~11111θθαθ?αθθθθ
=?????
?
-+--??????+=--=∑∑==n n n n n E n n nE E n i i n i 23. 设n ξξ,,1 为取自正态母体()2
,σμN
的一个子样,证明
??
? ??+Γ???
??Γ=
21220n n n σ
S 0 和 112212S n n n ??
? ??Γ??
? ??-Γ=
σ
都是σ的无偏估计,
其中 ()()2
1
2
12
12
1,1∑∑==-=-=n i i n i i n S n S ξξμξ. 证: (1) 由于
().~2
2
2
n nS χσ 令2
2
σnS Y =
, 则Y 的的密度为
()1221
222---?????
????
??Γ=n
y n y e n y f 0>y
而此时.21222122?0
0Y n n n n S n n n σσ
??
?
? ??+Γ???
??Γ=
?
?? ??+Γ???
??Γ= dy y
e
n y n n n n E n y n 12
2
2
02212122?--
∞
?
?
? ??Γ?
??
?
? ??+Γ???
??Γ?=∴?
σσ
2
y x =
令??
? ??+Γ21n σ
σ=-+-∞
?
dy y
e 12
1
n y
.
(2) 由于
()1~2
2
2
1
-n nS χσ
令2
2
1
σ
nS =
Z 则Z ???
? ??Γ???
??-Γ?=n
n n n σσ
2212?2. 利用(1)类似的方法可证σσ=1?E 1?σ
∴也是σ的无偏估计. 24. 设n ξξ,,1 是取自均匀分布母体()βα,R 的一个子样,()n εεα,,min 1
=
()n εεβ,,max 1
=分别取做βα,的估计量,问βα
,是否分别为βα,的无偏估计量?
如何修正,才能获得βα,的无偏估计.
解: i ξ的密度函数为()???
??-=0
1αβi x f 其它βα<
其分布函数为()???????--=10αβαi i x x F ββαα
>≤<≤i i i x x x 从而α?的密度为: ()()()()
n
n n x n x n n x f αββαβαβαα--=-????
? ??----=--1
1
11!1! βα< 1 ?1 ++= --=-?n n dx x x n E n n α ββαβα β α β?的密度函数为()()() n n n x n x n x f αβααβαβαβ--=-??? ? ??--=--1 1 1 βα< ()() .1 ?1 ++= --=∴-?n n dx x x n E n n α βαεββ β α 故βα ?,?均不是βα,的无偏估计.为得到无偏估计可作如下修正: 从1 ?++=n n E α βα 可得 (),?1αα βn E n -+= 将它代入β?E 中得:()ααβ1??--=n nE E 故αβα=??? ? ??--1??n n E . 又() βαβα+=+??E 从而 βαββαβα=??? ? ??--=???? ??---+1??1????n n E n n E , 所以α与β的无偏估计分别为:,1??~--=n n βαα 1 ??~--= n n αββ. 25. 设()n ξξ,,1 是取自均匀母体()1,+a a R 的一个子样,证明估计量 2 1111-=∑=n i i n a ξ {}1max 12+- =≤≤n n a i n i ξ 皆为参数a 的无偏估计,并且()()()12a D O a D =.这里()()1a D O 表示与()1a D 同阶. 证: 由母体ξ的密度函数为()???=0 1x f 其它 1 +<<ααx 其分布函数为()?? ? ??-=10 αx x F 11+>+≤<<ααααx x x 则()n ξ的密度函数为()()1 --=n n x n x f α 1+<<ααx 由于21+=αξE 知ααξ=-+=2 1 211E 由()n ξ的密度函数知: ()() ααξαα ++= -= -+?1 1 1 n n xdx x n E n n 故,?2αα =E 所以1?α与2?α均为α的无偏估计. 又由121= ξD 知n D 121?1=α 而 ()()() 212 ++=n n n D n ξ 所以()()()12??αα D O D =. 26 设n ξξ,,1 为取自正态母体()2 ,σμN 的一个子样,在下列三个统计量 ()212 1 11∑=--=n i i n S ξξ ()21221∑=-=n i i n S ξξ ()2 1 2 311∑=-+=n i i n S ξξ 中,哪一个是2σ的无偏估计,哪一个对2 σ的均方误差( )2 22 σ -i S E 最小,,.3,2,1=i 解: 记()2 1 2 ξξ -= ∑=i n i S , 则 ()1~22 2 -n S χσ 从而()21σ-=n ES n ()2212σ-=n DS , 那么由此可知 22 1σ=ES 22 21σn n ES -= 2 231 1σ+-=n n ES 所以只有21S 是2 σ的无偏估计. () 22122211 2σσ -==-n DS S E ( ) 4 222242 22242222 22121σσσσσσσ n n S D n n S E n n S E S E -=?? ????+???? ? ?=???? ??-=???? ??-=- 而( ) ()()().1 241211422 24 2 222 4 2 22 2σσ σσσσ +=??????+? ??? ??+=?? ????---+=-n S D n n S E n S E 当>n 1时, 12122122 +>->>-n n n n n ， 故2 2S 的均方误差最小. 27. 设n ξξξ,,,21 是取自均匀分布在?? ? ?? +- 21,21θθ上的母体的一个子样,求证: ∑==n i i n 1 11ξθ 和() i n i i n i ξξθ≤≤≤≤+=112min max 21 都是θ的无偏估计,并指出哪一个方差较小. 证: 设ξ????? ? +-21,21~θθ R ,则E ξ=θ,121=ξD 且()n ξ的密度函数为()?? ???? ?? ??-+=-0211 n x n x f θξ 其它 21 21+<<- θθx ()?? ?????? ??+-=-0211 n y n y f θη 其它2121+ <<-θθy 它们的联合密度为 ()()()???--=-01,2n x y n n y x f 其它 2121+<<-θθy 由此可知()1 1 21211 1 1 1++ - =? ? ? ??-+= -+-? n xdx x n E n s s θθξ, ()1 1 21211 1 1 +- + =? ?? ? ? +-=-+-? n ydy y n E n s s n θθξ， 所以E θ?1=θ, E θ?2=θ 即θ?1，θ?2均为θ无偏估计， 它们的方差分别为 D θ?1=n 121 D θ?2= ()()()()()2121121111 2 2 ++=--?? ????-+?? +-+-n n dyds x y n n y x s s s s n θ 当n 2≤时，D θ?1=D θ?2，当n>2时，()() 2121 121++> n n n , 即D θ?1>D θ?2, 所以θ?2的方差较小。 28．设()()n n ξξθθξξθθ,,,,122111 ==和是参数θ的两个相互独立的无偏估计,且方差 () () .221θθ D D =试求常数1k 和2k ,使得2211θθ k k +是θ的无偏估计,且在一切这样的线性估计类中方差最 小. 解: 设22?σθ=D ,则21 2?σθ=D , 为使 () θθθ=+2211??k k E 即 θθθ=+2211k k , 则只需121=+k k 要使()( )2 2 2 2 122 22 12 122 212 1221122????σ σσθθθθk k k k D k D k k k D +=?+?=+=+ 达到最小，则需选取2 22 12k k +在121=+k k 条件下达到最小.用121k k -=代入2 22 12k k +，并令 ()()2 121112k k k f -+=则由 ()01 1=dk k df 得31 1=k .， .322=k 所以当3 11= k ,3 2 2= k 时可使2211??k k +是这类线性估计量中方差最小的无偏估计. 