数列通项公式的几种求法

数列通项公式的几种求法

数列通项公式直接表述了数列的本质，是给出数列的一种重要方法。数列通项公式具备两大功能，第一，可以通过数列通项公式求出数列中任意一项；第二，可以通过数列通项公式判断一个数是否为数列的项以及是第几项等问题；因此，求数列通项公式是高中数学中最为常见的题型之一，它既考察等价转换与化归的数学思想，又能反映学生对数列的理解深度，具有一定的技巧性，是衡量考生数学素质的要素之一，因而经常渗透在高考和数学竞赛中。本文分别介绍几种常见的数列通项的求法，以期能给读者一些启示。

一、常规数列的通项

例1：求下列数列的通项公式

（1）22—12 ，32—13 ，42—14 ，52—15

，… （2）－11×2 ，12×3 ，－13×4 ，14×5

，… （3）23 ，1，107 ，179 ，2611

，… 解：（1）a n =n 2—1n （2）a n = （－1）n n （n+1） （3） a n =n 2＋12n ＋1

评注：认真观察所给数据的结构特征，找出a n 与n 的对应关系，正确写出对应的表达式。

二、等差、等比数列的通项

直接利用通项公式a n =a 1+（n －1）d 和a n =a 1q n －1写通项，但先要根据条件寻求首项、

公差和公比。

三、摆动数列的通项

例2：写出数列1，－1，1，－1，…的一个通项公式。

解：a n =（－1）n －1

变式1：求数列0，2，0，2，0，2，…的一个通项公式。

分析与解答：若每一项均减去1，数列相应变为－1，1，－1，1，…

故数列的通项公式为a n =1+（－1）n

变式2：求数列3，0，3，0，3，0，…的一个通项公式。

分析与解答：若每一项均乘以23

，数列相应变为2，0，2，0，… 故数列的通项公式为a n =32

[1+（－1）n －1 ] 变式3：求数列5，1，5，1，5，1，…的一个通项公式。

分析与解答1：若每一项均减去1，数列相应变为4，0，4，0，…

故数列的通项公式为a n =1++2×23 [1+（－1）n －1 ]=1+43

[1+（－1）n －1 ] 分析与解答2：若每一项均减去3，数列相应变为2，－2，2，－2，…

故数列的通项公式为a n =3+2（－1）n －1

四、循环数列的通项

例3：写出数列0.1，0.01，0.001，0.0001，…的一个通项公式。

解：a n =

110n

变式1：求数列0.5，0.05，0.005，…的一个通项公式。

解：a n = 510n 变式2：求数列0.9，0.99，0.999，…的一个通项公式。

分析与解答：此数列每一项分别与数列0.1，0.01，0.001，0.0001，…的每一项对应相

加得到的项全部都是1，于是a n =1－ 110n 变式3：求数列0.7，0.77，0.777，0.7777，…的一个通项公式。

解：a n = 79 （1－ 110n ） 例4：写出数列1，10，100，1000，…的一个通项公式。

解：a n =10n －1

变式1：求数列9，99，999，…的一个通项公式。

分析与解答：此数列每一项都加上1就得到数列10，100，1000，… 故a n =10n －1。 变式2：写出数列4，44，444，4444…的一个通项公式。

解：a n = 49

（10n －1） 评注：平日教与学的过程中务必要对基本的数列通项公式进行过关，这就需要提高课堂教与学的效率，多加总结、反思，注意联想与对比分析，做到触类旁通，也就无需再害怕复杂数列的通项公式了。

五、通过等差、等比数列求和来求通项

例5：求下列数列的通项公式

（1）0.7，0.77，0.777，… （2）3，33，333，3333，…

（3）12，1212，121212，… （4）1，1+2，1+2+3，…

解：（1）a n =321Λ7777.0个n =7×321Λ1111.0个n =7×（0.1+0.01+0.001+…+{0

110.0个-n Λ） =7×（110 +1102 +1103 +…+110n ）=7×110 [1－（110 ）n ]1－110 =79 （1－110n ） （2）a n =321Λ3333个n =3×321Λ1

111

个n =3×（1+10+100+…+10n ）=3×1－10n 1－10 =13 （10n －1） （3）a n =43

421Λ12121212个n =12×（1+100+10000+…+100n －1）=12×1－100n 1－100 =433

（102n －1） （4）a n =1+2+3+…n=n （n+1）2

评注：关键是根据数据的变化规律搞清楚第n 项的数据特点。

六、用累加法求a n =a n －1+f （n ）型通项

例6：（1）数列{a n }满足a 1=1且a n =a n －1+3n －2（n ≥2），求a n 。

（2）数列{a n }满足a 1=1且a n =a n －1+12n （n ≥2），求a n 。

解：（1）由a n =a n －1+3n －2知a n －a n －1=3n －2，记f （n ）=3n －2= a n －a n －1

则a n = （a n －a n －1）+（a n －1－a n －2）+（a n －2－a n －3）+…（a 2－a 1）+a 1

=f （n ）+ f （n －1）+ f （n －2）+…f （2）+ a 1

=（3n －2）+[3（n －1）－2]+ [3（n －2）－2]+ …+（3×2－2）+1 =3[n+（n －1）+（n －2）+…+2]－2（n －1）+1

=3×（n+2）（n －1）2 －2n+3=3n 2－n 2

（2）由a n =a n －1+12n 知a n －a n －1=12n ，记f （n ）=12n = a n －a n －1 则a n =（a n －a n －1）+（a n －1－a n －2）+（a n －2－a n －3）+…（a 2－a 1）+a 1

