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高一数学必修4 向量的概念及表示

一．教学目标：

（一）知识目标：了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.

（二）能力目标：通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.

（三）情感目标：通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.

二．教学重点、难点；

教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.

教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.

难点突破：借助原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.

三．教学方法与教学手段：

教学方法：启发式教学

教学手段：多媒体教学

四．教学过程，

（一）情景设置

一个质量m=60kg的物体放在光滑的

水平面上，在与水平方向成α=60 °角斜向

上的拉力F=10N的作用下向左运动了5m ，求拉力所做的功。

物理中的标量和矢量对应数学中的数量和向量。问：再举出一些向量和数量

数量：距离、质量、身高、时间、密度、以及体检中的视力、肺活量等向量：位移、力、速度、加速度等（二）新课学习

1．向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。 2．向量的表示方法：

（1）几何表示法：用有向线段表示向量，长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。（2）用字母等表示；

①用有向线段字母表示：（A 为起点、B 为终点）； ②用小写字母表示：、、；（印刷用a ，书写用）注：小写字母表示平面向量时，字母上的箭头不能省略。 3．向量的有关概念：（1）大小：

①向量的模：向量的大小称为向量的长度（或称为模），记作||. ②零向量：长度为0的向量叫零向量，记作.

思考：0与0的含义与书写区别.

③单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位

A(起点)

B （终点）

向量.

思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？

（2）方向：

平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。记作//。

规定：与任一向量平行.

思考：若//，//，则//？

（3）大小与方向：

①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作a=b。

如：平行四边形ABCD中，AB=DC.

向量是否相等只与大小和方向有关，与起点无关.

②相反向量：与向量长度相等，方向相反的向量叫做的相反向量，记作-。

规定：-=。的相反向量仍是。

对于任一向量有-（-）=。与-互为相反向量。

相等向量和相反向量都是平行向量。

概念辨析：向量平行与直线平行

两条直线平行不包括重合的情况，而向量的平行包括两个向量在同一条直线上（同向或反向）的情形

这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上。

③共线向量：平行向量就是共线向量。

规定：与任一向量共线. （三）理解和巩固：

例1 已知O 为正六边形ABCDEF 的中心，在图中所标出的向量中：

（1）试找出与FE 共线的向量；（2）确定与FE 相等的向量；（3）与相等吗？

解：（1）与共线的向量有和；

引申：除外，图中所给7点的连线中，与共线的向量有几个？ 9个（2）与长度相等且方向相同，故=；

引申：除外，图中所给7点的连线中，与相等的向量有几个？ 3个（3）虽然OA //BC ，且|OA |=|BC |，但它们方向相反，故这两个向量并不相等。引申：除OA 外，图中所给7点的连线中，与OA 互为相反向量的向量有几个？ 4个

例2 在图中的4×5方格纸中有一个向量，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个（除外）？

解：当向量CD 的起点C 是图中所圈的格点时，

可以作出与相等的向量。

这样的格点共有8个，除去点A外，还有7个，所以共有7个向量与AB相等。与AB长度相等的共线向量（AB除外）共有7×2+1=15（个）

例3 对于下列各种情况，各向量的终点的集合分别是什么图形？

（1）把平行于直线L的所有单位向量的起点平移到L上的点P；

（2）把所有单位向量的起点平行移动到同一点P；

（3）把平行于直线L的一切向量的起点平移到L上的点P。

解:（1）是直线L上与点P的距离为1的两个点；

（2）是以P点为圆心，以1个单位长为半径的圆；

（3）直线L

课堂练习：

1．写出图中所示各向量的长度（小正方形的边长

为1）。

2．判断下列命题是否正确，若不正确，简述理由.

①若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；

②模相等的两个平行向量是相等的向量；

③若和都是单位向量，则=；

④两个相等向量的模相等；

⑤向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；

⑥任一向量与它的相反向量不相等；D

F E

⑦向量和不共线，则和都是非零向量。

解：①不正确。向量相等只要长度相等、方向相同，与起点和终点的位置无关。

②不正确。也可以是相反向量。

③不正确。方向不一定相同。

④正确。

⑤共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、

在同一直线上.

