【高考】2014届高考一轮复习数学(人教A版·理)第七章 不等式 7.2

第2讲不等式的解法

1.不等式>0的解集是( )

A.(-2,1)

B.(2,+∞)

C.(-2,1)∪(2,+∞)

D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

【答案】C

【解析】原不等式等价于

∴x>2或-2

2.已知函数f(x)=若f(x)≥1,则x的取值范围是( )

A.(-∞,-1]

B.[1,+∞)

C.(-∞,0]∪[1,+∞)

D.(-∞,-1]∪[1,+∞)

【答案】D

【解析】当x≤0时,由x2≥1,得x≤-1;

当x>0时,由2x-1≥1,得x≥1.

综上可知,x∈(-∞,-1]∪[1,+∞).

3.若(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0对任何实数x恒成立,则实数m的取值范围是( )

A.m>1

B.m<-1

C.m<-

D.m>1或m<-

【答案】C

【解析】当m=-1时,不等式变为2x-6<0,

即x<3,不符合题意.当m≠-1时,由题意知

化简,得解得m<-.

4.若关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式>0的解集是( )

A.(-∞,-1)∪(2,+∞)

B.(-1,2)

C.(1,2)

D.(-∞,1)∪(2,+∞)

【答案】A

【解析】由于ax>b的解集为(1,+∞),故有a>0且=1,又>0?(ax+b)(x-2)=a(x+1)(x-2)>0?(x+1)(x-2)>0,故不等式的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞).

5.(2012·北京东城示范校综合练习)已知函数f(x)=则不等式x+(x+1)f(x+1)≤1的解集是( )

A.{x|-1≤x≤-1}

B.{x|x≤1}

C.{x|x≤-1}

D.{x|--1≤x≤-1}

【答案】C

【解析】当x+1<0,即x<-1时,x+(x+1)f(x+1)=x+(x+1)(-x)≤1,解得x∈R,所以x<-1.

当x+1≥0,即x≥-1时,x+(x+1)f(x+1)=x+(x+1)x≤1,解得--1≤x≤-1,所以-1≤x≤-1.于是可得原不等式的解集为{x|x≤-1}.

6.设函数f(x)=已知f(a)>1,则a的取值范围是( )

A.(-∞,2)∪

B.

C.(-∞,-2)∪

D.∪(1,+∞)

【答案】C

【解析】a≤-1时,由(a+1)2>1,得a<-2或a>0,故a<-2;-11,得a>-,故-

a≥1时,-1>1无解.

综上,a的取值范围是(-∞,-2)∪,故选C.

7.已知函数f(x)=ax2+bx+c,不等式f(x)>0的解集为{x|-3

【答案】B

【解析】由题意可知,函数f(x)=ax2+bx+c为二次函数,其图象为开口向下的抛物线,与x轴的交点是(-

3,0),(1,0),又y=f(-x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称,故只有B符合.

8.(2012·安徽合肥质检)不等式≥0的解集是.

【答案】(1,2]

【解析】因为≥0等价于所以不等式≥0的解集为(1,2].

9.若不等式a<2x-x2对于任意的x∈[-2,3]恒成立,则实数a的取值范围为.

【答案】(-∞,-8)

【解析】由已知不等式a<-x2+2x对任意x∈[-2,3]恒成立,令f(x)=-x2+2x,x∈[-2,3],

可得当x=-2时,f(x)min=f(-2)=-8,

∴实数a的取值范围为(-∞,-8).

10.(2012·北京卷,14)已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2.若?x∈R,f(x)<0或g(x)<0,则m的取值范围是.

【答案】(-4,0)

【解析】由题意可知,m≥0时不能保证对?x∈R,f(x)<0或g(x)<0成立.

当m=-1时,f(x)=-(x+2)2,g(x)=2x-2,画出图象①,显然满足条件;

(2)当-1-(m+3),要使其满足条件,则需解得-1

(3)当m<-1时,-(m+3)>2m,要使其满足条件,则需解得-4

综上可知,m的取值范围为(-4,0).

11.解下列不等式.

(1)19x-3x2≥6;

(2)x+1≥.

【解】(1)方法一:原不等式可化为3x2-19x+6≤0,

方程3x2-19x+6=0的解为x1=,x2=6.

函数y=3x2-19x+6的图象开口向上且与x轴有两个交点和(6,0),

所以原不等式的解集为.

方法二:原不等式可化为3x2-19x+6≤0

?(3x-1)(x-6)≤0?(x-6)≤0.

所以原不等式的解集为.

(2)原不等式可化为x+1-≥0?≥0

?≥0?

如图所示,由穿根法知原不等式的解集为

{x|-2≤x<0或x≥1}.

12.已知a<1,解关于x的不等式>1.

【解】原不等式可化为>0,

因为a<1,所以a-1<0.故原不等式化为<0,等价于(x-2)<0.

当0

当a=0时,原不等式的解集为?;

当a<0时,解集为.

拓展延伸

13.已知函数f(x)=x2+ax+3.

(1)若当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求a的范围;

(2)若当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求a的范围.

【解】(1)f(x)≥a恒成立,即x2+ax+3-a≥0恒成立,必须且只需Δ=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0,解得-6≤a≤2.

(2)f(x)=x2+ax+3=+3-.

①当-<-2,即a>4时,f(x)min=f(-2)=-2a+7,由-2a+7≥a得a≤,故a∈?.

②当-2≤-≤2,即-4≤a≤4时,f(x)min=3-,

由3-≥a,得-6≤a≤2.

故-4≤a≤2.

③当->2,即a<-4时,f(x)min=f(2)=2a+7,

由2a+7≥a,得a≥-7,故-7≤a<-4.

综上,得a∈[-7,2].