=f （n ）+ f （n －1）+ f （n －2）+…f （2）+ a 1

=12n +12n －1 +12

n －2 +…+122 +1=12 －12n 评注：当f （n ）=d （d 为常数）时，数列{a n }就是等差数列，教材对等差数列通项公式的推导其实就是用累加法求出来的。

七、用累积法求a n = f （n ）a n －1型通项

例7:（1）已知数列{a n }满足a 1=1且a n =2（n-1）n

a n —1（n ≥2），求a n （2）数列{a n }满足a 1=12 且a n =1

2n a n —1，求a n 解：（1）由条件a n a n —1 =2（n －1）n ，记f （n ）=2（n －1）n

a n =a n a n —1 ·a n －1 a n —2 ·…a 2 a 1

·a 1=f （n ）f （n －1）f （n －2）…f （2）f （2）a 1 =2（n －1）n ·2（n －2）n －1 ·2（n －3）n －2 ·…2×23 ·2×12 ·1=2n －1n

（2）a n =a n a n —1 ·a n －1 a n —2 ·…a 2 a 1 ·a 1=12n ·12n －1 …122 ·12 =12

1＋2＋…＋n =2－ n （n ＋1）2 评注：如果f （n ）=q （q 为常数），则{a n }为等比数列，a n = f （n ）a n —1型数列是等比数列的一种推广，教材中对等比数列通项公式地推导其实正是用累积法推导出来的。

八、用待定系数法求a n =Aa n －1＋B 型数列通项

例8:数列{a n }满足a 1=1且a n ＋1＋2a n =1，求其通项公式。

解：由已知，a n ＋1＋2a n =1，即a n =－2 a n —1＋1

令a n ＋x=－2（a n －1＋x ），则a n =－2 a n －1－3x ，于是－3x=1，故x=－13

∴ a n －13 =－2（a n －1－13

） 故{ a n －13 }是公比q 为－2，首项为a n －13 =23

的等比数列 ∴a n －13 =23 （－2）n －1=1－（－2）n 3

评注：一般地，当A ≠1时令a n ＋x=A （a n －1＋x ）有a n =A a n －1＋（A －1）x ，则有

（A －1）x=B 知x=B A －1 ，从而a n ＋B A －1 =A （a n －1+B A －1 ），于是数列{a n ＋B A －1

}是首项为a 1+B A －1 、公比为A 的等比数列，故a n ＋B A －1 =（a 1+B A －1

）A n －1，从而 a n =（a 1+B A －1 ）A n －1－B A －1

；特别地，当A=0时{a n }为等差数列；当A ≠0，B=0时，数列{a n }为等比数列。

推广：对于a n =A a n －1＋f （n ）（A ≠0且A ∈R ）型数列通项公式也可以用待定系数法求通项公式。

例9：数列{a n }满足a 1=1且a n =2a n －1＋13n （n ≥2），求a n 。 解：令a n ＋x ·13n =2（a n ＋x ·13n-1）则a n =2a n －1+ 2x ·13n-1－x ·13n =53 x ·13n-1=5x ·13n 而由已知a n =2a n －1＋13n 故5x=1，则x=15 。故a n ＋15 ·13n ＝2（a n －1＋15 ·13n-1） 从而{a n ＋15 ·13n }是公比为q=2、首项为a 1＋15 ·13=1615

的等比数列。 于是a n ＋15 ·13n =1615 ×2n －1，则a n =1615 ×2n －1－15 ·13n =115 （2n+3－13

n －1） 评注：一般情况，对条件a n =Aa n －1+f （n ）而言，可设a n +g （n ）=A[a n －1+g （n －1）]，则有Ag （n －1）－g （n ）=f （n ），从而只要求出函数g （n ）就可使数列{ a n +g （n ）}为等比数列，再利用等比数列通项公式求出a n 。值得注意的是a n +g （n ）与a n －1+g （n －1）中的对应关系。特别地，当f （n ）=B （B 为常数）时，就是前面叙述的例8型。

这种做法能否进一步推广呢？对于a n =f （n ）a n －1+g （n ）型数列可否用待定系数法求通项公式呢？

我们姑且类比做点尝试：令a n +k （n ）=f （n ）[a n －1+k （n －1）]，展开得到

a n =f （n ）a n －1+f （n ）k （n －1）－k （n ），从而f （n ）k （n －1）－k （n ）= g （n ），理论上讲，通过这个等式k （n ）可以确定出来，但实际操作上，k （n ）未必能轻易确定出来，请看下题：