⑥不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的

⑦正确。假若a和b不都是非零向量，即a和b至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有和共线，不符合已知条件，所以和都是非零向量. 动动手：

某人从A点出发向西走了200m到达B点,然后改变方向向西偏北60°走了450m到达C点,最后又改变方向,向东走了200m到达D点.

（1）作出向量、；（2）求的模.

解：（1）略；（2）=450m.

合作探究：

以正方形的四个顶点为端点的向量中，可得到多少种不同的模？有多少种不同的向量？

解：2种不同的模，8种不同的向量。

（四）小结

1．向量的概念；

2．向量的表示：代数表示、几何表示；

3．研究向量的两个方面：

大小：零向量、单位向量；

方向：共线向量、平行向量；

大小与方向：相等向量、相反向量

4．数学思想方法：数形结合、分类讨论（注意对0的讨论）。

四、课后作业：

书本59页习题2.1第1、3、4题

五、板书设计

六、课堂反思与作业反馈

教学设计的说明：

向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介．既有其深刻的数学背景，也有其现实的物理背景。

本节课是一节概念教学课。依据数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，因此在向量概念的引入过程中，从物理的角度创设问题情景，使学生明白研究向量不仅是数学本身发展的必然，更是研究客观世界的需要，从而产生强烈的求知欲望。最后又通过物理问题如何用数学的方式加以解决，为学生理解向量的数量积以及向量在实际问题中的应用埋下伏笔。

本节课所涉及到的概念都是让学生去探索而得到的，为了让学生很好的完成这个探究活动，始终引导学生抓住大小与方向两个方面，让学生去发现结论，再由学生或师生共同完善概念。使学生感受知识自然形成的过程，同时也培养了学生的创新意识。

在应用这个环节中，主要让学生消化本节课所学的概念。除了教材中提供的两个例题，加了一个例题弥补不足，通过观察、问答等方式掌握学生的学习状况。配合教材中的两个练习，还加了一个学生自己动手的练习，巩固向量的概念，通过练习对学生的掌握情况做出适当的评价。

在小结这个环节中，主要是让学生从知识的发生、发展去回顾本节课的内容以及注意点，并对本节课所涉及到的思想方法加以总结，达到提高认识，形成体系的目的。

以上就是我对本节课设计的简单说明。

高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳

平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。 4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则： AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） 9.平行四边形法则：以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 10.共线定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。（5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。（6）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。（7）若ma mb =，则a b =。

高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型(经典)

一,向量重要结论（1）、向量的数量积定义：||||cos a b a b θ?= 规定00a ?=， 22||a a a a ?== （2）、向量夹角公式：a 与b 的夹角为θ，则cos |||| a b a b θ?= （3）、向量共线的充要条件：b 与非零向量a 共线?存在惟一的R λ∈，使b a λ=。（4）、两向量平行的充要条件：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =平行?12210x y x y -= （5）、两向量垂直的充要条件：向量a b ⊥0a b ??=?12120x x y y += （6）、向量不等式：||||||a b a b +≥+，||||||a b a b ≥? （7）、向量的坐标运算：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =，则a b ?=1212x x y y + （8）、向量的投影：︱b ︱cos θ=||a b a ?∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影（9）、向量：既有大小又有方向的量。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。相等向量：长度相等且方向相同的向量。（10）、零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝ 0 ?｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）（11）、单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量?｜ 0a ｜＝1 （12）、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b (即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1）给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,= ，要会求出直线的斜率；（2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点; （3）给出0 =+,等于已知P 是MN 的中点; （4）给出()+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线; （5）给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,O C O A O B αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线. （6）给出λλ++=1OP ，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即λ= （7）给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知 AMB ∠是锐角。（ 8）给出=??λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ （9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-?+，等于已知ABCD 是菱形;

【人教B版】高中数学必修一(全册)同步练习全集 (含本书所有课时)