29． 设21,ξξ是取自正态母体()1,μN 的一个容量为2的子样,试证明下列三个估计量都是μ的无偏估计量 2113 132ξξμ+= ； 2124 341ξξμ+= ； 2132 121ξξμ+= 并指出其中哪一个方差最小. 解: μμ=i E ， 显然。 而2 1,85,95321===μμμD D D 故321,,μμμ均为μ的无偏估计,且3?μ 的方差最小. 30. 设随机变量ξ均匀分布在()θ,0上,321,,ξξξ为取自此母体的一个子样, 试证： i i i i ξθξθ3123 11min 4,max 34 ≤≤≤≤== 都是θ的无偏估计,并指出哪一个方差较小. 解: ()θξ,0~R 可知()()31,ξξ的密度函数为 ()()2 32 1313x x x f -=???? ??-?=θθθθθ < ().31 3232 2x x x f θ θθ=???? ??= θ< 从而 ()().4 3 2 3 1θ θθξθ = -= ? dx x x E ()θθξθ 4 3 3 30 2 3== ? dx x E 故21??θθθE E ==， 22 2153?.15?θθθθ==D D 即. 21??θθD D < 1 ?θ∴的方差最小. 31. 设k σσ ,,1是参数σ的k 个无偏估计,它们的方差与协方差矩阵为 ()ij V υσσ22=， 其中 .,cov ,?? ? ??=??? ??=σσσσυσσυj i ij i ij D 证明: 在线性组合类{} 是实数k k k c c c c ,,:~111 σσσ++=中σ的最小方差无偏估计是 ∑∑∑∑===== =k i k j ij k j ij i i k i i v v c c 11 11 , σσ , 且最小方差()∑∑=== k i k j ij D 11 2 υ σσ , 其中ij υ是矩阵V 的逆矩阵中的 元素. 解: 证:由σσσ σ =∑==∑ =i i i k i c E c E ?~1 知.11 =∑=i k i c 而()211 2 1 ?,?cov ?~σσσσ σ ij ij k i k j j i j i i j i i k i v c c c D c D ∑∑∑∑ ==≠==+= 因此问题变为在 11 =∑ =i k i c 的条件下，找k c c 1使得ij j i i j v c c ∑∑最小. 令().12-∑-= ψ∑∑ i ij j i i j c v c c λ令0=?ψ ?i c 得λ=∑=j i j k j v c 1 i=1,2,k , 此即有矩阵.I =λVc I =∴-1V c λ ? ??? ? ??=k c c c 1 ????? ??=I 11 而 11 =I I '=I '-V c λ， 故( ) 1 111 1 -==--??? ? ??=I '=∑∑ij k i l j V V I λ， 从而 () I I 'I =--11 V V c ， 故 ij k i k j ij k j i V V c ∑∑∑==== 11 1 .,,2,1k i =， 此时σ ~的方差是 () 2 2 1 112 2 11 ~σσσσI I 'I ??I '= ?'==---==∑∑V V V V Vc c v c c D ij j i k i k j .11 2 1 2 ij k i k j V V ∑∑==-= I I '= σσ 32. 设n ξξ,,1 是取自正态母体()2 ,σμN 的一个子样,试证： ()2 1 211∑=*--=n i i n n S ξξ 是2σ的一致估计. 解: 证 由于 ()().1~122 2*--n S n n χσ， 故 22 * σ=n ES ， () ()121214 2 4 2 *-=-?-=n n n DS n σσ. (因为()n 2χ的期望为n ,方差为2n ) 据契比可夫不等式有:( )[]()01224 2 2 * 2 2 *??→?-=≤ ≥-∞ →n n n n DS S P εσεεσ 故2 *n S 是2 σ的一致估计. 33. 设n ξξ ,1是取 ()θ,0上的母体的一个子样,试证： ()n ξξθ,,max 1 =是θ的一致估计. 证: θ?的密度为()?????=-01 n n x n x f θ 其它θ< +=n n E 222?θθ +=n n E ()() 2 212?++=n n n D θθ, 则 () 2 1?1??11??? ?? ? ?+-≤??? ??+-≥-≤??? ? ??≥+-+-=≥-n D n E P n n n P P θεθθεθθεθθθεθθ = ()().011242 22 ??→?? ? ? ? ?+- ++∞ →n n n n n θεθ, 故θ?是θ的一致估计.. 34. 设n ξξ,,1 是取自正态母体()2 ,σμN 的一个子样,其中μ为已知,证明 (i) ()2 12 1∑=-=n i i n n S μξ是2σ的有效估计; (ii) ∑=-=n i i n 1 21μξπσ 是σ的无偏估计,并求其有效率. 证()i 由 ()n nS n 2 2 2 ~χσ 知, .2 2σ=n ES n DS n 4 2 2σ=, 又() 2,σμN 的密度函数为 ()()2 2 221σμσ π-- = x e x f , 故() ()2 2 2 22ln 21ln σμπσ-- -=x f 对2 σ求导得： ()[] 22 4 221ln σμσ σ--=??x f 从而()()[] 4 4 22442 221241ln σσμξσμξσσ=+---=?? ? ????E f E ()() 42 2 22 21 ln σσσ =??-=I L E 或， 故R C -下界为n n 4 1 4221σσ=?? ? ?? ?- 。 2 n S ∴ 是2 σ的有效估计. ()ii . 由于()σπ π σ μσ πμ ξσμ2 2221 2 22 2 2 = = -= -- ∞ -- ∞ +∞ -??dy e y dx e x E y x i i 故σσ =?E ， 即σ?是σ的无偏估计. 又 ()[] 2222121122222221?σπσπσπμξμξπμξπσn n E E n D n D i n i -= ?? ? ??-=---=-?=∑=而()[] 22 2222 21ln σσμξσσ=?? ????--=??? ????E f E 故C —R 下界为n 22σ， σ?的有效率为876.022222 =-σπσn n 。 6.35 设n ξξ,,1 是取自具有下列指数分布的一个子样. ()?????≥=-其它 ,00 ,1x e x f x θ θ 证明ξ∑==n i i n 1 1ξ是θ的无偏、一致、有效估计。 证: 由于()θθθ ξθ=Γ== - ∞ ? 20 dx e x E x i ξ∴是θ的无偏估计. 又()222 2 2 23θθθ ξ=Γ== -∞ ? dx e x E x i ， 故2θξ=i D 从而.2 n D θξ=， 而()22 42 11ln θθξθθ=-=?? ? ????E f E 故R C -下界为 ,2 n θ 因此ξ是θ的有效估计. 另外,由契比可夫不等式() 022 2 ??→?=≤≥-∞ →n n D P ε θεξ εθξ 所以ξ还是θ的一致估计. 36. 设母体ξ服从珈玛分布,其密度函数为 ()()?? ? ??>Γ=--其它,00,;1 x x e x f x αθααθθ 其中a 为已知常数,设n ξξ,,1 为取自这一母体的一个子样,ξ为子样均值. 设()a g ξ θ θ试证 .1 = 为()θg 的无偏、有效估计. 证 : 由于()θα αθξαθα=Γ= -∞ ? dx x e E x 0 ， 故θαξ1=??? ? ??E 即αξ为()θg 的无偏估计. 又()22 10 θαθααθξθ=??? ??-Γ= +-∞ ? dx x e D n x n 21αθ αξn D =???? ??∴ 再根据密度函数为求得： ().ln 22 2 θαξθαθθ=?? ? ???-=??? ????=I E f E 故()θg 的R C -下界为()()().1 2 2αθ θθn n g =??????I ' 即D （ αξ）达到R C -下界, 所以α ξ 是()θg 的有效估计. 37. 设ξn ξ,,1 为独立同分布随机变量,其分布为二点分布P(i ξ=x) = p x q 1-x , x=0,1, 其中p+q=1.