数列{a n }满足a 1=1且a n =n 2n a n －1+1n+1

，求其通项公式。 在这种做法下得到n 2n k （n －1）－k （n ）=1n+1

，显然，目前我们用高中数学知识还无法轻易地求出k （n ）来。

九、通过S n 求a n

例10：数列{a n }满足a n =5S n －3，求a n 。

解：令n=1，有a 1=5a n －3，∴a 1=34

。由于a n =5S n －3………① 则 a n-1 =5 S n-1－3………②

①－②得到a n －a n-1=5（S n －S n-1） ∴a n －a n －1 =5a n

故a n =－14 a n-1，则{a n }是公比为q=－14 、首项a n =34 的等比数列，则a n =34 （－14

）n-1 评注：递推关系中含有S n ，通常是用S n 和a n 的关系a n =S n －S n －1（n ≥2）来求通项公式，具体来说有两类：一是通过a n =S n －S n －1将递推关系揭示的前n 项和与通项的关系转化为项

与项的关系，再根据新的递推关系求出通项公式；二是通过a n =S n －S n －1将递推关系揭示的前n 项和与通项的关系转化为前n 项和与前n －1项和的关系，再根据新的递推关系求出通项公式

十、取倒数转化为等差数列

例11：已知数列{a n }满足a 1=1且a n+1=2a n a n +2

，求a n 。 解：由a n+1=2a n a n +2 有 1a n+1 = a n +22a n = 12 +1a n 即1a n+1 －1a n =12

所以，数列{1a n }是首项为1a 1 =1、公差为d=12

的等差数列 则1a n =1+（n －1）12 =n+12 从而a n =2n+1

评注：注意观察和分析题目条件的结构特点，对所给的递推关系式进行变形，使与所

求数列相关的数列（本例中数列{1a n

}）是等差或等比数列后，只需解方程就能求出通项公式了。

十一、构造函数模型转化为等比数列

例12：已知数列{a n }满足a 1=3且a n+1=（a n －1）2+1，求a n 。

解：由条件a n+1=（a n －1）2+1得a n+1－1=（a n －1）2

两边取对数有lg （a n+1－1）=lg （（a n －1）2）=2lg （a n －1） 即lg （a n+1－1） lg （a n －1）

=2 故数列{ lg （a n －1）}是首项为lg （a 1－1）=lg2、公比为2的等比数列

所以，lg （a n －1）=lg 2·2

n －1=lg 122-n 则a n －1=122-n 即a n =12

2-n +1

评注：通过构造对数函数达到降次的目的，使原来的递推关系转化为等比数列进行求。

十二、数学归纳法

例13：数列{a n }满足a 1=4且a n =4－4a n －1

（n ≥2），求a n 。 解：通过递推关系求出数列前几项如下

a 1=4=2+21 a 2=4－4a 1 =3=2+22 a 3=4－4a 2 =83

=2+23 a 4=4－4a 3 =52 =2+24 a 5=4－4a 4 =125

=2+25 a 6=4－4a 5 =73 =2+26 猜想：通项公式为a n =2+2n

。下用归纳法给出证明 显然，当n=1时，a 1=4=2+21

，等式成立 假设当n=k 时，等式成立，即a k =2+2k

则当n=k+1时，a k+1=4－4a k =4－4 2+2k =4－2k k+1 =2+2－2k k+1 =2+2k+1

由归纳法原理知，对一切n ∈N +都有a n =2+2n

。 评注：先根据递推关系求出前几项，观察数据特点，猜想、归纳出通项公式，再用数学归纳法给出证明。

十三、综合应用

例14：已知各项为正的数列{a n }满足a 1=1且a n 2=a n －12+2（n ≥2），求a n 。

解：由a n 2=a n －12+2知a n 2－a n －12=2

则数列{a n 2}是公差为2、首项为a 12=1的等差数列。

故 a n 2=1+2（n －1）=2n －1 即a n =2n －1

例15：数列{a n }满足a 1=a 2=5且a n+1=a n +6a n －1（n ≥2），求a n 。

解：设a n+1+λa n =μ（a n +λa n －1），则a n+1=（μ－λ）a n +μλa n －1

而a n+1=a n +6a n －1 则???==-6

1μλλμ 解得???==23λμ或???-=-=32λμ

当λ=2且μ=3时a n+1+2a n =3（a n +2a n －1），即

a n+1+2a n a n +2a n －1

=3 则数列{a n +2a n －1}是公比为3、首项为a 2+2a 1=15的等比数列。

于是，a n +2a n －1=15×3n －1=5×3n 则a n =－2a n －1+5×3n

令a n +x ·3n =－2（a n －1+x ·3n －1 ） 则a n =－2a n －1－x ·3n 故x=－1

于是，a n －3n =－2（a n －1－3n －1 ）

从而{a n －3n }是公比为－2、首项为a 1－3=2的等比数列。

所以，a n －3n =2×（－2）n －1 则a n =3n +2×（－2）n －1=3n －（－2）n

当λ=－3且μ=－2时，同理可求得a n =3n －（－2）n

于是，数列{a n }的通项公式为a n =3n －（－2）n

小结：本文只是介绍了几种常见的求数列通项公式的方法，可以看到，求数列（特别是以递推关系式给出的数列）通项公式的确具有很强的技巧性，与我们所学的基本知识与技能、基本思想与方法有很大关系，因而在平日教与学的过程中，既要加强基本知识、、基本方法、基本技能和基本思想的学习，又要注意培养和提高数学素质与能力和创新精神。这就要求无论教师还是学生都必须提高课堂的教与学的效率，注意多加总结和反思，注意联想和对比分析，做到触类旁通，将一些看起来毫不起眼的基础性命题进行横向的拓宽与纵向的深入，通过弱化或强化条件与结论，揭示出它与某类问题的联系与区别并变更为出新的命题。这样无论从内容的发散，还是解题思维的深入，都能收到固本拓新之用，收到“秀枝一株，嫁接成林”之效，从而有利于形成和发展创新的思维。

求数列通项公式的常用方法(有答案)