（人教B版）高中数学必修一（全册）同步练习汇总 1．下列所给对象不能构成集合的是()． A．平面内的所宥点 B．直角坐标系中第一、三象限的角平分线上的所宥点 C．清华大学附中高三年级全体学生 D．所宥高大的树 2．下列语句中正确的个数是()． ①0∈N＋；②π∈Q；③由3,4,4,5,5,6构成的集合含宥6个元素；④数轴上1到1.01间的线段包括端点的点集是宥限集；⑤某时刻地球上所宥人的集合是无限集．A．0B．1C．2D．3 3．(易错题)由a2,2－a,4组成一个集合A, A中含宥3个元素, 则实数a的取值可以是()． A．1 B．－2 C．6 D．2 -.其中正确的个数是4．给出以下关系式: 2∈R, ②2.5∈Q, ③0∈?, ④3N ()．

A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．以实数x , － x , 2x , |x |, －|x |, 2x -, 33x -, 3 3x 爲元素所构成的集合中最多含宥( )． A ．2个元素 B ．7个元素 C ．4个元素 D ．5个元素 6．已知x , y , z 是非零实数, 代数式xyz x y z x y z xyz +++ 的值所组成的集合爲M , 则M 中宥________个元素． 7．对于集合A ＝{2,4,6}, 若a ∈A , 则6－a ∈A , 那么a 的值是________． 8．用符号∈和?填空． (1)设集合A 是正整数的集合, 则0________A , 2________A , (－1)0________A ； (2)设集合B 是小于11的所宥实数的集合, 则23________B,1＋2________B ； (3)设集合C 是满足方程x ＝n 2＋1(其中n 爲正整数)的实数x 的集合, 则3________C,5________C ； (4)设集合D 是满足方程y ＝x 2的宥序实数对(x , y )的集合, 则－1________D , (－1,1)________D . 9．关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0且a , b , c ∈R ), 当a , b , c 满足什么条件时, 以实数解构成的集合分别爲空集、含一个元素、含两个元素? 10.数集M 满足条件: 若a ∈M , 则11a M a +∈-(a ≠± 1, 且a ≠0), 已知3∈M , 试把由此确定的M 的元素求出来．

高中数学必修4平面向量教案

科组长签字：

高中数学必修4 平面向量基本知识回顾： 1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示-----AB u u u r (几何表示法)； ②用字母a r 、b r 等表示(字母表示法)； ③平面向量的坐标表示（坐标表示法）：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i r 、j r 作为基底。任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi yj r r ，),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y r ，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，特别地，i r (1,0) ，j r (0,1) ，0(0,0) r 。a r ),(11y x A ，),(22y x B ，则 1212,y y x x ， AB 3.零向量、单位向量： ①长度为0的向量叫零向量，记为0； ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.| |a 就是单位向量） 4.平行向量： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0r 与任一向量平行.向量a r 、b r 、c r 平行，记作a r ∥b r ∥c r .共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量. 性质：//(0)(a b b a b r u r r r r r 是唯一）||b a b a a b u r r u r r r r 0,与同向方向---0,与反向长度--- 1221//(0)0a b b x y x y r u r r r （其中 1122(,),(,)a x y b x y r u r ） 5.相等向量和垂直向量： ①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ②垂直向量——两向量的夹角为2 性质：0a b a b r u r r r g

高一数学必修4平面向量练习题及答案(完整版)

平面向量练习题一、选择题 1、若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于( ) A 、21-a +23b B 、21a 23-b C 、23a 2 1-b D 、2 3-a + 21b 2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与共线的单位向量是（） A 、)10 10 ,10103(- = B 、)10 10 ,10103()1010,10103(-- =或 C 、)2,6(-= D 、)2,6()2,6(或-= 3、已知k 3),2,3(),2,1(-+-==垂直时k 值为（） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 4、已知向量=(2，1)， =(1，7)， =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA ?的最小值是 ( ) A 、-16 B 、-8 C 、0 D 、4 5、若向量)1,2(),2,1(-==分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是（） A 、－1 ，2 B 、－2 ，1 C 、 1 ，2 D 、 2，1 6、若向量a =(cos α,sin β)，b =(cos α ,sin β )，则a 与b 一定满足（） A 、a 与b 的夹角等于α－β B 、(a ＋b )⊥(a －b ) C 、a ∥b D 、a ⊥b 7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i θθsin 3cos 3+=，i -=∈),2 ,0(π θ。若用来表示与的夹角，则等于（） A 、θ B 、 θπ +2 C 、 θπ -2 D 、θπ- 8、设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是（） A 、2 B 、3 C 、23 D 、二、填空题 9、已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，则使BP AP ?取得最小值的点P 的坐标

