中国人民大学附中特级教师梁丽平高考数学综合能力题30讲第29讲条件开放的探索性问题
数学高考综合能力题选讲
29
题型预测
探索性问题的明显特征是问题本身具有开放性及问题解决的过程中带有较强的探索
性?对于条件开放的探索性问题，往往采用分析法，从结论和部分已知的条件入手，执果索 因，导出所需的条件?另外，需要注意的是，这一类问题所要求的往往是问题的充分条件， 而不一定是充要条件，因此，直觉联想、较好的洞察力都将有助于这一类问题的解答.
范例选讲
例1 ?在四棱锥P ABCD 中，四条侧棱长都相等，底面 ABCD 是梯形， AB//CD , AB CD ?为保证顶点P 在底面ABCD 所在平面上的射影 O 在梯形 ABCD 的外部，那么梯形 ABCD 需满足条件 _________________________________ （填上你认为 正确的一个条件即可）.
讲解：条件给我们以启示.由于四条侧棱长都相等， 所以，顶点P 在底面ABCD 上的射影O 到梯形ABCD 四 个顶点的距离相等?即梯形 ABCD 有外接圆，且外接圆 的圆心就是O .显然梯形ABCD 必须为等腰梯形.
再看结论.结论要求这个射影在梯形的外部，事实 上,我们只需找出使这个结论成立的一个充分条件即可.
显然，点B 、C 应该在过A 的直径AE 的同侧.不难 发现，ACB 应该为钝角三角形.
故当 ACB 90 （且AC>BC ）时可满足条件.其余等价的或类似的条件可 以随读者想象.
点评：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分 条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件.这 类题要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力.
例2.老师给出一个函数y f x ，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函 数的一个性质:
100080
条件开放的探索性问题
北京中国人民大学附中
梁丽平
B E
甲：对于x R ，都有fix fix ; 乙：在（,0］上函数递减； 丙：在0,
上函数递增；
丁: f 0不是函数的最小值.
如果其中恰有三个人说得正确，请写出一个这样的函数： ___________________ . 讲解：首先看甲的话，所谓“对于x R ，都有fix f 1 x ”，其含义 即为：函数f x 的图像关于直线x 1对称?数形结合，不难发现：甲与丙的话 相矛盾.（在对称轴的两侧，函数的单调性相反）
因此，我们只需选择满足甲、乙、丁（或乙、丙、丁）条件的函数即可. 如果我们希望找到满足甲、乙、丁条件的函数，贝嚅要认识到：所谓函数在 （,0］上单调递减，并不是说函数f x 的单调递减区间只有（,0］.考虑到关 于直线x 1的对称性，我们不妨构造函数，使之在（,1］上单调递减，这样，既
2
不与乙的话矛盾，也满足丁所说的性质.如 f X X 1即可.
如果希望找到满足乙、丙、丁条件的函数，则分段函数是必然的选择.如
x 1, x 0 f x .
x, x 0
点评：本题考查学生对于函数性质的理解和掌握.思考这样的问题，常常需 要从熟悉的函数（一次、二次、反比例函数，指数、对数、三角函数等）入手， 另外，分段函数往往是解决问题的关键.
写出数列x n 的所有项;
例3.对任意函数f x ，x D ，可按图示构造一个数列 发生器，其工作原理如下：
① 输入数据X 。D ，经数列发生器输出x , f x 0 ; ② 若为D ，则数列发生器结束工作；若为D ，则将花 反馈回输入端，再输出x 2 f x ，并依此规律继续下去.
现定义f x
4x 2
x 1 （I ）若输入x 0 49
65
，
则由数列发生器产生数列
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（U ）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列
X n ，试求输入的初始数据
X o 的值；
（川）若输入X o 时，产生的无穷数列X n 满足：对任意正整数n,均有X n X ni , 求X o
的取值范围.
（W ）是否存在X o ，当输入数据X o 时，该数列发生器产生一个各项均为负数 的的无穷
数列.
讲解：（I ）对于函数f x 4X 2，D X 1
,1 1，
1, .
若Xo 65，代入计算可得：M 19,X 2
1 1，X3
故产生的数列X n 只有三项.
（U ）要使数列发生器产生一个无穷的常数数列， 实际上是对于任意的正整
数n ，都应该有X n 1 X n ?又X n 1 f X n
4X1
2
?所以，只需令f X X .
X n 1
解得：X 1或X 2 .
由于题目实际上只要求找到产生“无穷常数数列”的一个充分条件，所以， 令X o 1 （或2）即可.此时必有X n 1 X n = 1 （或2）.
事实上，相对于本题来讲，X o 1 （或2）是产生“无穷常数数列”的充要条
4X 2 件（这是因为函数fx ----------------------- 2是 ------- 对应）.如果把函数换成
X 1
f X -区上，请读者思考：有多少个满足条件的初值 X o ?
2X
（m ）要使得对任意正整数n ，均有X n X n 1，我们不妨先探索上述结论成立
事实上，不等式X 鉉上的解为X 1或1 X 2 .（*） X 1 所以，X 1 1或1 X , 2 .
下面我们来研究这个条件是否充分.
的一个必要条件.即X 1 X
4为 2
X 1
1
X 3 4 X 2，显然不符合题意. X 1 X 2，且不难求得1 X 2
2，以此类推，可知,
必有：对任意正整数n ,均有X n X n 1成立.
综上所述，1 X 1 2 .由X 1 f X o 及（*），不难得知：X 0的取值范围为1,2
（W ）要求使得x n 0任取n N 成立的初值X 。.实质上是执果索因.令
1
X n 0，则由X n f X n 1不难解得1人1 -.
2 5 又由X n 1 f X n 2 ，可解得：
X n 2
5 7
1 5 由此我们知道，如果X n 0，贝U 必有-X n
2 -.即X n 与召2不可能同时小 5 7
于0.
故在本题的规则下，不可能产生各项均为负数的数列
X n .
点评：本题为条件探索型问题，执果索因，恰当运用分析法，寻找使结论成
立的充分条件是解决这类问题的常用方法.
咼考真题
1 . （ 1998年全国高考）如图,在直四棱柱
A 1
B 1
C 1
D 1-ABCD 中，当底面四边形 ABCD 满足条件 寸，有A 1C B 1D 1.（注：填上一种你认为正 确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.）
2. （ 2002上海春季高考）设曲线G 和C 2的方程分别
为 F 1 X , y 0 和 F 2 X , y 0 ,则点 P a,b G C 2 的 一个充分条件为 _________________________.
3. （ 2002年上海高考）
命题A :底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三 棱锥.命题A 的等价命题B 可以是：底面为正三角形，且 _________________ 的三棱锥
是正三棱锥.
当X i
1 时，X 2
4论 2 x 1 1
4 ,所以，虽然有X 1 X 2 ,但此时
当1为2时，由上可知:
4. （2000年全国高考18题）略.
[答案与提示：1满足AC BD的任一条件均可； 2. F, a,b 0/ F2 a,b 0 ,
/ F, a,b 0且F2 a,b 0/ C, C? / P G等；3?侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/……]
;（D；（n）；（m）.
1. （2000年全国高考题）如图，已知平行六面体ABCD- A i B i C i D i的底面ABCD
是菱形，且C,CB= BCD = 60 .
B> A t
（I）证明：C i C 丄BD ；
3
(II)假定CD=2, C i C = 3，记面C i BD 为,面CBD
为，求二面角BD 的平面角的余弦值;
（川）当誥的值为多少时，能使A,C平面C i BD?请给出证明.