试证明: 下述统计量都是p 的充分统计量 ()n S ξξξ,,,211 = ()n S ξξξξ,,3212 ++= ()n S ξξξξξ,,43213 ++= , ()n n n S ξξξ,111--++= ()n n S ξξ++= 1 证: n ξξ,,1 的联合分布是()()i i x n x n p p x x f ∑-∑-=1,1 1,0=i x 则取k 1= ()i i x n x p p ∑-∑-1 12=k , 由因子分解定理可知: n S S S ,,21 均为P 的充分统计量. 38. 设n ξξ,,1 是独立同分布随机变量, 都服从 ()()10,,2,1,0,1;<<=-=θθθθ x x f x ， 则∑==n i i n T 1 ξ是θ的充分统计量. 证: 由于n ξξ,,1 的联合密度为()()i x n n x x f ∑-=θθ1,,1 ,2,1,0=i x 取() ,121i x n k ??-= 12=k , 则由因子分解定理知, n T 是?的充分统计量. 39. 设n ξξ,,1 是独立同分布随机变量,都服从具参数为λ的普哇松分布,则∑==n i i n T 1 ξ 是关于λ的充分统 计量. 证: 由于n ξξ,,1 的联合密度是()λλn i x n e x x x f i -∑∏=! 1 2,1,0=i x 取.21λλ n x e k i -=, ()1 2!-=i x k π, 则由因子分解定理知 : n T 是充分统计量. 40. 试证:充分统计量T 的一一对应的变换仍是充分统计量.试举出具体例子. 41. 设n ξξ,,1 是取自珈玛分布的一个子样,其密度函数为()()?? ? ??>Γ=--其它,00,;1 x x e x f x αθααθθ试证: ()i a 已知时,∑=n i i 1 ξ是关于θ的充分统计量; ()ii θ已知时,∏=n i i 1 ξ是关于a 的充分统计量. 42. 设,,1n ξξ 为取自具有三参数威布尔分布的母体的子样,威布尔分布密度函数 ()?????≤>=-0, 00 ,,,;x x e kx x f x μ λβμλβ 其中k 为已知常数,λμβ,,是参数, 试证: ()i 当μβ,已知时, ∑=n i i 1μ ξ 是关于λ的充分统计量; ()ii 当μλ,已知时,∏=n i i 1 ξ是关于β的充分统计量. 43. 设n ξξξ,,,21 是来自密度函数为 ()∞<<-∞=-x e x f x ,21;θ θ θ的母体的子样, 试证:∑==n i i n T 1 ξ 是关于θ的充分统计量. 44. 设随机变量ξ服从二项分布()p n b ,,求()p p -1的UMVUE. 45. 设n ξξ,,1 是取自珈玛分布的一个子样, 其密度函数为()()?? ? ??>Γ=--其它,00,;1 x x e x f x αθααθθ, α为已知常 数,试求未知参数θ的UMVUE. 46. 设n ξξ,,1 是独立同分布的随机变量,其分布是均匀分布().0,,0∞<<θθR 其密度函数()?? ???<<=,00,1 ;θ θθx x f , 试证: ()i ()112,,?ξξξθ=n 是θ的无偏估计; ()ii ()?? ? ??n E ξ ξ12是θ的无偏估计. 47. 某厂生产一种产品,这种产品包装好后按一定数量放在盒子里,检验员从一盒里随机地抽取一个容量为n 的子样,并逐个检查每个产品的质量.假如子样中有三个或更多个废品,那么这一盒被认为是废品,退回工厂,但厂方要求检验员一定要把每盒检查出的废品数通报厂方. ()i 假如产品的废品率为()10< ()ii 假如检验员通报厂方的数据如下:在检查过的r 盒产品中,发现它们的废品数分别为r ξξ,,1 , 证 明:()? ? ?=若第一盒被拒绝若第一盒被接受 ,0,11ξψ 是θ的无偏估计. ()iii 令.1 ∑==r i i T ξ试求(),1? ? ????T E ξψ并指出这是θ的UMVUE. 48． 设()ξT 是参数θ的UMVUE,()ξφ是θ的任一无偏估计,且对一切()[].,∞<Θ∈ξφθθD 试证明：cov ()()[]Θ∈=θξφξθ, 0,T . 49. 设n ξξξ,,,21 为取自正态母体 N(2 ,σμ) 的一个子样, μ为未知参数，试证: () ∑=-=n i i n S 1 2 2 1μξμ是2 σ的有效估计. 证：因为密度函数() ()2 2 2x 2e 21 ,;x f σμπ σσμ-- = ， 取对数后得 ()()() 2 2ln 2x ,;x lnf 22 2 2πσσμ σμ- -- = ， 求对2 σ 的二阶偏导数 () () ()242 2221 2,;ln σσμσσμ--=??x x f ， ()() ()462 2 22221,;ln σσμσσμ+--=??x x f 故 ()() () 4462222221 21,;ln σσσ σσσμξθ=-=??????????-=f E I 从而得出罗—克拉美下界为n 42σ，由于()∑=-=n i i n S 1 22 1μξμ服从()n 2χ. n nS D 222 =??? ? ? ?σμ,于是推得D () n S 422σμ=，因而2μS 是2σ的有效估计. 50. 设n ξξξ,,,21 为取自正态母体 N(2,σμ) 的一个子样, μ为未知参数，试证: 2 *n S 不是2σ的有效估 计. 证：因为密度函数() ()2 2x 2e 21 ,;x f σμπ σσμ-- = ， 取对数后得 ()()() 2 2ln 2x ,;x lnf 22 2 2 πσσ μσμ- --= ， 求对2 σ 的二阶偏导数 () () ()242 2221 2,;ln σσμσσμ--=??x x f ， ()() ()462 2 22221,;ln σσμσσμ+--=??x x f 故 ()() () 4462222221 21,;ln σσσσσσμξθ=-=??? ???????-=f E I 从而得出罗—克拉美下界为n 42σ，由于()2 2?1σ σ-n 服从()12 -n χ ()()12?122-=????? ?-n n D σσ 于是推得()12?22-=n D σσ ，因而2 *n S 不是2σ的有效估计. 51. 设母体ξ具有均匀分布,密度函数为 f(x;?????∞ <<≤<=其他 ,00,0,1 )θθθθx , 求未知参数θ的矩法估计， 并证它为无偏估计. 解：由于E ξ= 2 211 2 θ θθθ θ = ?=? x dx x , 用矩法估计得方程 ξ=2 θ 解这个方程，得的估计ξθ 2?=。因为 θθ ξξθ=?===2 222?E E E 所以ξθ 2?=是θ的无偏估计。 52. 设母体ξ具有均匀分布,密度函数为 f(x;?????∞ <<≤<=其他 ,00,0,1 )θθθθx , 求未知参数θ极大似然估 计，并求其期望. 解：设n ξξξ,,,21 为取自这一母体的一个子样，似然函数 ().,,2,1,0,1 ,,;1n i x x x L i n n =≤<= θθθ是θ的一个单值递减函数，由于每一个θ≤i x ，最大的 次序统计量的观测值 (),m a x 1θ≤=≤≤i n i n x x 在,,,1,0n i x i =≤<θ中要使()n n x x L θ θ1 ,,;1= 达到极 大，就要使θ达到最小，但θ不能小于x (n)，否则子样观测值 n x x ,,1 就不是来自这一母体，所以()n L x =θ?是极大似然估计值。于是()() n n L ξξξθ=,,?1 —最大次序统计量是参数的极大似然估计量。 均匀分布母体的最大次序统计量的分布密度函数为()θθ θ≤ ? ? ??=-y y n y g n n 0,1 1 故 () () ()? ? += = ==θθξθ1 ?n n dy y n dy y yg E E n n n n l . 53.设 X 具有分布密度 f (x, θ) =其他∞<<=?? ???-θθθ0,2,1,00,! x x e x , X 1,X 2,---,X n 是X 的一个样本, 求未知参数θ的极大似然估计. 解：似然函数 ()! !1 i x n n i i x x e x L i i θθθθ -=== ∏ ()()∑∑==-+-=n i n i i i x x n L 11!ln ln ln θθθ ()()∑=+-=n i i x n L d d 11ln θθθ 令 ()()∑=+-=n i i x n L d d 11ln θθθ=0 得 ∑==n i i x n 11?