(苏教版)高中数学必修1配套练习+章节测试卷汇总

（苏教版）高中数学必修1配套练习+章节测试卷汇总第1章集合 1.1 集合的含义及其表示

A级基础巩固1．下列关系正确的是() ①0∈N；②2∈Q；③1 2?R；④－2?Z. A．③④B．①③C．②④D．① 解析：①正确，因为0是自然数，所以0∈N； ②不正确，因为2是无理数，所以2?Q； ③不正确，因为1 2是实数，所以 1 2∈R； ④不正确，因为－2是整数，所以－2∈Z. 答案：D 2．若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是() A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．等腰三角形解析：根据集合中元素的互异性可知，一定不是等腰三角形．答案：D 3．集合M＝{(x，y)|xy<0，x∈R，y∈R}是()

A ．第一象限内的点集 B ．第三象限内的点集 C ．第四象限内的点集 D ．第二、第四象限内的点集解析：集合M 为点集，且横、纵坐标异号，故是第二、第四象限内的点集．答案：D 4．已知集合A 含有三个元素2，4，6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，则a 为( ) A ．2 B ．2或4 C ．4 D ．0 解析：若a ＝2∈A ，则6－a ＝4∈A ；或a ＝4∈A ，则6－a ＝2∈A ；若a ＝6∈A ，则6－a ＝0?A . 答案：B 5．方程组?????x ＋y ＝2，x －2y ＝－1 的解集是( ) A ．{x ＝1，y ＝1} B ．{1} C ．{(1，1)} D ．(1，1) 解析：方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A 、B ，而D 不是集合的形式，排除D. 答案：C 6．下列集合中为空集的是( ) A ．{x ∈N|x 2≤0} B ．{x ∈R|x 2－1＝0} C ．{x ∈R|x 2＋x ＋1＝0} D ．{0} 答案：C 7．设集合A ＝{2，1－a ，a 2－a ＋2}，若4∈A ，则a 的值是( ) A ．－3或－1或2 B ．－3或－1 C ．－3或2 D ．－1或2 解析：当1－a ＝4时，a ＝－3，A ＝{2，4，14}．当a 2－a ＋2＝4

高中数学必修一全册同步练习含参考答案

高中数学必修一同步练习 1.1.1 集合的含义与表示课后作业· 练习案【基础过关】 1．若集合中只含一个元素1，则下列格式正确的是 A.1= B.0 C.1 D.1 2．集合的另一种表示形式是 A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5} 3．下列说法正确的有 ①集合，用列举法表示为{1,0,l}； ②实数集可以表示为或; ③方程组的解集为. A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 4．直角坐标系中，坐标轴上点的集合可表示为 A. B. C.

D. 5．若集合含有两个元素1，2，集合含有两个元素1，，且，相等，则____. 6．已知集合，，且，则为 . 7．设方程的根组成的集合为，若只含有一个元素，求的值. 8．用适当的方法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数； (2)满足方程的所有x的值构成的集合B. 【能力提升】集合，，，设，则与集合有什么关系？

详细答案【基础过关】 1．D 【解析】元素与集合之间只存在“∈”与“?”的关系，故1∈A正确. 2．B 【解析】由x－2＜3得x＜5，又，所以x＝1，2，3，4，即集合的另一种表示形式是{1，2，3，4}. 3．D 【解析】对于①，由于x∈N，而－1?N，故①错误；对于②，由于“{ }”本身就具有“全部”、“所有”的意思，而且实数集不能表示为{R}，故②错误；对于③，方程组的解集是点集而非数集，故③错误. 4．C 【解析】坐标轴上的点分为x轴、y轴上的点，在x轴上的点纵坐标为0，在y轴上的点横坐标为0. 5．【解析】由于P，Q相等，故，从而. 6．(2，5) 【解析】∵a∈A且a∈B， ∴a是方程组的解，解方程组，得∴a为(2，5).

