高中数学-定积分与微积分基本定理学案
一、知识导学
1.可微:若函数)(x f y =在0x 的增量x ?可以表示为x ?的线性函数x A ?(A 是常数)与较
x ?高阶的无穷小量之和:)(x o x A y ?+?=?(1),则称函数f 在点0x 可微,
(1)中的x A ?称为函数f 在点0x 的微分,记作x A dy x x ?==0或x A x df x x ?==0)(.函数)(x f 在点0x 可微的充要条件是函数)(x f 在0x 可导,这时(1)式中的A 等于)(0x f '.若函数)(x f y =在区间I 上每点都可微,则称)(x f 为I 上的可微函数.函数)(x f y =在I 上的微分记作
x x f dy ?'=)(.
2.微积分基本定理:如果)()(x f x F =',且)(x f 在],[b a 上可积.则
?-=b a a F b F dx x f )()()(.其中)(x F 叫做)(x f 的一个原函数.
由于)(])([x f c x F ='+,c x F +)(也是)(x f 的原函数,其中c 为常数.
二、疑难知识导析
1 .定积分的定义过程包括“分割、近似求和、取极限”这几个步骤,这里包含着很重要的数学思想方法,只有对定积分的定义过程了解了,才能掌握定积分的应用.
1)一般情况下,对于区间的分割是任意的,只要求分割的小区间的长度的最大者λ趋近于0,这样所有的小区间的长度才能都趋近于0,但有的时候为了解题的方便,我们选择将区间等份成n 份,这样只要2其中的使01→n
就可以了. 2)对每个小区间内i ξ的选取也是任意的,在解题中也可选取区间的左端点或是右端点.
3)求极限的时候,不是∞→n ,而是0→λ.
2.在微积分基本定理中,原函数不是唯一的,但我们只要选取其中的一个就可以了,一般情况下选那个不带常数的。因为)()()(])([)(a F b F x F c x F dx x f b a b a b a -==+=?.
3.利用定积分来求面积时,特别是位于x 轴两侧的图形的面积的计算,分两部分进行计算,然后求两部分的代数和.
三 、经典例题导讲
[例1]求曲线x y sin =与x 轴在区间]2,0[π上所围成阴影部分的面积S.
错解:分两部分,在]
,0[π?=π02sin xdx ,在[]ππ2,?-=π
π22sin x ,因此所求面积S 为 2+(-2)=0。 分析:面积应为各部分积分的代数和,也就是第二部分的积分不是阴影部分的面积,而是面积的相反数。所以不应该将两部分直接相加。
正解:?=π0sin xdx S 422sin 2=+=+?ππxdx
[例2]用微积分基本定理证明
???+=b a b
c c a dx x f dx x f dx x f )()()((b c a <<) 分析:即寻找)(x f 的原函数代入进行运算。
解;设)()(x f x F =',则??+b c c a dx x f dx x f )()(
=)()()()(c F b F a F c F -+- =)()(a F b F -
由微积分基本定理的逆运用可知:上式?=
b a dx x f )( 所以原式成立,即证。
注:该式可用来求分布在x 轴两侧的图形的积分。
[例3]根据等式求常数a 的值。
1)?->=a a
a dx x )0(182 2)?=a e x dx 3 分析:利用微积分基本定理,求出原函数代入a 求解 解:1)3183
)(333
33
2=?=--==?--a a a x dx x a a a a 2)443ln ln ln e a e a e a x x dx a e a e ±=?=?=-==?
[例4]某产品生产x 个单位时的边际收入)0(100200)(≥-
='x x x R (1) 求生产了50个单位时的总收入。
(2) 如果已生产了100个单位时,求再生产100个单位时的总收入。
分析:总收入为边际收入的积分和,求总收入既为求边际收入在规定时间内的定积分。由收入函数)(x R 和边际收入)(x R '的关系可得
(1)生产50个单位时的总收入为dx x R R ?'=500)()50(
=dx x ?-500)100
200( =99875 (2)已生产了100个单位时后,再生产100个单位时的总收入为??=-='20010020010019850)100
200()(dx x dx x R 答:生产50个单位时的总收入为99875;生产了100个单位时后,再生产100个单位时的总收入为19850.
[例5]一个带电量为Q 的电荷放在x 轴上原点处,形成电场,求单位正电荷在电场力作用下沿x 轴方向从a x =处移动到b x =处时电场力对它所作的功。
分析:变力做功的问题就是定积分问题在物理方面的应用。
解:单位正电荷放在电场中,距原点x 处,电荷对它的作用力为2x
q k F = 在单位电荷移动的过程中,电场对它的作用力为变力。则根据课本对变力做功的分析可知
?-=?=b a b a kq dx x
q k W )11(2 答:电场力对它做的功为)11(b
a kq -。 [例6]一质点以速度)/(6)(2s m t t t V +-=沿直线运动。求在时间间隔)4,1(上的位移。
分析:变速求位移和变力求功一样都可以用定积分解决。 解:2131)62131()6()(412341241=+-=+-==??t t t dt t t dt t v S 答:位移为m 2131。
四、典型习题导练 1.
=?321
dx x ( ) A.2131- B.2ln 3ln - C.3ln 2ln - D.3121- 2.?=π20cos xdx ( )
A .0 B.2 C.-2 D.4
3.?=-1
02)(dx x a x ,则=a 。
4.利用概念求极限:??????++++++∞→222)(1)2(1)
1(1lim n n n n n n Λ 5.求下列定积分;
(1)?-+211)(dx x x (2)?-22
cos ππdx 6.写出下面函数在给定区间上的总和x x f S n
i i n ?=∑=1)(及100010010,,S S S 的表达式
3)(x x f = ]1,0[∈x
一、教学目标:1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理,并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念:函数)(x f 在区间[a ,b ]上的定积分表示为:?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义: (1)当函数f (x )在区间[a ,b]上恒为正时,定积分?b a dx x f )(的几何意义是:y=f (x )与x=a ,x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积,在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f (x )的图象、以及直线x=a ,x= b 之间的各部分的面积代数和,在x 轴上方的面积取正号,x 轴下方的面积取负号. 在图(1)中:0s dx )x (f b a >=?,在图(2)中:0s dx )x (f b a <=?,在图(3)中:dx )x (f b a ?表示 函数y=f (x )图象及直线x=a ,x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注:函数y=f (x )图象与x 轴及直线x=a ,x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(,仅当在区间[a ,b]上f (x )恒正时,其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质,(设函数f (x ),g (x )在区间[a ,b ]上可积) (1)???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ (2)??=b a b a dx x f k dx x kf )()(,(k 为常数) (3)???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( (4)若在区间[a , b ]上,?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论:(1)若在区间[a ,b ]上,??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 (2)??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| (3)若f (x )是偶函数,则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(,若f (x )是奇函数,则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理: 一般地,若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积,则在且 注:(1)若)()('x f x F =则F (x )叫函数f (x )在区间[a ,b ]上的一个原函数,根据