θ 故 未知参数θ的极大似然估计为 ∑==n i i X n 1 1?θ 54．设总体X 的分布密度为 f(x) = ?? ? ??<<-其他θθθx x x 0,0),(6, X 1,X 2,---,X n 来自X 的简单随机样本.(1). 试求 θ的矩法估计θ?; (2). 求θ?的方差. 解: ()()()()? ? =-== ∞ ∞ -θ θ θθ 3 2 2 61dx x x dx x xf X E 令 X X n X n i i 2?121 =?==∑=θ θ ()() ()()()()X D n X nD n X n D X D X D D n i i 441442?221=?=??? ??===∑=θ ()() ()[]()()? ?= --=?? ? ??-=-=2046222332 2 2 2θθθθθdx x x dx x f x X E X E X D () n n D 5204?2 θθθ=?=∴ 简答题 1、矩估计的推断思路如何？有何优劣？ 2、极大似然估计的推断思路如何？有何优劣？ 3、什么是抽样误差？抽样误差的大小受哪些因素影响？ 4、简述点估计和区间估计的区别和特点。 5、确定重复抽样必要样本单位数应考虑哪些因素？ 计算题 1、对于未知参数的泊松分布和正态分布分别使用矩法和极大似然法进行点估计，并考量估计结果符合什么标准 2、某学校用不重复随机抽样方法选取100名高中学生，占学生总数的10%，学生平均体重为50公斤，标准差为48.36公斤。要求在可靠程度为95%（t=1.96）的条件下，推断该校全部高中学生平均体重的范围是多少？ 3、某县拟对该县20000小麦进行简单随机抽样调查，推断平均亩产量。根据过去抽样调查经验，平均亩产量的标准差为100公斤，抽样平均误差为40公斤。现在要求可靠程度为95.45%（t=2）的条件下，这次抽样的亩数应至少为多少？ 4、某地区对小麦的单位面积产量进行抽样调查，随机抽选25公 顷，计算得平均每公顷产量9000公斤，每公顷产量的标准差为1200公斤。试估计每公顷产量在8520-9480公斤的概率是多少？（P(t=1)=0.6827, P(t=2)=0.9545, P(t=3)=0.9973） 5、某厂有甲、乙两车间都生产同种电器产品，为调查该厂电器产品的电流强度情况，按产量等比例类型抽样方法抽取样本，资料如下： 试推断： （1）在95.45%（t=2）的概率保证下推断该厂生产的全部该种电器产品的平均电流强度的可能范围 （2）以同样条件推断其合格率的可能范围 （3）比较两车间产品质量 6、采用简单随机重复和不重复抽样的方法在2000件产品中抽查200件，其中合格品190件，要求： （1）计算样本合格品率及其抽样平均误差 第五章+统计学教案（假设检验）参数估计和假设检验是统计推断的两个组成部分，它们分别从不同的角度利用样本信息对总体参数 进行推断。前者讨论的是在一定的总体分布形式下，借助样本构造的统计量，对总体未知参数作出估计 的问题；后者讨论的是如何运用样本信息对总体未知参数的取值或总体行为所做的事先假定进行验证， 从而作出真假判断。通俗地、简单地说，前者是利用样本信息估计总体参数将落在什么范围里；而后者 则是利用样本信息回答总体参数是不是会落在事先假定的某一个范围里。 通过本章学习，要求学生在充分理解有关抽样分布理论的基础上，理解掌握假设检验的有关基本概 念；明确在假设检验中可能犯的两种错误，以及这两种错误之间的联系；熟练掌握总体均值和总体成数 的检验方法，主要是 Z 检验和 t 检验；对于非参数的检验，也应有所了解，包括符号检验、秩和检验与游程检验等。 2 一、假设检验概述与基本概念 1、假设检验概述 2、假设检验的有关基本概念 二、总体参数检验 1、总体平均数的检验 2、总体成数的检验 3、总体方差的检验 三、总体非参数检验 1、符号检验 2、秩和检验 3、游程检验 一、假设检验的有关基本概念； 二、总体平均数与总体成数的检验； 三、非参数检验； 一、假设检验的基本思路与有关概念； 二、两类错误的理解及其关系； 一、假设检验概述 假设检验：利用统计方法检验一个事先所作出的假设的真伪，这一假设称为统计假设，对这一假设 所作出的检验就是假设检验。 基本思路：首先，对总体参数作出某种假设，并假定它是成立的。然后，根据样本得到的信息（统 计量），考虑接受这个假设后是否会导致不合理的结果，如果合理就接受这个假设，不合理就拒绝这个 假设。 所谓合理性，就是看是否在一次的观察中出现了小概率事件。 小概率原理：就是指概率很小的事件，在一次试验中实际上是几乎不可能出现。这种事件可以称其 为“实际不可能事件”。 二、假设检验的基本概念 参数估计习题参考答案 班级： 姓名： 学号： 得分 一、单项选择题： 1. 区间估计表明的是一个 ( B ) （A ）绝对可靠的范围 （B ）可能的范围 （C ）绝对不可靠的范围 （D ）不可能的范围 2. 甲乙是两个无偏估计量，如果甲估计量的方差小于乙估计量的方差，则称 （ D ） （A ）甲是充分估计量 （B ）甲乙一样有效 （C ）乙比甲有效 （D ）甲比乙有效 3. 设总体服从正态分布，方差未知，在样本容量和置信度保持不变的情形下，根据不同的样本值得到总体均值的置信区间长度将 （ D ） （A ）增加 （B ）不变 （C ）减少 （D ）以上都对 4.设容量为16人的简单随机样本，平均完成工作时间13分钟，总体服从正态分布且标准差为3分钟。若想对完成工作所需时间构造一个90%置信区间，则 （ A ） A.应用标准正态概率表查出z 值 B.应用t-分布表查出t 值 C.应用二项分布表查出p 值 D.应用泊松分布表查出λ值 5． 100(1-α)%是 （ C ） A.置信限 B.置信区间 C.置信度 D.可靠因素 6．参数估计的类型有 （ D ） （A ）点估计和无偏估计（B ）无偏估计和区间估计 （C ）点估计和有效估计（D ）点估计和区间估计 7．在其他条件不变的情况下，提高抽样估计的可靠程度，其精度将 （C ） （A ）增加 （B ）不变 （C ）减少 （D ）以上都对 二、计算分析题 1、12,, ,n X X X 是总体为2 (, ) N μσ的简单随机样本.记1 1n i i X X n ==∑，2 21 1()1n i i S X X n ==--∑，221T X S n =-.请证明 T 是2 μ的无偏估计量. 解 (I) 因为2 (,)X N μσ，所以2 (, )X N n σμ，从而2 ,E X DX n σμ= = ． 因为 221()()E T E X S n =-221 ()E X E S n =- 221()()DX E X E S n =+-222211 n n σμσμ=+-= 所以，T 是2μ的无偏估计 设总体X ~N （μ，σ 2 ），X 1，X 1，…，X n 是来自X 的一个样本。试确定常数c 使2 1 1 21 )(σX X c n i i i 为∑-=+-的无偏估计。 解：由于 第5章 参数估计 ●1. 从一个标准差为5的总体中抽出一个容量为40的样本，样本均值为25。 （1） 样本均值的抽样标准差x σ等于多少？ （2） 在95%的置信水平下，允许误差是多少？ 解：已知总体标准差σ=5，样本容量n =40，为大样本，样本均值x =25， （1）样本均值的抽样标准差 x σσ5=0.7906 （2）已知置信水平1－α=95%，得 α/2Z =1.96， 于是，允许误差是E = α/2 σ Z 6×0.7906=1.5496。 ●2.某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。 （3） 假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差； （4） 在95%的置信水平下，求允许误差； （5） 如果样本均值为120元，求总体均值95%的置信区间。 解：（1）已假定总体标准差为σ=15元， 则样本均值的抽样标准误差为 x σσ15=2.1429 （2）已知置信水平1－α=95%，得 α/2Z =1.96， 于是，允许误差是E = α/2 σ Z 6×2.1429=4.2000。 （3）已知样本均值为x =120元，置信水平1－α=95%，得 α/2Z =1.96， 这时总体均值的置信区间为 α/2 x Z 0±4.2=124.2115.8 可知，如果样本均值为120元，总体均值95%的置信区间为（115.8，124.2）元。 ●3.某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取不重复抽样方法随机抽取36人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据（单位：小时）： 3.3 3.1 6.2 5.8 2.3 4.1 5.4 4.5 3.2 4.4 2.0 5.4 2.6 6.4 1.8 3.5 5.7 2.3 2.1 1.9 1.2 5.1 4.3 4.2 3.6 0.8 1.5 4.7 1.4 1.2 2.9 3.5 2.4 0.5 3.6 2.5 统计学原理课后习题答案 第五章 抽样及参数估计 1.①由题意可知本题属于：纯随机重复抽样下的总体比例区间估计。 已知：n=1000,828 82.8%1000 p = =，(Z)195.45%F α=-= ,查表得/2=2Z α 由于不知总体标准差，用样本的标准差代替： p 82.8%282.8% 2.4%Z α±=±? =± 即：80.4%P 85.2%≤≤ 所以该城市拥有彩电家庭比例的置信区间为80.4%—85.2%。 ②由题意可知本题属于：重复抽样时比例的必要抽样数目。 已知： 82.8%p =，5%p ?= ，(Z)199.73%F α=-= ,查表得/2=3Z α 由于不知总体标准差，用样本的标准差代替： 222 2 (1P) 382.8%（1-82.8%）5130.05 p z P n -??= =≈? 2.由题意可知本题属于：纯随机重复抽样下的总体平均数的抽样极限误差 已知：n=100,=3x ，=0.8σ ，(Z)195%F α=-= ,查表得/2=1.96Z α /2 = 1.960.16Z α?=?= 分钟 3.（1） 已知：n=150,123 82%150 p = =，(Z)199.73%F α=-= ,查表得/2=3Z α 由于不知总体标准差，用样本的标准差代替： p 82%382%9.41%Z α±=±? =± 即：72.59%P 91.41%≤≤ （2）已知：n=150,=2x ，=0.75σ ，(Z)199.73%F α=-= ,查表得/2=3Z α /2 0.75 2320.2x Z αμ=±=±?=± 分钟 即：1.8 2.2μ≤≤ 4. 已知： 200σ=，30z ?= ，(Z)195%F α=-= ,查表得/2=1.96Z α 则：22 222 2 1.9620017130 z z n σ?==≈? 户 （1）如上图 （2）40名职工的平均考核成绩为3070 40 76.75xf x f = = =∑ 样本的方差为2 2 ()4777.5 s 122.54x x f f -= = =∑∑ (Z)195%F α=-= ，查表得到/2 1.96Z α= /2 76.75 1.911.07 676.75 3.43s x Z α±=±?=± 即在95%的概率保证度下，该企业工人的平均考核成绩在73.32到80.18直接。 （3）已知：n=40,36 90%40 p = =，(Z)195%F α=-= ,查表得/2=1.96Z α 由于不知总体标准差，用样本的标准差代替： 参数估计习题参考答案 参数估计习题参考答案 班级：姓名：学号：得分 一、单项选择题： 1、关于样本平均数和总体平均数的说法，下列正确的是( B ) （A）前者是一个确定值，后者是随机变量（B）前者是随机变量，后者是一个确定值 （C）两者都是随机变量（D）两者都是确定值 2、通常所说的大样本是指样本容量（ A ） （A）大于等于30 （B）小于30 （C）大于等于10 （D）小于10 3、从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为4，16，36的样本，当样本容量增大时，样本均值的标准差将（ B ） （A）增加（B）减小（C）不变（D）无法确定 4、某班级学生的年龄是右偏的，均值为20岁，标准差 为 4.45.如果采用重复抽样的方法从该班抽取容量为100的样本，那么样本均值的分布为（ A ） （A）均值为20，标准差为0.445的正态分布（B）均值为20，标准差为4.45的正态分布 （C）均值为20，标准差为0.445的右偏分布（D）均值为20，标准差为4.45的右偏分布 5. 区间估计表明的是一个( B ) （A）绝对可靠的范围（B）可能的范围（C）绝对不可靠的范围（D）不可能的范围 6. 在其他条件不变的情形下，未知参数的1-α置信区间，（ A ） A. α越大长度越小 B. α越大长度越大 C. α越小长度越小 D. α与长度没有关系 7. 甲乙是两个无偏估计量，如果甲估计量的方差小于乙估计量的方差，则称（ D ） （A）甲是充分估计量（B）甲乙一样有效（C）乙比甲有效（D）甲比乙有效 8. 设总体服从正态分布，方差未知，在样本容量和置信度保持不变的情形下，根据不同的样本值得到总体均 第7章 参数估计 ----点估计 一、填空题 1、设总体X 服从二项分布),(p N B ，10< α是未知参数， n X X X ,,21为一个样本，试求参数α的矩估计和极大似然估计. 解：因? ?++=+= 10 1 1α1α1αdx x dx x x X E a )()()(2 α1 α2α1α102++= ++= +|a x ( 令2α 1α ++==??)(X X E X X --=∴112α ?为α的矩估计 因似然函数1212 (,, ;)(1)()n n n L x x x x x x ααα=+ ∑=++=∴n i i X n L 1 α1αln )ln(ln ，由∑==++=??n i i X n L 101ααln ln 得， α的极大似量估计量为)ln (?∑=+-=n i i X n 1 1α 2、设总体X 服从指数分布 ,0 ()0, x e x f x λλ-?>=??其他 ，n X X X ,,21是来自X 的样本，（1） 求未知参数λ的矩估计；（2）求λ的极大似然估计. 参数估计习题参考答案 班级： __________ 姓名： ______________ 学号： __________ 得分 ___________ 、单项选择题: 1、关于样本平均数和总体平均数的说法，下列正确的是 （A ）增加 （B ）减小 （C ）不变 （D ）无法确定 4. 某班级学生的年龄是右偏的，均值为 20岁，标准差为4.45.如果 采用重复抽样的方法从该班抽取容量 为100的样本，那么样本均值的分布为 （A ） （A ）均值为20，标准差为0.445的正态分布（B ）均值为20，标准差为4.45的正态分布 （C ）均值为20，标准差为0.445的右偏分布（D ）均值为20，标准差为4.45的右偏分布 5. 区间估计表明的是一个 （B ） （A ）绝对可靠的范围 （B ）可能的范围 （C ）绝对不可靠的范围 （D ）不可能的范围 6. 在其他条件不变的情形下，未知参数的 1-a 置信区间， （A ） C. a 越小长度越小 D. a 与长度没有关系 7. 甲乙是两个无偏估计量，如果甲估计量的方差小于乙估计量的方差，则称 （D ） （A ）甲是充分估计量 （B ）甲乙一样有效 （C ）乙比甲有效 （D ）甲比乙有效 8. 设总体服从正态分布，方差未知，在样本容量和置信度保持不变的情形下，根据不同的样本值得到总 体均值的置信区间长度将 （D ） （A ）增加 （B ）不变 （C ）减少 （D ）以上都对 9 ?在其他条件不变的前提下，若要求误差范围缩小 1 / 3,则样本容量 （C ） （A ）增加9倍 （B ）增加8倍 （C ）为原来的2.25倍 （D ）增加2.25倍 10设容量为16人的简单随机样本，平均完成工作时间 13分钟，总体服从正态分布且标准差为 若想对完成工作所需时间构造一个 90%置信区间，则 (A ) A.应用标准止态概率表查出 z 值 B.应用 t-分布表查出t 值 C.应用一项分布表查出 p 值 D.应用泊松分布表查出 入值 11. 100(1- a % 是 (C ) A.置信限 B.置信区间 C.置信度 D.可靠因素 12. 