选修1-2 第三章 3.2 第1课时
一、选择题
1.设z 1=2+b i ,z 2=a +i ,当z 1+z 2=0时,复数a +b i 为( ) A .1+i B .2+i C .3 D .-2-i
[答案] D
[解析] ∵z 1+z 2=(2+b i)+(a +i) =(2+a )+(b +1)i =0,
∴????? 2+a =0b +1=0,∴?????
a =-2
b =-1
, ∴a +b i =-2-i.
2.已知z 1=2+i ,z 2=1-2i ,则复数z =z 2-z 1对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限
[答案] C
[解析] z =z 2-z 1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i.故z 对应的点为(-1,-3),在第三象限. 3.(2014·浙江台州中学期中)设x ∈R ,则“x =1”是“复数z =(x 2-1)+(x +1)i 为纯虚数”的( )
A .充分必要条件
B .必要不充分条件
C .充分不必要条件
D .既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] z 是纯虚数??????
x 2-1=0,x +1≠0,
?x =1,故选A.
4.在复平面内,点A 对应的复数为2+3i ,向量OB →对应的复数为-1+2i ,则向量BA →
对应的复数为( )
A .1+5i
B .3+i
C .-3-i
D .1+i
[答案] B
[解析] 向量OA →
对应的复数即为A 点对应的复数,
又因为BA →=OA →-OB →
, 而(2+3i)-(-1+2i)=3+i , 故BA →
对应的复数为3+i ,故选B.
5.设复数z 满足关系式z +|z |=2+i ,那么z =( ) A .-3
4+i
B .34-i
C .-3
4-i
D .-34
+i
[答案] D
[解析] 设z =x +y i(x 、y ∈R ), 则x +y i +
x 2+y 2=2+i ,
因此有?
????
x +x 2+y 2=2y =1,
解得?????
x =34y =1,
故z =3
4
+i ,故选D.
[点评] ∵|z |∈R ,z =2-|z |+i ,
∴z 的虚部为1,因此可设z =a +i(a ∈R ),由此得a +i +a 2+1=2+i 解出a . 6.若z 1=2+i ,z 2=3+a i(a ∈R ),且z 1+z 2所对应的点在实轴上,则a 的值为( ) A .3 B .2 C .1 D .-1
[答案] D
[解析] z 1+z 2=2+i +3+a i =(2+3)+(1+a )i =5+(1+a )i. ∵z 1+z 2所对应的点在实轴上, ∴1+a =0,∴a =-1. 二、填空题
7.已知|z |=4,且z +2i 是实数,则复数z =________. [答案] ±23-2i
[解析] ∵z +2i 是实数,可设z =a -2i(a ∈R ),
由|z |=4得a 2+4=16, ∴a 2=12,∴a =±23, ∴z =±23-2i.
8.已知复数z 1=(a 2-2)+(a -4)i ,z 2=a -(a 2-2)i(a ∈R ),且z 1-z 2为纯虚数,则a =________.
[答案] -1
[解析] z 1-z 2=(a 2-a -2)+(a -4+a 2-2)i(a ∈R )为纯虚数,
∴?????
a 2-a -2=0a 2+a -6≠0
,解得a =-1.
9.在复平面内,O 是原点,O A →、OC →、A B →
对应的复数分别为-2+i 、3+2i 、1+5i ,
那么B C →
对应的复数为________.
[答案] 4-4i
[解析] B C →=O C →-O B →
=O C →-(O A →+A B →
) =3+2i -(-2+i +1+5i) =(3+2-1)+(2-1-5)i =4-4i. 三、解答题
10.已知平行四边形ABCD 中,A B →与A C →
对应的复数分别是3+2i 与1+4i ,两对角线AC 与BD 相交于P 点.
(1)求A D →
对应的复数; (2)求D B →
对应的复数; (3)求△APB 的面积.
[分析] 由复数加、减法运算的几何意义可直接求得A D →,D B →
对应的复数,先求出向量P A →、P B →
对应的复数,通过平面向量的数量积求△APB 的面积.
[解析] (1)由于ABCD 是平行四边形,所以A C →=A B →+A D →,于是A D →=A C →-A B →
,而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i ,
即A D →
对应的复数是-2+2i.
