有理数的意义知识讲解
有理数的意义知识讲解 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
有理数的意义
【学习目标】
1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；
2．理解正数、负数、有理数的概念；
3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．
【要点梳理】
要点一、正数与负数
像+3、+、
1
2
+、+584等大于0的数，叫做正数；像－3、－、
1
2
-、－584等在
正数前面加“－”号的数，叫做负数．
要点诠释：
（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略.
（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．
（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的“分水岭”．
要点二、有理数的分类
（1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类：要点诠释：
（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.
（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如π．
（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．
【典型例题】
类型一、正数与负数
1．若把向北走7km记为－7km，则＋10km表示的含义是（）．
A．向北走10km B．向西走10km C．向东走10km D．向南走10km
【答案】D
【解析】“正”和“负”相对，－7km表示向北走7km，则＋10km表示向南走10 km，所以答案D
【总结升华】正负数表示具有相反意义的量.如果一个量为“正数”，则与其相反意义的量就是负数.
反之，当如果一个量为“负数”，则与其相反意义的量就是正数，且这两个量的单位相同．
举一反三：
【变式1】（2015?太仓市模拟）一种大米的质量标识为“（50±）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（）
A．千克 B．千克 C．千克 D．千克
【答案】D．
解：“50±0.5千克”表示最多为50.5千克，最少为49.5千克．
【变式2】（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用___________ 表示，0元表示__________ .
(2)若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？
【答案】(1)-500元；既没有收入也没有支出. (2)不是一对具有相反意义的量，不能表示.
【变式3】如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（）．A．－20m B．－40m C．20m D．40m
【答案】B
2．体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0
（1）这8名男生有百分之几达到标准？
（2）他们共做了多少引体向上？
【答案与解析】（1）由题意可知：正数或0表示达标，
而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：5
100%62.5%
8
?=；
答：这8名男生有%达到标准.
（2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个）答：他们共做了引体向上56个.
【总结升华】一定要先弄清“基准”是什么.
类型二、有理数的分类
【高清课堂：有理数的意义 356786 概念的应用例2】
3．下面说法中正确的是( )．
A．非负数一定是正数．
B．有最小的正整数，有最小的正有理数．
C．a
-一定是负数．
D ．正整数和正分数统称正有理数．
【答案】D
【解析】(A)不对，因为非负数还包括0；(B) 最小的正整数为1，但没有最小的正有
-为正数或0，而不是负数；(D)对
理数；(C)不对，当a为负数或0时，则a
【总结升华】一个有理数既有性质符号，又有除性质符号外的数值部分，两者合在一起才表示这个有理数.
举一反三：
【变式1】判断题：
（1）0是自然数，也是偶数．（）（2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（）
（3）整数又叫自然数.（）（4）非负数就是正数，非正数就是负数.（）
【答案】√，?，?，?
【变式2】下列四种说法，正确的是( ).(A)所有的正数都是整数
(B)不是正数的数一定是负数(C)正有理数包括整数和分数 (D)0不是最小的有理数
【答案】Ｄ
7
-，.
23
正整数集合:{ …}，负整数集合:{…}，
整数集合:{…}，正分数集合:{…}，
负分数集合:{…}，分数集合:{ …}，
非负数集合：{…}，非正数集合：{ …}. 【答案】；
负分数：，
7 23 -；
，，
7
23 -；
；
非正数：-700, , 0,
7 23 -
【解析】
【总结升华】填数的方法有两种：一种是逐个考察，一一进行填写；二是逐个填写相关的集合，从给出的数中找出属于这个集合的数.此外注意几个概念：非负数包括0和正数；非正数包括0和负数.
举一反三：
【变式】（2014秋?惠安县期末）在有理数、﹣5、中，属于分数的个数共有
个．
【答案】2.
类型三、探索规律
5．某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，.按此规律，那么请你推测第n组应该有种子是粒.
【答案】1
2+
n
【解析】第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，，由此我们观察到的粒数与组数之间有一定关系：1
1
2
3+
?
=，1
2
2
5+
?
=，1
3
2
7+
?
=，1
4
2
9+
?
=，，按此规律，第n组应该有种子数（1
2+
n）粒.
【总结升华】研究一列数的排列规律时，其中的数与符号往往都与序数有关.
举一反三：
【变式1】有一组数列：2，-3，2，-3，2，-3，，根据这个规律，那么第2010个
数是：
【答案】-3 【变式2】观察下列有规律的数：,,30
1,201,121,61,21 根据其规律可知第9个数是： 【答案】90
1