参数估计的类型有 (D （A ）点估计和无偏估计（B ）无偏估计和区间估计 （C ）点估计和有效估计（D ）点估计和区间估计 13、抽样方案中关于样本大小的因素，下列说法错误的是 （C ） A 、总体方差大，样本容量也要大 B 、要求的可靠程度高，所需样本容量越大 （A ）前者是一个确定值，后者是随机变量 （B ）前者是随机变量，后者是一个确定值 （C ）两者都是随机变量 （D ）两者都是确定值 2、通常所说的大样本是指样本容量 （A ）大于等于30 （ B ）小于30 （C ）大于等于10 3、从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为 4,16, 36 标准差将 （A ） （D ）小于10 的样本，当样本容量增大时，样本均值的 （B ） A. a 越大长度越小 B. a 越大长度越大 3分钟。 第7章参数估计----点估计 一、填空题 1、设总体X 服从二项分布 B(N, p) , O ： P : 1 , X 1 ,X 2…X n 是其一个样本，那么矩估 计量? X - N — X i _，样本的似然函数 n 亠— X i “ J^X i 为』P 〈-P) ‘―。 i =1 i ∣1 2 2 n 1 -—j (X ^M ) 似 然函数 L(X I )Xr L ,X n ；巴＜τ ) =_□ 2& id √2πσ 、计算题 1、设总体 X 具有分布密度 f(x;1)x[ O . x ： 1，其中〉-1是未知参数, 求未知参数'的矩估计；(2)求’的极大似然估计 2、 设总体X ?B(1,p)， 其中未知参数O ::： P ::： 1 ,X l ,X2…,X n 是X 的样本, 3、 设X 1,X 2,…，x n 是来自总体X ~ Ngf 2 )的 2 样本，则有关于亠及匚 X 1,X 2,…X n 为一个样本，试求参数 的矩估计和极大似然估计 1 解：因 E(X)= o x(α 1)X a dX 1 -I d =o (α 1)x α dx = α 1 a ?21 1 α ' 1 α ■ 2x l θ 一 α ■ 2 令 E(X)=X= α 2 2X —1 .α = 1 为〉的矩估计 1 -X 因似然函数 L(x 1,x 2,…x n 「)=G ?1)n (x 1x√ X n )I n In L =n ln( α 1) Q ln X i ,由 i# n …二 In X i=O 得, iT n ：■的极大似量估计量为 ? = -(V- ) 二 In X i i d 2、设总体X 服从指数分布 f(x) = e ,x O 10,其他 X 1,X 2∕ X n 是来自X 的样本，(1) 参数估计练习题 1. 指出下列分布中的参数,并写出它的参数空间: (i)二点分布; (ii) 普哇松分布;(iii)在()θ,0上的均匀分布; (iv) 正态分布()2 ,σμN . 2. 已知母体ξ均匀分布于()βα,之间,试求βα,的矩法估计量. 3. 在密度函数 ()()10,1<<+=x x a x f a 中参数a 的极大似然估计量是什么? 矩法估计量是什么? 4. 用极大似然法估计几何分布 ()() ,2,1,11=-==-k p p k P k ξ中的未知参数p . 5．设()11,ηξ,()n n ηξ,, 是取自二维正态母体() ρσσ,,,0,02221N 的一个子样,求2221,σσ和ρ的极大似然估计. 6. 设ξ1n ξ 是取自双参数指数分布的一个子样,密度函数()?? ???>=--其它,0,1,122121θθθθθθx e x ；f x ，其中.0,21∞<<∞<<∞-θθ试求参数1θ和2θ的极大似然估计和矩法估计. 7. 设随机变量ξ服从二项分布()() ,1,0,1=-??? ? ??==-x x n x P x n x θθξ,n 试求2θ无偏估计量. 8. 设n ξξ,,1 是取自正态母体()2 ,σμN 的一个子样,其中μ为已知,证明 (i) ()21 21∑=-=n i i n n S μξ是2σ的有效估计; (ii) ∑=-=n i i n 1 21μξπσ 是σ的无偏估计,并求其有效率. 9. 设n ξξ,,1 是独立同分布的随机变量,其分布是均匀分布().0,,0∞<<θθR 其密度函数()?? ???<<=,00,1;θθθx x f , 试证: ()i ()112,,?ξξξθ=n 是θ的无偏估计; ()ii ()?? ? ??n E ξξ12是θ的无偏估计. 10. 设 X 具有分布密度 f (x, θ) =其他∞<<=?? ???-θθθ0,2,1,00,! x x e x , X 1,X 2,---,X n 是X 的一个样本, 求未知参数θ的极大似然估计. 第3章参数估计习题 一． 选择题 1. 当样本量一定时，置信区间的长度( ). A. 随着显著水平α的提高而变短. B. 随着置信水平1-α的降低而变长 C. 与置信水平α?1无关 D. 随着置信水平1-α的降低而变短 2. 置信水平α?1表达了置信区间的( ). A. 准确性. B. 精确性. C. 显著性. D. 可靠性. 3. 设12 ??(,)θθ是参数θ的置信水平为1α?的区间估计，则以下结论正确的是( ). A. 参数θ落在区间(,12 )??之内的概率为1α?. θθB. 参数θ落在区间12 ??(,)θθ之外的概率为α. C. 区间12 ??(,)θθ包含参数θ的概率为1α?. D. 对不同的样本观测值，区间12 ??(,)θθ的长度相同. 4. 通过矩估计法求出的参数估计量( ). A. 是唯一的. B. 是无偏估计量. C. 不一定唯一. D. 不唯一，但是无偏估计. 5. 下列命题错误的是( ). A. 最大似然估计可能不唯一. B. 最大似然估计不一定是无偏估计. C. 最大似然估计一定存在. D. 似然函数是样本的函数. n x x x ,,,21 6. 设总体服从],0[θ上的均匀分布，为样本，记n X X X ,,,21 X 为样本均值，则下列统计量不是θ的矩估计量的是( ). A. X 2 1?1=θ. B. ∑=?=n i i X X n 122)(12?θ. C. ∑==n i i X n 1 233?θ. D. X 2?4=θ. 7. 设总体的密度函数为，参???<<=?其它 o x x x P 10),(1θθθ0>θ,为样本，记n X X X ,,,21 ∑===n i k i k k X n A 1 3.2,1,1，则以下结论中错误的是( ). A. 是1A θ的矩估计量. B. 111A A ?是θ的矩估计量. C. 2212A A ?是θ的矩估计量. D. 3 313A A ?是θ的矩估计量. 8. 样本12(,,,)n X X X 取自总体X ，()E X μ=，2()D X σ=，则以下结论不成立的是( ). A.i X ()均是μ的无偏估计. B.1 1n i i X X n ==∑是μ的无偏估计. C.121()是μ的无偏估计. D. 1 11n i i X n =?∑是μ的无偏估计. 2X X +9. 样本来自总体，则总体方差的无偏估计为( ). n X X X ,,,21 ),(2σμN 2σA. ∑=??=n i i X X n S 1221 (11. B. ∑=??=n i i X X n S 1222)(21. C. ∑=?=n i i X X n S 1223 )(1. D. ∑=?+=n i i X X n S 1224(11. 统计学（第四版）贾俊平第五章参数估计练习题答案 5.1（答案精确到小数点后两位） （1）已知：n=49，15σ=， 样本均值的标准误差X σ==（2）已知：置信水平：2 195%, 1.96 Z α α-==， 估计误差E=2 15 1.96 4.207 Z α== （3）已知120,X =置信水平：2 195%, 1.96Z αα-==，E=4.20 置信区间为()2 120 4.20115.80,124.20X Z α±=±= 5.2（答案精确到小数点后两位） （1）置信区间为2 8900 1.96(8646.97,9153.03)X Z α±=±= （2）置信区间为2 8900 1.96(8815.48,8984.52)X Z α±=±= （3）置信区间为2 8900 1.65(8760.55,9039.45)X Z α±=±= （4）置信区间为2 8900 2.58(8681.95,9118.05)X Z α±=±= 5.3 （1） 表5.3—1置信水平90%上网时间置信区间报告 上网时间 （2） （3） 5.4（答案精确到小数点后两位） （1）已知N=500,n=50，132n = A. 传统方法：32 0.6450 p == 比例置信区间为0.64(0.51,0.77)p Z ±=±= B. 