福州一中高三模拟考试理科数学试题答案
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福州一中2001--2002年高三模拟考试理科数学试题答案 一、选择题 二、填空题 13. (3＋2)2a π; 14.[0, 1) 15. ②⑤ 三、解答题 17. 解: (Ⅰ)设|z |=r, arg z =)20(π
αα<<
则,53
|53|r z = 1分
∵z 与z 对应点关于x 轴对称,
∴当∠AOB =90°时, α=45° 2分
∴,56
5321=??r r 解得r =2 4分
∴z =2(cos45°＋i sin45°)=i 22+5分
(Ⅱ)若∠ABO =90°,
|AB |=r r r 54
)53(22=-
S △AOB =56
545321=??r r 7分
∴ r =5 8分
分
分分
又122)
55
55
2(5)
sin (cos 1155
sin 5
5
2cos ,205
4
cos ,531cos 29,53
|||
|2cos 22i i i r z OA OB +=+=+=∴=∴=∴<<==-∴==ααααπ
αααα
18.(Ⅰ)证明: 依题意,
DC ⊥CB , DC ⊥CS ,
∴DC ⊥平面SCB ,
∵AB ∥CD ,
∴AB ⊥平面SCB ,
∴AB ⊥SB ① 2分
又 ∠SCB 为二面角S —CD —B 的平面角,
∴∠SCB =60° 3分
∵BC =a , SC =2a , ∴在△SCB 中,
SB =a a a a a 321
22)2(22=???-+.
∴SB 2＋BC 2=4a 2=SC 2
∴∠SBC =90°, ∴SB ⊥BC ② 5分
由①、②得 SB ⊥平面ABCD 6分
∵SB ?平面SAB ,
∴平面SAB ⊥平面ABCD 7分
(Ⅱ)∵BC ∥DA ,
∴BC ∥平面SAD ,
∴点C 到平面SAD 的距离=点B 到平面SAD 的距离
8分
作BH ⊥SA 于H
∵平面SAB ⊥平面ABCD , DA ⊥AB ,
∴DA ⊥平面SAB ,
∴DA ⊥BH ,
∴BH ⊥平面SAD , BH 为所求 10分
在Rt △SBA 中, SA =,7)3()2(22a a a =+ ∴.721
2723
a a a a SA BA SB BH =?=?=
∴点C到平面SAD的距离为.
7
21
2
a 12分.
1
+
=mx
y①
19. 解 (Ⅰ)
2
22
2=
+y
x②
①代入②, 得
2
1
2
22
2
2=
-
+
+
+mx
x
m
x
1
2
)
2(2
2=
-
+
+mx
x
m
即③ 1分
)
(
)
2(42
2R
m
m
m∈
>
+
+
=
??
设A (x1, y1), B (x2, y2), AB的中心G(x', y')
分
则
2
.
2
2
1
'
'
.