人教版高中数学高一-教案必修4第2章(第1课时)平面向量的实际背景及基本概念

课题：2.1.1向量的物理背景与概念 2.1.2向量的几何表示 2.1.3相等向量与共线向量教学目的： 1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示； 2.了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或出与某一已知向量相等的向量； 3.了解平行向量的概念. 教学重点：向量概念、相等向量概念、向量几何表示教学难点：向量概念的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标) 的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法教学过程：一、复习引入：在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量. 向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.这一节课，我们将学习向量的有关概念. 二、讲解新课： 1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量注意：1?数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小 2?从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性

[推荐]2020年苏教版高中数学必修一(全册)配套练习汇总

[推荐]2020年苏教版高中数学必修一(全册) 配套练习汇总课后训练千里之行始于足下 1．下列对象能构成集合的序号是________． ①NBA 联盟中所有优秀的篮球运动员；②2011年诺贝尔奖获得者R ；③美韩联合军演时发射的所有导弹；④校园花坛里所有鲜艳的花朵． 2．给出下列6个关系： 1 2 ∈R , Q ,0∈{0}, tan45°∈Z , 0∈N *, π∈Q , 其中, 正确的个数为________． 3．（1）“被3除余1的数”组成的集合用描述法可表示为________．（2）设集合6 {}3A x x =∈∈-N N , 用列举法表示为____________． 4．已知集合A ＝{1,2,3}, B ＝{3, x 2,2}, 若A ＝B , 则x 的值是________． 5．下列结论中, 正确的个数是________． ①cos30°∈Q ；②若a -∈N , 则a ∈N ；③方程x 2＋4＝4x 的解集中含有2个元素；④若a ∈N *, b ∈N , 则a ＋b 的最小值为2；⑤|－3|∈N *. 6．下列结论中, 正确的序号是________． ①若以集合S ＝{a , b , c }中三个元素为边可构成一个三角形, 则该三角形一定不是等腰三角形；②满足1＋x ＞x 的实数x 组成一个集合；20y +=的解集为{2, －2}；④方程（x －1）2（x ＋5）（x －3）＝0的解集中含有3个元素；⑤今天正午12时生活在地球上的所有人构成的集合为无限集． 7．已知二元素集A ＝{a －3,2a －1}, 若－3∈A , 求实数a 的值． 8．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0, a ∈R }．（1）若A 中只有一个元素, 求a 的值；（2）若A 中最多有一个元素, 求a 的取值范围；（3）若A 中至少有一个元素, 求a 的取值范围．

高中数学人教A版必修4讲义：第二章 2.1 平面向量的实际背景及基本概念含答案

平面向量的实际背景及基本概念预习课本P74～76，思考并完成以下问题 (1)向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？ (2)怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？ (3)两个向量(向量的模)能否比较大小？ (4)如何判断相等向量或共线向量？向量AB与向量BA是相等向量吗？ (5)零向量与单位向量有什么特殊性？0与0的含义有什么区别？ [新知初探] 1．向量的概念和表示方法 (1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量． (2)向量的表示：表示法几何表示：用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，即用有向线段的起点、终点字母表示，如AB，… 字母表示：用小写字母a，b，c，…表示，手写时必须加箭头量，有向线段是规定了起点和终点的线段． 2．向量的长度(或称模)与特殊向量 (1)向量的长度定义：向量的大小叫做向量的长度． (2)向量的长度表示：向量AB，a的长度分别记作：|AB|，|a|.

