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数轴-相反数-绝对值(拔高题)

第二讲数轴,相反数,绝对值(拔高题)

一．选择题（共7小题）

1．若两个非零的有理数a、b，满足：|a|=a，|b|=﹣b，a+b＜0，则在数轴上表示数a、b的点正确的是（）

A． B．

C．D．

2．已知：a＞0，b＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（）

A．1﹣b＞﹣b＞1+a＞a B．1+a＞a＞1﹣b＞﹣b

C．1+a＞1﹣b＞a＞﹣b D．1﹣b＞1+a＞﹣b＞a

3．下列说法中正确的是（）

A．互为相反数的两个数的绝对值相等

B．最小的整数是0

C．有理数分为正数和负数

D．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等

4．如图，数轴上有A，B，C，D四个整数点（即各点均表示整数），且2AB=BC=3CD．若A，D两点所表示的数分别是﹣5和6，则线段BD的中点所表示的数是（）

A．6 B．5 C．3 D．2

5．若ab＞0，则++的值为（）

A．3 B．﹣1 C．±1或±3 D．3或﹣1

6．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2004厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是（）A．2002或2003 B．2003或2004 C．2004或2005 D．2005或2006 7．将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上的“0cm”和“15cm”分别对应数轴上的﹣3.6和x，则（）

A．9＜x＜10 B．10＜x＜11 C．11＜x＜12 D．12＜x＜13

二．填空题（共18小题）

8．已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的右侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若BC=2AB，则点C表示的数是．

9．如图所示，数轴上点A所表示的数的相反数是．

10．已知|a+2|=0，则a= ．

11．大家知道|5|=|5﹣0|，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．类似地，式子|a+5|在数轴上的意义是．

12．在数轴上，与表示﹣1的点距离为3的点所表示的数是．

13．若|x|+3=|x﹣3|，则x的取值范围是．

14．定义：A={b，c，a}，B={c}，A∪B={a，b，c}，若M={﹣1}，N={0，1，﹣1}，则M∪N={ }．

15．若，则a的取值范围是．

16．﹣（﹣6）的相反数是．

17．有理数a、b、c在数轴的位置如图所示，且a与b互为相反数，则|a﹣c|﹣|b+c|= ．

18．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式：①b﹣a＞0，②﹣b＞0，③a＞﹣b，④﹣ab＜0，正确的个数是．

19．点A，B，C在同一条数轴上，其中A，B表示的数为﹣5，2，若BC=3，则AC= ．

20．如果|m﹣1|=5，则m= ．

21．如图所示，在直线l上有若干个点A

1、A

、…、A

，每相邻两点之间的距离

都为1，点P是线段A

上的一个动点．

（1）当n=3时，则点P分别到点A

1、A

、A

的距离之和的最小值是；

29．同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：

（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是，

（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为．

（3）如果|x﹣2|=5，则x= ．

（4）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|=4，这样的整数是．

（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．

30．已知A，B在数轴上分别表示数a，b．

（1）对照数轴填写下表：

（2）若A，B两点间的距离记为 d，试问d与a，b有何数量关系？

（3）在数轴上找到所有符合条件的整数点P，使它到5和﹣5的距离之和为10，并求出所有这些整数的和．

（4）若数轴上点C表示的数为x，当点C在什么位置时，①|x+1|的值最小？②|x+1|+|x﹣2|的值最小？

31．阅读下列材料并解决有关问题：

我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1=0和x﹣2=O，分别求得x=﹣1，x=2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x=﹣1和，x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：