求数列通项公式的常用方法 一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之 一。 2．解题步骤：若1()n n a a f n +-=(2)n ≥， 则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-= 两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-++ +?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 练习. 已知数列 } {n a 满足31=a ， ) 2()1(1 1≥-+ =-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 答案：裂项求和 n a n 1 2- = 评注：已知a a =1,) (1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函

数、指数函数、分式函数，求通项 n a . ①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。 二、累乘法 1. 适用于： 1()n n a f n a += ----------这是广义的等比数列，累乘法是最基本的二个方法之 二。 2．解题步骤：若 1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n n a a a f f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1 11 1()n n k a a f k a +==?∏ 例2 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：因为112(1)53n n n a n a a +=+?=，，所以0n a ≠，则 1 2(1)5n n n a n a +=+，故1 32 112 21 12211(1)(2)21 (1)1 2 [2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53 32 5 ! n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--= ??? ??=-+-+??+?+??=-?????=??? 所以数列{}n a 的通项公式为(1)1 2 325 !.n n n n a n --=??? 练习. 已知 1 ,111->-+=+a n na a n n ,求数列{an}的通项公式 答案： =n a ) 1()!1(1+?-a n -1.

数列通项公式的求法集锦

数列通项公式的求法集锦 非等比、等差数列的通项公式的求法，题型繁杂，方法琐碎，笔者结合近几年的高考情况，对数列求通项公式的方法给以归纳总结。 一、累加法 形如1()n n a a f n --= (n=2、3、4…...) 且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求，则用累加法求n a 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 例1. 在数列{n a }中，1a =1，11n n a a n --=- (n=2、3、4……) ，求{n a }的通项公式。 解：∵111n a ==时， 213243121 23.......1n n n a a a a a a a a n -≥-=??-=??-=???-=-?? 时, 这n-1个等式累加得：112...n a a -=+++（n-1）=(1)2n n - 故21(1)222n n n n n a a --+=+= 且11a =也满足该式 ∴222 n n n a -+= (n N *∈). 例2．在数列{n a }中，1a =1，12n n n a a +-= (n N *∈),求n a 。 解：n=1时, 1a =1212323431122 22.......2n n n n a a a a a a a a --≥-=??-=??-=????-=?时, 以上n-1个等式累加得 21122...2n n a a --=+++=12(12)12 n ---=22n -，故12221n n n a a =-+=- 且11a =也满足该式 ∴21n n a =- (n N *∈)。 二、累乘法 形如1 ()n n a f n a -= (n=2、3、4……)，且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求，则用累乘法求n a 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 例3．在数列{n a }中，1a =1，1n n a na +=，求n a 。

数列通项公式的求法(较全)

常见数列通项公式的求法 公式： 1、 定义法 若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或 11-=n n q a a 中即可. 例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 的345,,b b b ,求数列{}n b 的的通项公式. 练习：数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何* n N ∈都有 1234127 ,0,,,,6954 n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式.

2、 累加法 形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1） 当()f n d =为常数时，{}n a 为等差数列，则()11n a a n d =+-； （2） 当()f n 为n 的函数时，用累加法. 方法如下：由()n f a a n n =-+1得 当2n ≥时，() 11n n a a f n --=-， () 122n n a a f n ---=-， ()322a a f -=， () 211a a f -=， 以上()1n -个等式累加得 ()()()()11+221n a a f n f n f f -=--+ ++ 1n a a ∴=+()()()()1+221f n f n f f --+ ++ （3）已知1a ，()n f a a n n =-+1，其中()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. ①若()f n 可以是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若()f n 可以是关于n 的二次函数，累加后可分组求和； ③若()f n 可以是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ④若()f n 可以是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和求和. 例2、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.

