数值分析实验(4)
实验四 数值积分与数值微分
专业班级：信计131班 姓名：段雨博 学号：2013014907 一、实验目的
1、熟悉matlab 编程。
2、学习数值积分程序设计算法。
3、通过上机进一步领悟用复合梯形、复合辛普森公式，以及用龙贝格求积方法计算积分的原理。
二、实验题目 P137
1
、用不同数值方法计算积分
4
9
xdx =-?
。
（1）取不同的步长h .分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于h 的函数，并与积分精确值比较两个公式的精度，是否存在一个最小的h ，使得精度不能再被改善？ （2）用龙贝格求积计算完成问题（1）。 三、实验原理与理论基础
1.1复合梯形公式及其复合辛普森求解
[]()()()11
101()()222n n n k k k k k h h T f x f x f a f x f b --+==??=+=++????
∑∑
误差关于h 的函数：()()2
12
n b a R f
h f η-''=-
复合辛普森公式：()()()()11
1/201426n n n k k k k h S f a f x f x f b --+==??
=+++????
∑∑
误差关于h 的函数：()()4
4
1802n n b a h R f I S f η-??=-=- ???
1.2龙贝格求积算法：
龙贝格求积公式是梯形法的递推化，也称为逐次分半加速法，它是在梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式之间的关系的基础上，构造出一种计算积分的方法，同时它有在不断增加计算量的前提下提高误差的精度的特点。 计算过程如下：
（1）取0,k h b a ==-，求：
()()()[]()00.,.2
h
T f a f b k a b =
+→????令k 1记为区间的二分次数 （2）求梯形值02k b a T -?? ???
即按递推公式12102122n n n k k h T T f x -+=??=+ ???∑计算0k
T .
（3）求加速值，按公式()
()()
111444141
m m k k k m
m m m m T T T +--=---逐个求出T 表的地k 行其余各
元素()()1,2,,k j j
T j k -=
（4）若()
()001k
k T T ε--<（预先给定的精度）
，则终止计算，并取()
()0;1k T I k k ≈+→否则令转（2）继续计算。
T 表
上表指出了计算过程，第二列2
k h =
给出了子区间长度，i 表示第i 步外推。 可以证明，如果()f x 充分光滑，那么T 表每一列的元素及对角线元素均收敛到所求的积分
I 。
四、实验内容 程序设计如下：
1、复合梯形法M 文件：
function t=natrapz(fname,a,b,n) h=(b-a)/n;
fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b);f=feval(fname,a+h:h:b-h+0.001*h); t=h*(0.5*(fa+fb)+sum(f));
2、复合辛普森法M 文件：
function t=natrapz(fname,a,b,n) h=(b-a)/n;
fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b);f1=feval(fname,a+h:h:b-h+0.001*h); f2=feval(fname,a+h/2:h:b-h+0.001*h); t=h/6*(fa+fb+2*sum(f1)+4*sum(f2));
3、龙贝格算法M 文件：
function [I,step]=Roberg(f,a,b,eps) if (nargin==3) eps=1.0e-4; end ; M=1; tol=10;
k=0;
T=zeros(1,1);
h=b-a;
T(1,1)=(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b)); while tol>eps
k=k+1;
h=h/2;
Q=0;
for i=1:M
x=a+h*(2*i-1);
Q=Q+subs(sym(f),findsym(sym(f)),x);
end
T(k+1,1)=T(k,1)/2+h*Q;
M=2*M;
for j=1:k
T(k+1,j+1)=T(k+1,j)+(T(k+1,j)-T(k,j))/(4^j-1);
end
tol=abs(T(k+1,j+1)-T(k,j));
end
I=T(k+1,k+1);
step=k;
1、复合梯形法运行：
>> format long;natrapz(inline('sqrt(x).*log(x)'),eps,1,10),format short; ans =
-0.417062831779470
>> format long;natrapz(inline('sqrt(x).*log(x)'),eps,1,100),format short; ans =
-0.443117908008157
>> format long;natrapz(inline('sqrt(x).*log(x)'),eps,1,1000),format short; ans =
-0.444387538997162
2、复合辛普森法运行：
>> format long;natrapzz(inline('sqrt(x).*log(x)'),eps,1,10),format short; ans =
-0.435297890074689
>> format long;natrapzz(inline('sqrt(x).*log(x)'),eps,1,100),format short; ans =
-0.444161178415673
>> format long;natrapzz(inline('sqrt(x).*log(x)'),eps,1,1000),format short; ans =
-0.444434117614180
3、龙贝格算法运行：
>> [q,s]=Roberg('sqrt(x)*log(x)',0.0000001,1)
q =
-0.4444 s = 9
五、实验结果
1、复合梯形法结果：
>> format long;natrapz(inline('sqrt(x).*log(x)'),eps,1,10),format short; ans =
-0.417062831779470
>> format long;natrapz(inline('sqrt(x).*log(x)'),eps,1,100),format short; ans =
-0.443117908008157
>> format long;natrapz(inline('sqrt(x).*log(x)'),eps,1,1000),format short; ans =
-0.444387538997162 2、复合辛普森法结果：
>> format long;natrapzz(inline('sqrt(x).*log(x)'),eps,1,10),format short; ans =
-0.435297890074689
>> format long;natrapzz(inline('sqrt(x).*log(x)'),eps,1,100),format short; ans =
-0.444161178415673
>> format long;natrapzz(inline('sqrt(x).*log(x)'),eps,1,1000),format short; ans =
-0.444434117614180 3、龙贝格算法结果：
>> [q,s]=Roberg('sqrt(x)*log(x)',0.0000001,1) q =
-0.4444 s = 9 实验结论：对比以上的计算结果可得：复合辛普森法求积分精度明显比复合梯形法求积的精度要高，且当步长取不同值时，即n 越大，h 越小时，积分精度越高。实验结果说明不存在一个最小的h ，使得精度不能再被改变。由两个相应的关于h 的误差余项
(
)()212n b a R f h f η-''=-，()()4
4
1802n b a h R f f η-??- ???
，其中(),a b η∈，可知h 愈小，余项愈小，积分精度越高。
六、实验结果分析与小结
1、通过这次实习，加深了对复合梯形法、复合辛普森法和龙贝格法的理解，之前学习这三个算法时觉得特别麻烦，公式那么长，而且不是很理解。这次实习对三种算法的编程，对三种算法进行详细地分析，现在理解了算法的过程。在编写函数程序的过程中也在不断地提高和改进，有些虽然不是很熟，也不太清楚到底怎么做，但是查阅了之后就懂了。
2、在编写程序，进行算法设计还是会出现很大问题，有程序运行不出来修改也是很麻烦，
而且由于之前对算法的掌握不是很好，所以反复仔细看了课本上的算法才进行编写。对matlab的认识和熟悉程度也不够，在课下也是很少在matlab下运行程序啊什么，对matlab 的很多东西都不懂，也不知道怎么用，虽然知道用matlab解决问题很方便，可是由于时间和条件的限制，平时很少接触。以后好好利用实习的时间熟悉matlab。