（1）x＜﹣1；（2）﹣1≤x＜2；（3）x≥2．从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：

（1）当x＜﹣1时，原式=﹣（x+1）﹣（x﹣2）=﹣2x+1；

（2）当﹣1≤x＜2时，原式=x+1﹣（x﹣2）=3；

（3）当x≥2时，原式=x+1+x﹣2=2x﹣1．

综上讨论，原式=．

通过以上阅读，请你解决以下问题：

（1）分别求出|x+2|和|x﹣4|的零点值；

（2）化简代数式|x+2|+|x﹣4|．

参考答案与试题解析

一．选择题（共7小题）

1．若两个非零的有理数a、b，满足：|a|=a，|b|=﹣b，a+b＜0，则在数轴上表示数a、b的点正确的是（）

A． B． C．

D．

【解答】解：∵a、b是两个非零的有理数满足：|a|=a，|b|=﹣b，a+b＜0，

∴a＞0，b＜0，

∵a+b＜o，

∴|b|＞|a|，

∴在数轴上表示为：

故选B．

2．已知：a＞0，b＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（）

A．1﹣b＞﹣b＞1+a＞a B．1+a＞a＞1﹣b＞﹣b C．1+a＞1﹣b＞a＞﹣b D．1﹣b ＞1+a＞﹣b＞a

【解答】解：∵a＞0，∴|a|=a；

∵b＜0，∴|b|=﹣b；

又∵|a|＜|b|＜1，∴a＜﹣b＜1；

∴1﹣b＞1+a；

而1+a＞1，

∴1﹣b＞1+a＞﹣b＞a．

故选D．

3．下列说法中正确的是（）

A．互为相反数的两个数的绝对值相等

B．最小的整数是0

C．有理数分为正数和负数

D．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等

【解答】解：根据绝对值和相反数的定义，互为相反数的两个数到原点距离相等，因此互为相反数的两个数的绝对值相等，故A正确；

整数分为正整数、零负整数，不存在最小的整数，故B错误；

有理数分为正有理数、零、负有理数，故C错误；

如果两个数绝对值相等，这两个数可能相等，可能互为相反数，故D错误．

故选A．

4．如图，数轴上有A，B，C，D四个整数点（即各点均表示整数），且2AB=BC=3CD．若A，D两点所表示的数分别是﹣5和6，则线段BD的中点所表示的数是（）

A．6 B．5 C．3 D．2

【解答】解：设BC=6x，

∵2AB=BC=3CD，

∴AB=3x，CD=2x，

∴AD=AB+BC+CD=11x，

∵A，D两点所表示的数分别是﹣5和6，

∴11x=11，

解得：x=1，

∴AB=3，CD=2，

∴B，D两点所表示的数分别是﹣2和6，

∴线段BD的中点表示的数是2．

故选D．

5．若ab＞0，则++的值为（）

A．3 B．﹣1 C．±1或±3 D．3或﹣1

【解答】解：因为ab＞0，所以a，b同号．

①若a，b同正，则++=1+1+1=3；

②若a，b同负，则++=﹣1﹣1+1=﹣1．

故选D．

6．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2004厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是（）A．2002或2003 B．2003或2004 C．2004或2005 D．2005或2006【解答】解：依题意得：①当线段AB起点在整点时覆盖2005个数；

②当线段AB起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖2004个数．

故选C．

7．将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上的“0cm”和“15cm”分别对应数轴上的﹣3.6和x，则（）

A．9＜x＜10 B．10＜x＜11 C．11＜x＜12 D．12＜x＜13

【解答】解：依题意得：x﹣（﹣3.6）=15，x=11.4．

故选C．

二．填空题（共18小题）

8．已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的右侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若BC=2AB，则点C表示的数是7 ．

【解答】解：∵点A，B表示的数分别是1，3，

∴AB=3﹣1=2，

∵BC=2AB=4，

∴OC=OA+AB+BC=1+2+4=7，

∴点C表示的数是7．

故答案为7．

9．如图所示，数轴上点A所表示的数的相反数是 2 ．

【解答】解：数轴上点A所表示的数是﹣2，﹣2的相反数是2，

故答案为：2．

10．已知|a+2|=0，则a= ﹣2 ．

【解答】解：由绝对值的意义得：a+2=0，

解得：a=﹣2；

故答案为：﹣2．

11．大家知道|5|=|5﹣0|，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．类似地，式子|a+5|在数轴上的意义是表示数a的点与表示﹣5的点之间的距离．