(完整版)常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。 （1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。 （1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。 例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。 解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -=---n n a a n n …… 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- =

（2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2 )1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可 （3）n q n f =)(（≠q 0，1） 等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。 （1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。 （2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。 解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ ∴ 1211231+= +? =n n a a n [例4] 11 --+?? =n n n a m a m k a 型。

几种常见的数列的通项公式的求法

几种常见的数列的通项公式的求法 一． 观察法 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,1716 4,1093,542,211 （3） ,5 2 ,21,32 ,1（4） ,5 4 ,43,32,21-- 解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为：110-=n n a （2）;1 2 2 ++=n n n a n （3）;12 += n a n （4）1 )1(1+? -=+n n a n n .点评：关键是找出各项与项数n 的关系。 二、公式法 例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式； 解：(1)∵a 1=f (d －1) = (d －2)2，a 3 = f (d +1)= d 2，∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ， ∴d =2，∴a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)；又b 1= f (q +1)= q 2，b 3 =f (q －1)=(q －2)2， ∴2 213)2(q q b b -==q 2 ，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，∴b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 例 3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是 （ ） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n 解析：设等差数列的公差位d ，由已知???==+??+12348)()(3 333a d a a d a ， 解得 ?? ?±==2 4 3d a ，又 {} n a 是递减数列， ∴ 2 -=d ， 8 1=a ，∴ =--+=)2)(1(8n a n 102+-n ，故选(D)。 例 4. 已知等比数列 {}n a 的首项11=a ，公比10<

求数列通项公式常用的七种方法

创作编号：GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 求数列通项公式常用的七种方法 一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式 ()d n a a n 11-+=或1 1-=n n q a a 进行求解. 例1：已知{}n a 是一个等差数列，且5,152-==a a ，求{}n a 的通项公式. 分析：设数列{}n a 的公差为d ，则?? ?-=+=+5411 1d a d a 解得???-==23 1d a ∴ ()5211+-=-+=n d n a a n 二、前n 项和法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a . 例2：已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ，求通项n a . 分析：当2≥n 时，1--=n n n s s a =( )( ) 32 321 ----n n =1 2 -n 而111-==s a 不适合上式，() () ???≥=-=∴-22111n n a n n 三、n s 与n a 的关系式法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a . 例3：已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 3 1 1= +，其中11=a ，求n a . 分析： 13+=n n a s ① ∴ n n a s 31=- ()2≥n ② ①-② 得 n n n a a a 331-=+ ∴ 134+=n n a a 即 341=+n n a a ()2≥n 又1123 1 31a s a ==不适合上式 ∴ 数列{}n a 从第2项起是以 3 4 为公比的等比数列 ∴ 2 2 2343134--?? ? ??=? ? ? ??=n n n a a ()2≥n ∴()()??? ??≥?? ? ??==-23431112n n a n n 注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”，由n s 与n a 的关系式，类比出1-n a 与 的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项. 四、累加法：当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时， 可以用这种方法. 例4： ()12,011-+==+n a a a n n ，求通项n a 分析： 121-=-+n a a n n ∴ 112=-a a 323=-a a 534=-a a ┅ 321-=--n a a n n ()2≥n 以上各式相加得()()2 11327531-=-+++++=-n n a a n ()2≥n 又01=a ，所以()2 1-=n a n ()2≥n ，而01=a 也适合上式， ∴ ()2 1-=n a n ( ∈N n 五、累乘法：它与累加法类似 ，当数列{}n a 中有 ()1 n n a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“律”的数时，就可以用这种方法. 例5：111,1 n n n a a a n -==- ()2,n n N *≥∈ 求通项n a 分析： 11 n n n a a n -= - ∴11n n a n a n -=- ()2,n n N * ≥∈

几种常见的数列的通项公式的求法

几种常见的数列的通项公式的求法 一、观察法 1、根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1） ,5 4,43,32,21-- （2） ,5 2,21,32,1 （3）9，99，999，9999，… 二、叠加法：对于型如)(1n f a a n n +=+类的通项公式 2、已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。 3、若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。 三、叠乘法：对于型如1+n a =f (n)·n a 类的通项公式 4、在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。 5、已知数列{}n a 中，3 11= a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a 。 四、S n 法利用1--=n n n S S a (n ≥2) 6、已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。 （1）13-+=n n S n 。 （2）12-=n s n 五、辅助数列法 7、已知数}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a 求通项n a 。 六、倒数法 8、已知数列｛n a ｝中11=a 且11+=+n n n a a a （N n ∈），，求数列的通项公式。 1． 已知数列{}n a 的首项11a =，且13(2)n n a a n -=+≥，则n a = 3n-2 ．

2．已知数列{}n a 的首项11a =，且123(2)n n a a n -=+≥，则n a 1433n -?-． 3．已知数列{}n a 的11a =，22a =且121()(3)2n n n a a a n --=+≥，则1lim n x n a a →∞+=

九类常见递推数列求通项公式方法

递推数列通项求解方法 类型一：1n n a pa q += +（1p ≠） 思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ......121(1n p a q p p -=++++ (2) 1 1)11n n q q p a p p p --??+=+?+ ? --?? 。 思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1 q p μ= -，数列 {}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--??，即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。 例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：方法1（递推法）： ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=?? (1) 22 3(122n -=++++ (2) 11 332 )12232112n n n --+??+=+?+=- ? --? ?。 方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134 a +=为首项、2为公比的等比数列，则113422n n n a -++=?=，即1 23n n a +=-。