现代方法：322 0.63504 p +==+ 比例置信区间为0.63(0.50,0.76)p Z ±=±= （2）已知0.8p =0.1≤ 得到：16n ≥ 5.5 （1） 5.6已知22 12121214,7,53.2,43.4,96.8,102.0n n X X s s ======， （1）置信水平195%α-=， 12μμ-置信区间为()(()122 1.86,17.74X X t v α -±= （2）置信水平199%α-=， 12μμ-置信区间为()(()122 0.19,19.41X X t v α -±= 5.7 参数估计习题参考答案 班级：姓名：学号：得分 一、单项选择题： 1、关于样本平均数和总体平均数的说法，下列正确的是( B ) （A）前者是一个确定值，后者是随机变量（B）前者是随机变量，后者是一个确定值 （C）两者都是随机变量（D）两者都是确定值 2、通常所说的大样本是指样本容量（ A ） （A）大于等于30 （B）小于30 （C）大于等于10 （D）小于10 3、从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为4，16，36的样本，当样本容量增大时，样本均值的标准差将（ B ）（A）增加（B）减小（C）不变（D）无法确定 4、某班级学生的年龄是右偏的，均值为20岁，标准差为4.45.如果采用重复抽样的方法从该班抽取容量为100的样本，那么样本均值的分布为（A ） （A）均值为20，标准差为0.445的正态分布（B）均值为20，标准差为4.45的正态分布 （C）均值为20，标准差为0.445的右偏分布（D）均值为20，标准差为4.45的右偏分布 5. 区间估计表明的是一个( B ) （A）绝对可靠的范围（B）可能的范围（C）绝对不可靠的范围（D）不可能的范围 6. 在其他条件不变的情形下，未知参数的1-α置信区间，（A ） A. α越大长度越小 B. α越大长度越大 C. α越小长度越小 D. α与长度没有关系 7. 甲乙是两个无偏估计量，如果甲估计量的方差小于乙估计量的方差，则称（ D ） （A）甲是充分估计量（B）甲乙一样有效（C）乙比甲有效（D）甲比乙有效 8. 设总体服从正态分布，方差未知，在样本容量和置信度保持不变的情形下，根据不同的样本值得到总体均值的置信区间长度将（ D ）（A）增加（B）不变（C）减少（D）以上都对 9．在其他条件不变的前提下，若要求误差范围缩小1／3，则样本容量（ C ）（A）增加9倍（B）增加8倍（C）为原来的2.25倍（D）增加2.25倍 10设容量为16人的简单随机样本，平均完成工作时间13分钟，总体服从正态分布且标准差为3分钟。若想对完成工作所需时间构造一个90%置信区间，则（ A ） A.应用标准正态概率表查出z值 B.应用t-分布表查出t值 C.应用二项分布表查出p值 D.应用泊松分布表查出λ值 11．100(1-α)%是（ C ） A.置信限 B.置信区间 C.置信度 D.可靠因素 12．参数估计的类型有（ D ） （A）点估计和无偏估计（B）无偏估计和区间估计（C）点估计和有效估计（D）点估计和区间估计 13、抽样方案中关于样本大小的因素，下列说法错误的是（ C ） A、总体方差大，样本容量也要大 B、要求的可靠程度高，所需样本容量越大 C、总体方差小，样本容量大 D、要求推断比较精确，样本容量要大 14．在其他条件不变的情况下，提高抽样估计的可靠程度，其精度将（C ）（A）增加（B）不变（C）减少（D）以上都对 第7章 参数估计 ----点估计 一、填空题 1、设总体X 服从二项分布),(p N B ，10< α是未知参数， n X X X ,,21为一个样本，试求参数α的矩估计和极大似然估计. 解：因? ?++=+= 10 1 1α1α1αdx x dx x x X E a )()()(2 α1 α2α1α102++= ++= +|a x 令2 α1α ++==??)(X X E X X --=∴112α ?为α的矩估计 因似然函数1212 (,, ;)(1)()n n n L x x x x x x ααα=+ ∑=++=∴n i i X n L 1 α1αln )ln(ln ，由∑==++=??n i i X n L 101ααln ln 得， α的极大似量估计量为)ln (?∑=+-=n i i X n 1 1α 2、设总体X 服从指数分布 ,0 ()0, x e x f x λλ-?>=??其他 ，n X X X ,,21是来自X 的样本，（1） 求未知参数λ的矩估计；（2）求λ的极大似然估计. 第二章 简单线性回归模型 一、单项选择题（每题2分）： 1、回归分析中定义的（ ）。 A 、解释变量和被解释变量都是随机变量 B 、解释变量为非随机变量，被解释变量为随机变量 C 、解释变量和被解释变量都为非随机变量 D 、解释变量为随机变量，被解释变量为非随机变量 2、最小二乘准则是指使（ ）达到最小值的原则确定样本回归方程。 A 、1 ?()n t t t Y Y =-∑ B 、1?n t t t Y Y = -∑ C 、?max t t Y Y - D 、21 ?()n t t t Y Y =-∑ 3、下图中“{”所指的距离是（ ）。 A 、随机误差项 B 、残差 C 、i Y 的离差 D 、?i Y 的离差 4、参数估计量?β是i Y 的线性函数称为参数估计量具有( )的性质。 A 、线性 B 、无偏性 C 、有效性 D 、一致性 5、参数β的估计量β? 具备最佳性是指（ ）。 A 、0)?(=βVar B 、)? (βVar 为最小 C 、0?=-ββ D 、)? (ββ-为最小 6、反映由模型中解释变量所解释的那部分离差大小的是( )。 A 、总体平方和 B 、回归平方和 C 、残差平方和 D 、样本平方和 7、总体平方和TSS 、残差平方和RSS 与回归平方和ESS 三者的关系是（ ）。 A 、RSS=TSS+ESS B 、TSS=RSS+ESS C 、ESS=RSS-TSS D 、ESS=TSS+RSS 8、下面哪一个必定是错误的（ ）。 A 、 i i X Y 2.030? += ，8.0=XY r B 、 i i X Y 5.175? +-= ，91.0=XY r C 、 i i X Y 1.25? -=，78.0=XY r D 、 i i X Y 5.312? --=，96.0-=XY r 9、产量（X ，台）与单位产品成本（Y ，元/台）之间的回归方程为?356 1.5Y X =-，这说明（ ）。 A 、产量每增加一台，单位产品成本增加356元 B 、产量每增加一台，单位产品成本减少1.5元 第1章统计与统计数据 一、学习指导 统计学是处理和分析数据的方法和技术，它几乎被应用到所有的学科检验领域。本章首先介绍统计学的含义和应用领域，然后介绍统计数据的类型及其来源，最后介绍统计中常用的一些基本概念。本章各节的主要内容和学习要点如下表所示。 概念：统计学，描述统计，推断统计。 统计在工商管理中的应用。 统计的其他应用领域。 概念：分类数据，顺序数据，数值型数据。 不同数据的特点。 概念：观测数据，实验数据。 概念：截面数据，时间序列数据。 统计数据的间接来源。 二手数据的特点。 概念：抽样调查，普查。 数据的间接来源。 数据的收集方法。 调查方案的内容。 概念。抽样误差，非抽样误差。 统计数据的质量。 概念：总体，样本。 概念：参数，统计量。 概念：变量，分类变量，顺序变量，数值 型变量，连续型变量，离散型变量。 二、主要术语 1.统计学：收集、处理、分析、解释数据并从数据中得出结论的科学。 2.描述统计：研究数据收集、处理和描述的统计学分支。 3.推断统计：研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计学分支。 4.分类数据：只能归于某一类别的非数字型数据。 5.顺序数据：只能归于某一有序类别的非数字型数据。 6.数值型数据：按数字尺度测量的观察值。 7.观测数据：通过调查或观测而收集到的数据。 8.实验数据：在实验中控制实验对象而收集到的数据。 9.截面数据：在相同或近似相同的时间点上收集的数据。 10.时间序列数据：在不同时间上收集到的数据。 11.抽样调查：从总体中随机抽取一部分单位作为样本进行调查，并根据样本调查结果来推 断总体特征的数据收集方法。 12.普查：为特定目的而专门组织的全面调查。 13.总体：包含所研究的全部个体（数据）的集合。 14.样本：从总体中抽取的一部分元素的集合。 15.