【解答】解：根据题意，得|a+5|=|a﹣（﹣5）|，即表示数a的点与表示﹣5的点之间的距离．

故答案为：表示数a的点与表示﹣5的点之间的距离．

12．在数轴上，与表示﹣1的点距离为3的点所表示的数是2或﹣4 ．

【解答】解：若点在﹣1的左面，则点为﹣4；

若点在﹣1的右面，则点为2．

故答案为：2或﹣4．

13．若|x|+3=|x﹣3|，则x的取值范围是x≤0 ．

【解答】解：①当x≥3时，原式可化为：x+3=x﹣3，无解；

②当0＜x＜3时，原式可化为：x+3=3﹣x，此时x=0；

③当x≤0时，原式可化为：﹣x+3=3﹣x，等式恒成立．

综上所述，则x≤0．

14．定义：A={b，c，a}，B={c}，A∪B={a，b，c}，若M={﹣1}，N={0，1，﹣1}，则M∪N={ 1，0，﹣1 }．

【解答】解：∵M={﹣1}，N={0，1，﹣1}，

∴M∪N={1，0，﹣1}，

故答案为：1，0，﹣1．

15．若，则a的取值范围是a＜0 ．

【解答】解：∵=﹣1，

∴|a|=﹣a且a≠0，

∴a＜0．

16．﹣（﹣6）的相反数是﹣6 ．

【解答】解：﹣（﹣6）=6，

∴6的相反数是﹣6．

故答案为：﹣6．

17．有理数a、b、c在数轴的位置如图所示，且a与b互为相反数，则|a﹣c|﹣|b+c|= 0 ．

【解答】解：由图知，a＞0，b＜0，c＞a，且a+b=0，

∴|a﹣c|﹣|b+c|=c﹣a﹣c﹣b=﹣（a+b）=0．

18．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式：①b﹣a＞0，②﹣b＞0，③a＞﹣b，④﹣ab＜0，正确的个数是 1 ．

【解答】解：a＜0，b＞0，b﹣a＞0，故①b﹣a＞0正确，

b＞0，﹣b＜0，故②﹣b＞0错误，

a＜0，b＞0，|a|＞|b|，a＜﹣b，故③a＞﹣b错误，

a＜0，b＞0，﹣ab＞0，故④﹣ab＜0错误，

故只有①正确．

故答案为：1．

19．点A，B，C在同一条数轴上，其中A，B表示的数为﹣5，2，若BC=3，则AC= 4或10 ．

【解答】解：∵如下图，点A，B，C在同一条数轴上，其中A，B表示的数为﹣5，2，且BC=3，

∴C表示的数为﹣1或5，

当C表示的数为﹣1时，

AC=4．

C表示的数为5时，

AC=10．

故答案为：4或10．

20．如果|m﹣1|=5，则m= 6或﹣4 ．

【解答】解：∵|m﹣1|=5，

∴m﹣1=5或m﹣1=﹣5．

解得：m=6或m=﹣4．

故答案为：6或﹣4．

21．如图所示，在直线l上有若干个点A

1、A

、…、A

，每相邻两点之间的距离

都为1，点P是线段A

上的一个动点．

（1）当n=3时，则点P分别到点A

1、A

、A

的距离之和的最小值是 2 ；

（2）当n=13时，则当点P在点A

7的位置时，点P分别到点A

、A

、…、A

的距离之和有最小值，且最小值是42 ．

【解答】解：（1）P在A

2处，PA

+PA

=1+1=2，；

（2）当点P在点 A

7的位置时，（PA

+PA

）×2

=（1+2+3+4+5+6）×2=42，

故答案为：2，A

，42．

22．已知a，b，c为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则|c﹣b|﹣|b﹣a|﹣|a﹣c|= 0 ．