1n n +思路1（递推法）： 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+∑。 思路2（叠加法）：1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、 23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得1 11 ()n n i a a f n -=-= ∑ ，即 1 11 ()n n i a a f n -==+ ∑ 。 例2 已知11a =，1n n a a n -=+，求n a 。 解：方法1（递推法）：123(1)(2)(1)n n n n a a n a n n a n n n ---=+=+-+=+-+-+= ......1[23a =+++ (1) (1)(2)(1)]2 n i n n n n n n =++-+-+= = ∑ 。 方法2（叠加法）：1n n a a n --=，依次类推有：121n n a a n ---=-、232n n a a n ---=-、…、 212a a -=，将各式叠加并整理得12 n n i a a n =-= ∑ ，12 1 (1)2 n n n i i n n a a n n ==+=+ = = ∑ ∑ 。

求数列通项公式常用的八种方法

求数列通项公式常用八种方法 一、 公式法： 已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式()d n a a n 11-+= 或11-=n n q a a 进行求解. 二、前n 项和法： 已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a .（分3步） 三、n s 与n a 的关系式法： 已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a .（分3步） 四、累加法： 当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时， 就可以用这种方法. 五、累乘法：它与累加法类似 ，当数列{}n a 中有()1 n n a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法. 六、构造法： ㈠、一次函数法：在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+（,k b 均为常数且0k ≠），从表面 形式上来看n a 是关于1n a -的“一次函数”的形式，这时用下面的 方法:------＋常数P

㈡、取倒数法：这种方法适用于1 1c --=+n n n Aa a Ba ()2,n n N * ≥∈（,,k m p 均为常数 0m ≠） ，两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于 1n n a ka b -=+的式子. ㈢、取对数法：一般情况下适用于1k l n n a a -=（,k l 为非零常数） 例8：已知()2113,2n n a a a n -==≥ 求通项n a 分析：由()2113,2n n a a a n -==≥知0n a > ∴在21n n a a -=的两边同取常用对数得 211lg lg 2lg n n n a a a --== 即1 lg 2lg n n a a -= ∴数列{}lg n a 是以lg 3为首项，以2为公比的等比数列 故1 12lg 2lg3lg3n n n a --== ∴123n n a -= 七、“1p ()n n a a f n +=+（c b ,为常数且不为0，*,N n m ∈）”型的数列求通项n a . 可以先在等式两边 同除以f(n)后再用累加法。 八、形如21a n n n pa qa ++=+型，可化为211a ()()n n n n q xa p x a a p x ++++=+++ ，令x=q p x + ,求x 的值来解决。 除了以上八种方法外，还有嵌套法（迭代法）、归纳猜想法等，但这8种方法是经常用的，将其总结到一块，以便于学生记忆和掌握。

常见数列通项公式的求法(超好)

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常见数列通项公式的求法 1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列， 2 55a S =．求数列{}n a 的通项公式.n a n 53= 2.公式法：已知n S （即12()n a a a f n ++ +=）求n a ，用作差法：{ 11,(1) ,(2) n n n S n a S S n -== -≥。 例2：已知数列}{n a 的前n 项和s n ，12-=n s n 求}{n a 的通项公式。 解：（1）当n=1时，011 ==s a ，当2≥n 时 12]1)1[()1(221-=----=-=-n n n s s a n n n 由于1a 不适合于此等式 。 ∴? ??≥-==)2(12)1(0 n n n a n 练习：数列{a n }满足a n =5S n －3，求a n 。 答案：a n =34 （－14 ）n-1 3.累加法： 若1()n n a a f n +-=求n a ：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-+ +-1a +(2)n ≥。 例3：（1）数列{a n }满足a 1=1且a n =a n －1+3n －2（n ≥2），求a n 。 （2）数列{a n }满足a 1=1且a n =a n －1+1 2n （n ≥2），求a n 。 解：（1）由a n =a n －1+3n －2知a n －a n －1=3n －2，记f （n ）=3n －2= a n －a n －1 则a n = （a n －a n －1）+（a n －1－a n －2）+（a n －2－a n －3）+…（a 2－a 1）+a 1 =f （n ）+ f （n －1）+ f （n －2）+…f （2）+ a 1 =（3n －2）+[3（n －1）－2]+ [3（n －2）－2]+ …+（3×2－2）+1 =3[n+（n －1）+（n －2）+…+2]－2（n －1）+1 =3×（n+2）（n －1）2 －2n+3=3n 2－n 2 （2）由a n =a n －1+12n 知a n －a n －1=12n ，记f （n ）=1 2n = a n －a n －1 则a n =（a n －a n －1）+（a n －1－a n －2）+（a n －2－a n －3）+…（a 2－a 1）+a 1 =f （n ）+ f （n －1）+ f （n －2）+…f （2）+ a 1 =12n +12n －1 +12 n －2 +…+122 +1=12 －12n 练习：已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211 ，求n a 。答案：n a n 1-23= 4.累乘法：已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121 n n n n n a a a a a a a a ---=????(2)n ≥。 例4：在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。 解：由(n+1)·1+n a =n ·n a 得 1 1+=+n n a a n n ，