样本容量：也称样本量，是构成样本的元素数目。 16.参数：用来描述总体特征的概括性数字度量。 17.统计量：用来描述样本特征的概括性数字度量。 18.变量：说明现象某种特征的概念。 19.分类变量：说明事物类别的一个名称。 20.顺序变量：说明事物有序类别的一个名称。 21.数值型变量：说明事物数字特征的一个名称。 第4章 参数估计 思考与练习参考答案 一、最佳选择题 1.关于以0为中心的t 分布，错误的是（ Ｅ ） A. t 分布的概率密度图是一簇曲线 B. t 分布的概率密度图是单峰分布 C. 当ν→∞时，t 分布→Z 分布 D. t 分布的概率密度图以0为中心，左右对称 E. ν相同时，t 值越大，P 值越大 2.某指标的均数为X ，标准差为S ，由公式() 1.96, 1.96X S X S -+计算出来的区间常称为（ Ｂ ）。 A. 99%参考值范围 B. 95%参考值范围 C. 99%置信区间 D. 95%置信区间 E. 90%置信区间 3.样本频率p 与总体概率π均已知时，计算样本频率p 的抽样误差的公式为（ Ｃ ）。 4．在已知均数为μ, 标准差为 σ 的正态总体中随机抽样， X μ->（ Ｂ ）的概率为5%。 A.1.96σ B.1.96X σ C.0.05/2,t S ν D.0.05/2,X t S ν E.0.05/2,X t νσ 5. （ Ｃ ）小，表示用样本均数估计总体均数的精确度高。 A. CV B. S C. X σ D. R E. 四分位数间距 6. 95%置信区间的含义为（ Ｃ ）： A. 此区间包含总体参数的概率是95% B. 此区间包含总体参数的可能性是95% C. “此区间包含总体参数”这句话可信的程度是95% D. 此区间包含样本统计量的概率是95% E. 此区间包含样本统计量的可能性是95% 二、思考题 1. 简述标准误与标准差的区别。 答: 区别在于： （1）标准差反映个体值散布的程度，即反映个体值彼此之间的差异；标准误反映精确知道总体参数（如总体均数）的程度。 （2）标准误小于标准差。 （3）样本含量越大，标准误越小，其样本均数更有可能接近于总体均数，但标准差不 随样本含量的改变而有明显方向性改变，随着样本含量的增大，标准差有可能增大，也有可能减小。 2. 什么叫抽样分布的中心极限定理？ 答: 样本含量n越大，样本均数所对应的标准差越小，其分布也逐渐逼近正态分布，这种现象统计学上称为中心极限定理（central limit theorem）。 当有足够的样本含量（如30 n≥）时，从任何总体中抽取随机样本的样本均数近似地服从正态分布。样本含量越大，X抽样分布越接近于正态分布。 正态分布的近似程度与总体自身的概率分布和样本含量有关。如果总体原本就是正态分布，那么对于所有n值，抽样分布均为正态分布。如果总体为非正态分布，X仅在n值较大情况下近似服从正态分布。一般说，30 n≥时的X抽样分布近似为正态分布；但是，如 果总体分布极度非正态（如双峰分布、极度偏峰分布），即使有足够大的n值，抽样分布也将为非正态。 3. 简述置信区间与医学参考值范围的区别。 答: 置信区问与医学参考值范围的区别见练习表4-1。 练习表4-1 置信区间与医学参考值范围的区别 区别置信区间参考值范围 含义 用途计算公式总体参数的波动范围，即按事先给定的概 率100(1-α)%所确定的包含未知总体参 数的一个波动范围 估计未知总体均数所在范围 σ未知： /2,X X t S αν ± σ已知或σ未知但n≥30，有 /2X X Z α σ ±或 /2X X Z S α ± 个体值的波动范围，即按事先给定的 范围100(1-α)%所确定的“正常人” 的解剖、生理、生化指标的波动范 围 供判断观察个体某项指标是否“正常” 时参考（辅助诊断） 正态分布： /2 X Z S α ± 偏峰分布：P X~P100-X 第21讲 参数估计习题课 教学目的：1. 通过练习使学生进一步掌握矩估计和最大似然估计的计算方法； 2. 通过练习使学生理解无偏性和有效性对于评价估计量标准的重要性； 3. 通过练习使学生进一步掌握正态总体参数的区间估计和单侧置信限。 教学重点：矩估计和最大似然估计，无偏性与有效性，正态总体参数的区间估计。 教学难点：矩估计，最大似然估计，正态总体参数的区间估计。 教学时数：2学时。 教学过程： 一、知识要点回顾 1. 矩估计 用各阶样本原点矩n k i i 11x n k V ==∑ 作为各阶总体原点矩k EX 的估计,1,2,k =L 。若有参 数2g(,(),,)k E X E X E X θ=L （）（），则参数θ的矩估计为 n n n 2i=1i=1i=1 111?(,,,)k i i i X X X n n n θ=∑∑∑L 。 2. 最大似然估计 似然函数1()(;)n i i L f x θθ==∏，取对数ln[()]L θ，从 ln() d d θθ =0中解得θ的最大似然估计θ ?。 3. 无偏性,有效性 当θθ=?E 时，称θ?为θ的无偏估计。 当21?D ?D θθ<时，称估计量1?θ比2 ?θ有效。 二 、典型例题解析 1．设,0 ()0, 0x e x f x x θθ-?>=?≤?，求θ的矩估计。 解 ,0dx xe EX x ?+∞ -=θθ设du dx u x x u θ θ θ1 ,1 ,= = = 则0 01 1 1()0() u u u EX ue du ue e du e θ θθθ+∞ +∞--+∞ --+∞????==-+=+-? ?? ?????=θ 1 故1EX θ= ，所以x 1?=θ 。 2. 设总体X 在[]b a ,上服从均匀分布，求a 和b 的矩估计。 解 由均匀分布的数学期望和方差知 1 ()()2E X a b =+ （1） 21()()12 D X b a =- （2） 由（1）解得a EX b -=2，代入（2）得2)22(121a EX DX -=， 整理得2)(3 1 a EX DX -=，解得 ()()a E X b E X ?=-?? =?? 故得b a ,的矩估计为 ??a x b x ?=-??=+?? 其中∑=-=n i i x x n 1 22 )(1?σ 。 3．设总体X 的密度函数为(;)! x e f x x θ θθ-= ，求θ的最大似然估计。 解 设)!)...(!)(!(),()(2111n n x n i i x x x e x f L n i i θ θ θθ-=∑===∏，则 第7章参数估计 练习题 一、填空题（共10题，每题2分，共计20分） 1．参数估计就是用_______ __去估计_______ __。 2. 点估计就是用_______ __的某个取值直接作为总体参数的_______ __。3．区间估计是在_______ __的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间通常由样本统计量加减_______ __得到。 4. 如果将构造置信区间的步骤重复多次，置信区间中包含总体参数真值的次数所占的比例称为_______ __，也成为_______ __。 5．当样本量给定时，置信区间的宽度随着置信系数的增大而_______ __；当置信水平固定时，置信区间的宽度随着样本量的增大而_______ __。 6. 评价估计量的标准包含无偏性、_______ __和_______ __。 7. 在参数估计中，总是希望提高估计的可靠程度，但在一定的样本量下，要提高估计的可靠程度，就会_______ __置信区间的宽度；如要缩小置信区间的宽度，又不降低置信程度，就要_______ __样本量。 8. 估计总体均值置信区间时的估计误差受总体标准差、_______ __和_______ __的影响。 9. 估计方差未知的正态总体均值置信区间用公式_______ __；当样本容量大于等于30时，可以用近似公式_______ __。 10. 估计正态总体方差的置信区间时，用_____ __分布，公式为______ __。 二、选择题（共10题，每题1分，共计10分） 1．根据一个具体的样本求出的总体均值的95%的置信区间 ( )。 A．以95%的概率包含总体均值 B．有5%的可能性包含总体均值 C．一定包含总体均值 D. 要么包含总体均值，要么不包含总体均值 2．估计量的含义是指( )。 A. 用来估计总体参数的统计量的名称应用统计学：参数估计习题及答案
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