(3)特殊向量： ①长度为0的向量为零向量，记作0； ②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量． [点睛]定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．3．向量间的关系 (1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量，记作：a＝b. (2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作a∥b；规定零向量与任一向量平行． [点睛]共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同． [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量能比较大小．() (2)向量的模是一个正实数．() (3)单位向量的模都相等．() (4)向量AB与向量BA是相等向量．() 答案：(1)×(2)×(3)√(4)× 2．有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．其中可以看成是向量的个数() A．1B．2C．3D．4 答案：B 3．已知向量a如图所示，下列说法不正确的是() A．也可以用MN表示B．方向是由M指向N C．始点是M D．终点是M 答案：D 4.如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与ED相等的向量有______．答案：AB，DC 向量的有关概念 [典例]有下列说法：①向量AB和向量BA长度相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量BC是有向线段；④向量0＝0，其中正确的序号为________．

高中数学必修平面向量知识点总结

高中数学必修4知识点总结平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a 向量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a ｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a ｜＝ 0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a 大小相等，方向相同),(),(2211y x y x 21 2 1y y x x 2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r

(湘教版)高中数学必修1(全册)配套练习汇总

（湘教版）高中数学必修1（全册）配套练习汇总 1．下列集合中有限集的个数是()． ①不超过π的正整数构成的集合；②平方后等于自身的数构成的集合；③高一(2)班中体重在55 kg以上的同学构成的集合；④所有小于2的整数构成的集合．A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列说法正确的个数是()． ①集合N中最小的数是1； ②－a不属于N＋，则a∈N＋； ③所有小的正数构成一个集合； ④方程x2－4x＋4＝0的解的集合中有且只有两个元素． A．0 B．1 C．2 D．3 3．下列选项正确的是()． A．x－5∈N＋B．π?R C．1?Q D．5∈Z 4．已知集合S中含有三个元素且为△ABC的三边长，那么△ABC一定不是()．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形 5．由a2,2－a,4组成一个集合M，M中含有3个元素，则实数a的取值可以是()．

A．1 B．－2 C．6 D．2 6．若集合M中只有2个元素，它们是1和a2－3，则a的取值范围是__________．7．关于集合有下列说法： ①大于6的所有整数构成一个集合； ②参加2010年亚运会的著名运动员构成一个集合； ③平面上到原点O的距离等于1的点构成一个集合； ④若a∈N，则－a?N； ⑤若x＝2，则x?Q. 其中正确说法的序号是__________． 8．由方程x2－3x＋2＝0的解和方程x2－4x＋4＝0的解构成的集合中一共有__________个元素． 9．若所有形如3a(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，判断6-+ 是不是集合A中的元素． 10．数集M满足条件：若a∈M，则1 1 a a + - ∈M(a≠±1，且a≠0)，已知3∈M，试把由此确定的M的元素求出来．

人教A版高中数学必修4第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念习题(最新整理)

平面向量的实际背景及基本概念课时练 1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功，其中不是向量的有( ) A．1 个B．2 个 C．3 个D．4 个解析：由物理知识知，质量、路程、密度、功是标量，而速度、位移、力、加速度是向量．答案：D 2．在下列命题中，正确的是( ) A．若|a|>|b|，则a>b B．若|a|＝|b|，则a＝b C．若a＝b，则a 与b 共线 D．若a≠b，则a 一定不与b 共线解析：分析四个选项知，C 正确．答案：C 3.设a，b 为两个单位向量，下列四个命题中正确的是( ) A.a＝b B.若a∥b，则a＝b C.a＝b 或a＝－b D.若a＝c，b＝c，则a＝b 答案：D →→→ 4.设M 是等边△ABC 的中心，则AM、MB、MC是( ) A.有相同起点的向量 B．相等的向量 C．模相等的向量 D．平行向量解析：由正三角形的性质知，|MA|＝|MB|＝|MC|. →→→ ∴|MA|＝|MB|＝|MC|.故选C. 答案：C