高中数学数列通项公式的求法详解

数列通项公式的求法及数列求和方法详解 专题一：数列通项公式的求法 关键是找出各项与项数n 的关系.） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,17 16 4,1093,542,211（3） ,5 2 ,21,32 , 1（4） ,5 4 ,43,3 2 ,21-- 答案：（1）110-=n n a （2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1 )1(1+?-=+n n a n n . 公式法1：特殊数列 例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和 { b n }的通项公式； 答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 例3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n (D) 例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<

数列通项公式的十种方法(已打)

递推式求数列通项公式常见类型及解法 对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可通过对递推式的变形转化成等差数列或等比数列，也可以通过构8造把问题转化。下面分类说明。 一、型 例1. 在数列{a n}中，已知，求通项公式。 解：已知递推式化为，即， 所以 。 将以上个式子相加，得 ，

所以。 二、型 例2. 求数列的通项公式。解：当， 即 当，所以。

三、型 例3. 在数列中，，求。解法1：设，对比 ，得。于是，得 ，以3为公比的等比数列。 所以有。 解法2：又已知递推式，得 上述两式相减，得，因此，数列是以 为首项，以3为公比的等比数列。 所以，所以 。

四、型 例4. 设数列，求通项公式。 解：设，则， ， 所以， 即。 设这时，所以。 由于{b n}是以3为首项，以为公比的等比数列，所以有。 由此得：。 说明：通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）。

五、型 例5. 已知b≠0，b≠±1，，写出用n和b表示a n的通项公式。 解：将已知递推式两边乘以，得 ，又设， 于是，原递推式化为，仿类型三，可解得，故。 说明：对于递推式，可两边除以，得 ，引入辅助数列 ，然后可归结为类型三。

六、型 例6. 已知数列，求。 解：在两边减去。 所以为首项，以 。 所以令上式，再把这个等式累加，得 。所以。 说明：可以变形为，就是 ，则可从，解得，于是是公比为的等比数列，这样就转化为前面的类型五。 等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上。 转化的目的是化陌生为熟悉，当然首先是等差、等比数列，根据不同的递推公式，采用相应的变形手段，达到转化的目的。

常见数列通项公式的求法

常见数列通项公式的求法-中学数学论文 常见数列通项公式的求法 邹后林 （会昌中学，江西赣州342600） 摘要：数列的通项求法灵活多样，需要充分利用化归与转化思想。非等比、等差数列的通项公式的求法，题型繁杂，方法琐碎，笔者结合近几年的高考情况，对数列求通项公式的方法给以归纳总结。现举数例。 关键词：数列；通项公式；求法 中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-12-0031-01 例1：已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1 (n∈N*)，等差数列{bn}中，bn0 (n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列。 (1)求数列{an}、{bn}的通项公式； (2)求数列{an·bn}的前n项和Tn。 解：(1)∵a1＝1，an＋1＝2Sn＋1 (n∈N*)， ∴an＝2Sn－1＋1 (n∈N*，n1)， ∴an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)， 即an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an (n∈N*，n1)。 而a2＝2a1＋1＝3，∴a2＝3a1。 ∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，∴an＝3n－1 (n∈N*)。∴a1＝1，a2＝3，a3＝9，

在等差数列{bn}中，∵b1＋b2＋b3＝15， ∴b2＝5。 又∵a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列，设等差数列{bn}的公差为d，则有(a1＋b1)(a3＋b3)＝(a2＋b2)2。 ∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2，∵bn0 (n∈N*)，∴舍去d ＝－10，取d＝2，∴b1＝3，∴bn＝2n＋1 (n∈N*)。 (2)由(1)知Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1，①∴3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)·3n－1＋(2n＋1)3n，② ∴①－②得－2Tn＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n-1－(2n＋1)3n＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n-1)－(2n＋1)3n

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

1 【典型例题】 [例 1] a n 1 (1)k (2) k 比较系数: {a n a n [例 2] a n 1 (1)k 例: 已知 解: a n a n a 3 a n 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 ka n b 型。 1 时，a n 1 1时，设a n km m ka n 1 时, a n ｝ 是等比数列, (a i f (n) 型。 a n 1 a n {a n }满足a i a n a n a n a 2 对这（n b ｛a n ｝ 是等差数列, a n b n 佝 b) k(a n m) a n 1 ka n km 公比为 1) k ”1 f(n) k ，首项为 a n 1 a n a i a n (a 1 k n1 f （n ）可求 和, 则可用累加消项的方 法。 n （n 1）求｛a n ｝的通项公 式。 1 n(n 1 ) a 2 a n 1 a n a 1 1 个式子求和得: a n a 1 a n 2 - n