【解答】解：根据图示知：b＞1＞a＞0＞c＞﹣1，

∴|c﹣b|﹣|b﹣a|﹣|a﹣c|

=﹣c+b﹣b+a﹣a+c

故答案是0．

23．（1）若a=2.5，则﹣a= ﹣2.5 ；

（2）若﹣a=，则a= ﹣；

（3）若﹣（﹣a）=16，则﹣a= ﹣16 ；

（4）若a=﹣（+5），则﹣a= 5 ．

【解答】解：（1）若a=2.5，则﹣a=﹣2.5；

（2）若﹣a=，则a=﹣；

（3）若﹣（﹣a）=16，则﹣a=﹣16；

（4）若a=﹣（+5），则﹣a=5，

故答案为：﹣2.5；﹣；﹣16；5

24．|x+1|+|x﹣5|+4的最小值是10 ．

【解答】解：①当x＜﹣1，|x+1|+|x﹣5|+4=﹣（x+1）+5﹣x+4=8﹣2x＞10，

②当﹣1≤x≤5，|x+1|+|x﹣5|+4=x+1+5﹣x+4=10，

③当x＞5，|x+1|+|x﹣5|+4=x+1+x﹣5+4=2x＞10；

所以|x+1|+|x﹣5|+4的最小值是10．

故答案为：10．

25．设a，b，c为有理数，则由构成的各种数值是4、﹣4、0 ．

【解答】解：∵a，b，c为有理数，

①若a＞0，b＞0，c＞0，

∴=1+1+1+1=4；

②若a，b，c中有两个负数，则abc＞0，

∴=（1﹣2）+1=0，

③若a，b，c中有一个负数，则abc＜0，

∴=（2﹣1）+（﹣1）=0，

④若a，b，c中有三个负数，则abc＜0，

∴=（﹣3）+（﹣1）=﹣4，

故答案为：±4，0．

三．解答题（共6小题）

26．请把下列各数填入相应的集合中

，5.2，0，，，﹣22，，2005，﹣0.030030003…

正数集合：{ ，5.2，，，2005，…}；

分数集合：{ ，5.2，，﹣，…}；

非负整数集合：{ 0，2005，…}；

有理数集合：{ ，5.2，0，，﹣22，，2005，…}．

【解答】解：正数集合：{，5.2，，，2005，…}

分数集合：{，5.2，，﹣，…}

非负整数集合：{0，2005，…}

有理数集合{，5.2，0，，﹣22，，2005，…}，

故答案为：，5.2，，，2005，，5.2，，﹣，0，2005，，5.2，0，，﹣22，，2005．

27．已知|a|=3，|b|=5，且a＜b，求a﹣b的值．

【解答】解：∵|a|=3，|b|=5，

∴a=±3，b=±5．

∵a＜b，

∴当a=3时，b=5，则a﹣b=﹣2．

当a=﹣3时，b=5，则a﹣b=﹣8．

28．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简下式：|a﹣c|﹣|a﹣b|+|2a|．

【解答】解：由图可知：c＜a＜0＜b；

∴a﹣c＞0，a﹣b＜0，2a＜0；

∴原式=a﹣c+a﹣b﹣2a=﹣b﹣c．

（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是7 ，

（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为|x﹣2| ．

（3）如果|x﹣2|=5，则x= 7或﹣3 ．

（4）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|=4，这样的整数是﹣3、﹣2、﹣1、0、1 ．

（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．

【解答】解：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是|5﹣（﹣2）|=|5+2|=7，故答案为：7；

（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为|x﹣2|，故答案为：|x﹣2|；

（3）∵|x﹣2|=5，

∴x﹣2=5或x﹣2=﹣5，

解得：x=7或x=﹣3，

故答案为：7或﹣3；

（4）∵|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，|x+3|+|x﹣1|=4，

∴这样的整数有﹣3、﹣2、﹣1、0、1，

故答案为：﹣3、﹣2、﹣1、0、1；

（5）有最小值是3．

30．已知A，B在数轴上分别表示数a，b．

（1）对照数轴填写下表：

（2）若A，B两点间的距离记为 d，试问d与a，b有何数量关系？

（3）在数轴上找到所有符合条件的整数点P，使它到5和﹣5的距离之和为10，并求出所有这些整数的和．

（4）若数轴上点C表示的数为x，当点C在什么位置时，①|x+1|的值最小？②|x+1|+|x﹣2|的值最小？

【解答】解：（1）

（2）d=|a﹣b|；

（3）是﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5共11个点，和为0；（4）①点C在﹣1；②点C在﹣1与2之间（包括﹣1和2）．

31．阅读下列材料并解决有关问题：

（1）x＜﹣1；（2）﹣1≤x＜2；（3）x≥2．从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：

（1）当x＜﹣1时，原式=﹣（x+1）﹣（x﹣2）=﹣2x+1；

（2）当﹣1≤x＜2时，原式=x+1﹣（x﹣2）=3；

（3）当x≥2时，原式=x+1+x﹣2=2x﹣1．

综上讨论，原式=．

通过以上阅读，请你解决以下问题：

（1）分别求出|x+2|和|x﹣4|的零点值；

（2）化简代数式|x+2|+|x﹣4|．

【解答】解：（1）|x+2|和|x﹣4|的零点值分别为x=﹣2和x=4．（2）当x＜﹣2时，|x+2|+|x﹣4|=﹣2x+2；

当﹣2≤x＜4时，|x+2|+|x﹣4|=6；

当x≥4时，|x+2|+|x﹣4|=2x﹣2．

综上讨论，原式=．