→→ 5.如右图，在四边形ABCD 中，其中AB＝DC，则相等的向量是( ) →→→→ A.AD与CB B.OA与OC →→→→ C.AC与DB D.DO与OB →→→→解析：由AB＝DC知，四边形ABCD 是平行四边形，由平行四边形的性质知，|DO|＝|OB|，故选D. 答案：D 6.如下图，ABCD 为边长为3 的正方形，把各边三等分后，共有16 个交点，从中选取 → 两个交点作为向量，则与AC平行且长度为2 2的向量个数是． → → → → →→→→ 解析：如图所示，满足条件的向量有EF、FE、HG、GH、AQ、QA、PC、CP共8 个．答案：8 个 7.把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是．解析：这些向量在同一直线，其终点构成一条直线．答案：一条直线 8．给出以下5 个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a 与b 方向相反；④|a|＝0 或|b|＝0；⑤a 与b 都是单位向量，其中能使a∥b 成立的是．答案：①③④ 9.如下图，E、F、G、H 分别是四边形ABCD 的各边中点，分别指出图中：

必修4平面向量知识要点

必修４平面向量知识要点 1、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+； ②结合律：()() a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 3、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 4、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ① a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当 0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③() a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． 5、向量共线定理：向量() 0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、() 0b b ≠共线． 6、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作 b a C B A a b C C -=A -AB =B

高一数学必修四平面向量基础练习题及答案

平面向量的基本定理及坐标表示一、选择题 1、若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于( ) A 、21- a +23 b B 、21a 23-b C 、23a 2 1-b D 、2 3- a + 21b 2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与AB 共线的单位向量是（） A 、)10 10 ,10103(- =e B 、)10 10 ,10103()1010,10103(-- =或e C 、)2,6(-=e D 、)2,6()2,6(或-=e 3、已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为（） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 4、已知向量OP =(2，1)，OA =(1，7)，OB =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA ?的最小值是 ( ) A 、-16 B 、-8 C 、0 D 、4 5、若向量)1,2(),2,1(-==n m 分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是（） A 、－1 ，2 B 、－2 ，1 C 、 1 ，2 D 、 2，1 6、若向量a =(cos α,sin β)，b =(cos α ,sin β )，则a 与b 一定满足（） A 、a 与b 的夹角等于α－β B 、(a ＋b )⊥(a －b ) C 、a ∥b D 、a ⊥b 7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i OP θθsin 3cos 3+=， i OQ -=∈),2 ,0(π θ。若用来表示OP 与OQ 的夹角，则等于（） A 、θ B 、 θπ +2 C 、 θπ -2 D 、θπ- 8、设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=OP ，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向

高中数学必修四：第二章平面向量的概念及其表示活动单

活动单49：向量的概念及其表示【学习目标】 1.了解向量的实际背景；理解向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义. 2.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相反向量等概念. 3. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别【重难点】重点: 理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 难点: 准确理解向量的有关概念；平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 【预习案】?看书P59—60，弄懂下列概念 1、书P58实例, 位移和距离有什么不同? ； 2、你能举出一些不仅有大小, 而且有方向的量么?比如？； 3、这些量有何共同特征？； 4、向量的概念：； 5、根据以前所学知识，你认为可用哪些方法表示向量呢？； 6、向量有数的属性，类比特殊的数，你想到了哪几种特殊向量？零向量：；单位向量：； 7.类比数与数之间的特殊关系，你想到了向量与向量之间有哪几种特殊关系？相等向量：；相反向量：； 8.向量也有形的属性，类比线段与线段的特殊位置关系，你想到了向量与向量之间有什么样的特殊关系? 平行向量：；共线向量：； 9、实数可以比较大小，向量能吗？为什么? ； 10、直线平行与向量平行有区别吗？如果有，你认为区别在那里？