(2) k1时, 当f(n) an b则可设a n A(n 1) B k(a n An B) a n 1 ka n (k 1)A n (k 1)B A (k (k 1)A 1)B 解得: a 2 (k 1) ,? {a n An B｝是 以 a1 B为首项, k为公比的等比数列 a n An (a1 B) k n1 a n (a1 B) k n1An B将A、B代入即可 (3) f(n) 0, 1) 等式两边同时除以 a n 1 1 c n 1 得q a n n q C n 令C n 1 {C n}可归为a n 1 ka n b型 [例3] a n f(n) a n型。 (1)f(n)是常数时, 可归为等比数 列。 f(n)可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知: a1 2n 1 a n 1 2n 1 2)求数列｛a n｝的通项。 解: a n a n a n 1 a n 1 a n 2 a n a 1 a n 2 a n 3 k m a n 1 m a n 1 型。a3 a2 a2 a1 2n 1 2n 2n 1 2n 3 2n 5 5 3 3 2n 1 2n 3 7 5 2n 1 [例4]

求数列通项公式常用的七种方法

求数列通项公式常用的七种方法 一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式 ()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 进行求解. 例1：已知{}n a 是一个等差数列，且5,152-==a a ，求{}n a 的通项公式. 分析：设数列{}n a 的公差为d ，则???-=+=+5411 1d a d a 解得???-==23 1d a ∴ ()5211+-=-+=n d n a a n 二、前n 项和法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a . 例2：已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ，求通项n a . 分析：当2≥n 时，1--=n n n s s a =( )( ) 32 321 ----n n =12-n 而111-==s a 不适合上式，() () ???≥=-=∴-22111n n a n n 三、n s 与n a 的关系式法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a . 例3：已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 3 1 1= +，其中11=a ，求n a . 分析： 13+=n n a s ① ∴ n n a s 31=- ()2≥n ② ①-② 得 n n n a a a 331-=+ ∴ 134+=n n a a 即 3 4 1=+n n a a ()2≥n 又1123131a s a ==不适合上式 ∴ 数列{}n a 从第2项起是以 3 4 为公比的等比数列 ∴ 2 2 2343134--?? ? ??=? ? ? ??=n n n a a ()2≥n ∴()()??? ??≥? ? ? ??==-23431112n n a n n 注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”，由n s 与n a 的关系式，类比出1-n a 与1 -n s 的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项. 四、累加法：当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时，就 可以用这种方法. 例4： ()12,011-+==+n a a a n n ，求通项n a 分析： 121-=-+n a a n n ∴ 112=-a a 323=-a a 534=-a a ┅ 321-=--n a a n n ()2≥n 以上各式相加得()()2 11327531-=-+++++=-n n a a n ()2≥n 又01=a ，所以()2 1-=n a n ()2≥n ，而01=a 也适合上式， ∴ ()2 1-=n a n ( )* ∈N n 五、累乘法：它与累加法类似 ，当数列{}n a 中有 ()1 n n a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法. 例5：111,1 n n n a a a n -==- ()2,n n N *≥∈ 求通项n a 分析： 11n n n a a n -= - ∴11 n n a n a n -=- ()2,n n N * ≥∈ 故3241123123411231 n n n a a a a n a a n a a a a n -===- ()2,n n N *≥∈ 而11a =也适合上式，所以() n a n n N * =∈ 六、构造法： ㈠、一次函数法：在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+（,k b 均为常数且0k ≠），从表面形式上来看n a 是 关于1n a -的“一次函数”的形式，这时用下面的方法: 一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+ 则()11n n a ka k m -=+- 而1n n a ka b -=+

数列通项公式求法大全配练习及答案

数列通项公式的十种求法 一、公式法 * 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ 1 *11()n n n a a a q q n N q -== ?∈ 二、累加法 )(1n f a a n n +=+ 例 1 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 2n a n = 例 2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 （3 1.n n a n =+-） 三、累乘法 n n a n f a )(1=+ 例3 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。 （(1)1 2 32 5 !.n n n n a n --=???） 评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+?转化为 1 2(1)5n n n a n a +=+，进而求出 1 32 112 21 n n n n a a a a a a a a a ---??? ??，即得数列{}n a 的通项公式。 例4已知数列{}n a 满足112311 23(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通项 公式。（! .2 n n a =）

评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为 1 1(2)n n a n n a +=+≥，进而求出 1 3 212 2 n n n n a a a a a a a ---??? ?，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。 四、待定系数法 q pa a n n +=+1 ()n f pa a n n +=+1 n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 例5 已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。 （125n n n a -=+） 评注：本题解题的关键是把递推关系式1235n n n a a +=+?转化为1152(5)n n n n a a ++-=-，从而可知数列{5}n n a -是等比数列，进而求出数列{5}n n a -的通项公式，最后再求出数列 {}n a 的通项公式。 例6 已知数列{}n a 满足1135241n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 （1133522n n n a -=?-?-） 评注：本题解题的关键是把递推关系式13524n n n a a +=+?+转化为 1 15223(522)n n n n a a +++?+=+ ?+，从而可知数列{522}n n a +?+是等比数列，进而求出数列{522}n n a +?+的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。 例7 已知数列{}n a 满足2 1123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。 （42 231018n n a n n +=---） 评注：本题解题的关键是把递推关系式2 12345n n a a n n +=+++转化为 2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++，从而可知数列