2
2
'
,
2
2
2
2
2
1
2
2
1
m
mx
y
m
m
x
x
x
m
m
x
x
+
=
+
=
+
-
=
+
=
+
-
=
+
设P(x, y), 则
,
2
,
2y
x
m
m
y
x
-
=
-
=
∴代入上式得
,4
)
4
2(
2
2
=
+
=
y
x
y整理, 得
y
y
x<
=
-
+0(1
)1
(
22
2≤2)
P的轨迹是椭圆 (除去点(0, 0)). 6分(Ⅱ)若m=0, 则AB的中垂线为x=0,
这时x0=0 7分
若m≠0, 则AB垂直平分线为
)
2
(
1
2
2
2
2m
m
x
m
m
y
+
+
-
=
+
-
令 y =0, x =x 0. 则 )2(122202m m x m m ++-=+-
解得 2022
m x += 9分
(ⅰ)当 m >0时, 0 1 +≤ 42(当且仅当m =2时取“=”号) (ⅱ)当 m<0时, - =>00x m m -+-2 1≥－ 42(当且仅当m =－2时取“=”号) 综上所述, 42-≤x 0≤4 2. 12分 20.(Ⅰ)设 1≤x 1＜x 2＜＋∞, 则 f (x 1)－f (x 2) 分2))(() () (22212121213231232131a x x x x x x x x a x x ax x ax x -++-=---=---= ∵1≤x 1＜x 2 ∴x 1－x 2<0, x 12≥1, x 1x 2>1, x 22>1. ∴x 12＋x 1x 2＋x 22>3 又∵0＜a ≤3, ∴x 12＋x 1x 2＋x 22－a >0 ∴f (x 1)< f (x 2) ∴f (x )在),1[∞+上为增函数 5分 (Ⅱ)设 f (x 0)=u (x 0≥1, u ≥1) ∵f (x )=x 3－ax ∴u =x 03－ax 0 ① 6分 ∵f [f (x 0)]=x 0 ∴f (u )=x 0 即 x 0= u 3－au ② 7分 ①－②得 u －x 0=x 03－u 3＋au －ax 0 即 (u －x 0)(x 02＋x 0u ＋u 2＋1－a )=0 9分 ∵x 0≥1, u ≥1, 0＜a ≤3 ∴x 02＋x 0u ＋u 2＋1≥4, ∴x 02＋x 0u ＋u 2＋1－a >0 11分 ∴u =x 0, 即f (x 0)=x 0 12分 21.解(Ⅰ)因为最大养殖量为m 吨, 实际养殖量为x 吨, 所以空闲量为(m －x )吨, 空闲率为m x m x m -=-1 1分 依题意, y =k ·x ()0()12>-k m x 5分 定义域为 m x <<0 6分 (Ⅱ)∵m x <<0,110,<- <∴m x k >0. 7分 ∴)1)(1(m x m x kx y -- = )1)(1(22m x m x m x k m --?= ≤3]3 )1()1(2[2m x m x m x mk -+-+? 9分 =27 4)32(23mk mk =? 10分 当且仅当 ,12m x m x -= 即 3m x =时取 “=”. ∴鱼群年增长量的最大值为 27 4mk . 12分 22.(Ⅰ) ∵f (a n )=2a n ＋1－a n ∴f (a n －1)=2 a n －a n －1 (n ≥2) ∵f (a n )=f (a n －1) ∴2a n ＋1－a n =2 a n －a n －1 1分 ∴2(a n ＋1－a n )= a n －a n －1 ∴2 111=---+n n n n a a a a (非零常数) 又∵a 2－a 1=1 ∴{ a n ＋1－a n }是以1为首项, 21为公比的等比数列3分 a n ＋1－a n =1)2 1(-n 4分 ∴a n = a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2) ＋…＋(a n －a n －1) =22)21()21(2111-+++++n =21 )21(3211)21(11---=--+n n ∴a n =2)2 1(3--n (n ∈N ) ∴3lim =∞→n n a 6分 (Ⅱ) (ⅰ)当 n =1时, a 1 (ⅱ)假设当 n =k (k ∈N )时, 不等式成立. 即 a k 由 [f (x 1)－f (x 2)]<|x 1－x 2| (x 1≠x 2) 得 | f (x 0)－f (a n )|<|x 0－a k | 8分 由 f (x 0)= x 0, a k < x 0, 代入上式 得 | x 0－f (a k )|< x 0－a k ∴a k －x 0< x 0－f (a k )< x 0－a k ∵f (a k )=2a k ＋1－a k , 代入上式左边不等式，得 a k －x 0 ∴a k ＋1< x 0, 即 n =k ＋1时, 不等式也成立 10分 由(ⅰ)( ⅱ)知, 不等式对于任何n ∈N 都成立 11分 (Ⅲ)由 |f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2| (x 1≠x 2), 及(Ⅱ)知 a n ∴|f (x0)－f (a n)|<|x0－a n| ∵f (x0)=x0, a n ∴|x0－f (a n)| ∴x0－f (a n) 即a n< f (a n) 13分 ∵f (a n)=2 a n＋1－a n ∴a n<2 a n＋1－a n ∴a n< a n＋1 14分