(2)由于D B →=A B →-A D →
,而(3+2i)-(-2+2i)=5, 即D B →
对应的复数是5.
(3)由于P A →=12C A →=-12
A C →=????-12,-2, P
B →=12
D B →=????
52,0, 于是P A →·P B →=-54,
而|PA |→
=172,|PB |→=52,
所以
172·52·cos ∠APB =-54
, 因此cos ∠APB =-
1717,故sin ∠APB =417
17
, 故S △APB =12|PA |→|PB |→
sin ∠APB
=12×172×52×41717=52. 即△APB 的面积为52
.
[点评] (1)根据复数加、减法运算的几何意义可以把复数的加、减法运算转化为向量的坐标运算.
(2)复数加、减法运算的几何意义为应用数结合思想解决复数问题提供了可能.
一、选择题
11.实数x 、y 满足(1+i)x +(1-i)y =2,则xy 的值是( ) A .1 B .2 C .-2 D .-1
[答案] A
[解析] ∵(1+i)x +(1-i)y =2,
∴????? x +y =2x -y =0,解得?????
x =1y =1
.
∴xy =1.
12.若复数x 满足z +(3-4i)=1,则z 的虚部是( ) A .-2 B .4 C .3 D .-4
[答案] B
[解析] z =1-(3-4i)=-2+4i ,故选B.
13.若复数(a 2-4a +3)+(a -1)i 是纯虚数,则实数a 的值为( ) A .1 B .3 C .1或3 D .-1
[答案] B
[解析] 由条件知?????
a 2-4a +3=0
a -1≠0
,∴a =3.
二、填空题
14.在复平面内,z =cos10+isin10的对应点在第________象限. [答案] 三
[解析] ∵3π<10<7π
2,∴cos10<0,sin10<0,
∴z 的对应点在第三象限. 15.已知z 1=3
2
a +(a +1)i ,z 2=-33
b +(b +2)i(a 、b ∈R ),若z 1-z 2=43,则a +b =________.
[答案] 3 [解析] z 1-z 2=[3
2
a +(a +1)i]-[-33
b +(b +2)i] =(
3
2
a +33
b )+(a +1-b -2)i =43, ∴?????
32a +33b =43a -b =1
,
解得?
????
a =2
b =1,∴a +b =3.
三、解答题
16.已知z 1=(3x +y )+(y -4x )i ,z 2=(4y -2x )-(5x +3y )i(x ,y ∈R ),设z =z 1-z 2,且z =13-2i ,求z 1,z 2.
[解析] z =z 1-z 2=(3x +y )+(y -4x )i -[(4y -2x )-(5x +3y )i]=[(3x +y )-(4y -2x )]+[(y -4x )+(5x +3y )]i =(5x -3y )+(x +4y )i ,
又因为z =13-2i ,且x ,y ∈R ,
所以????? 5x -3y =13x +4y =-2,解得?????
x =2y =-1
.
所以z 1=(3×2-1)+(-1-4×2)i =5-9i , z 2=4×(-1)-2×2-[5×2+3×(-1)]i =-8-7i.
17.已知复平面内平行四边形ABCD ,A 点对应的复数为2+i ,向量BA →
对应的复数为1+2i ,向量BC →
对应的复数为3-i ,求:
(1)点C 、D 对应的复数; (2)平行四边形ABCD 的面积.
[解析] (1)∵向量BA →对应的复数为1+2i ,向量BC →
对应的复数为3-i , ∴向量AC →
对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i. 又OC →=OA →+AC →,
∴点C 对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i. ∵AD →=BC →,
∴向量AD →对应的复数为3-i ,即AD →
=(3,-1). 设D (x ,y ),则AD →
=(x -2,y -1)=(3,-1),
∴????? x -2=3,y -1=-1,解得?????
x =5,y =0.
∴点D 对应的复数为5. (2)∵BA →·BC →=|BA →||BC →|cos B , ∴cos B =BA →·BC →|BA →||BC →|
=3-25×10=210.
∴sin B=72
10.
=7,∴S=|BA→||BC→|sin B=5×10×72
10
∴平行四边形ABCD的面积为7.