【探究案】探究一：判断下列命题的真假, 并说明理由.（以讨论为主） (1)平行向量一定方向相同（）； (2)共线向量一定相等（）； (3)起点不同, 但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量（）； (4)不相等的向量一定不平行（）； (5)向量的模是一个正实数（）； (6)两个相反向量必是共线向量( ) （7）单位向量都相等（） (8)若两个单位向量互相平行, 则这两个单位向量相等（）（9）向量与是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上（）（10）任一向量与它的相反向量不相等. ( ) （11）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.( ) （12）a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线( ) （13）向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量（）（14）有相同起点的两个非零向量不平行. （）（15）若a ∥b ，b ∥c ，则 a ∥c ( ）探究二：已知O 为正六边形ABCDEF 的中心, 在图中所标出的向量中: (1)试找出与FE 共线的向量; ； (2)确定与相等的向量; ； (3)与相等吗? ；探究三：在如图的4×5方格纸中有一个向量, 分别以图中的格点为起点和终点作向量, 其中与相等的向量有多少个? 与长度相等的共线向量有多少个? (除外) C A

高一数学必修一平面向量的坐标运算

平面向量的坐标运算教学目标掌握向量的坐标运算法则，熟悉模与夹角公式，会利用坐标、公式、平行、垂直解题重难点分析重点：1、平面向量坐标公式； 2、模与夹角公式； 3、混合运算。难点：1、模与夹角公式的应用； 2、平面向量综合应用。知识点梳理 1、向量的坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则：（1）向量的加减法运算：12(a b x x ±=±，12)y y ±。（2）实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==。（3）若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。（4）平面向量数量积：?a 2211y x y x b += （5）向量的模：2 22 222||,||a x y a a x y = +==+ （6）乘法公式：()() 2 2 22 a b a b a b a b +?-=-=-；() 2 22 2a b a a b b ±=±?+2 2 2a a b b =±?+ 2、模与夹角：θcos → → → →?=?b a b a （θ为a 与b 的夹角） 3、几个常见题型的求法: 11(,)a x y =、22(,)b x y = （1）向量的模： 22 11||a a a x y =?=+；（2）向量垂直：121200a b a b x x y y ⊥??=?+= （3）向量的夹角：121222221 1 22 cos |||| x x y y a b a b x y x y θ+?= =++

(湘教版)高中数学必修一(全册)同步练习汇总

（湘教版）高中数学必修一（全册）同步练习汇总 1．1．1 集合的含义和表示 1．下列集合中有限集的个数是()． ①不超过π的正整数构成的集合；②平方后等于自身的数构成的集合；③高一(2)班中体重在55 kg以上的同学构成的集合；④所有小于2的整数构成的集合．A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列说法正确的个数是()． ①集合N中最小的数是1； ②－a不属于N＋，则a∈N＋； ③所有小的正数构成一个集合； ④方程x2－4x＋4＝0的解的集合中有且只有两个元素． A．0 B．1 C．2 D．3 3．下列选项正确的是()． A．x－5∈N＋B．π?R C．1?Q D．5∈Z 4．已知集合S中含有三个元素且为△ABC的三边长，那么△ABC一定不是()．

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形 5．由a2,2－a,4组成一个集合M，M中含有3个元素，则实数a的取值可以是()．A．1 B．－2 C．6 D．2 6．若集合M中只有2个元素，它们是1和a2－3，则a的取值范围是__________．7．关于集合有下列说法： ①大于6的所有整数构成一个集合； ②参加2010年亚运会的著名运动员构成一个集合； ③平面上到原点O的距离等于1的点构成一个集合； ④若a∈N，则－a?N； ⑤若x＝2，则x?Q. 其中正确说法的序号是__________． 8．由方程x2－3x＋2＝0的解和方程x2－4x＋4＝0的解构成的集合中一共有__________个元素． 9．若所有形如3a(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，判断6-+ 是不是集合A中的元素． 10．数集M满足条件：若a∈M，则1 1 a a + - ∈M(a≠±1，且a≠0)，已知3∈M，试把由此确定的M的元素求出来．

高中数学必修4第二章平面向量教案完整版93323

高中数学必修4第二章平面向量教案（12课时) 本章内容介绍向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系. 向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题. 本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念. （让学生对整章有个初步的、全面的了解.）第1课时 §2.1 平面向量的实际背景及基本概念教学目标： 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、情景设置：如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了. 分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、 A B C D